Modelli di Sistemi di Produzione

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1 Modelli di Sistemi di Produzione

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3 Indice 1 I sistemi di produzione Generalità I principi dei sistemi manifatturieri Descrizione dei principali sistemi produttivi I modelli matematici per il supporto alle decisioni L approccio modellistico-ottimizzatorio La formulazione dei modelli Alcune convenzioni Le 9 regole della formulazione Ottimizzazione dei sistemi di produzione Parametri strategici dei sistemi produttivi La gestione dei sistemi di produzione Il ruolo dei modelli matematici La gestione dei flussi produttivi: le logiche push e pull La linea di produzione Il carico lavorativo, il tasso di produzione, le relazioni di incompatibilità Dimensionamento di una linea Stime sul numero minimo di stazioni Complessità del problema L euristica RPWT L euristica COMSOAL Alcune note pratiche in merito alla natura stocastica delle durate dei lavori i

4 ii INDICE 4.4 Bilanciamento dei carichi in una linea di produzione Trade-off tra dimensionamento e bilanciamento Rappresentazione e soluzione di un problema di bilanciamento Trasformazione di formati Ulteriori vincoli in fase progettuale Formulazioni di vincoli logici Alcuni casi di studio Analisi di alcuni aspetti dei problemi proposti Coefficienti di inattività e di efficienza Work in process e tempo di attraversamento Bilanciamento Multi-Prodotto e a Prodotto Misto Linee Multi-prodotto Linee a Prodotto Misto Vincoli temporali. Linee push e pull Sequenziamento in una linea di produzione Gestione dei tempi di set up Determinazione della linea più corta I layout orientati al processo Generazione di un layout Sequenziamento delle lavorazioni L incompatibilità tra operazioni Il sequenziamento di due lavorazioni con operazioni incompatibili104

5 Capitolo 1 I sistemi di produzione 1.1 Generalità Per sistema si intende un insieme di elementi interagenti, coesi al raggiungimento di un obiettivo. In particolare un sistema è caratterizzato da: Obiettivi: l insieme degli scopi che giustificano l esistenza del sistema; Struttura: gli elementi che lo compongono, raggruppabili in diversi sottosistemi; Processi: le attività svolte dagli elementi della struttura, i cui effetti sono rivolti sia all interno del sistema stesso, che all esterno; Interrelazioni: le relazioni che intercorrono fra i sotto-sistemi, fra i processi, fra i sotto-sistemi e i processi. In generale, qualsiasi tipo di organizzazione può essere descritta secondo un approccio sistemico, specificandone gli obiettivi, le parti, i processi e le interrelazioni. Comprendere il sistema così descritto, allora, corrisponderà a comprendere il comportamento dell organizzazione nel suo insieme. Gli obiettivi di una azienda sono i suoi fini istituzionali e variano a seconda della tipologia d azienda: per un azienda pubblica di servizi, l obiettivo è quello di fornire alle migliori condizioni possibili di qualità e di costo un insieme di servizi (di trasporto, di comunicazione, etc.); per un azienda privata l obiettivo è quello di ottenere degli utili, attraverso la progettazione, la produzione e la vendita di beni. 1

6 2 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Per un azienda di produzione, in particolare, si può senza dubbio affermare che il principale obiettivo sia quello di creare valore, sia per i clienti che soddisfano una propria utilità nell acquisizione dei beni, sia per se stessa, con l ottenimento di un profitto monetario dalla vendita dei prodotti. Le parti di una azienda sono gli elementi costitutivi dell azienda stessa. E utile notare come tra questi non vi sono solo gli elementi fisici (macchine, impianti, etc.), ma anche delle pure unità organizzative (direzioni, servizi, uffici, etc.). Un sistema di produzione è costituito da insiemi interagenti di operazioni (task), di materiali, di risorse, di prodotti, di piani e di eventi. I piani contengono i piani di processo, ovvero i percorsi (routing) degli elementi nel sistema, e i piani di produzione. I processi sono tutte le funzioni necessarie per conseguire gli obiettivi operativi che l azienda si prefigge, e si attuano all interno della struttura. L obiettivo operativo di un sistema manifatturiero è la produzione, ovvero il processo di trasformazione di materie prime in prodotti finiti. Per poter quindi comprendere meglio i processi di una azienda, è opportuno approfondire il concetto di risorsa. Per risorsa aziendale si intende ogni entità che l azienda utilizza nei suoi processi per perseguire i propri obiettivi operativi. Sono risorse i prodotti o i servizi offerti dall azienda, i materiali utilizzati, gli immobili, ma sono risorse anche il denaro e le persone utilizzate per produrre. Oltre alle risorse citate, che sono esempi delle cosiddette risorse interne, si devono anche considerare le risorse esterne, sulle quali l azienda opera soltanto in maniera indiretta quali, ad esempio, l ambiente sociale e gli operatori economici. L acquisizione delle risorse per una azienda manifatturiera è un momento fondamentale del processo produttivo dato che ad ogni risorsa è associato un costo. Inoltre, la scelta di una risorsa tecnologicamente più avanzata di un altra può voler significare una maggior rapidità di esecuzione e precisione del processo a cui essa viene associata. Nella letteratura si trovano un gran numero di classificazioni delle risorse di una azienda. Specificatamente per un sistema manifatturiero le risorse possono distinguersi in: Risorse materiali: sono tutte le risorse previste dalla distinta base di un prodotto, ovvero le risorse necessarie sui diversi livelli di lavorazione per la realizzazione del prodotto. La quantità di risorsa da acquisire

7 1.1. GENERALITÀ 3 o da produrre, e l istante in cui ciò vada fatto (funzione del tempo di consegna del prodotto) viene stabilita tramite dei sistemi di pianificazione del fabbisogno, che si avvalgono di vari criteri decisionali (MRP, JIT, etc.). Risorse produttive proprietarie: sono tutte le risorse impiantistiche e macchinarie gestite direttamente e utilizzate per realizzare la produzione stessa. Il costo di disponibilità di tali risorse è fisso e può comprendere i costi di ammortamento, i costi di manutenzione ed i costi di alimentazione. L ambito operativo non può intervenire sensibilmente su tali costi, ma può perseguire la massima produttività; tale obiettivo viene tipicamente definito saturazione delle risorse produttive. Risorse operative: sono le risorse necessarie e non strettamente produttive (risorse umane). Il loro utilizzo è commisurato al fabbisogno. Compito della programmazione operativa è gestire gli impegni di risorse umane in maniera flessibile e coerente con quella delle risorse produttive. Inoltre risorse operative e risorse produttive costituiscono i centri di lavoro che rappresentano un vincolo importante sulla capacità produttiva stessa. Risorse strumentali: sono risorse la cui gestione riveste importanza strategica per il vincolo sulla capacità produttiva. La programmazione operativa deve gestire tutte le situazioni di contemporaneità dal momento che un particolare attrezzo, del quale esiste un solo esemplare, è in grado di penalizzare la capacità produttiva di più centri di lavoro. Risorse produttive esterne: i motivi per i quali si adotta una lavorazione in conto terzi possono essere sistematici o temporanei; nel caso della pianificazione e programmazione della produzione si ricorre a questo tipo di soluzione, dopo avere saturato le risorse produttive interne, qualora la capacità produttiva dovesse risultare insufficiente. A livello di programmazione aggregata vengono stipulati accordi preliminari con i terzisti così da poterli considerare, in fase di programmazione operativa, come unità di lavorazione con capacità, tempi medi di risposta e costi già definiti.

8 4 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE A partire dalle risorse è possibile costruire un modello del sistema di produzione e dei suoi processi, e definire poi le unità strutturali nelle quali avvengono i processi e sono quindi gestite le risorse. Una volta costruito il modello del sistema, per comprenderne il comportamento, si devono individuare le interrelazioni tra gli elementi. La caratteristica privilegiata in questo senso è il flusso di spostamento degli elementi (materiali, prodotti, informazioni, risorse) all interno dei confini del sistema, e quindi l analisi del cambiamento di stato del sistema stesso che questo genera nel tempo. I materiali, vengono spostati attraverso il personale impiegato, i mezzi di movimentazione, le macchine, e subiscono le lavorazioni tali da essere trasformati in prodotti. Le risorse sono assegnate ai task, che ne hanno bisogno per effettuare tali trasformazioni. Gli eventi sono gli istanti di tempo in cui le risorse iniziano e terminano un task. L informazione sullo stato delle risorse, dei materiali e dei prodotti, indica lo stato del sistema in ogni istante di tempo. 1.2 I principi dei sistemi manifatturieri Come per tutta l ingegneria, anche lo studio dei sistemi manifatturieri si basa su dei principi o leggi. Questi che seguono sono le principali leggi che regolono tale studio. Prima legge: Legge di Little. Il work in progress nei sistemi manifattuerieri è dato dal prodotto tra il tasso di produzione ed il tempo di attraversamento nel sistema. Tale legge prende il nome di legge di Little (Little 1961) ed è probabilmente la più conosciuta nei sistemi manifatturieri. Il WIP ed il tempo di attraversamento sono intesi come valori medi. La legge si applica a tutti i livelli del sistema e va intesa a regime nel sistema. Quindi, fissato un tasso di produzione, il WIP varia in modo direttamente proporzionale al valore del tempo di attraversamento. La minimizzazione del WIP passa quindi attraverso la minimizzazione del tempo di attraversamento che si ottiene attraverso lo spostamento del carico massimo del sistema a monte e attraverso la riduzione del carico massimo del sistema. La minimizzazione del WIP comporta una riduzione della quantità di materiale nel sistema con una

9 1.2. I PRINCIPI DEI SISTEMI MANIFATTURIERI 5 conseguente riduzione dei costi associati al mantenimento a scorta e al controllo del processo produttivo. Seconda legge: La materia si conserva. I modelli manifatturieri sono progettati con l ipotesi di soddisfare equazioni di bilanciamento mostrando che la differenza tra il materiale che entra in un area di lavoro e quello che esce deve essere uguale alla quantità accumulata in magazzino. La legge vale ad ogni livello, sia di area di lavoro che di sistema complessivo. Terza legge: Più grande è lo scopo del sistema, meno affidabile è il sistema. Sistemi produttivi di grandi dimensioni sono per loro natura difficili di progettare, coordinare e mantenere. Un semplice risultato dalla teoria dell affidabilità è che se nel nostro sistema abbiamo n componenti indipendenti ciascuno con affidabilità r i, con i = 1,..., n, allora la probabilità che l intero sistema sia operativo è n i=1 r i. Dato che r i 1 aggiungere componenti al sistema implica una riduzione dell affidabilità complessiva. Naturalmente, si possono fare aggiunte in parallelo e miglioramenti locali sui singoli componenti per aumentarne l affidabilità, ma la direzione generale dell affidabilità rimane quella di diminuire all aumentare della complessità del sistema. Supponiamo di raddoppiare lo scopo del sistema, vale a dire i componenti che devono essere operativi nel sistema per il suo funzionamento. Il nuovo sistema avrà quindi n = 2n componenti. Assumiamo inoltre che l affidabilità di questi sia uguale per tutti ovvero r i = r ed r i = r. Il nuovo sistema avrà la stessa affidabilità del precedente se r n = r 2n. Questo si raggiunge quando r n = r 0.5. Se per esempio r = 0.9 allora si dovrà avere r Raddoppiare quindi la dimensione del sistema implicherà che l inattività dei suoi componenti dovrà essere ridotta della metà. Quarta legge: Gli oggetti decadono. Nella progettazione dei sistemi manifatturieri si deve tenere conto che i sistemi decadono al pari dei macchinari che lo compongono. Quindi anche un sistema flessibile progettato per durare il più a lungo nel tempo tenderà a usurarsi nel tempo al pari delle macchine obsolete. La flessibilità aiuta nell adattamento al cambiamento dell ambiente nel ciclo di vita, ma il ciclo di vita è scarsamente influenzato dalla flessibilità.

10 6 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Quinta legge: La complessità cresce esponenzialmente. Se un sistema ha m componenti, ciascuno dei quali può trovarsi in n stati differenti, allora il sistema ha n m possibili stati complessivi. Ciscuno di questi deve essere considerato nella progettazione del sistema. Sesta legge: La tecnologia migliora. In contrapposizione con la quarta legge dove gli oggetti che compongono il sistema decadono in termini di efficacia e capacità di soddisfare la domanda del mercato, bisogna tenere in conto il fatto che all esterno c è un continuo lavoro verso il miglioramento delle tecnologie e quindi quello che oggi rappresenta la frontiera in questi termini domani sarà superato e andrà aggiornato. Settima legge: I componenti del sistema si comportano in modo casuale. Le operazioni che eseguiamo nel sistema non avranno mai la stessa durata, anche se sono esattamente le stesse ad ogni ciclo produttivo. Inoltre, proprio per la natura degli eventi, è difficile predirre con precisione la durata di ogni evento. Possiamo associare ad esso un valore atteso ed una varianza. Ciononostante spesso si assumerà che la variabilità rispetto al valor medio sarà poco significativa e quindi si potrà modellare il sistema in prima approssimazione sotto un ipotesi di determinismo. Ottava legge: La razionalità umana è limitata. Simon (1969) discusse ampiamente questo concetto di razionalità limitata ed i limiti della capacità del ragionamento umano. Noi tendiamo ad avere un pensiero lineare che considera un attività alla volta. La nostra memoria di breve termine è limitata a sette item e la nostra visione concettuale è limitata alle esperienze del mondo che ci circonda. Questo, unito all esponenzialità riportata nella quinta legge, ci porta a dire che spesso bisogna tendere non all ottimalità di una soluzione ma al soddisfacimento dei requisiti che essa deve soddisfare e chiedersi quando una soluzione è sufficientemente buona, almeno per quel momento, e poi capire gli spazi per un possibile suo miglioramento. Nona legge: Combinare, semplificare e eliminare permettono di risparmiare tempo, denaro ed energia. Il concetto legato ai vantaggi che si hanno dalla combinazione e semplicazione di attività

11 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 7 necessarie e all eliminazione di quelle non necessarie è evidente e non serve stressarlo ulteriormente. Ogni attività consuma tempo, denaro ed energia e quindi tali concetti sono strettamente legati ad un risparmio in ognuna di queste direzioni. 1.3 Descrizione dei principali sistemi produttivi I sistemi manifatturieri possono essere classificati in base a diverse caratteristiche. Tra queste, quella riferita al flusso dei materiali che viaggiano nel sistema è una delle più diffuse ed efficaci, in quanto il flusso caratterizza l interazione tra gli elementi ed i processi del sistema stesso. In questa ottica un sistema di produzione si può classificare secondo quattro differenti categorie: sistemi orientati al prodotto, sistemi orientati al processo, tecnologie di gruppo, sistemi a postazioni fisse. I sistemi orientati al prodotto sono progettati attorno al prodotto. Essi sono noti anche come linee di produzione dato che il prodotto, una volta entrato nel processo, subisce le operazioni in modo sequenziale, senza mai tornare su macchine o risorse in generale che hanno già effettato lavorazioni sul prodotto. Quindi i materiali entrano nella linea e procedono nello stesso verso fino all uscita del sistema. Indubbiamente, le linee di produzione sono i più efficienti ed i più efficaci layout produttivi quando si ha a che fare con elevati volumi produttivi. Formare una disposizione delle macchine e delle risorse orientata al prodotto significa rendere dedicati i processi richiesti da quest ultimo; quindi c è una tendenza di questi sistemi ad essere economicamente più costosi in termini di macchine complessive utilizzate, a meno che il prodotto abbia un volume tale da assorbire il costo per riarrangiare le varie facility in una linea e il costo dovuto al deprezzamento dell equipaggiamento mentre la linea è in essere.

12 8 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Spesso però molti prodotti non hanno una domanda sufficiente per giustificare una linea. Infatti, le macchine scelte per un processo in linea non sono facilmente adattabili per altri prodotti. La risposta a necessità diverse, dove si può avere a che fare con prodotti a domanda bassa o che richiedono variazioni sostanziali in tempi decisamente brevi, è data dall uso di job shop o dei così chiamati sistemi produttivi orientati al processo. In questo tipo di layout i reparti o centri di lavoro sono composti da macchine in grado di poter eseguire lo stesso tipo di lavorazione. In un sistema produttivo di questo tipo, ad esempio, un reparto può essere formato da torni, un altro da presse ed un altro ancora da macchinari per test termici. Parti di un prodotto assegnate ad uno stesso centro di lavoro possono richiedere lo stesso tipo di lavorazione con attrezzaggi diversi e tempi di set-up diversi. Sistemi produttivi di tipo group technology possono essere utilizzati per convertire sistemi orientati al processo in sistemi pseudo orientati al prodotto. Parti simili di un prodotto, ovvero parti che richiedono processi lavorativi simili, sono raggruppati insieme in quantità sufficienti da giustificare le loro macchine personali. Tale raggruppamento forma una cella di lavorazione che è atta a produrre esclusivamente questo insieme di parti. Un sistema a postazioni fisse si realizza in caso di prodotti, quali una nave, un palazzo, un aeroplano, che a causa della loro elevata dimensione rendono impraticabile (spesso impossibile come nel caso di un edificio) lo spostamento del prodotto tra le operazioni da processare. A differenza delle altre tipologie di sistemi produttivi appena discussi, nei sistemi a postazioni fisse tutti i processi produttivi girano attorno al prodotto. La classificazione dei sistemi produttivi può essere fatta attraverso lo schema riportato in Figura 1.1 In base allo schema in figura si possono utilizzare tre principali caratteristiche per classificare un sistema di produzione: Il modo di rispondere alla domanda; Il modo di realizzare il prodotto; Il modo di realizzare il volume di produzione. Relativamente al modo di rispondere alla domanda possono essere individuati tre differenti scenari:

13 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 9 Figura 1.1: Classificazione dei sistemi di produzione.

14 10 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Produzione su commesse singole: l azienda riceve ordini per diversi prodotti o lotti di piccole dimensioni per i quali elabora il processo produttivo che può andare dalla progettazione (totale o parziale) allo sviluppo dei cicli di lavorazione fino alla produzione finale. Produzione su commesse ripetitive: l azienda lavora su catalogo o comunque su una gamma di prodotti ben definiti; vengono definiti anticipatamente tutte le caratteristiche progettuali e tecnologiche del prodotto, ma la produzione inizia solo dopo il manifestarsi dell ordine del cliente. Produzione per magazzino (su previsione): l azienda realizza, in genere prima del maniferstarsi degli ordini, volumi elevati di prodotti che colloca in un magazzino da cui successivamente servirà i clienti. Nello schema assume particolare rilievo la classificazione secondo il modo di realizzare il prodotto. A volte gli elementi che costituiscono il bene finale non possono essere facilmente identificati: il prodotto non può pertanto essere scomposto a ritroso, poichè i componenti originali non sono più distinguibili o hanno cambiato natura. In questi casi si parla di produzione per processo, ne sono un esempio i procedimenti utilizzati per ottenere acciaio, carta e cemento. Altre volte il bene ottenuto è costituito da un certo numero di componenti, o parti, in genere di diversa natura. Si può parlare allora di produzione per parti o manifatturiera; si pensi per esempio a prodotti quali automobili, elettrodomestici e apparecchiature elettroniche. Una caratteristica immediata di questo tipo di produzione è che un prodotto richiede una fase di assemblaggio con la conseguenza che il processo produttivo associato comprende quindi sia fasi di fabbricazione che fasi di montaggio. In genere il primo tipo di produzione (per processo) è caratterizzata da un ciclo tecnologico ben definito e vincolante, si parla perciò di ciclo tecnologico obbligatorio. I procedimenti del secondo tipo invece sono caratterizzati da una grande varietà nei cicli tecnologici delle parti componenti, cicli che spesso ammettono numerose varianti, e possono essere pertanto definiti come cicli tecnologici non obbligati. L ulteriore classificazione che ci rimane da analizzare è quella in base alla realizzazione del volume di produzione. Anche in questa classificazione possiamo individuare tre tipologie di produzioni:

15 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 11 Figura 1.2: Classificazione delle tipologie di sistemi di produzione.

16 12 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Unitarie: la variabilità dei cicli di produzione è molto elevata e l attività produttiva è organizzata per ottenere le quantità richieste dai singoli ordini. Per lotti: i cicli sono meno variabili nel tempo, i prodotti vengono realizzati per lotti di dimensioni anche superiori ai fabbisogni immediati in modo da formare delle scorte destinate a soddisfare eventuali richieste quando gli impianti saranno impegnati per la realizzazione di altri prodotti. Continue: i cicli restano costanti nel tempo anche per periodi estesi, si ha quindi la produzione ininterrotta di un prodotto dalle caratteristiche omogenee nel tempo e un magazzino polmone. Le correlazioni esistenti tra caratteristiche del prodotto e le tipologie del processo di fabbricazione da impiegare sono ben rappresentate dalla matrice prodotto - processo, vedi Figura 1.3. Le condizioni ideali sono quelle corrispondenti ai punti della diagonale principale (area di coerenza). In tal senso un azienda che lavora pezzi con caratteristiche assai variabili e ciascuno in serie pressochè uniche, è opportuno che impieghi un processo di lavorazione discontinuo di tipo job shop. Un azienda la cui produzione è di tipo standard, limitata ad un numero non elevato di modelli, ciascuno però fabbricato in grandi quantità, fa ricorso ad un processo produttivo di tipo ripetitivo organizzato su linee di assemblaggio. La produzione di beni di largo consumo, o comunque richiesti in grandi quantità, dovrà necessariamente operare mediante processi di lavorazione continui. Il posizionamento dell azienda in punti al di sopra o al di sotto della diagonale principale è indicativo di condizioni di lavoro non perfettamente bilanciate, sulle quali si possono formulare le considerazioni che seguono: Un punto al di sopra della diagonale indica che: Gli investimenti fissi realizzati sono limitati; Il sistema produttivo ha una struttura sufficientemente flessibile da consentire variazioni abbastanza rapide dell assetto produttivo in caso di mutamento della domanda. Infatti la parte al-

17 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 13 Figura 1.3: Matrice prodotto - processo.

18 14 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE ta della matrice è caratterizzata da macchine general purpose organizzate in base al layout di processo. I costi di fabbricazione sono elevati giacchè vengono impiegate nella produzione macchinari ed attrezzature non specialistiche. Un punto al di sotto della diagonale indica che: Gli investimenti fissi realizzati sono molto elevati in quanto sono stati installati impianti e macchinari specialistici, costruiti su misura per lo specifico processo che si intende sviluppare. Il sistema produttivo ha una struttura scarsamente flessibile, dovuta alla natura specialistica delle risorse utilizzate. In tal senso risulta difficile adeguare la produzione ad eventuali mutamenti nelle caratteristiche del prodotto desiderato. I costi unitari di fabbricazione sono ovviamente i più bassi possibili, in virtù delle attrezzature e delle macchine specialistiche impegnate nella produzione. In definitiva la matrice prodotto processo dà l idea del corretto equilibrio tra economia di scala e flessibilità operativa. L automazione flessibile consente di realizzare anche piccoli volumi di produzione in maniera rapida ed economica. In tal senso l automazione flessibile induce ad uno spostamento a destra della diagonale principale; ossia rende l organizzazione del lavoro di tipo discontinuo job shop conveniente anche nel caso di produzione di articoli in piccole quantità ma molto numerosi e diversificati. Dopo aver classificato i vari tipi di sistemi produttivi e dopo avergli dato locazione all interno della matrice prodotto - processo, ora analizzeremo la disposizione delle stazioni operative, ovvero studieremo il loro layout. La scelta del layout, per quanto riguarda i processi di produzione manifatturiera viene presa in base a vari parametri che possono essere: 1. Numero di movimentazioni (materiali - uomo -macchina) 2. Altro: Layout a posizione fissa; Layout per reparti e linee di lavorazione o montaggio.

19 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 15 Figura 1.4: Disposizione delle stazioni operative.

20 16 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Mix relativi al prodotto; Standardizzazione del prodotto e ripetitività delle produzioni; Servizio al cliente; Complessità della produzione; Flessibilità del sistema produttivo; Produttività e grado di automazione. Nella produzione per reparti (job shop) ogni unità di lavoro o ordine di lavorazione (costituito da un unico pezzo o da un certo numero di pezzi - lotto o batch - che si muovono assieme, per esempio in un contenitore o pallet), richiede l esecuzione di una serie di operazioni da parte di un gruppo di centri di lavoro (macchine, stazioni, gruppi di operatori) in una sequenza preassegnata (ciclo tecnologico) che eventualmente può ammettere alternative. In queste organizzazioni produttive la varietà dei cicli da realizzare è tale che l unica forma di ordinamento possibile è quella di aggregare i macchinari in reparti per il tipo di lavorazione realizzabile, vedi Figura 1.5 I flussi produttivi tendono pertanto ad essere via via più intrecciati passando da job shop impiegati in qualche misura per commesse ripetitive (cicli con qualche interferenza) all impiego in produzioni su commesse singole (possibilità di cicli con sensibili interferenze), vedi Figura 1.6 La creazione di reparti dotati di omogeneità tecnologica, oltre a facilitare lo scambio di competenze fra operatori e la supervisione da parte dei capi di primo livello, mette a disposizione una potenzialità produttiva (espressa per esempio in ore macchina disponibili per l esecuzione di una data classe di operazioni tipiche del reparto) variamente utilizzate per le produzioni che la richiedono, a tutto vantaggio della flessibilità operativa (tipica di questa soluzione). La produzione per celle manifatturiere si ha quando è possibile individuare delle famiglie di pezzi con cicli di lavorazione sufficientemente omogenei (secondo i criteri della tecnologia a gruppi, o Group Technology), si possono creare gruppi (celle) di macchine (questa volta di natura diversa) adibite alle lavorazioni necessarie per ottenere l intera famiglia di pezzi, vedi Figura 1.7 Si riduce così fortemente il grado di intreccio dei flussi produttivi rispetto alle soluzioni del job shop (con vantaggi in termini di semplificazione dei trasporti e della gestione della produzione); in parallelo diminuisce però la

21 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 17 Figura 1.5: Schema produzione per reparti.

22 18 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Figura 1.6: Schema produzione per reparti.

23 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 19 Figura 1.7: Schema produzione per celle.

24 20 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE flessibilità dell impianto (ogni cella è infatti dedicata alla lavorazione di una sola famiglia). In questo tipo di processo (flow shop), tutti i lavori da eseguire richiedono l intervento di una stesso numero di macchine, l ordine delle operazioni è fisso ed uguale per tutti (routing fisso), i tempi di lavorazione su ogni macchina possono essere differenti da job a job, il flusso di lavorazione è unidirezionale. Si possono, inoltre, classificare diversi tipi di flow shop: Flow shop puro: tutti i lavori richiedono un operazione su ogni macchina. Flow shop generico: i lavori possono non utilizzare qualche macchina tra quelle appartenenti al flusso di lavorazione. Flow shop con sorpasso tra i lavori: la sequenza di lavorazione sulle macchine non è la stessa. Flow shop senza sorpasso: la sequenza di lavorazione sulle macchine è la stessa. I punti di forza di una produzione per celle possono essere i seguenti: Semplificazione dei flussi di materiali; Maggiore semplicità gestionale; Riduzione dei tempi di set-up; Riduzione dimensione lotti; Riduzione tempi di attraversamento riduzione WIP; Riduzione occupazione spazio; Riduzione variabilità dei tempi di consegna Allargamento delle mansioni; Arricchimento delle mansioni; Identificazione delle responsabilità di prodotto e responsabilità di processo;

25 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 21 Maggiore livello di conformità qualitativa del prodotto. Mentre i vari punti di debolezza possono essere: Difficoltà di bilanciamento dei carichi fra celle; Maggiore rigidità a variazioni di mix, di volume, e a introduzione di nuovi prodotti; Impiego, in alcuni casi, di un numero di macchine superiore rispetto all organizzazione a reparti; Presenza di operazioni fuori cella difficili da gestire; Maggiore esposizione ai guasti; Problemi di coesistenza con sistemi non organizzati in celle; Le linee di produzione sono costituite da un insieme di macchine progettate per realizzare rigidamente una sequenza prefissata di lavorazioni, per prodotti da ottenere in grandi quantità e con varianti limite, vedi Figura 1.8 In questo caso il flusso dei materiali è lineare ed è incorporato nel processo (in genere automatizzato). La gestione della produzione è certamente più semplice, ma la flessibilità dell impianto è minima. Le scelte del tipo di layout vengono fatte in base ai campi di applicazione delle tecnologie Nello schema riportato in Figura 1.9 è possibile vedere i diversi campi di applicazione dei vari tipi di assetti al variare del mix e del volume dei prodotti realizzati. Mentre nello schema in Figura 1.10 è possibile vedere i diversi campi di applicazione dei vari tipi di assetti al variare della flessibilità di automazione: Il confronto fra le varie soluzioni è riportato nella tabella in Figura 1.11.

26 22 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Figura 1.8: Schema produzione per linea.

27 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 23 Figura 1.9: Trade-off volumi e mix di produzione.

28 24 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE Figura 1.10: Trade-off automazione e flessibilità.

29 1.3. DESCRIZIONE DEI PRINCIPALI SISTEMI PRODUTTIVI 25 Figura 1.11: Confronto produzione in linea e produzione per reparti.

30 26 CAPITOLO 1. I SISTEMI DI PRODUZIONE

31 Capitolo 2 I modelli matematici per il supporto alle decisioni 2.1 L approccio modellistico-ottimizzatorio. Nell atto di prendere delle decisioni, cioè di scegliere la migliore alternativa tra quelle disponibili, l uomo si avvale sempre, in modo conscio o più spesso inconscio, di un modello, ovvero di una rappresentazione semplificata ma efficace della realtà. Tra i vari modelli generabili dal decisore, risultano rilevanti i modelli matematici, la cui caratteristica è quella di fornire al problema una struttura matematica, se non proprio algebrica, che consente di esaminare un numero elevato di alternative, di analizzare la sensibilità alla variazione dei parametri ambientali e di valutare l esistenza e la computabilità di una soluzione. Un gran numero di problemi concernenti l individuazione di decisioni soggette a vincoli di diversa natura può essere modellato e risolto con i metodi propri della programmazione matematica, termine con cui si indica la ricerca di una soluzione ottimale mediante l uso di modelli matematici. Le applicazioni che essa trova nel mondo reale spaziano dalla finanza all agricoltura, dalla pianificazione della produzione industriale alla distribuzione di energia elettrica e allo studio delle reti. L approccio logico-risolutivo ai problemi decisionali tramite programmazione matematica è noto come approccio modellistico-ottimizzatorio, e preve- 27

32 28CAPITOLO 2. I MODELLI MATEMATICI PER IL SUPPORTO ALLE DECISIONI de due distinte ma integrate fasi di analisi al problema reale: 1. Rappresentazione tramite un modello matematico in grado di identificare i parametri e le variabili significative del problema, e le relazioni che intercorrono tra essi; 2. Utilizzo di algoritmi di soluzione per determinare una soluzione del problema e valutarne l ottimalità. La Figura 2.1 mostra tale processo in modo schematico. Figura 2.1: Dal problema alla soluzione.

33 2.1. L APPROCCIO MODELLISTICO-OTTIMIZZATORIO. 29 La prima fase del processo riguarda la definizione e l analisi del problema. In ambito industriale, in particolare per i sistemi di produzione, si tratta di comprendere la natura del problema e identificare le decisioni che si devono intraprendere in funzione del livello organizzativo cui afferisce il decisore, ma su questo si tornerà con più precisione nel Capitolo 3. Analizzato il problema, si identifica il modello decisionale di riferimento, individuando le strategie decisionali che sembrano più idonee, quindi i parametri significativi per il problema in questione, e le relazioni logico-funzionali che sussistono tra questi. Questa fase del processo analitico-risolutivo è molto importante e va eseguita con molta cura, perchè dalla definizione degli obiettivi e delle strategie mediante le quali raggiungerli dipende la consistenza del modello. Nella fase successiva si provvede alla formulazione matematica del modello, ovvero alla descrizione formalizzata mediante linguaggio algebrico dei parametri significativi e delle relazioni che tra essi sussistono. In particolare, i parametri caratteristci del problema saranno tradotti in variabili e le relazioni in vincoli. L utilizzo di tecniche risolutive, quali algoritmi, tecniche di simulazione o classiche tecniche analitiche, consentono di dedurre una soluzione (più frequentemente un insieme di soluzioni) per il problema. Questa fase del processo risolutivo è stata appositamente distinta dalla fase di analisi e studio della soluzione, perchè l utilizzo delle tecniche risolutive prevede una robusta analisi iniziale sulle caratteristiche della soluzione e degli obiettivi che si intendono raggiungere, al fine di selezionare la tecnica più idonea. Pertanto, si può affermare: non esiste una tecnica risolutiva migliore in assoluto, ma la bontà di una tecnica è funzione delle soluzioni e degli obiettivi che si intende perseguire, nonchè (ovviamente) della corretta implementazione delle precedenti fasi nel processo analitico-risolutivo. La successiva fase prevede la caratterizzazione delle soluzioni trovate, lo studio delle relative proprietà analitiche nonchè la analisi della stabilità di tali soluzioni al variare delle caratteristiche del problema. La fase di validazione ha infine una funzione rilevante, in quanto prevede:

34 30CAPITOLO 2. I MODELLI MATEMATICI PER IL SUPPORTO ALLE DECISIONI una analisi più approfondita della soluzione e della coerenza che questa presenta rispetto alla applicazione pratica per cui si è sviluppato il modello. Eventuali inammissibilità (pratiche e non analitiche) sono fondamentali per poter correggere il modello stesso; analisi della bontà del modello nel suo complesso: in funzione dei risultati ottenuti è importante chiedersi se il modello elaborato è effettivamente adeguato alla soluzione del problema in esame. Si noti infine come ogni fase del processo, seppur distinta, sia integrata con le altre, e come il controllo delle fasi permetta un feedback essenziale per il continuo miglioramento e sviluppo del modello logico-matematico. 2.2 La formulazione dei modelli. In termini molto generali un problema di programmazione matematica può essere formulato nel modo seguente: max f(a) st a A (2.1) dove A è l insieme finito o infinito delle alternative o azioni possibili, a è l alternativa generica e la funzione f(a) è la funzione obiettivo che esprime l utilità della alternativa a per il decisore. Il problema consiste quindi nel determinare un alternativa a ottima, per la quale cioè si abbia: f(a) f(a ) a A Si noti che l aver scritto max f(a) non è per nulla restrittivo in quanto un problema di minimizzazione può essere ricondotto ad uno di massimizzazione semplicemente cambiando il segno della funzione obiettivo (e naturalmente viceversa). Se il numero degli elementi dell insieme A è finito il problema è concettualmente banale: si tratta di esaminare tutte le alternative e selezionare la migliore. Dal punto di vista computazionale tuttavia questo modo di procedere che viene detto metodo esaustivo è utilizzabile solo quando il numero

35 2.2. LA FORMULAZIONE DEI MODELLI. 31 delle alternative è molto limitato. Nel caso contrario, quando cioè il numero delle alternative è elevato o infinito (in questo caso sorgono anche problemi di esistenza del massimo: a rigore l espressione max f(a) andrebbe sostituita con sup f(a) può tuttavia essere possibile determinare il massimo della f(a) in un tempo ragionevole sfruttando una qualche particolarità di A e di f(a), usando cioè qualche particolare metodo di ottimizzazione. Molto spesso la dimensione e la complessità del problema sono tali che, anche con l ausilio di un efficace metodo di ottimizzazione, non è possibile determinare con sicurezza la soluzione ottima del problema. In tal caso si fa ricorso ad un metodo euristico cioè ci si limita a cercare una buona soluzione del problema. Naturalmente può verificarsi il caso in cui la soluzione determinata attraverso il metodo euristico sia anche ottima, ma la natura stessa del metodo non fornisce garanzie in tal senso. La formulazione di un modello è un processo molto delicato, che richede di individuare gli aspetti più significativi del problema reale che siano anche facilmente formalizzabili in termini matematici. Tali operazioni non sono spesso riconducibili ad un procedimento sistematico, e dipendono fortemente dalla abilità e dalle conoscenze del decisore. Nelle sezioni che seguono, si indicheranno alcune regole di base per la formulazione di modelli matematici. Queste sono da ritenersi puramente indicative, e non costrittive, pur rappresentando un valido ausilio, o quantomeno un punto di riferimento, per chi intenda cimentarsi nella elaborazione di modelli per il supporto alle decisioni. Si noti che queste regole, pur essendo di carattere del tutto generale, sono orientate alla formulazione di modelli per l ottimizzazione dei sistemi di produzione, in accordo con il tema generale di questo testo Alcune convenzioni. Indici. Sono usati per numerare gli items (domande di prodotto, scenari, periodi, prodotti, stazioni lavorative). Si indicano con lettere in carattere minuscolo, di solito si parte da quelle che si trovano nel mezzo dell alfabeto (i, j, k). Parametri. Sono i valori che si assumono noti prima del momento di rife-

36 32CAPITOLO 2. I MODELLI MATEMATICI PER IL SUPPORTO ALLE DECISIONI rimento a cui si riferisce il problema, o che possono essere facilmente desumibili da altri parametri noti (i vettori di domanda, i costi, le probabilità, le distanze). Si indicano con lettere in carattere minuscolo, partendo da quelle prossime all inizio dell alfabeto (a, b, c). Variabili decisionali. Sono le informazioni che si vogliono conoscere tramite l implementazione del modello (localizzazione delle facilities, assegnamento, quantità di produzione ottima). Si indicano con lettere in carattere maiuscolo, di solito si usano quelle localizzate alla fine dell alfabeto (x, y, z). Funzioni obiettivo. Sono le funzioni che si vogliono ottimizzare (cioè minimizzare o massimizzare). Possono essere costituite anche da una sola variabile decisionale, ma più spesso si tratta di funzioni di un insieme di variabili decisionali Le 9 regole della formulazione. 1. Definire chiaramente tutti gli indici e gli insiemi. Ad esempio: I: l insieme dei prodotti, indicati con l indice i; K: l insieme dei possibili scenari, indicati con l indice k; T : l insieme degli intervalli temporali, indicati con t. 2. Definire distintamente e chiaramente gli indici e gli insiemi, i parametri e le variabili decisionali. 3. Nel descrivere i parametri e le variabili decisionali a parole, se un indice appare nella descrizione analitica, deve anche essere presente in quella verbale. Ad esempio, tra le due seguenti definizioni: - d ij = distanza tra il sito produttivo i e il cliente j; - d ij = distanza; solo la prima è corretta.

37 2.2. LA FORMULAZIONE DEI MODELLI Non lasciare indefiniti gli indici nella funzione obiettivo. Ad esempio, tra le due seguenti funzioni obiettivo: min i I j J h i d ij y ij min i I c ij x ij solo la prima è corretta. 5. Deve apparire almeno una variabile decisionale nella funzione obiettivo e in ciascun vincolo. Ad esempio nella seguente formulazione: min h i d ij y ij i I j J st d ij 0 la funzione obiettivo è scritta correttamente, mentre il vincolo potrebbe essere sbagliato se d ij fosse un valore di distanza in input, e non una variabile decisionale. 6. Assicurarsi che ogni variabile sia collegata in qualche modo con le altre. Se così non fosse, il problema risulterebbe separabile e con molta probabilità si avrebbe un errore. Ad esempio, nella formulazione: min h i z i st i I j J x j = P z i {0, 1}, x j {0, 1}, i I j J le variabili x e z non sono collegate fra loro. Ci sarebbe allora bisogno di un vincolo di collegamento addizionale, ad esempio del tipo: z i j J a ij x j 0, i I Si osservi, che la regola fornita non impone che ogni variabile sia collegata direttamente alle altre, situazione che potrebbe anche portare alla presenza di vincoli ridondanti, ma altresì richiede che gruppi di variabili collegate fra loro siano a loro volta collegati.

38 34CAPITOLO 2. I MODELLI MATEMATICI PER IL SUPPORTO ALLE DECISIONI 7. Se una variabile o una costante inclusa in un vincolo presenta qualche indice, allora deve avvenire una delle seguenti operazioni: Sommare su tutti i valori dell indice; Specificare per quali valori dell indice è applicato il vincolo; ma non avvenire le operazioni contemporaneamente. Ad esempio, il seguente vincolo: y ij = 1, j J i I è scritto correttamente, mentre il vincolo: h ik d ijk y ijk D, j J i I non è scritto correttamente, perchè non fornisce indicazioni sull uso dell indice k. 8. Cercare di formulare il problema linearmente (quando possibile!). Questo significa: Cercare di evitare moltiplicazioni tra le variabili decisionali, sia nella funzione obiettivo, che nei vincoli; Cercare di utilizzare variabili decisionali lineari; Evitare funzioni logaritmiche e trigonometriche; Cercare di essere creativi nelle trasformazioni delle variabili. 9. Disaggregare i vincoli, quando è possibile. Ad esempio in: y ij x j, i I, j J c è una effettiva disaggregazione dei vincoli, che non è presente invece in: y ij I x j, j J i I

39 Capitolo 3 Ottimizzazione dei sistemi di produzione. 3.1 Parametri strategici dei sistemi produttivi La struttura di un sistema produttivo è fortemente condizionata da tre variabili fondamentali: L interazione a monte con i fornitori. L interazione a valle con i clienti. Le caratteristiche del prodotto. Le prime due rappresentano l interazione del sistema produttivo con l esterno e generano un mutamento della struttura interna per un migliore interfacciamento con l ambiente. La terza rappresenta la specificità dell oggetto della produzione, attorno alla quale viene costruito il processo produttivo al fine del conseguimento della conformità del prodotto alle specifiche richieste. I parametri strategici della produzione sono le variabili interne sulle quali l impresa può operare per costruire un azione che generi all esterno un vantaggio competitivo nei confronti dei concorrenti. Nel 1984 Hayes e Wheelwright, e in seguito Gunn nel 1987, hanno proposto alcuni fattori chiave origine del vantaggio competitivo: 35

40 36 CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE. Capacità Produttiva; Livello di servizio; Livello Tecnologico; Grado di Integrazione; Forza Lavoro; Qualità; Pianificazione della produzione; Organizzazione; Flessibilità; Indice di rotazione delle scorte. Caratteristica fondamentale di questi parametri è quella di essere indicatori quantitativi, essendo possibile migliorare, quindi ottimizzare, la performance aziendale solo qualora questa sia misurabile (ricorda: si può migliorare solo ciò che è misurabile). 3.2 La gestione dei sistemi di produzione La decisioni prese al fine di ottimizzare la gestione dei sistemi di produzione svolgono un ruolo di primaria importanza. Solo individuando le strategie da adottare e pianificando le operazioni da effettuare, infatti si può riuscire a sopravvivere in un contesto competitivo come quello industriale. L attività di pianificazione delle azioni è naturale per l uomo, che costantemente si trova ad effettuare scelte cercando di prevederne gli effetti futuri. A meno che i decisori non abbiano, però, una idea abbastanza chiara su quale possa essere il futuro, non c è modo di formulare piani accurati. La motivazione è che molti fattori determinanti sull esito delle azioni future subiscono variazioni, più o meno apprezzabili. È il caso, ad esempio, di una

41 3.2. LA GESTIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE 37 industria manifatturiera che produce e commercializza dei prodotti con caratteristiche stagionali, la cui domanda varia notevolmente nel corso dell anno. Il problema che si pone il management dell azienda è: Si deve produrre ad un tasso costante, in modo da minimizzare il turnover lavorativo e stabilizzare il flusso di operazioni, o si deve produrre seguendo la fluttuazione stagionale della domanda per ridurre i costi di magazzino? Supponendo che si decida di seguire la fluttuazione della domanda, quali sono le azioni giuste da intraprendere in un ottica di lungo e medio periodo? Quale è il migliore approccio per schedulare le operazioni? È più conveniente produrre ogni parte del prodotto, o acquistare alcuni componenti di questo da terzi? A tutte queste domande si cerca di fornire una risposta accurata attraverso una mirata attività decisonale e di gestione. Più in dettaglio, la gestione delle aziende manifatturiere avviene attraverso l individuazione delle scelte che, secondo l orizzonte temporale in cui sono proiettate, e secondo il coinvolgimento dei diversi livelli aziendali, si possono suddividere in: Strategiche : sono le scelte effettuate al livello decisionale più alto. L obiettivo è determinare le strategie da intraprendere, quindi le caratteristiche del progetto che si intende realizzare. Tattiche : sono le scelte effettuate al livello decisionale intermedio, relative alla gestione della domanda e dei servizi. In questo livello tipicamente si pianifica il layout di impianto, la gestione di materiali, l allocazione delle risorse. Operative : sono le scelte effettuate al livello decisionale più interno, relative alla realizzazione fisica del prodotto. Tipicamente le decisioni coinvolgono la scelta del dimensionamento di impianto e lo scheduling della produzione.

42 38 CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE. Nel caso di organizzazioni complesse, quali sono ordinariamente i sistemi produttivi, però gli obiettivi strategici non possono essere raggiunti in modo immediato ma necessitano di essere tradotti in sotto-obiettivi sempre più operativi e dettagliati: formulazione di politiche aziendali, piani operativi, procedure e regole. Nel processo di gestione si possono perciò distinguere diversi livelli gerarchici: passando da un livello al successivo gli obiettivi superiori (decisioni strategiche) vengono frammentati in più sotto-obiettivi; decresce il grado di astrazione (astrazione dai particolari di realizzazione) e aumenta invece il carattere operativo e procedurale (passaggio dal che cosa al come). Ogni fase ha il compito di perseguire gli obiettivi del livello gerarchico superiore, avvalendosi degli strumenti forniti da quello inferiore. Gli obiettivi strategici sono strumenti ad ampio raggio d azione con un lontano orizzonte di previsione, mentre i piani, i programmi, e le procedure hanno un livello di dettaglio sempre più spinto. La gestione è, dunque, un processo dinamico che fa uso di livelli di astrazione e aggregazione differenti sia per semplificare la complessità del problema, sia per far fronte al diverso grado di informazioni disponibili lungo l asse temporale. Informazioni abbondanti sono disponibili solo nell immediata prossimità temporale degli eventi; mentre sono molto scarse al momento della formulazione delle strategie, a causa della distanza temporale che separa queste dal dal loro obiettivo. Il piano strategico è quello che dista maggiormente dal suo obiettivo e l ordine di grandezza tipico del suo orizzonte temporale è di 3-5 anni. Il soddisfacimento del piano passa attraverso la formulazione e il conseguimento dei diversi piani aziendali: piano delle vendite e del marketing, piano della ricerca e sviluppo, piano finanziario, piano della produzione. Per ognuno di essi si ha una ulteriore frammentazione; nel caso del piano di produzione si ha un piano aggregato (1 anno), un programma principale di produzione (Master Production Schedule, 3-6 mesi), un eventuale programma di assemblaggio (1 mese) e infine il controllo operativo (continuo). In funzione dei livelli di scelta tattici e operativi, in ogni fase della gestione si possono individuare tre momenti fondamentali:

43 3.3. IL RUOLO DEI MODELLI MATEMATICI. 39 La pianificazione. Per pianificazione si intende la funzione della gestione, il cui compito è di selezionare gli obiettivi di un organizzazione e stabilire le strategie, le politiche, le procedure, i programmi e i progetti necessari al loro raggiungimento. Più specificatamente per pianificazione della produzione si intende la funzione che definisce il livello complessivo di produzione. La programmazione. Compito della programmazione è la traduzione di un obiettivo in un piano, utilizzando gli strumenti a disposizione di un determinato livello gerarchico. La programmazione è dunque l attività che definisce che cosa deve essere effettuato, in che quantità, e in quali scadenze temporali. L attività di programmazione segue logicamente a quella di pianificazione perchè il suo scopo è rendere operativo un obiettivo di cui si conosce la realizzabilità. Il programma elaborato deve essere fattibile e il migliore tra le possibili alternative, in grado cioè di sfruttare al meglio le risorse assegnate. Il programma elaborato ad un determinato livello, oltre a rappresentare l output di una determinata fase, costituisce anche l input (gli obiettivi) del livello successivo. Il controllo. Lo scostamento tra programmi e realtà è inevitabile e occorre quindi inserire una fase di controllo che ha come scopo fornire le informazioni necessarie per dirigere le azioni di correzione. Il controllo avanzamento di produzione è la funzione di produzione che controlla l andamento delle attività in relazione al programma di produzione, evidenzia tempestivamente le divergenze gravi ed attua gli interventi indicati dalla direzione. 3.3 Il ruolo dei modelli matematici. I modelli matematici sono un strumento essenziale di ausilio per il supporto alle decisioni. I vantaggi dell utilizzo di tali modelli in ambito industriale sono molteplici: Durante la formulazione e l implementazione del modello la conoscenza che si ha del sistema aumenta considerevolmente: emergono proprietà strutturali del sistema che altrimenti non sarebbero evidenti;

44 40 CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE. Molti problemi possono essere risolti all ottimo, pur non presentando a prima vista degli elementi che guidino all individuazione della scelta migliore; Si possono effettuare delle simulazioni: si ha l opportunità di valutare gli effetti di un insieme di deciosioni, senza doverle costosamente implementare nella realtà; Sono presenti, tuttavia, anche dei potenziali svantaggi, di cui però è importante tener conto. Senza scendere nello specifico dei singoli casi, gli svantaggi che generalmente risultano più rilevanti nell adozione di modelli matematici sono: Non sempre i parametri che sono significativi per il problema da analizzare possono essere descritti appropriatamente con un formalismo matematico (si pensi ad esempio al costo sociale che genera la produzione di un certo tipo di prodotto in una certa zona); I dati introdotti nel modello potrebbero non essere coerenti con le specifiche richieste dal modello stesso: la risposta fornita potrebbe essere distorta. 3.4 La gestione dei flussi produttivi: le logiche push e pull Le tecniche di gestione dei flussi produttivi all interno dei sistemi di produzione sono tipicamente classificate secondo due logiche distinte in gestione di tipo pull e gestione di tipo push. Una gestione di tipo pull è caratterizzata dal fatto che l ingresso delle risorse materiali nel sistema è regolato da valle del processo produttivo (letteralmente pull significa tirare, e infatti l ingresso delle risorse è tirato dagli ordini di realizzazione). Una gestione di tipo push è invece caratterizzata dall anticipo dell ingresso di risorse materiali nel sistema allo scopo di garantire il tempo di consegna

45 3.4. LA GESTIONE DEI FLUSSI PRODUTTIVI: LE LOGICHE PUSH E PULL41 richiesto dal mercato; l avanzamento è regolato non sui fabbisogni a valle ma sulla base di previsioni di tali fabbisogni. Per capire, però, con precisione cosa si intende con sistemi produttivi di tipo push e di tipo pull, è necessario prima definire le caratteristiche temporali dei flussi produttivi, definendo dei parametri caratteristici: Production Time. La produzione manifatturiera può essere generalmente pensata come una successione di fasi di fabbricazione/approvvigionamento e assemblaggio, separate da eventuali buffers di scorte. Per ogni fase si può definire il tempo di attraversamento T A (lead time o throughput time). Il tempo di attraversamento di una fase di un processo produttivo è l intervallo di tempo che intercorre dal momento in cui sono disponibili i materiali/componenti in input, a quando è disponibile il componente/prodotto in output (il primo elemento del lotto). Il lead time di approvvigionamento viene definito invece come l intervallo di tempo che intercorre dal momento in cui viene ordinata la merce a quando essa è disponibile per la produzione. Si definisce quindi il Production Time come il tempo di attraversmento cumulativo di un prodotto, dal momento in cui vengono ordinate le materie prime, a quello in cui esse vengono trasformate in prodotto finito, passando attraverso le varie fasi del processo. Il Production Time è l orizzonte temporale minimo con il quale la produzione deve guardare al mercato finale determinando la lunghezza del piano principale di produzione Delivery Time. E il tempo di consegna, ovvero l intervallo di tempo compreso tra il momento in cui il cliente ordina un prodotto e il momento in cui vuole che questo prodotto gli venga consegnato. Il suo valore è generalmente fissato dal cliente o dal mercato ed è quindi un dato non modificabile dalla produzione. Il Delivery Time dipende strettamente dal tipo di business considerato. Nel caso di produzione per il magazzino, può risultare estremamente breve, dell ordine di poche ore, mentre nei casi di produzioni su commessa assume valori maggiori dello stesso Production Time. Nella maggior parte dei casi il Production Time è maggiore del Delivery Time, e sono neccessarie di

46 42 CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE. conseguenza delle previsioni per approvvigionare i materiali e realizzare le operazioni produttive. A questo punto si possono definire in maniera più dettagliata i sistemi di tipo push e pull. Un sistema produttivo si definirà di tipo push se presenterà un Production Time strettamente maggiore del Delivery Time, viceversa si dirà di tipo pull. In un sistema pull, pertanto, i materiali vengono tirati dentro al sistema dagli ordini presenti in portafoglio; ciò è possibile in quanto tali ordini coprono il tempo di attraversamento di produzione e approvvigionamento. Viceversa in un sistema push è necessario anticipare l ingresso dei materiali nel sistema e gli ordini di lavorazione perchè il tempo di attraversamento è più lungo dell orizzonte del portafoglio ordini. Sistemi pull puri sono molto rari nelle tipologie produttive manifatturiere e prevalgono invece le situazioni in cui il portafoglio ordini è completato da previsioni di vendita, almeno nella parte iniziale. L inconveniente maggiore per tali sistemi, infatti, risulta il Delivery Time a volte troppo elevato. Un sistema di tipo pull è governato interamente da ordini e dunque sembra non necessitare di previsioni. Ciò in realtà non è vero, perchè oltre alle risorse materiali si devono considerare gli impianti e la forza lavoro, ovvero le risorse che definiscono la capacità produttiva di un processo manifatturiero, che devono essere approvvigionate con l anticipo sufficiente a renderle disponibili al momento dell utilizzo. Il principale inconveniente dei sistemi push è legato alle eventuali variazioni del piano di produzione: se esso cambia, i materiali che sono stati già lavorati risultano non più necessari e devono quindi essere messi a magazzino in attesa di un loro eventuale futuro utilizzo. Si osservi infine che la realtà è costituita nella maggioranza dei casi da sistemi misti push-pull. Per ovviare infatti agli inconvenienti della gestione in una logica piuttosto che nell altra, si possono gestire i materiali in logica pull sino ad una determinata posizione del flusso produttivo, e mantenere la logica push nelle precedenti fasi. In particolare, essendo per definizione un sistema pull quello in cui il Delivery Time è maggiore del Production Time, si possono gestire pull le fasi terminali del processo, e realizzare in un ottica push i semilavorati attraverso le prime fasi del processo. Si definisce cerniera

47 3.4. LA GESTIONE DEI FLUSSI PRODUTTIVI: LE LOGICHE PUSH E PULL43 il punto di collegamento che segna la transizione tra le due logiche nel flusso produttivo. La cerniera funziona da elemento di disaccoppiamento delle fasi gestite pull da quelle gestite push, e pertanto è costituita da un buffer (magazzino) di semilavorati opportunamente dimensionato. Si possono individuare due dimensioni per localizzare la cerniera lungo il processo produttivo: T A del processo produttivo. E necessario collocare la cerniera nell istante pari alla differenza tra il Production Time e il Delivery Time. Se fosse più a monte non permetterebbe il rispetto dei tempi di consegna; se fosse più a valle non sfrutterebbe al meglio le potenzialità del sistema. Volume e gamma di prodotto. Nella pratica in funzione della struttura di prodotto si possono individuare 3 forme di riferimento: A cono: caratterizzata da molti componenti in entrata al processo (materie prime) e pochi articoli in uscita (prodotti finiti), ad esempio il cantiere navale. A cono rovesciato: caratterizzata da pochi articoli in entrata e molti in uscita, ad esempio la cartiera. A coni affacciati: si ha una diminuzione degli articoli in una posizione intermedia all interno del flusso produttivo, ad esempio l industria automobilistica.

48 44 CAPITOLO 3. OTTIMIZZAZIONE DEI SISTEMI DI PRODUZIONE. Figura 3.1: Sistemi misti.

49 Capitolo 4 La linea di produzione Una linea di produzione è un sistema produttivo caratterizzato dalla sequenzialità delle operazioni che si svolgono per la realizzazione delle unità finite. Nella sezione successiva daremo le definizioni dei parametri di base che giocano un ruolo determinante nella valutazione delle prestazioni di tali sistemi. Nella Sezione 4.2 introdurremo il dimensionamento di una linea di produzione come problematica fondamentale nella scelta del numero di stazioni di lavoro in cui la linea deve essere suddivisa. La trattazione prevederà l introduzione di vincoli che risulteranno caratteristici di un processo produttivo in linea e delle variabili decisionali che gestiscono tale problematica. Questi due ingredienti daranno origine alla formulazione matematica del problema del minimo numero di stazioni lavorative. Nella Sezione 4.4 si affronterà un problema successivo a quello della scelta delle stazioni lavorative, ovvero il bilanciamento dei carichi di lavoro delle stazioni di una linea, che porterà alla definizione di coefficienti quali l inattività della linea e l efficienza della linea stessa. A partire da questo problema, nella sezione successiva, daremo spazio a come si possa passare da un formato di un problema decisionale ad un altro, problematica che nei sistemi manifatturieri trova molta applicabilità. 45

50 46 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE 4.1 Il carico lavorativo, il tasso di produzione, le relazioni di incompatibilità Una linea di produzione è formata da una sequenza di stazioni lavorative all interno delle quali si svolgono le operazioni necessarie per la realizzazione fisica del prodotto. Definiamo come carico di lavoro di una stazione il tempo in cui essa è in lavorazione durante un ciclo, ovvero per la realizzazione di una unità di prodotto. Una volta che abbiamo associato ad ogni stazione un carico, possiamo individuare la stazione più lenta del processo produttivo come la stazione a cui corrisponde il carico massimo. L importanza di quest ultimo parametro sta nella definizione del tasso di produzione (o production rate) della linea, dato proprio dal reciproco di tale valore. Per esempio se il carico massimo è pari a 10 ore per pezzo il tasso di produzione è pari banalmente a 1 pezzo ogni 10 ore. Infine definiamo una relazione di precedenza tra due operazioni (k, k ), che indichiamo con k k, il vincolo che non consente di cominciare il processamento di k se prima non sia terminato quello di k. 4.2 Dimensionamento di una linea Il problema del dimensionamento di una linea di produzione è fondamentalmente legato alla ricerca del numero minimo di stazioni lavorative da attivare in linea. Il problema è il seguente: Dati: un insieme di lavorazioni che la linea è incaricata di effettuare per la realizzazione di una unità di prodotto finito; i rispettivi tempi di processamento delle suddette operazioni; le specifiche di produzione; un insieme A di coppie di operazioni legate da relazioni di precedenza. Trova: un assegnamento delle operazioni a stazioni di lavoro. Tale che: siano verificate le specifiche di produzione, i vincoli di incompatibilità tra coppie di operazioni siano rispettati e sia minimo il numero di stazioni attivate. Supponiamo che le precedenze tra le operazioni siano rappresentabili tramite un grafo delle precedenze G(V, A), in cui all insieme dei vertici V sia-

51 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 47 no associate le operazioni, e gli archi orientati dell insieme A indichino le precedenze dirette tra le operazioni stesse. Introduciamo una variabile decisionale binaria x ij che assume valore 1 se l operazione i viene assegnata alla stazione j e assume valore 0 altrimenti, e analizziamo vincoli ed obiettivi. La natura di una linea suggerisce una prima osservazione e cioè che ogni operazione deve essere assegnata ad una unica stazione lavorativa. Questo vincolo si può tradurre in termini di programmazione matematica come segue: T j=1 x ij = 1 i T (4.1) ovvero, fissata un operazione i, la variabile x ij deve valere 1 (e quindi i deve essere assegnata) in corrispondenza di una ed una sola stazione lavorativa j. Il lettore può notare la scelta fatta di considerare per ipotesi che esistano al più T stazioni lavorative da attivare, una per ognuna delle operazioni. Questa scelta è fatta (come si può intuire dalla lettura dei vincoli) per dare un limite alla valutazione delle sommatorie e al numero di vincoli che si riferiscono alle stazioni stesse. Avendo definito il carico di una stazione lavorativa j come il tempo che j impiega ad eseguire le operazioni che le sono state assegnate, si può scrivere un secondo vincolo di assegnamento come segue: T i=1 x ij d i = C j j = 1,..., T (4.2) ovvero la somma delle durate delle operazione associate a j eguaglia il suo carico (notate come in questo caso sia cambiato l indice della sommatoria da j ad i). Dopo aver delineato i vincoli di assegnamento, possiamo definire i vincoli sulle specifiche si produzione. Indichiamo con c.m.t., carico massimo teorico, il parametro che definisce il tempo limite massimo che la stazione più lenta (ovvero quella più carica) può aver associato affinchè siano verificate le specifiche di produzione. Facciamo un esempio: immaginiamo che uno studio della domanda sul nostro prodotto indichi che il mercato è in grado di assorbire

52 48 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE una produzione di circa 1000 unità all anno. Tale valore viene trasferito allo stabilimento di produzione dove i progettisti stanno realizzando la linea. Il parametro c.m.t. è ottenibile facilmente dalla trasformazione delle specifiche di produzione (1000 unità l anno) come segue: 356 giorni anno 1000 pezzi anno = 8 ore pezzi. Una volta calcolato c.m.t. si può facilmente scrivere il vincolo sul rispetto delle specifiche di produzione: C j c.m.t. j = 1,..., T (4.3) ovvero il carico C j assegnato ad ogni stazione j deve essere non superiore al carico massimo teorico c.m.t.. Passiamo ora ai vincoli di precedenza tra operazioni. Come detto nella definizione del problema in esame, sia A l insieme delle coppie di operazioni legate da vincoli di precedenza, ovvero: A := {(k, k ) : k k, k, k T }. Per ogni coppia (k, k ) A si deve scrivere una relazione secondo cui l operazione k deve essere assegnata ad una stazione che non sia a monte di quella a cui è stata assegnata k. La relazione che cerchiamo è la seguente: j x k j x kj j = 1,..., T, (k, k ) A (4.4) j =1 Analizziamo la correttezza del vincolo, con l ausilio della Figura 4.1. Sia (k, k ) A. Se l operazione k è stata assegnata alla stazione 3 (x k 3 = 1), affinchè sia verificato il vincolo di precedenza tra (k, k ) deve necessariamente verificarsi che l operazione k sia stata assegnata ad una qualunque delle stazioni precedenti o al limite alla stazione 3 stessa. Dato il vincolo (1) questo corrisponde alla scrittura di un or ovvero al verificarsi della seguente situazione: o k è assegnato alla stazione 1, o k è assegnato alla stazione 2, o k è assegnato alla stazione 3. Questo si traduce in 3 j =1 x kj = 1. Si può facilmente verificare che la relazione (4) soddisfa tale requisito: infatti, se il termine di sinistra della disuguaglianza vale 1, necessariamente anche il

53 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 49 Figura 4.1: Relazione di precedenza. termine a destra dovrà valere 1 (1 non può essere minore od uguale a zero). Nel caso in cui il primo termine sia uguale a zero, ovvero nel caso in cui k non sia stata assegnata alla stazione j, allora il termine di destra potrà (come prevede la disuguaglianza) valere sia 0 che 1, ovvero l operazione k potrà o meno essere stata assegnata nelle stazione a monte di j. Definiti anche i vincoli sulle relazioni di precedenza, possiamo passare alla definizione della funzione obiettivo. Come specificato, il nostro obiettivo sta nella minimizzazione del numero di stazioni da attivare. Per raggiungere questo obiettivo, possiamo pensare ad una funzione di costo fittizia c ij associata all assegnamento di un task i ad una stazione j (se vogliamo il minor numero di stazioni, dobbiamo assegnare più task possibili alle prime stazioni). Per forzare l apertura del minor numero possibile di stazioni, progettiamo una funzione di costo con una struttura tale per cui il costo aumenta all aumentare del numero di stazioni utilizzate. Una configurazione possibile è la seguente: c ij = c j, i T T c j c j+1, j = 1,..., T ovvero, il costo di associare una operazione ad una stazione non dipende dal tipo di operazione, ma dal numero di stazioni attivate. I vincoli sono tali

54 50 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE per cui risulta più economico attivare il minimo numero di stazioni. Con tale funzione di costo, la funzione obiettivo può scriversi nella forma: T T Min c ij x ij i=1 j=1 Una formulazione alternativa, che non tenga conto del costo associato all apertura di una stazione, ma solo del numero minimo di stazioni da attivare è la seguente. Introduciamo una variabile decisionale y j che assume valore 1 se la stazione j viene attivata e assume valore zero altrimenti. La funzione obiettivo si può facilmente scrivere come segue: T y j j=1 Min A questo punto, però, l introduzione di una nuova variabile (nella formulazione precedente si costruiva solo una funzione di costo assegnando delle costanti c ij ), ci obbliga a trovare una relazione che leghi la variabile decisionale x ij con la y j. Infatti, se non lo facessimo, la soluzione ottima sarebbe zero, in quanto tutte le y j si disporrebbero a zero senza violare nessun vincolo. Per poter definire tale relazione è sufficiente imporre che, qualora venga assegnata alla stazione j una qualunque operazione i, la stazione j debba essere attivata, ovvero y j = 1. In termini matematici: x ij y j i T, j = 1,..., T (4.5) Infatti, se x ij vale 1 in corrispondenza di una certa operazione i e stazione j, y j varrà necessariamente 1, non potendo essere 1 0. Nel caso in cui x ij = 0, si può verificare che y j = 1 (un altra operazione attiverà j) o y j = 0 (nessuna altra operazione attiverà j). Riepiloghiamo quindi la formulazione generale del problema di dimensionamento di una linea di produzione:

55 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 51 Min s.t. T y j j=1 T j=1 T i=1 x ij = 1 i T x ij d i = C j j = 1,..., T C j c.m.t. j T j x k j x kj j =1 j = 1,..., T, (k, k ) A x ij y j i T, j = 1,..., T x ij {0, 1} i T, j = 1,..., T y j {0, 1} j = 1,..., T Stime sul numero minimo di stazioni In un problema di minimizzazione possiamo trovare una sovrastima al problema, semplicemente calcolando una soluzione ammissibile. In altre parole, se utilizziamo una tecnica euristica otteniamo un valore che è maggiore od al limite uguale alla soluzione ottima (che indichiamo con N ) data dal modello di programmazione lineare a numeri interi presentato nella precedente sezione. Una sottostima invece, può essere calcolata rilassando uno o più vincoli nel modello e calcolando poi la soluzione ottima della funzione obiettivo sui vincoli rimanenti. Di seguito diamo due sottostime di N. Sia T O = T i=1 d i il tempo delle operazioni, ovvero la somma delle durate di tutte le operazione che costituiscono il processo. Una sottostima sul numero minimo di stazioni produttive è data dal seguente valore LB1 N : LB1 N = T O. c.m.t.

56 52 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE In sostanza è come se cercassimo di saturare ogni stazione con il carico massimo teorico consentito c.m.t., essendo T O il tempo complessivo da distribuire. La parte intera superiore è conseguenza del fatto che anche una frazione di c.m.t. implica l apertura di una stazione lavorativa. Se volessimo ricondurre tale valore alla soluzione ottima di un rilassamento del programma precedente, otterremmo il seguente rilassamento: Min T y j j=1 s.t. T j=1 T i=1 x ij = 1 i T x ij d i = C j j = 1,..., T C j c.m.t. j T x ij y j i T, j = 1,..., T x ij [0,..., 1] i T, j = 1,..., T y j {0, 1} j = 1,..., T Come si può notare sono stati rilassati due vincoli. Il primo, quello sulle relazioni di precedenza, è stato completamente eliminato, mentre il secondo, ovvero quello sulla interezza della variabile x ij, è stato sostituito da una relazione più debole data da x ij [0,..., 1]. Infatti, la sottostima LB N ammette che un operazione i possa essere assegnata in più stazioni come quota del suo ammontare d i, essendo tale quota proprio x ij d i. Così il vincolo T j=1 x ij = 1 assumerà un diverso significato rispetto a prima: le somme delle quote di i che sono assegnate a stazioni diverse devono essere pari ad uno, ovvero la somma dei suoi contributi deve restituire il totale ammontare d i Complessità del problema La formulazione matematica fornita al problema di dimensionamento di una linea di produzione è della classe di programmazione a numeri interi (integer

57 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 53 programming). I problemi appartenenti a tale classe sono riconosciuti come problemi difficili, essendo nella loro generalità appartenenti alla categoria dei problemi N P -completi. Tuttavia, non è detto che una particolare formulazione di un problema attraverso la programmazione a numeri interi non risulti poi di facile risoluzione, o per alcune specifiche istanze, o per alcune particolari proprietà strutturali del problema. Per mostrare come il problema di dimensionamento di una linea sia in effetti difficile, consideriamo un caso speciale del problema in cui non vi siano relazioni di precedenza tra i task. Il problema allora si riduce a inserire il maggior numero di task nel minor numero di stazioni, in qualsiasi ordine questo venga fatto, e pertanto è riconducibile al ben noto problema di bin packing, che risulta essere NP -Hard. Pertanto, anche il problema del dimensionamento di una linea appartiene a detta categoria. Infatti, anche se non è da escludere del tutto che possa esistere una formulazione più semplice, il problema è comunque riconducibile ad un problema N P -Hard. Inoltre, i problemi di questa categoria sono collegati fra loro in modo tale che, se fosse possibile trovare un metodo di soluzione facile per uno di essi, allora sarebbe possibile trovarli per tutti gli altri, e tale metodo non è mai stato individuato in molti anni di ricerca su molti differenti problemi. La difficoltà del problema giustifica quindi l utilizzo di algoritmi euristici, come l RPWT o la COMSOAL descritte nei successivi paragrafi, per la ricerca di una soluzione. Brevemente, si ricorda che il termine euristica, dal greco euristikein = scoprire, indica un metodo (algoritmico) per la ricerca di soluzioni ammissibili (non necessariamente ottime!) di un problema di ottimizzazione. In genere le tecniche euristiche si basano su una procedura che prevede i seguenti passi logici: Assegna ad ogni task un peso Aggiorna l insieme dei task ammissibili (ovvero quelli i cui predecessori sono stati tutti già assegnati)

58 54 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE Assegna alla prima stazione disponibile il task ammisibile a cui corrisponde il peso maggiore senza violare la capacità massima della stazione stessa ed i vincoli di precedenza. Il terzo passo, che prevede una logica di tipo first fit, può prevedere una logica di tipo next fit. In quest ultimo caso, il task o viene assegnato alla stazione corrente se soddisfa i vincoli di capacità o alla successiva stazione vuota L euristica RPWT Attraverso un esempio di dimensionamento, si illustra di seguito l euristica RPWT. Esempio. Si vuole progettare una nuova linea per l assemblaggio di computer. Questo lavoro richiede l esecuzione di 14 operazioni legate tra loro da vincoli di precedenza. Le durate delle operazioni e i vincoli di precedenza tra esse sono: Operazione Tempo richiesto (sec) Operazioni precedenti A 55 - B 30 A C 50 A D 42 A E 20 - F 25 - G 45 A,E,F H 60 B,C,D,G I 36 H J 42 H K 30 H L 40 J M 36 J N 40 I,K,L,M

59 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 55 La linea di assemblaggio deve produrre 300 computer al giorno, ed è operante per 420 minuti ogni giorno. Il c.m.t. è di 84 secondi. Infatti, 420min 60sec dà il massimo tempo che si 300computer può impiegare per assemblare un prodotto. Dunque, non più di 84 secondi di lavorazione devono essere impiegati da ogni stazione di lavoro. Poichè, inoltre, T O = 551 secondi, il numero teorico di stazioni di lavorazione necessarie è dato da 551 = 6, 56 = Questo risultato rappresenta un lower bound, cioè un limite inferiore, sul numero di stazioni necessarie per realizzare la linea. Un metodo per trovare una soluzione ammissibile al problema è quello di rappresentare i vincoli di precedenza mediante un grafo orientato, e partendo dalle radici della foresta così ottenuta, assegnare ad ogni stazione di lavorazione richiesta il massimo lavoro possibile. L idea è alla base dell algoritmo euristico RPWT (Ranked Positional Weight Technique). L euristica procede nella seguente maniera: Step 1. Si costruisce il grafo delle precedenze tra le operazioni. Step 2. Per ogni operazione i si determina l insieme S i delle operazioni che la seguono, direttamente o indirettamente. Step 3. Per ogni operazione i si calcola il peso posizionale, dato dalla somma dei tempi di quella operazione e di quelle che appartengono a S i : P W i = d i + k S i d k Step 4. Si sceglie l operazione con il peso posizionale più alto e la si assegna alla prima stazione di lavoro. Step 5. Si sceglie l operazione con il successivo peso più alto e la si assegna alla prima stazione di lavoro j ammissibile (quella per cui la somma

60 56 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE dei tempi delle operazioni ad essa assegnati non superi la sua capacità C j ); se tale stazione non esiste, bisogna crearne una nuova. Step 6. Si ripete lo Step 5 fino a che tutte le operazioni siano state assegnate. Dal calcolo dei pesi posizionali si hanno i valori in tabella. Operazione Tempo richiesto (sec) Peso posizionale (sec) A B C D E F G H I J K L M N Si sceglie prima l operazione A, avente il peso posizionale maggiore, e lo si assegna alla stazione 1; si sceglie poi l operazione F, avente il successivo peso posizionale maggiore, e lo si assegna alla stazione 1. La successiva operazione da scegliere è E e la si assegna alla stazione 2 in quanto la somma dei tempi di A, F, E è maggiore della capacità di 1. Continuando il procedimento, si ottiene l assegnamento riportato in tabella all inizio della pagina seguente. La soluzione trovata richiede l impiego di 8 stazioni di lavoro. Il collo di bottiglia della linea è rappresentato dalla stazione più carica, ossia la 6, e quindi il tempo di ciclo del sistema è dato dal tempo impiegato su questa stazione, vale a dire 82 sec.

61 4.2. DIMENSIONAMENTO DI UNA LINEA 57 Operazione Stazione di lavoro assegnata A 1 F 1 E 2 C 2 G 3 D 4 B 4 H 5 J 6 L 6 I 7 M 7 K 8 N 8 Si noti, infine, come allo Step 5 dell euristica non sia stato necessario specificare di scegliere il task con peso posizionale massimo tra quelli i cui predecessori siano già stati assegnati, come logicamente imporrebbe l esistenza di precedenze tra le operazioni, in quanto la struttura analitica di calcolo indicata allo Step 3 assicura il rispetto di tale condizione (il P W di un task è almeno uguale a quello dei suoi successori) L euristica COMSOAL Sebbene l euristica RPWT sia un modo per trovare delle soluzioni ammissibili ragionevolmente buone, la soluzione trovata è unica, e spesso, dovendosi considerare criteri di ottimizzazione che non richiedano necessariamente solo il minimo numero di stazioni, risulta veramente importante ottenere un insieme di soluzioni. Un modo per ottenere questo risultato consiste nell utilizzare un algoritmo randomizzato. Tramite un algoritmo di questo tipo, si possono generare

62 58 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE molte soluzioni ammissibili selezionando di volta in volta i task disponibili in maniera random, e non scegliendo il task che risulti migliore secondo un certo criterio. L euristica COMSOAL (COmputerized Method for Sequencing Operations on Assembly Lines) utilizza questa strategia di ricerca. Ad ogni iterazione dell algoritmo viene determinato l insieme di tutti i task che potrebbero essere assegnati ad una stazione j senza violare il vincolo imposto dal carico C j di questa. Un task viene quindi scelto in maniera random, essendo ad ognuno dei task associata la medesima probabilità di selezione. L algoritmo euristico opera nel seguente modo: Step 1. Si costruisce il grafo delle precedenze tra le operazioni. Step 2. Per ogni operazione i si determina l insieme P i delle operazioni che la precedono, direttamente o indirettamente. Step 3. Si associa ad ogni operazione la stessa probabilità di scelta. Step 4. Si sceglie random una operazione e la si assegna alla prima stazione. Step 5. Si determina l insieme F j delle operazioni k tali per cui ogni operazione in P k sia già stata assegnata, e tali da poter essere associate alla corrente stazione j senza violare il vincolo sul carico C j consentito. Si seleziona in maniera random una operazione da F j e la si assegna alla stazione j; se F j è vuoto, si apre un altra stazione. Step 6. Si ripete lo Step 5 fino a che tutte le operazioni siano state assegnate. L euristica viene ripetuta un certo numero di volte, ed ogni soluzione trovata viene comparata con quelle trovate precedentemente. Il numero di ripetizioni da effettuare dipende dal decisore. Si noti che la stessa soluzione può essere ottenuta più di una volta. Infine si noti che l euristica potrebbe essere modificata per evitare che la scelta delle operazioni sia puramente random, in modo da essere guidata verso la determinazione di una buona soluzione. Ad esempio, tenendo in considerazione il fatto che l euristica RPWT produce delle buone soluzioni, ad ogni iterazione dell algoritmo si potrebbe

63 4.3. ALCUNE NOTE PRATICHE IN MERITO ALLA NATURA STOCASTICA DELLE DURATE DE associare alla generica operazione i F j la probabilità di selezione: P W i k F j P W k Oppure, utilizzando dei metodi euristici tipici dei problemi di bin packing, per cui è meglio selezionare i task con maggiore tempo di durata, si potrebbe associare la probabilità di selezione: d i k F j d k 4.3 Alcune note pratiche in merito alla natura stocastica delle durate dei lavori Assumiamo che il tempo di processamento di una generica operazione i sia una variabile aleatoria t i e sia nota una varianza σi 2 per essa. Sia inoltre σ ij la covarianza tra le durate dei task i e j. Assuminamo dapprima che i tempi di processamento dei task siano indipendenti, cosa che implica che σ ij = 0. Sia S k l insieme dei task assegnati alla stazione k. Sia inoltre s k la variabile casuale associata al tempo richiesto dalla stazione k per processare i task ad essa assegnati in un ciclo produttivo. Sappiamo che il suo valore atteso E(s k ) = i S k t i e la sua varianza V (s k ) = i S k σi 2. Se si assume che t i ed s k siano variabili normali e che ciascuna stazione abbia task sufficienti affinchè valga il teorema del limite centrale, allora le s k sono distribuite normalmente. Un approccio possibile potrebbe essere quello di considerare una probabilità del 99% di completare i task assegnati ad ogni ciclo. Una tabella relativa ad una distribuzione normale ci direbbe quindi che, nel soddisfare il vincolo sul carico massimo delle stazioni di lavorazioni, dobbiamo considerare oltre al tempo medio un tempo aggiuntivo pari a 2.33 deviazioni standard. Quindi il vincolo da soddisfare nell assegnamento dei task ad una stazione di lavoro k è il seguente: E(s k ) V (s k ) 1/2 C Va notato che la probabilità che il sistema completi le operazioni in tempo è pari a 0.99 m, dove m è il numero di stazioni di lavorazione. Quindi

64 60 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE per linee di produzione lunghe bisogna prevedere un tempo di slack maggiore. Assumiamo ora che i task non siano indipendenti. Ad esempio se i tempi di processamento all interno di una stazione di lavorazione sono affetti dall abilità degli operai che sono ad essa assegnati all interno si può immaginare che esista una correlazione positiva tra la durate dei vari task. Al contrario si può immaginare che esista una correlazione negativa dal momento in cui gli operai accelerano le lavorazioni quando stanno sotto scadenza. In presenza di covarianza non nulla si avrà quindi E(s k ) = i S k t i, V (s k ) = i S k σ 2 i + 2 {(i,j):i,j S k } σ ij. 4.4 Bilanciamento dei carichi in una linea di produzione Una volta stabilito il numero di stazioni lavorative relative al processo produttivo in linea, ci poniamo un problema immediatamente successivo in termini di importanza, ovvero il problema del bilanciamento dei carichi delle stazioni di una linea di produzione. Sia N N il numero di stazioni attivate, che soddisfi comunque i vincoli di cui nella Sezione 4.2. Definiamo il carico medio µ di una linea di produzione come segue: µ = T O N = Nj=1 C j N, ovvero la media matematica sul numero di stazioni attivate del parametro T O. Definiamo inoltre il concetto di sbilanciamento SB j di una stazione j come lo scostamento del suo carico C j dal suo valore medio, ovvero: SB j = C j µ. Analogamente si definisce sbilanciamento di una linea: N SB linea = SB j, j=1 ovvero la somma degli sbilanciamenti delle singole stazioni. A questo punto si può parlare di bilanciamento di una linea come una ripartizione dei

65 4.4. BILANCIAMENTO DEI CARICHI IN UNA LINEA DI PRODUZIONE61 carichi di lavoro più omogenea possibile, al limite (se questo è possibile) esattamente uguali gli uni agli altri, ovvero: C j = µ j = 1,..., N. In quest ultimo caso particolare parleremo di bilanciamento perfetto. In questa sezione ci occuperemo di formulare il problema del bilanciamento dei carichi in una linea di produzione. In questo caso, la funzione obiettivo sarà immediatamente ottenibile dalle definizioni sopra date, e cioè: N Min C j µ = SB linea. j=1 Nel caso in cui esistesse un bilanciamento perfetto avremo un minimo pari a zero. Il modello matematico nella definizione dei vincoli rimane a questo punto molto simile a quello visto nella Sezione 4.2, semplificato dal fatto che abbiamo una sola variabile decisionale. Ovvero: Min N C j µ = SB linea j=1 s.t. N x ij = 1 j=1 T i=1 x ij d i = C j i T j = 1,..., N (4.6) j x k j x kj j =1 j = 1,..., N, (k, k ) A x ij {0, 1} i T, j = 1,..., N Si può notare che la funzione obiettivo è non lineare dato che contiene un modulo. Possiamo ovviare a questo problema, utilizzando una variabile decisionale di supporto. Infatti, definendo z j = C j µ,

66 62 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE l obiettivo diventa: N N Min C j µ = z j. j=1 j=1 Ora dobbiamo legare la nuova variabile ai vincoli. Per fare questo, sfruttiamo un passaggio intermedio e supponiamo che: z j C j µ. Questo vincolo è facilmente linearizzabile da questa coppia di vincoli: z j C j µ, z j µ C j. A questo punto, facendo attenzione al fatto che stiamo minizzando z j, andremo sempre a prendere il valore per cui z j = C j µ. Quindi i due vincoli sopra riportati con l obiettivo modificato sono esattamente gli oggetti che cercavamo, vale a dire quelli che rendono in forma lineare la funzione Min N j=1 C j µ. Si può notare come non abbiamo volutamente inserito il vincolo sul soddisfacimento delle specifiche di produzione. Infatti la funzione obiettivo del problema garantisce l implicito soddisfacimento di tale vincolo. Infatti, bilanciare i carichi delle stazioni lavorative implica in qualche modo che si spostino delle operazioni da stazioni più cariche verso stazioni meno cariche, nel tentativo di ridistribuire i tempi di lavorazione. Questo tentativo implica a sua volta in modo implicito la riduzione del carico massimo di lavorazione della linea. Risulta chiaro allora che così non rischieremo mai di superare il c.m.t., visto che stiamo muovendo le soluzioni in senso esattamente opposto. Si noti quindi che la formulazione di cui sopra può anche essere riscritta in questi altri termini:

67 4.4. BILANCIAMENTO DEI CARICHI IN UNA LINEA DI PRODUZIONE63 Min C max s.t. C max C j j = 1,..., N N x ij = 1 j=1 T i=1 x ij d i = C j j x k j x kj j =1 x ij {0, 1} i T j = 1,..., N j = 1,..., N, (k, k ) A i T, j = 1,..., N (4.7) La differenza sostanziale tra l utilizzo della prima e di quest ultima formulazione consiste esclusivamente nel fatto che, se esiste un bilanciamento perfetto della linea, ambedue le formulazioni troveranno questa soluzione; viceversa, potrebbero restituire soluzioni non perfettamente identiche, anche se mai eccessivamente discordanti Trade-off tra dimensionamento e bilanciamento L obiettivo di dimensionamento di una linea di produzione non è in generale ottenibile utilizzando un obiettivo di minimizzazione del carico massimo su di un numero T di stazione lavorative. Questo è intuibile dal fatto che più stazioni si hanno a disposizione e più ne verranno utilizzate dato che questo comporta un minor carico di lavoro per le stazioni e quindi un conseguente riduzione del carico massimo. Il caso limite delle T stazioni è quello a cui corrisponde il minor carico possibile per stazioni attivate, dato che il carico massimo coinciderebbe con la massima durata delle operazioni e non può essere più piccolo di questo valore. Dall altra parte meno sono le stazioni lavorative attivate e più queste saranno cariche, fino ad arrivare al caso limite di avere un unica stazione che rappresenta il massimo carico assoluto che si può avere, e che corrisponde al tempo delle operazioni T O.

68 64 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE 4.5 Rappresentazione e soluzione di un problema di bilanciamento Un problema di bilanciamento può essere rappresentato e risolto come segue. 1 2 d1=2, d2=3, d3=5 Figura 4.2: Bilanciamento di una linea. Supponiamo di avere tre operazioni di durata rispettivamente d 1 = 2, d 2 = 3 e d 3 = 5, da assegnare a due stazioni lavorative, e supponiamo che il grafo delle precedenze sia una catena (1 precede 2, 2 precede 3). Si costruisce un grafo avente due livelli, uno per ogni stazione lavorativa, e ciascun livello è formato da un numero di nodi pari al numero di sottoinsiemi ammissibili (che rispettano le precedenze) dell insieme delle operazioni. Nel nostro caso sono sei: {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, {2}, {2, 3}, {3}, e sono rispettivamente rappresetati dai nodi riportati in figura. Si introducono poi due nodi fittizi (una supersorgente e un superpozzo). La supersorgente è legata a tutti i nodi che

69 4.5. RAPPRESENTAZIONE E SOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI BILANCIAMENTO65 hanno come operazione più piccola 1, e il superpozzo è raggiunto da tutti i nodi dell ultimo livello che hanno come operazione più grande 3 (ovvero l ultima della catena). A questo punto esiste un arco tra un nodo di un livello i e un livello i + 1 se e solo se, chiamata h l operazione più grande del nodo nel livello i, il nodo nel livello i + 1 ha come operazione più piccola h + 1. Ogni arco viene pesato con un valore pari a C j µ, dove C j si riferisce al carico della stazione a cui appartiene il nodo puntato dall arco ed è ottenuto dalla somma delle operazioni rappresentate da quel nodo. Nel caso in esame, l arco che parte dalla supersorgente e punta vetrso il nodo del primo livello più in alto, ha un peso pari a 2 5 = 3, dove 2 è la somma dei tempi associati alle operazioni rappresentate dal nodo puntato e cioè l operazione 1 (d 1 = 2), mente 5 è il carico medio (µ = = 5). Inoltre, ogni arco che 2 parte da un nodo nell ultimo livello verso il superpozzo ha peso nullo. Sul grafo così costruito è sufficiente calcolare il cammino minimo dalla supersorgente al superpozzo in quanto esso minimizzerà N j=1 C j µ. I nodi appartenenti al cammino minimo in corrispondenza ad ogni livello indicheranno le operazioni da assegnare alle stazioni corrispondenti. Nell esempio in esame il cammino minimo avente come sorgente la supersorgente, passa per il nodo del primo livello corrispondente all insieme {1, 2}, per il nodo del secondo livello corrispondente all insieme {3}, e termina nel superpozzo. Tale soluzione è un bilanciamento perfetto Trasformazione di formati Un primo tipo di trasformazione che presentiamo è quella legata alla risoluzione di un problema di cammino minimo con un risolutore di modelli di assegnamento. Questo può essere utile nei casi in cui il solver che utilizziamo sia dedicato a questa classe di problemi piuttosto che a problemi di cammino su reti. Supponiamo allora di voler trasformare il problema esaminato nella precedente sezione in un problema di assegnamento a minimo costo. Dopo aver numerato topologicamente i nodi dei grafo originario, costruiamo un nuovo grafo bipartito così fatto: L insieme dei nodi V 1 di sinistra contiene i nodi del grafo originario dal numero 1 al numero n 1, e l insieme V 2 dei nodi di

70 66 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE destra contiene i nodi dal numero 2 al numero n. Esiste un arco tra coppie di nodi da V 1 a V 2 se e solo se esisteva nel grafo origiario e inoltre si aggiungono n 2 archi fittizi a costo zero, rispettivamente da 2 verso 2, da 3 verso 3,..., da n 1 a n 1. Si verifica facilmente che un assegnamento a costo minimo su tale grafo è un cammino minimo sul grafo precedente. Infatti, dall assegnamento ottimo ottenuto rimuovendo gli archi fittizi a costo zero (che non danno nessun contributo alla funzione obiettivo), rimangono degli archi che formano una catena rappresentante proprio il cammmino cercato. Così il problema originario di bilanciamento può essere riformulato come segue: Min s.t. V 1 V 2 c ij x ij i=1 i=j V 1 x ij = 1 j V 2 i=1 V 2 x ij = 1 i V 1 j=1 x ij {0, 1} i V 1, j V 2 (4.8) Un altra interessante trasformazione di formati è quella relativa all equivalenza tra variabili decisionali. Sia x ij la variabile di assegnamento usata fino ad ora, e sia y kk una variabile che assume valore 1 se l operazione k viene eseguita prima di k, e assume valore zero altrimenti. Ora definiamo il vincolo di precedenza tra due operazioni utilizzando ambedue le variabili. Nel caso di una variabile di assegnamento si avrà: j j x kj x k j j = 1,..., N, (k, k ) A, j=1 j=1 mentre nel caso di una variabile di tipo y kk la relazione è più immediata: y kk = 1 (k, k ) A

71 4.5. RAPPRESENTAZIONE E SOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI BILANCIAMENTO67 Esaminiamo il primo vincolo per una coppia (k, k ) di operazioni incompatibili (ovvero non eseguibili simultaneamente ma non è stabilito a priori se sia k a dover essere eseguita prima o dopo di k ) supponendo che k k : j j x kj x k j j=1 j=1 Portando a sinistra il secondo termine di ha: j j x kj x k j 0 j=1 j=1 Inoltre sommando tutti i vincoli si ha N j j ( x kj x k j) 0 j =1 j=1 j=1 j = 1,..., N A questo punto esplodiamo le somme come segue: j = 1,..., N j = 1 x k1 x k 1 j = 2 x k1 + x k2 x k 1 x k 2. j = N Sommando i valori si ottiene:. x k x kn x k 1... x k N N(x k1 x k 1) + (N 1)(x k2 x k 2) (x kn x k N) 0 Definiamo α kk pari alla quantità N(x k1 x k 1) + (N 1)(x k2 x k 2) (x kn x k N). Poichè sia x kj che x k j possono valere 1 in corrispondenza di una sola j allora si avrà che 0 α kk (N 1). Questo ci porta a stabilire che: y kk = 1 α kk 0 che equivale a: e che equivale a: α kk (y kk 1)(N 1), y kk = 0(y k k = 1) α kk 0 α kk (1 y k k)(n 1)

72 68 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE 4.6 Ulteriori vincoli in fase progettuale Talvolta può accadere che a causa di problemi di sicurezza, di richiesta di particolari equipaggiamenti o di skill di operatori, si vogliano assegnare coppie di operazioni a stesse stazioni di lavoro. Dall altra parte certe coppie di operazioni non devono essere assegnate alla stessa stazione di lavoro. Si può considerare, ad esempio, un prodotto che necessita di alcune operazioni su un lato e di altre operazioni sul lato opposto. Indichiamo con SS e con SD rispettivamente l insieme delle coppie di operazioni che devono essere eseguite nella stessa stazione e delle coppie che invece devono essere eseguite in stazioni diverse. Siamo interessati adesso alla determinazione di vincoli che regolino i suddetti insiemi. Nel caso di coppie (k, k ) di operazioni in SS si deve verificare che un assegnamento dell operazione k alla stazione j deve f orzare l assegnamento di k a j e viceversa. Mentre il non assegnamento di k a j deve forzare il non assegnamento di k a j e viceversa. Quindi sarà sufficiente imporre che le variabili di assegnamento associate alle operazioni k e k assumano gli stessi valori (o entrambe 1 o entrambe 0), vale a dire: x kj = x k j j = 1,..., N, (k, k ) SS. La formulazione del vincolo sulle coppie DS non è più complicata. Basterà infatti scrivere un vincolo di or esclusivo sulle variabili di assegnamento legate alle coppie (k, k ) DS su ognuna delle stazioni, ottenendo: x kj + x k j 1 j = 1,..., N, (k, k ) DS, cioè x kj e x k j non possono valere contemporaneamente 1. Un ultima osservazione ci porterà ad introdurre la prossima sezione. Nel caso di SS avremmo potuto utilizzare anche un espressione equivalente del tipo: N x kj x k j = 1 (k, k ) SS, j=1 In questa riscrittura del vincolo si può notare come sia scomparso j = 1,..., N, essendo questo incorporato nella sommatoria. Nonostante questo si traduca in un minor numero di vincoli, il lettore si può facilmente accorgere della presenza di una non linearità, ed in particolare di come il vincolo

73 4.7. FORMULAZIONI DI VINCOLI LOGICI 69 sia diventato quadratico. Questa apparente difficoltà può essere superata linearizzando i vincoli al prezzo di introdurre ulteriori variabili (vedi anche quanto fatto nella Sezione 4.4). 4.7 Formulazioni di vincoli logici Prendiamo le mosse dal problema sollevato nella sezione precedente, ovvero della linearizzazione del vincolo N j=1 x kj x k j = 1, (k, k ) SS. Facendo attenzione al suo significato ci accorgiamo che esso altro non è che un vincolo and. Vogliamo sostituire il vincolo N j=1 x kj x k j = 1, (k, k ) SS con Nj=1 z j kk = 1, (k, k ) SS. Per rendere la trattazione più semplice faremo uso di tabelle di verità. x kj x k j z j kk La tabella si legge per riga: i primi due valori sono i possibili valori assegnabili a x kj e x k j ed il terzo valore nella colonna è quello che deve assumere z j kk nella conversione. Ovviamente solo quando x kj = 1 e x k j = 1, z j kk varrà 1. Possiamo scrivere i seguenti due vincoli: z j kk x kj + x k j 2 z j kk x kj + x k j 1. Il primo vincolo verifica le prime tre righe ed è indifferente alla quarta, mentre il secondo vincolo verifica la quarta riga ed è indifferente alle prime tre. In Figura 4.3 è riportata la rappresentazione geometrica della relazione and, dove i punti cerchiati indicano le soluzioni ammissibili.

74 70 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE Figura 4.3: Relazione logica and. Volendo generalizzare al caso in cui una variabile z è legata da una relazione di tipo and ad un insieme di n variabili x i, è possibile utilizzare i seguenti vincoli: z ni=1 x i n n z x i (n 1). i=1 Passiamo ora alla formulazione di una relazione che abbiamo già incotrato nella Sezione 4.4 quando abbiamo legato le due variabili x ij e y j : l implicazione. La relazione di implicazione tra due variabili (ad esempio x ij e y j ) ha la seguente tabella di verità:

75 4.7. FORMULAZIONI DI VINCOLI LOGICI 71 x ij y j Ricordandoci di quanto detto nella sezione di cui sopra, il vincolo lineare che soddisfa l implicazione si può quindi scrivere: x ij y j. Di seguito consideriamo la tabella di verità dell or tra due variabili x e y: x y z Le relazioni sono: z x + y z x + y. 2 La prima soddisfa la prima riga e non inflenza le altre tre, mentre la seconda soddisfa le seconde tre righe senza violare la prima riga. Volendo anche qui estendere il discorso alla relazione or definita su n variabili x i, analogamente al caso della relazione and avremo due vincoli del tipo: n z x i i=1 ni=i x i z. n Passiamo ora alla tabella di verità dell or esclusivo tra x e y:

76 72 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE x y z Le relazioni sono: z x + y z y x z x y z 2 x y. In quest ultimo caso abbiamo usato quattro iperpiani per tagliare via le soluzioni non ammissibili. Ciascuno verifica una relazione della tabella di verità (il primo la prima, il secondo la seconda, e così via) senza violare le altre. 4.8 Alcuni casi di studio Questa sezione contiene tre problemi ciascuno dei quali richiede sia l uso di informazioni già esaminate che l elaborazione di nuove. Può essere un buon esercizio quello di risolvere tali problemi. A valle è presente una discussione sulle soluzioni dei tre casi di studio. Problema 1. Un azienda produce componentistica elettronica. Il processo produttivo prevede l esecuzione di un certo numero di operazioni in linea O = {op 1, op 2,..., op m } parzialmente preordinato. Viene definito quindi un insieme P O che identifica coppie di operazioni ordinate: P O = {(i, j) : l operazione i deve precedere l operazione j} Per poter eseguire le suddette operazioni O, sono disponibili K stazioni di lavoro. Per problemi di richiesta di particolari attrezzaggi, coppie di ope-

77 4.8. ALCUNI CASI DI STUDIO 73 razioni devono essere eseguite necessariamente nella stessa stazione di lavoro; tali coppie di operazioni vengono indicate con SS: SS = {(i, j) : i e j devono essere eseguite nella stessa stazione} Per problemi relativi al particolare processamento di alcuni operazioni, coppie di queste devono essere eseguite su differenti stazioni di lavoro: indichiamo con DS le coppie di operazioni sottoposte a tali vincoli: DS = {(i, j) : i e j devono essere eseguite su due differenti stazioni} 1. Formulare il problema di dimensionamento dell impianto al numero minimo di stazioni lavorative; 2. Supponendo che l assegnamento di una operazione i ad una stazione di lavoro k comporti un costo c ik formulare il problema della minimizzazione del costo totale (somma dei costi di assegnamento) dove alle stazioni k = 1,..., K non è consentito superare un certo carico di lavoro C; 3. Dare una rappresentazione del problema su grafo, motivando successivamente una possibile soluzione del problema. Problema 2. In una linea di produzione con 4 centri di lavoro [CL 1, CL 2, CL 3, CL 4 ] deve essere prodotto un tipo di componente che richiede, per ogni unità prodotta, una sequenza di 10 operazioni che possono essere eseguite su uno o più CL. (Vedi il grafo di compatibilità in Figura 4.4, con le durate in minuti delle operazioni, supposte indipendenti dal CL cui sono state eseguite). Il production rate richiesto è tale da saturare la linea: 1 componente ogni 12 minuti. Il problema è quello di assegnare le operazioni ai CL in modo da perseguire i seguenti obiettivi:

78 74 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE Figura 4.4: Grafo di compatibilità. 1. Bilanciamento dei carichi di lavoro; 2. Minimizzazione del work in progress; 3. Motivare gli obiettivi scelti; 4. Individuare le possibili soluzioni e confrontarle. Problema 3. Un azienda produce macchine da giardinaggio. Il processo produttivo prevede l esecuzione di un certo numero di operazioni in linea O = {op 1, op 2,..., op m } preordinato in modo tale che ogni operazione op i O precede l operazione immediatamente successiva op i + 1. Le suddette operazioni devono essere eseguite da una linea di produzione avente n stazioni di lavoro. Il numero di operazioni m è maggiore del numero di stazioni di lavoro della linea. Sono assegnati i tempi di processamento di ogni operazione t i. 1. Formulare il problema di dimensionamento della linea al numero minimo di stazioni lavorative attivate con il vincolo di non superare un certo carico massimo C max per ognuna delle stazioni e considerando che le operazioni op i e op i + 1 devono essere eseguite necessariamente nella stessa stazione lavorativa.

79 4.8. ALCUNI CASI DI STUDIO Supponete che esista un insieme S O di operazioni tale che viene generato un costo c se un operazione i S venga assegnata ad una stazione di lavoro come ultima operazione da processare. Formulare il problema di bilanciamento della linea con il vincolo di non superare un costo fissato B Analisi di alcuni aspetti dei problemi proposti Un analisi particolare viene riservata al problema 2 ed al punto 2 del problema 3. Per quanto riguarda il problema 2 viene rischiesto di bilanciare i carichi di lavoro sulla linea ed al tempo stesso di minimizzare il work in progress (WIP). Come verrà descritto in dettaglio nella Sezione 4.10 possiamo definire i concetti di tempo di attraversamento T A e W IP come segue: T A = p C max + N j=p+1 dove p rappresenta la posizione della stazione a cui corrisponde il carico massimo C max e W IP = T A (production rate). Dunque, noti il carico massimo C max ed il production rate, la minimizzazione del work in progress può essere realizzata minimizzando il tempo di attraversamento T A che dipenderà eslusivamente dalla posizione della stazione bottleneck lungo la linea. Sfruttando il fatto che le stazioni di lavorazione sono disposte in linea, è possibile confrontare il carico di lavoro C i di ciascuna stazione i con il carico C j delle stazioni j successive: se C j C i a regime il carico di lavoro della stazione i sarà pari alla stazione più lenta j davanti ad essa sulla linea, in caso contrario no. Questo può essere modellizzato associando ad ogni stazione di lavoro i una variabile z i ed una coppia di vincoli: C j, z i C i z i C j i, j > i i, j > i

80 76 CAPITOLO 4. LA LINEA DI PRODUZIONE Confrontando ciascuna stazione con quelle successive, se la stazione i si trova prima della stazione a cario massimo allora z i = C max, in caso contrario z i = C i. La minimizzazione del T A si ottiene con la seguente funzione obiettivo: N Min z i i=1. Una formulazione alternativa, anche se più artificiosa, consiste nel minimizzare la posizione della stazione a carico massimo al fine di ridurre il tempo di attraversamento T A. Si può pensare, dunque, di confrontare il carico di ciascuna stazione i con quello delle altre stazioni ed associare una variabile binaria che assume valore 1 se e solo se C i è maggiore. Formalmente: C i C j 0 z ij = 1 i, j con j i Questa relazione può essere ottenuta attraverso la seguente coppia di vincoli lineari: Mz ij C i C j + ɛ M(z ij 1) C i C j dove M è una costante positiva sufficientemente grande e ɛ una costante positiva sufficientemente piccola. Il primo vincolo si attiva quando C i C j forzando la variabile z ij ad assumere valore 1, mentre è banalmente verificato in caso contrario grazie alla presenza della costante M. Si noti che nel caso in cui C i = C j la variabile z ij = 1 grazie alla presenza della costante ɛ. Il secondo vincolo, al contrario, garantisce che se C i C j allora z ij = 0 e risulta sempre verificato in caso contrario. A questo punto è possibile introdurre una variabile Z i defita come and di tutte le variabili z ij come descritto nella Sezione 4.7: in altre parole Z i assume valore 1 se e solo se confrontando il carico della stazione i con quello di tutte le altre stazioni, C i risulta essere il carico massimo. L obiettivo di minimizzazione del W IP, come detto, si ottiene facendo in modo che la stazione a carico massimo sia posizianata il più possibile a monte della linea. Dunque introduciamo un parametro α i = i, una variabile di supporto w e minimizziamo la seguente funzione obiettivo: con i vincoli: w α i Z i Min w i = 1... N

81 4.8. ALCUNI CASI DI STUDIO 77 Passiamo adesso ad analizzare il punto 2 del problema 3. In questo contesto vogliamo bilanciare i carichi di lavoro di una linea dove il grafo delle precedenze tra le operazioni è una catena, con un vincolo particolare di costo: viene generato un costo c qualora un operazione i S (dove S O) venga assegnata ad una stazione di lavoro come ultima operazione da processare. Prima di capire come tale vincolo possa essere formulato, diamo un esempio in quale contesto questa situazione può verificarsi. Uno scenario possibile può essere quello in cui ci sia la necessità di dover mantenere il pezzo in lavorazione tra l operazione op i e op i +1 ad una elevata temperatura, mentre durante il trasporto da una stazione ad un altra la sua temperatura potrebbe abbassarsi, con il conseguente bisogno di innalzare la sua temperatura (e quindi un costo di lavorazione maggiore). Paghiamo un costo c quando x ij = 1 e x (i+1)(j+1) = 1, ovvero quando assegnamo i S ad una stazione j e i + 1 alla stazione successiva j + 1. Infatti, poichè i e i + 1 sono strettamente sequenziali, aver assegnato i a j e i + 1 a j + 1 implica che i è l ultima operazione in j e i + 1 è la prima in j + 1 (vedi Figura 4.5). Figura 4.5: Sistemi misti. Sommando tutte le occorrenze di questo and sulle stazioni da 1 fino a N 1 pesandole ogni volta con c si ottiene il costo totale :