APPUNTI DI FISICA 3. Pietro Donatis

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1 APPUNTI DI FISICA 3 Pietro Donatis Versione 2 7 luglio 2009

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3 i Questi Appunti di fisica sono rivolti agli studenti del quinto anno di un liceo scientifico e seguono gli analoghi appunti scritti per il quarto anno. Di questi, condividono l idea generatrice che è quella di fornire agli allievi un valido testo su cui studiare: gratuito, scaricabile dalla rete e liberamente riproducibile. Anche questa dispensa tuttavia manca di esercizi. Spero di riuscire a colmare la lacuna al piú presto anche grazie all aiuto di quanti, colleghi e studenti, vogliano dare una mano. Ho voluto cercare di sviluppare il programma inizialmente su due livelli di complessità matematica. Nella parte iniziale, quando si suppone che gli allievi ancora non abbiano familiarità con il calcolo differenziale ed integrale, gli argomenti sono svolti in modo standard. Per ogni argomento però ho fornito, in caratteri tipografici minori, la corretta riformulazione utilizzando gli strumenti dell analisi. Il percorso dovrebbe essere, quindi, quello di ritornare, in fase di ripasso, su questi argomenti utilizzando il nuovo linguaggio nel frattempo appreso. Col progredire del corso, si abbandona la doppia formulazione e vengono usati liberamente gli strumenti dell analisi. È stata aggiunta una seconda parte ove vengono riformulati alcuni rilevanti argomenti di meccanica e termodinamica con gli strumenti dell analisi. Un occasione di approfondimento e ripensamento, rivolto in particolare a quegli allievi che vogliano continuare gli studi in una facoltà scientifica. La responsabilità di quanto scritto, e di tutti gli eventuali errori, è esclusivamente di Pietro Donatis. Devo ringraziare Fabio Maria Antoniali e Carlo Càssola per le numerose discussioni, indispensabili a chiarirmi i molti punti delicati. Devo anche ricordare che Fabio Acerbi per primo ha pensato che valesse la pena di imbarcarsi in questa impresa, trasmettendomene l entusiasmo per farlo. Questo lavoro è senz altro da considerarsi in evoluzione; sarò grato a tutti coloro che vorranno essere tanto gentili da segnalare errori o fornire commenti utili al miglioramento di quanto scritto in vista di auspicabili nuove versioni. Nella seconda versione è stato fatto l indice analitico, ove, si badi, non compaiono le voci presenti nell indice generale. I simboli matematici che compaiono nelle formule e nelle figure, sono ripodotti i carattere corsivo; i vettori sono invece in stampatello grassetto. Udine, 7 luglio 2009

4 ii

5 Indice I Elettromagnetismo 1 1 Preliminari matematici Il concetto di campo Flusso di un campo vettoriale Circuitazione di un campo vettoriale Il lavoro di una forza Circuitazione di un campo di velocità lungo un vortice Elettrostatica La carica elettrica L elettroscopio Elettrizzazione per contatto Elettrizzazione per induzione La forza di Coulomb Principio di sovrapposizione Il campo elettrico Campo elettrico generato da una carica elettrica elementare Campo elettrico di un dipolo Le linee di campo La legge di Gauss Distribuzione sferica di cariche elettriche Distribuzione lineare di cariche elettriche Distribuzione piana di cariche elettriche Dal campo alla forza Dipolo in un campo elettrico uniforme Forza di repulsione fra due piani carichi Il campo elettrico in situazioni varie Il campo elettrico generato da un filo carico Il campo elettrico generato da un anello carico Il campo elettrico generato da un disco carico Energia potenziale della forza elettrica Il potenziale elettrico Relazione fra il campo elettrico ed il potenziale elettrico Il potenziale elettrico in situazioni varie Potenziale elettrico di una carica elettrica elementare Potenziale elettrico di una sfera carica elettrica Potenziale elettrico di un dipolo Approssimazione dipolare iii

6 iv INDICE Il potenziale di un filo Il potenziale elettrico di un anello Energia potenziale elettrostatica Energia elettrostatica di un dipolo elettrico in un campo elettrico costante Circuitazione del campo elettrico Circutazione del campo uniforme generato da un piano Circuitazione del campo generato da un carica elettrica sferica Discontinuità del campo elettrico attraverso una superficie carica Conduttori Capacità Capacità di un conduttore sferico Condensatori Condensatore sferico Condensatore cilindrico Energia elettrostatica accumulata in un condensatore Forza fra le armature di un condensatore Collegamento di piú condensatori Collegamento in parallelo Collegamento in serie Dielettrici Inserimento parziale di un dielettrico Inserimento di un conduttore Modello della polarizzazione atomica Corrente elettrica Intensità di corrente Le leggi di Ohm Modello classico della conduzione elettrica L effetto Volta. La pila di Volta Generatore di tensione e forza elettromotrice Collegamenti di piú resistenze Resistenze in serie Resistenze in parallelo Scarica e carica di un condensatore. Il circuito RC Il processo di scarica Il processo di carica Il passaggio di cariche elettriche nelle soluzioni Le leggi di Faraday Magnetostatica Il campo magnetico Moto di cariche elettriche in un campo magnetico Moto circolare uniforme Moto elicoidale Il selettore di velocità Lo spettrometro di massa L effetto Hall Forza magnetica su una corrente elettrica Disco di Barlow Forza magnetica su una spira rettangolare

7 INDICE v Galvanometro Le leggi del campo magnetico Campo magnetico generato da un filo indefinito Forza magnetica fra due fili rettilinei percorsi da una corrente elettrica Solenoide rettilineo Solenoide toroidale Campo magnetico generato da una corrente elettrica Campo magnetico generato da una spira circolare Campo magnetico generato da un filo rettilineo Contenuto relativistico della teoria elettromagnetica Induzione elettromagnetica Un primo esempio Legge di Faraday-Neumann-Lenz La legge di Felici Bilancio energetico Applicazioni dell induzione elettromagnetica L asta rotante Spira rotante. Generatore di tensione alternata Autoinduzione Induttanza di un solenoide Circuito induttivo in corrente continua Energia magnetica di un circuito Induzione mutua Energia magnetica di due circuiti accoppiati Relazione fra L 1, L 2 ed M Circuiti in corrente alternata Circuito resistivo Circuito capacitivo Circuito induttivo Circuito RC in serie Circuito RL in serie Circuito LC in serie Circuito RLC in serie La potenza in corrente alternata Metodo complesso Campi magnetici nella materia Diamagneti e paramagneti Ferromagneti Forze fra magneti Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche Il termine mancante Le equazioni di Maxwell e la velocità della luce Onde elettromagnetiche

8 vi INDICE II Metodi matematici per la fisica Meccanica Cinematica Esempio Moto in coordinate polari Leggi della dinamica Moto uniforme Moto uniformemente accelerato Moto armonico Moto in un fluido viscoso Lavoro ed energia cinetica Energia potenziale e conservazione dell energia Esempi Forza peso Forza elastica Forza centripeta Forza gravitazionale Forza di Coulomb Relazione fra forza ed energia potenziale Dinamica del moto rotatorio di un punto materiale Forze centrali Dinamica di due punti materiali. Problema di Kepler Oscillazioni smorzate Oscillazioni forzate Termodinamica Lavoro delle forza di pressione Energia interna Trasformazioni isocore Trasformazioni isobare. Relazione di Mayer Equazione delle trasformazioni adiabatiche Disuguaglianza di Clausius e entropia Calcolo della variazione di entropia in alcuni casi importanti

9 INDICE vii

10 Elenco delle figure 1.1 Modello ideale del campo gravitazionale Flusso di un liquido attraverso una superficie perpendicolare alla velocità Flusso di un liquido attraverso una superficie non perpendicolare alla velocità Indipendenza del flusso dalla superficie scelta Circuitazione del campo vettoriale A lungo la curva γ L elettroscopio a foglie d oro Elettrizzazione per contatto Esperimento con la sferetta metallica Induzione elettrostatica Induzione elettrostatica sulla sferetta conduttrice Elettrizzazione per induzione Il vettore r Campo generato da una carica elettrica elementare; a: positiva; b: negativa Il calcolo del campo elettrico generato da una carica elettrica non elementare Il campo elettrico di un dipolo Linee di campo per una carica elettrica elementare positiva e negativa Linee di campo elettrico per due cariche elettriche uguali positive e per due opposte Linee di campo elettrico di due cariche diverse Invarianza del numero di linee che escono da una superficie sferica Il flusso attraverso una superficie chiusa S; a: carica interna; b: carica esterna Il flusso attraverso una superficie infinitesima Dimostrazione della legge di Gauss; a: carica interna a S; b: carica esterna ad S Impossibilità dell equilibrio stabile Distribuzione sferica di cariche elettriche: caso del punto esterno Distribuzione sferica di cariche elettriche: caso del punto interno Il modulo del campo elettrico generato da una sfera carica in funzione di r Distribuzione lineare di cariche elettriche; a: vista laterale, b: sezione Distribuzione piana di cariche elettriche Il dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme Il campo generato da un filo carico Campo elettrico generato da un anello carico; componente assiale e perpendicolare La corona circolare infinitesima Il calcolo del lavoro per uno spostamento infinitesimo Le superfici equipotenziali di un dipolo Il lavoro di in un campo elettrico costante Il calcolo del potenziale elettrico di un dipolo in P L approssimazione dipolare viii

11 ELENCO DELLE FIGURE ix 2.33 Un modello per la molecola d acqua Il dipolo elettrico immerso in un campo elettrico uniforme Circuitazione del campo elettrico generato da un piano carico Circuitazione del campo elettrico generato da una sfera carica Discontinuità del campo elettrico attraverso una superficie carica La superficie chiusa S interna al conduttore Conduttore cavo privo di carica elettrica nella cavità Conduttore cavo con carica elettrica Q nella cavità La proprietà delle punte Induzione completa in un condensatore piano Il campo elettrico di un condensatore piano Il condensatore sferico Il condensatore cilindrico Collegamento di condensatori in parallelo Collegamento di condensatori in serie Il dielettrico inserito nel condensatore La formazione di un dipolo atomico Polarizzazione di un dielettrico. a: i dipoli atomici; b: gli strati carichi Polarizzazione di un dielettrico Il dielettrico parzialmente inserito nel condensatore: senza generatore e con generatore Il condensatore con lastra conduttrice inserita Grafici dell andamento di V e di E; a: senza lastra, b: con la lastra La densità di corrente La resistività in funzione della temperatura; a: un conduttore; b: un superconduttore Una pila di Volta da 3 V Un filo di resistenza R collegato ad un generatore di tensione V Generatore con resistenza interna Due resistenze in serie Due resistenze in parallelo Il processo di scarica La carica elettrica sulle armature in funzione del tempo Il processo di carica L intensità della corrente elettrica in funzione del tempo L intensità della d.d.p. ai capi di C in funzione del tempo Una cella elettrolitica Inseparabilità dei poli magnetici La forza di Lorentz Moto circolare Moto elicoidale Il selettore di velocità Lo spettrometro di massa Il dispositivo per l effetto Hall Determinazione del segno dei portatori di carica elettrica La forza magnetica su una corrente Dispositivo per la verifica sperimentale della seconda legge di Laplace Il disco di Barlow Azione di un campo magnetico uniforme su una spira rettangolare La coppia di forze agente sulla spira

12 x ELENCO DELLE FIGURE 4.14 Il galvanometro a: corrente concatenata a γ; b: correnti non concatenate a γ Determinazione del campo B generato da un filo rettilineo La curva chiusa δ I due fili percorsi da corrente elettrica Un solenoide rettilineo Un solenoide toroidale L elemento di circuito dl che genera il campo il P Il campo magnetico generato da una spira circolare nel suo centro Il campo magnetico generato da una spira circolare in un punto P dell asse di simmetria L annullamento delle componenti perpendicolari all asse Il campo generato da un filo rettilineo La situazione nel sistema S La corrente elettrica i nel sistema S Il circuito senza generatore Il circuito mobile L asta rotante in un campo magnetico perpendicolare La spira rotante in un campo magnetico perpendicolare all asse di rotazione Il circuito induttivo RL I due solenoidi coassiali Il circuito resistivo Il circuito capacitivo Il circuito induttivo Il circuito RC in serie Il ciruito RC come filtro. a: passa alto, b: passa basso Il circuito RL in serie Il circuito LC in serie Il circuito RLC in serie La rappresentazione di una funzione sinusiodale come vettore rotante nel piano complesso Il parallelepipedo magnetizzato La suddivisione della fettina nel caso di magnetizzazione non uniforme I due piccoli parallelepipedi adiacenti La curva γ Il ciclo d isteresi Il magnete a forma di parallelepipedo Forza su una spira in un campo magnetico non uniforme Il condensatore in carica La semisfera S La corrente laminare infinita e i campi E e B da essa generati Vista laterale dall asse z con la curva γ Vista laterale dall asse y con la curva γ Lo spazio percorso come area sotto la curva velocità-tempo Il problema dell automobile che decelera Le coordinate polari nel piano. a: definizione; b: relazione con le coordinate cartesiane Lo spostamento infinitesimo in coordinate polari

13 ELENCO DELLE FIGURE xi 9.5 L ellisse in coordinate polari Lavoro di una espansione infinitesima Il ciclo composto di due trasformazioni Le due trasformazioni reversibili

14 Parte I Elettromagnetismo 1

15 Capitolo 1 Preliminari matematici. In questo capitolo preliminare vengono forniti gli strumenti matematici necessari alla descrizione della teoria dell elettromagnetismo. 1.1 Il concetto di campo. Come prima cosa si introduce il concetto di campo. Si definisce campo scalare una funzione che associa ad ogni punto dello spazio fisico un numero reale (uno scalare). Un campo scalare è quindi una funzione: f : R R R R, (1.1) dove il dominio R R R = R 3 è l insieme delle terne di numeri reali che, rispetto ad un sistema di assi cartesiani, rappresenta l insieme dei punti dello spazio e il codominio R è il numero reale che rappresenta il campo scalare. Per esempio è possibile definire un campo di temperatura associando ad ogni punto di uno spazio la temperatura dell aria in quel punto; quindi la funzione T (r) risulta definita nel modo seguente: T : R 3 R, T (r) = T (x, y, z), (1.2) ove r è il vettore posizione di componenti (x, y, z). Si definisce campo vettoriale una funzione che associa ad ogni punto dello spazio fisico un vettore. Si tratta quindi di una funzione: f : R 3 R 3, (1.3) dove ad ogni punto dell insieme R 3, cioè ad ogni punto dello spazio fisico, viene associata la terna delle componenti di un vettore. Per esempio è possibile definire il campo di velocità della corrente di un fiume, associando ad ogni punto interno alla corrente il vettore velocità della goccia d acqua che passa per quel punto; si ha cosí la funzione v(r) definita nel modo seguente: v : R 3 R 3, v(r) = ( v x (r), v y (r), v z (r) ). (1.4) Il concetto di campo è particolarmente utile, come si vedrà nei prossimi capitoli, per costruire un modello dell azione a distanza. In effetti esistono in natura forze che non esercitano la loro azione a contatto con i corpi ma a distanza. Lasciando qui, doverosamente, inesplorata la questione non scientifica circa quale sia l origine di tali forze a distanza, si cerca di darne una descrizione. Si consideri l esempio dell interazione gravitazionale. È ben noto che ogni corpo dotato di massa attira ogni altro corpo dotato di massa con una forza che dipende dall inverso del quadrato della distanza, secondo la legge di Newton 1. Lo stesso 1 Isaac Newton ( ), scienziato inglese. 2

16 1.2. FLUSSO DI UN CAMPO VETTORIALE. 3 Newton, com è noto rinunciò a fornire una spiegazione dell azione a distanza (hypoteses non fingo). Il modello che viene utilizzato è di immaginare che la presenza di una massa in un punto dello spazio modifica ogni altro punto dello spazio. Per farsi un immagine pittorica dell idea si pensi ad una superficie elastica orizzontale su cui venga deposto un massiccio corpo sferico. Il corpo deforma la superficie elastica Figura 1.1: Modello ideale del campo gravitazionale. producendo un avallamento. Una seconda sferetta che si trovi ad una data distanza dal corpo massiccio si trova quindi su di un piano inclinato e si muove verso il corpo massiccio. Si osservi che piú la sferetta si trova vicina al corpo maggiore è la pendenza su cui si trova e maggiore è la velocità con cui si muove verso il corpo. Ora la sferetta si muove sotto l azione della forza peso. Ma si supponga che l esistenza di tale forza sia sconosciuta. Si osserva allora che la presenza del corpo massiccio modifica lo spazio tutto intorno e questa modificazione è tale da avere un azione sui corpi che si trovino in tale spazio circostante. Quindi, a causa della presenza di un corpo in un dato punto dello spazio (per esempio l origine di un sistema di assi coordinati), si può associare ad ogni altro punto P dello spazio circostante una grandezza in grado di agire come forza sui corpi che si dovessero trovare in P. Questa grandezza, definita per ogni punto P dello spazio, è il campo. 1.2 Flusso di un campo vettoriale. Conviene, per introdurre il concetto piuttosto astratto di flusso, partire da un esempio. Si consideri a tale scopo un liquido ideale, e quindi incomprimibile (cioè di densità ρ costante), scorrente all interno di un tubo. Si supponga di conoscere, in ogni punto, in campo di velocità del liquido e si cerchi di determinare quanto liquido scorre attraverso una data sezione, di area S, del tubo, nell unità di tempo. Si consideri, v t S v Figura 1.2: Flusso di un liquido attraverso una superficie perpendicolare alla velocità. per cominciare, il caso piú semplice in cui la sezione S sia in ogni punto perpendicolare alla velocità del liquido e che il modulo v della velocità del liquido sia costante in ogni punto di S. È facile rendersi conto del fatto che le particelle d acqua che attraversano S nell intervallo di tempo t sono quelle che si trovano nel cilindro retto di base S e altezza v t. Il volume di tale cilindro è V = vs t. Quindi il volume di liquido che attraversa la superficie S nel tempo t è V = Sv t. Quindi la massa m di liquido che attraversa S nell unità di tempo è 2 : m = ρvs. (1.5) t Si definisce allora flusso del campo vettoriale v attraverso la superficie S la quantità vs. Le cose possono essere un po piú complicate. Sia ora la superficie S non perpendicolare alla velocità; allora il volume V di liquido che fluisce attraverso la superficie S nell intervallo di tempo t è quello 2 Si noti che se la velocità varia nel tempo la seguente equazione diviene la derivata temporale di m.

17 4 CAPITOLO 1. PRELIMINARI MATEMATICI. v t n θ S v v t θ h S Figura 1.3: Flusso di un liquido attraverso una superficie non perpendicolare alla velocità. contenuto nel cilindro non retto in figura 1.3. Tale volume, com è noto dalla geometria elementare, è pari all area di base S per l altezza h. Tale altezza h è la componente perpendicolare alla superficie S della generatrice v t del cilindro, cioè, indicando con θ l angolo formato da tale generatrice e l altezza h, vale h = v t cos θ. Detto n il vettore di modulo unitario perpendicolare alla superficie, vale v n = cos θ, quindi si può scrivere h = v n t, (1.6) quindi la massa di liquido che attraversa S nel tempo t è m = ρsv n t. (1.7) Il flusso pertanto, ponendo S = Sn, diviene v S. (1.8) Ancora piú complicato. Sia ora la superficie grande abbastanza da far sí che il modulo della velocità non possa essere considerato costante in ogni suo punto. Mi aspetto che fluisca una maggiore massa di fluido dove la velocità è maggiore. In queste condizioni conviene suddividere la superficie S in N porzioni sufficientemente piccole che in esse la velocità sia costante; tali porzioni verranno indicate con il simbolo S i e i rispettivi vettori unitari perpendicolari con n i (i=1 N). Si può cosí calcolare per ogni porzione il flusso di v usando l equazione (1.8) e facendo poi la somma di tutti i singoli contributi. Pertanto il flusso del campo vettoriale v attraverso la superficie generica S, posto ancora S i = S i n i, è definito dall equazione seguente: N S i v i. (1.9) i=1 O V S 1 S 2 Figura 1.4: Indipendenza del flusso dalla superficie scelta.

18 1.3. CIRCUITAZIONE DI UN CAMPO VETTORIALE. 5 Osservazioni 1. Data una sorgente O di liquido, il flusso che attraversa una qualunque superficie chiusa che racchiuda tale sorgente non dipende dalla superficie scelta, purché non siano presenti pozzi per i quali ci possa essere una perdita di liquido. Infatti prese due qualunque superfici S 1 ed S 2 che racchiudano la sorgente (si veda la figura 1.4), essendo il liquido incompressibile, il volume V da esse racchiuso contiene sempre la stessa massa di liquido; quindi la massa di liquido che, nel tempo t, entra in V attraverso S 1 deve essere uguale al volume d acqua che, nello stesso tempo, esce da V attraverso S 2 : i due flussi sono quindi uguali. Non sarà forse inutile osservare che la superficie S attraverso la quale ho definito il flusso non è una superficie reale, materiale, ma una superficie matematica. Sulla scorta dell esempio ora visto, si può generalizzare il concetto di flusso per qualsiasi campo vettoriale. Si consideri ora il campo vettoriale A e una qualsiasi superficie S; si definisce flusso di A attraverso la superficie S la quantità N Φ S (A) = S i A i, (1.10) i=1 ove sono stati utilizzati gli stessi simboli visti sopra per il caso del flusso di un liquido. Prima di andare oltre, si osservi che nel caso particolare in cui il campo A sia in ogni punto perpendicolare a S e sia ivi uniforme assumendo il valore costante A, la precedente equazione assume la forma particolarmente semplice Φ S (A) = AS. (1.11) 1.3 Circuitazione di un campo vettoriale. Si consideri, in una zona ove sia definito un campo vettoriale A, una arbitraria curva orientata γ. Si suddivida γ in tante piccole porzioni orientate, sufficientemente piccole da far sí che siano ben approssimate da vettori spostamento l. Si consideri uno di questi vettori spostamento; esso è applicato in un A 3 γ A 2 l 3 A 1 l 2 l 1 Figura 1.5: Circuitazione del campo vettoriale A lungo la curva γ. punto di γ; in questo punto, come in ogni altro punto dello spazio che si sta qui considerando, è definito il campo vettoriale A. Si può quindi eseguire il prodotto scalare fra i vettori l e A applicati nello stesso

19 6 CAPITOLO 1. PRELIMINARI MATEMATICI. punto. Si ripete la stessa operazione per tutti i vettori spostamento in cui è stata suddivisa la curva γ (in figura 1.5 sono riportati i primi tre vettori). Infine si sommano tutti i contributi. In questo modo si ottiene una quantità che è detta circuitazione del campo vettoriale A lungo la curva γ e si indica con il simbolo: Γ γ (A) = A l. (1.12) Si osservi che, nel caso particolare in cui il campo vettoriale è in ogni punto tangente alla curva γ ed assume in tutti i punti lo stesso valore A, la precedente relazione si può scrivere nella semplice forma indicando con l la lunghezza totale della curva. Osservazioni Γ γ (A) = Al, (1.13) 1. Come detto sopra per il flusso, anche qui è opportuno far notare che la curva γ utilizzata per definire la circuitazione di A non è reale o materiale, ma un astratto oggetto matematico. 2. È possibile dimostrare, benché la dimostrazione sia fuori dai limiti di queste note, che un campo vettoriale è univocamente definito in tutti i punti dello spazio quando se ne conosca il flusso per ogni superficie chiusa e la circuitazione per ogni curva chiusa Il lavoro di una forza. Si consideri un corpo che, sotto l azione del campo di forza F, percorre la curva γ. Si vuole calcolare il lavoro compiuto dalla forza F supponendo di trovarsi nel caso generale in cui la forza F non è costante durante il moto del corpo ma può assumere in ogni punto un valore ed una direzione diversi. Allora è necessario suddividere il percorso γ in N spostamenti elementari che indico con il simbolo l i, con i = 1,..., N; questa suddivisione sia tale che gli spostamenti elementari siano abbastanza piccoli da far sí che durante ciascuno di loro la forza si possa assumere costante. In tal caso il lavoro fatto per ciascuno degli spostamenti è il prodotto scalare fra il vettore forza F i assunto costante e il corrispondente vettore spostamento l i. Il lavoro fatto percorrendo tutta la traiettoria γ è quindi la somma di tutti i lavori relativi ai singoli spostamenti elemenari l i ; vale cioè: L = N F i l i. (1.14) i=1 Il secondo membro dell equazione ora scritta non è altro che la circuitazione del vettore F lungo la curva γ. Quindi si è dimostrato in modo completamente generale che il lavoro di una forza lungo una traiettoria γ è uguale alla circuitazione di tale forza lungo γ, cioè vale: L = Γ γ (F). (1.15) Nel caso di una forza conservativa il lavoro non dipende dal percorso ma solo dalle posizioni iniziali e finali assunte dal corpo in movimento, e tale lavoro è uguale al valore assunto dalla funzione energia potenziale nel punto iniziale meno il valore assunto nel punto finale. Nel caso particolare di una traiettoria chiusa, il punto iniziale e finale sono lo stesso punto, quindi la variazione di energia potenziale è nulla, quindi il lavoro compiuto da una forza conservativa per una traiettoria chiusa è nullo, quindi la circuitazione di una forza conservativa lungo una qualunque curva chiusa è zero. È possibile anche dimostrare la proposizione inversa. Vale quindi il seguente teorema. Una forza è conservativa se e solo se la sua circuitazione lungo qualunque curva chiusa è nulla.

20 1.3. CIRCUITAZIONE DI UN CAMPO VETTORIALE. 7 Esercizio 1.1 La forza peso mg agente su di un corpo di massa m è conservativa. Dimostrare che la circuitazione di mg si annulla scegliendo come caso particolare una traiettoria quadrata di lato l avente due lati paralleli al suolo e due lati perpendicolari al suolo Circuitazione di un campo di velocità lungo un vortice. Per fornire un immagine visiva di che cosa sia la circuitazione, si mostra qui che, per un liquido che scorre, una circuitazione diversa da zero indica la presenza di vortici. Un vortice è una zona del fluido in cui tutte le particelle percorrono traiettorie circolari concentriche ciascuna con una velocità in modulo costante. Quindi il campo di velocità lungo una di queste circonferenze ha direzione tangente per modulo una costante. Per il calcolo della circuitazione del campo di velocità lungo la circonferenza di raggio r lungo la quale la velocità ha modulo v, si noti che si tratta proprio nel caso semplice per il quale la circuitazione può venire calcolata per mezzo della semplice formula (1.13). Quindi la circuitazione del campo v in questo caso è uguale alla lunghezza della traiettoria per il modulo del vettore; trovo quindi: Γ(v) = 2πrv. (1.16) Questo porta a riconoscere che la condizione per la quale un liquido scorre senza formare vortici, e si dice che il suo moto è irrotazionale, se la circuitazione del suo campo di velocità lungo qualunque curva chiusa è nulla.

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