componente fisico e il componente ideale che lo rappresenta nel modello che si sta costruendo. Per

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1 CAPITOLO 2 BIPOLI ELEMENTARI 2.1 Introduzione Spesso nel linguaggio tecnico si fa uso dello stesso termine per indicare sia il componente che concretamente realizza una certa relazione costitutiva, sia il componente ideale che ritroviamo negli schemi circuitali. Naturalmente, mentre nel primo caso, la relazione costitutiva è da intendersi come approssimazione che descrive in maniera soddisfacente il comportamento del componente in un certo insieme dei parametri, nel secondo caso essa è una legge esatta che descrive completamente il comportamento di un componente ideale opportunamente estrapolato da quello reale. Anche se questa ambiguità di linguaggio non può comportare confusione, in quanto sono sempre ben chiari i limiti del modello entro cui si intende operare, è importante mentre si sta costruendo una teoria operare la distinzione tra il componente fisico e il componente ideale che lo rappresenta nel modello che si sta costruendo. Per questa ragione chiameremo elemento circuitale il componente ideale. L'elemento circuitale è solo un modello e ogni modello costituisce una approssimazione. A seconda dell'applicazione, lo stesso componente può essere rappresentato da diversi elementi circuitali. Il modello di un componente può essere, in generale, anche un oggetto complesso costituito da più elementi circuitali. D'altronde, uno stesso elemento circuitale può rappresentare il funzionamento di componenti diversi tra loro. Il rapporto tra componente e elemento circuitale può essere interpretato da due opposti punti di vista. Si può pensare di partire dal componente, individuarne la relazione costitutiva - magari sperimentalmente oppure risolvendo un modello di campo così come abbiamo fatto nel Capitolo precedente - e quindi costruire per estrapolazione il corrispondente elemento circuitale che lo rappresenta. Viceversa è anche possibile immaginare una determinata relazione costitutiva - di cui magari si sente una esigenza per una particolare applicazione - in base alla quale definire un nuovo elemento circuitale e successivamente, se possibile, costruire un componente che ne approssima adeguatamente il comportamento. Dal punto di vista storico si può dire, evidentemente, che entrambe le strade sono state percorse: la prima per i componenti cosiddetti elementari e la seconda per quelli più complessi. Anche noi ci

2 70 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica riserveremo per opportunità didattica, la possibilità di introdurre i diversi elementi circuitali secondo i due distinti punti di vista cominciando, naturalmente, dagli elementi circuitali elementari con due terminali. Gli elementi circuitali a due terminali, cioè i bipoli, rivestono un ruolo fondamentale nella teoria dei circuiti. Nel precedente Capitolo abbiamo illustrato come sia possibile modellare alcuni componenti a partire dalla loro costituzione fisica, utilizzando le equazioni di Maxwell. Così facendo siamo giunti al concetto di bipolo resistore, generatore costante di tensione, condensatore e induttore. In questo Capitolo oltre a completare la descrizione dei bipoli elementari, ci soffermeremo su quelle che sono le loro proprietà fondamentali. Una prima classificazione fondamentale dei bipoli li distingue in lineari e non lineari. Evidentemente è lineare un bipolo la cui relazione costitutiva sia di tipo lineare. Una seconda classificazione dei bipoli, che è conveniente introdurre, è quella che li distingue in bipoli statici e bipoli dinamici. I primi sono bipoli caratterizzati da un legame tra la tensione e corrente di tipo algebrico. I bipoli dinamici sono invece caratterizzati da un legame tra tensione e corrente più complesso nel quale è presente, ad esempio, la derivata di una delle due grandezze elettriche. Questi bipoli, quando presenti, introducono equazioni differenziali ordinarie nelle equazioni circuitali, ampliando notevolmente la complessità del comportamento della rete elettrica. Cominciamo con il distinguere i bipoli in due grandi classi, i bipoli statici (detti, anche, bipoli senza memoria) e i bipoli dinamici (detti, anche, bipoli con memoria). Definizione: bipolo statico e bipolo dinamico Un bipolo si dice statico se il valore della corrente nel generico istante dipende solo dal valore della tensione in quell'istante (e viceversa), cioè la corrente e la tensione verificano la relazione I vi = 0, (1) dove I vi è una funzione delle due variabili v e i; in generale la funzione f può dipendere esplicitamente dal tempo, che in questo caso svolge solo il ruolo di un parametro. Un bipolo si dice dinamico se il valore della corrente (della tensione) nel generico istante t dipende dalla storia della tensione (della corrente), cioè da tutti i valori (o almeno da una parte di essi) che la tensione v(t) (la corrente i(t)) assume per t t. In un bipolo dinamico la corrente e la tensione verificano una relazione del tipo F[v( ), i( )]=0, (2) dove F è un funzionale non lineare; con v( ) e i( ) stiamo indicando, rispettivamente, le funzioni che descrivono la tensione e la corrente nell'intervallo di tempo in cui sono definite (le storie temporali) e con v(t) e i(t) i valori che esse assumono al generico istante t. Più in generale, il funzionamento di un elemento circuitale statico è descritto da una relazione tra i valori istantanei delle tensioni e delle correnti, mentre il funzionamento di un elemento circuitale dinamico è descritto da una relazione che coinvolge la storia delle tensioni e delle correnti.

3 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica Bipoli statici Il simbolo che useremo per indicare un generico bipolo statico non lineare è mostrato in figura 1a. In generale non è sempre possibile esprimere la relazione costitutiva di un bipolo non lineare attraverso combinazioni di funzioni elementari. Questa difficoltà può essere superata osservando che la relazione costitutiva (1) può essere rappresentata graficamente nel piano Y L (oppure nel piano L Y ). La curva che così si ottiene è la curva caratteristica o caratteristica del bipolo. I punti di tale curva rappresentano le possibili condizioni di funzionamento del bipolo, figura 1b. Figura 1 Simbolo per il generico bipolo statico (a); una possibile curva caratteristica (b). La curva caratteristica di un bipolo è in generale non simmetrica, figura 1b. Ciò implica che la funzione che descrive la relazione tra i αβ e v αβ è diversa da quella che descrive la relazione tra i βα e v βα ( dove i βα = i βα e v βα = v αβ ). Questo è il motivo per cui nel simbolo che rappresenta il bipolo c'è quel tratto in nero in basso: esso serve a distinguere i due terminali. Figura 2 Bipolo statico simmetrico (a); bipolo statico tempo-variante (b). Definizione: bipolo statico simmetrico Un bipolo statico si dice simmetrico se, per ogni punto (i,v) appartenente alla curva caratteristica si ha che anche il punto ( i, v) appartiene alla curva caratteristica.

4 72 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica Un bipolo simmetrico ha una curva caratteristica simmetrica rispetto all origine del piano i-v, figura 2a. In generale la curva caratteristica di un bipolo statico può variare nel tempo, figura 2b. Definizione: bipolo statico tempo invariante Un bipolo statico si dice tempo invariante se la curva caratteristica non dipende dal tempo. L'equazione (1) definisce un legame implicito tra la tensione e la corrente. Non sempre è possibile esplicitare questo legame nelle forme i=g(v) e/o v=r(i) dove g( ) e r( ) sono funzioni a un solo valore. Definizione: bipolo statico controllato in tensione e bipolo statico controllato in corrente Un bipolo statico si dice controllato in tensione se per ogni valore ammissibile di tensione esiste uno ed un solo valore di corrente che verifica la (1), figura 3a. Un bipolo statico si dice controllato in corrente se per ogni valore ammissibile di corrente esiste uno ed un solo valore di tensione che verifica la (1), figura 3b. Per un bipolo statico controllato in tensione la (1) può essere esplicitata nella forma i=g(v), (3) dove g( ) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione g( ) può essere non invertibile. Invece per un bipolo statico controllato in corrente la (1) può essere esplicitata nella forma v=r(i), (4) dove r( ) è una funzione a un solo valore; in generale la funzione r( ) può essere non invertibile. Se il bipolo statico è controllato sia in tensione che in corrente, allora la funzione g( ) è l'inversa della funzione r( ) e viceversa, figura 3c. Figura 3 Bipolo statico controllato in tensione (a), in corrente (b), in tensione e in corrente (c). Ora descriveremo le caratteristiche dei bipoli statici più significativi. Generatori indipendenti Il generatore indipendente di tensione è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva v=e(t), (5) dove e(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla corrente che in esso circola.

5 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 73 Il generatore indipendente di corrente è il bipolo che ha la seguente relazione costitutiva i=j(t), (6) dove j(t) è una funzione del tempo assegnata, indipendente dalla tensione. Figura 4 Simbolo del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di corrente (b), del resistore tempo invariante (c) e del resistore tempo-variante (d). Il simbolo del generatore indipendente di tensione è illustrato in figura 4a e quello del generatore indipendente di corrente è illustrato in figura 4b. Le rispettive curve caratteristiche sono illustrate in figura 5a e 5b per il caso stazionario. I generatori di tensioni sono controllati soltanto in corrente, mentre quelli di corrente sono controllati soltanto in tensione. Inoltre per il generatore di tensione l'unico valore ammissibile di tensione è e(t) e per il generatore indipendente di corrente l'unico valore ammissibile di corrente è j(t). I generatori indipendenti sono bipoli non simmetrici. La relazione costitutiva dei generatori indipendenti non verifica la proprietà di linearità. Figura 5 Caratteristica del generatore indipendente di tensione (a), del generatore indipendente di corrente (b), del resistore lineare (c), del corto circuito (d) e del circuito aperto (e). Resistore lineare Il resistore lineare è definito dalla relazione costitutiva lineare 1 v=ri, (7) dove la resistenza R (R 0 e R ), che in generale può essere variabile nel tempo, è una grandezza indipendente sia da i che da v. Il resistore lineare è un bipolo simmetrico ed è controllato sia in tensione che in corrente. Se R è indipendente dal tempo il resistore è tempo invariante. La resistenza 1 La relazione f{x}, che può essere anche di tipo funzionale, si dice lineare se, comunqe si scelgano x 1 e x 2 e le costanti α 1 e α 2 si ha f ^α 1 x 1 + α 2 x 2 ` = α 1 f ^x 1 `+ α 2 f ^x 2 `; la funzione Kx è lineare (K è una costante), mentre Kx+h, x 2,... non sono lineari.

6 74 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica R può essere anche negativa (poi faremo vedere come è possibile realizzare bipoli resistori con resistenza negativa). In figura 4c è illustrato il simbolo del resistore lineare tempo-invariante e in figura 4d il simbolo del resistore lineare tempo variante. In figura 5c è rappresentata la curva caratteristica di un resistore tempo-invariante. Corto circuito e circuito aperto Il corto circuito è definito dalla relazione costitutiva v=0 per qualsiasi valore di i, (8) cioè per qualsiasi valore della corrente i la tensione è nulla. Il simbolo di questo bipolo è illustrato in figura 6a e la sua curva caratteristica in figura 5d. Esso può essere il modello di un tratto di conduttore con elevata conducibilità (al limite infinita). Di tale natura, per esempio, immaginiamo i collegamenti tra i diversi bipoli in un circuito. Naturalmente un buon conduttore reale può al più approssimare tale comportamento, e l'approssimazione sarà tanto migliore quanto più corto sarà il tratto di conduttore; ciò giustifica anche il nome corto circuito dato al bipolo. La caratteristica di un generatore indipendente di tensione coincide con quella del corto circuito quando e(t)=0 (cioè quando il generatore è spento) e così anche quella del resistore nel limite R 0. Il circuito aperto è definito dalla relazione caratteristica i=0 per qualsiasi valore di v, (9) cioè per qualsiasi valore della tensione v la corrente che in esso circola è nulla. Un tale bipolo si potrebbe realizzare frapponendo tra i morsetti un materiale perfettamente non conduttore, cioè un isolante ideale. Per questo motivo il bipolo prende il nome di circuito aperto. Il simbolo del bipolo circuito aperto è illustrato in figura 6b e la sua curva caratteristica in figura 5e. Si osservi che la caratteristica di un generatore ideale di corrente coincide con quella del circuito aperto quando la corrente j(t)=0 (cioè quando è spento e così anche quella del resistore nel limite R ). Figura 6 Simbolo del bipolo corto circuito (a), del bipolo circuito aperto (b); simbolo dell'interruttore: si chiude a t = t 1 (c) e si apre a t = t 2 (d). Il corto circuito è controllato soltanto in corrente e l'unico valore ammissibile di tensione è v=0, mentre il circuito aperto è controllato soltanto in tensione e l'unico valore ammissibile di corrente è i=0; entrambi questi bipoli verificano la proprietà di linearità.

7 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 75 Interruttore L'interruttore è un bipolo statico tempo-variante, il simbolo è illustrato in figura 6c e 6d. Quando l'interruttore è aperto, la corrente è zero indipendentemente dal valore della tensione, mentre quando è chiuso, la tensione è zero indipendentemente dal valore della corrente. Negli istanti di tempo in cui l'interruttore è aperto la sua curva caratteristica coincide con quella del circuito aperto; negli istanti in cui è chiuso la sua curva caratteristica coincide con quella del corto circuito. Il bipolo interruttore è lineare. Interruttore periodico L'interruttore periodico è un bipolo statico, tempo-variante e lineare. Il simbolo è illustrato in figura 7. Per 0 t<t1, l'interruttore è aperto, la corrente è zero, e la caratteristica coincide con quella del circuito aperto. Per t1 t<t, l'interruttore è chiuso, la tensione è zero, e la caratteristica coincide con quella del corto circuito. Dopo un intervallo di tempo T l'interruttore ripete l'operazione. Figura 7 Interruttore periodico. Diodo Il diodo ha la caratteristica descritta in figura 8. Questo elemento è non lineare, non simmetrico, tempo invariante, controllato sia in tensione che in corrente. Esso rappresenta il diodo a giunzione pn nel funzionamento lentamente variabile. Figura 8 Simbolo del diodo (a) e curva caratteristica (b). Diodo Tunnel

8 76 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica Il diodo tunnel è il bipolo statico non lineare descritto dalla curva caratteristica rappresentata in figura 9. Esso è un bipolo controllabile solo in tensione. Per i 1 < i < i 2 il bipolo non può essere controllato in corrente. Infatti per i appartenente a questo intervallo esistono tre possibili valori di tensione che verificano la relazione costitutiva. Figura 9 Simbolo del diodo tunnel (a), e curva caratteristica (b). Figura 10 Simbolo del tiristore (a) e curva caratteristica con il terminale di gate sconnesso (b). Tiristore con terminale di gate sconnesso Il tiristore con il terminale di gate sconnesso (il modello a bassa frequenza del diodo a quattro strati) è il bipolo statico con la caratteristica illustrata in figura 10. Esso, a differenza del diodo tunnel, è controllato in corrente per ogni valore di corrente ed è controllato in tensione solo per v < v 1 e v > v 2. Nullatore e noratore Completiamo la panoramica dei bipoli statici introducendo altri due bipoli ideali le cui caratteristiche sono invero molto singolari. La loro utilità, che può non essere chiara a prima vista, risiede nel fatto che essi consentono di costruire modelli di componenti complessi. In seguito verrà illustrato un esempio. Il primo è il nullatore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11a, definito dalla relazione costitutiva v = 0, i = 0. Esso, a differenza di un bipolo corto circuito, impone tensione nulla con una corrente nulla. Con un simile bipolo è possibile imporre che due nodi di un circuito abbiano lo stesso (10)

9 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 77 potenziale senza alterare la distribuzione delle correnti. Nel piano L Y la caratteristica del nullatore si riduce a un punto, l origine degli assi. L altro bipolo è il noratore e cioè un bipolo ideale, il cui simbolo è illustrato in figura 11b, che al contrario non impone alcun vincolo tra la tensione e la corrente: la tensione e la corrente possono assumere valori qualsiasi. Il noratore, a differenza di un bipolo circuito aperto, consente il passaggio di una qualsiasi corrente per una qualsiasi tensione. Con un simile bipolo è possibile connettere diverse parti di un circuito senza alterare la distribuzione delle tensioni. Figura 11 Simbolo del nullatore (a) e del noratore (b). 2.3 Bipoli dinamici I bipoli dinamici fondamentali sono il condensatore e l induttore. Il condensatore è il bipolo dinamico definito dalle equazioni i = dq dt q = Q(v; t), (11) dove q è la carica del condensatore e Q(v; t) è una funzione non lineare di v. In figura 12a è illustrato il simbolo del condensatore non lineare e in figura 12b quello del condensatore lineare. Nel condensatore il valore della corrente in un generico istante t dipende dalla storia della carica q in un intorno di quell'istante e quindi dalla storia della tensione. L'insieme dei punti (v,q) nel piano v- q prende il nome di curva caratteristica del condensatore. I concetti di condensatore simmetrico e tempo invariante sono simili a quelli introdotti per i bipoli statici. Figura 12 Simbolo del condensatore non lineare (a) e del condensatore lineare (b). Condensatore lineare

10 78 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica Il condensatore lineare è definito dalla relazione costitutiva q=cv, (12) dove la capacità C è indipendente sia da q che da v e potrebbe dipendere dal tempo. Il condensatore lineare è simmetrico. Se la capacità è costante nel tempo il condensatore è tempo invariante. Varactor Il varactor è un condensatore non lineare definito dalla relazione caratteristica q = 1.5C 0 V 0 1 v / V 0 0 v V 0 ( ) 2/3 v V 0 (13) dove C 0 e V 0 sono due parametri caratteristici. Il varactor descrive un componente (il diodo varactor) che per v>v0 si comporta prevalentemente come un diodo (prevale la corrente di conduzione rispetto a quella di spostamento). Pertanto un modello realistico del diodo varactor può essere ottenuto collegando un diodo in parallelo a un varactor. L'induttore è il bipolo dinamico il cui funzionamento è descritto dalle equazioni v = dφ dt φ = Φit (14) dove φ è il flusso e Φ(i; t) è una funzione non lineare di i. In questo bipolo il valore della tensione in un generico istante t dipende dalla storia del flusso in un intorno di t e quindi dalla storia della corrente. In figura 13a è illustrato il simbolo dell induttore non lineare e in figura 13b quello dell induttore lineare. L'insieme dei punti (i,φ) nel piano i-φ prende il nome di curva caratteristica dell'induttore. I concetti di induttore simmetrico e tempo invariante sono gli stessi che abbiamo illustrato per gli altri bipoli. Figura 13 Simbolo dell'induttore non lineare (a) e simbolo dell'induttore lineare (b). Induttore lineare L'induttore lineare è definito dalla relazione caratteristica φ=l i, (15)

11 Giovanni Miano - Lezioni di Elettrotecnica 79 dove il coefficiente di autoinduzione (o induttanza) L è indipendente dal flusso e dalla corrente; esso potrebbe dipendere dal tempo. L'induttore lineare è simmetrico. Quando l'induttanza è costante, l'induttore è tempo invariante. Induttore saturabile L'induttore saturabile è l'induttore non lineare descritto dalla caratteristica grafica illustrata in figura 14. Esso può rappresentare il modello di un avvolgimento realizzato su di un nucleo di materiale ferromagnetico (in questo modello viene ignorato il fenomeno dell'isteresi magnetica). Figura 14 Curva caratteristica dell'induttore saturabile Giunzione Josephson La giunzione Josephson è l'induttore non lineare descritto dalla relazione i = I 0 VLQk 0 φ, (18) dove I 0 e k 0 sono due parametri caratteristici. Esso è controllato solo in flusso e ammette solo i valori di corrente appartenenti all'intervallo [ I 0, I 0 ].

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