MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Vecchio Ordinamento Docente: Ana Millán Gasca

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1 MATEMATICA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Vecchio Ordinamento Docente: Ana Millán Gasca Questioni di sintesi e di verifica Aprile Il programma dell esame contiene molti argomenti interconnessi, svolti alle volte in lezioni diverse. Nello studio è importante: preparare degli schemi riassuntivi dei contenuti di ogni lezione elaborare una propria sintesi dei contenuti del corso In questo documento si propongono alcune grandi questioni trattate nel corso, indicate a grandi linee, indicando i capitoli del testo Pensare in matematica 2 dove sono svolte. Il documento è inteso come un aiuto per elaborare la propria sintesi e anche per verificare la propria padronanza dei contenuti del corso. 1) Che cosa è contare Il contare è la prima e basilare attività numerica dei bambini, attraverso la quale inizia la loro relazione di intimità con i numeri. Nel corso abbiamo esaminato: il ruolo del contare nell origine dell idea di numero (Cap. 1) e le parole per contare (Cap. 2) i due significati che diamo al verbo contare (Cap. 3), come la matematica descrive analiticamente il contare, usando il concetto di corrispondenza biunivoca e quello di segmento iniziale dell insieme N (Cap. 3) il contare dei bambini (Cap. 3). La matematica riduce il contare a due concetti: quello di corrispondenza biunivoca e quello di segmento iniziale di N. Il contare di un essere umano è una vera è propria azione che si svolge nel tempo (in generale con un ritmo); la matematica schiaccia il contare (comprimendo il tempo in un istante) in un idea, quella di corrispondenza biunivoca, che è una fotografia del contare quando l azione è già conclusa. 1 Questo corso è stato disattivato. Questo documento si riferisce al programma dell anno accademico Pensare in matematica, Giorgio Israel e Ana Millán Gasca, Zanichelli, Bologna, 2012.

2 Viceversa, l idea di corrispondenza biunivoca ci rende evidente che si può contare anche senza scandire parole numerali, adoperando il corpo umano (questa pratica è effettivamente esistita in molte culture), adoperando in particolare le dita, oppure adoperando strumenti come una corona di grani. Il segmento iniziale di N è il concetto matematico che si collega con la collezione di parole numerali adoperata per ogni determinato conteggio. L insieme N è il concetto matematico che si collega alle parole numerali potenzialmente infinite. La lunghezza del segmento iniziale con il quale si stabilisce la corrispondenza biunivoca (ossia la cardinalità dell insieme formato dalle cose contate) è collegata all ultima parola numerale adoperata nel conteggio, che esprime la numerosità di una collezione di cose. Vi è un altra astrazione nella definizione matematica del contare rispetto al contare di un bambino o un adulto con i vocaboli numerali, conseguenza della soppressione del tempo: per eseguire senza errori un conteggio è utile pronunciare le parole numerali adoperate in ordine: uno, due, tre, ; per la matematica invece l ordine con il quale indichiamo l immagine di ognuno degli elementi del segmento iniziale non è importante: si richiede soltanto che a ogni elemento sia associata una cosa (si dice un immagine). Invece, sia nel contare come azione umana, sia nella definizione matematica di contare non ha importanza l ordine in cui le cose contate sono enumerate (per il contare umano questo è il principio dell irrilevanza dell ordine). Comunque le condizioni sia dell azione corretta di contare, sia della definizione di corrispondenza biunivoca, sono le stesse: a ogni numero corrisponde una cosa e una soltanto ( non possiamo pronunciare una parola numerale a vuoto e non possiamo pronunciare la stessa parola numerale per due cose diverse ); a ogni cosa corrisponde un numero è uno soltanto (non possiamo saltare una cosa nel conteggio, e nemmeno contarla due volte). Per rispettare queste condizioni il bambino deve rispettare alcuni principi di etichettamento che sono stati elencati da Gellman e Gallistel. 2) I sistemi di numerazione: quale è la loro origine, cosa sono, sistemi di numerazione additivi e posizionali. Chiave di risposta e riflessione (Capitolo 2): 2

3 In tutte le civiltà vi sono delle testimonianze di rappresentazione grafica simbolica di numerosità, ossia di risultati di conteggi o di misurazioni di grandezze. I simboli più antichi, detti protocuneiformi (fine del IV millennio a.c.), indicavano sia la numerosità, sia il tipo di cosa contata o misurata. Nel seguito i simboli numerici sono stati usati per ogni tipo di cosa contata e misurata, e quindi attraverso questi simboli si rappresenta un numero astratto. Il simbolo non è il numero: bisogna distinguere la rappresentazione simbolica o scrittura di un numero dal numero in sé. Un sistema di numerazione è una procedura di rappresentazione grafica simbolica dei numeri. Il principio più antico e semplice è quello additivo. Il principio posizionale, già usato dagli scribi babilonesi e adoperato modernamente, si basa sulle proprietà dei numeri naturali. (Cap. 4, Teorema di rappresentazione dei numeri interi) Attenzione! Per il principio posizionale, non basta indicare che il valore delle cifre cambia a seconda della posizione che esse occupano, bisogna precisare che essa è collegata alle successive potenze della base (inclusa la potenza 0, che corrisponde alle unità). L addestramento nella scrittura dei numeri è parte della matematica che si insegna fin dalle origini. Insieme alla risoluzione di problemi aritmetici elementari, è il contenuto del far di conto delle scuole per fanciulli. I vari sistemi di numerazione sono una manifestazione delle varietà culturali sotto le quali si è presentata l aritmetica nelle varie latitudini e nel tempo. I più recenti studi sull origine della scrittura in Mesopotamia mostrano che la procedura di rappresentazione dei numeri con bullae e contrassegni potrebbero essere l origine sia della scrittura sia dei sistemi di numerazione con numeri concreti proto cuneiformi (Cap.1). Le origini del sistema di numerazione decimale posizionale risalgono all India medievale; esso è stato poi recepito ed elaborato nel mondo islamico classico; esso era parte importante dell addestramento tecnico nelle scuole d abaco europee medievali. Lo zero è un simbolo per indicare una posizione vuota in corrispondenza di un certo ordine di unità, ed è poi stato considerato come un numero vero e proprio. 3) I numeri naturali I numeri naturali sono il concetto basilare dell aritmetica, che emerge attraverso l esperienza de contare (due pecore, tre operai) e del misurare (due coppe di birra, tre spanne di corda). Quali sono i principali aspetti dei numeri naturali che abbiamo analizzato? (Cap. 3) 3

4 a) (struttura d ordine) nell insieme N sono definite due relazioni d ordine, la relazione d ordine maggiore o uguale e la relazione d ordine multiplo. La prima è un ordine totale, la seconda no. La relazione d ordine maggiore o uguale è un buon ordinamento. b) (struttura algebrica) nell insieme N sono definite due operazioni algebriche, l addizione e la moltiplicazione, commutative e associative e collegate dalla proprietà distributiva. La moltiplicazione in N ha un elemento neutro, 1. Le operazioni inverse, la sottrazione e la divisione, non sempre si possono eseguire (la condizione per poter eseguire una sottrazione si esprime in termini della relazione d ordine maggiore o uguale e la condizione per poter eseguire la divisione si esprime in termini della relazione d ordine multiplo ). Dati due numeri naturali, la differenza tra il maggiore e il minore esprime la distanza fra di loro (confronto additivo); dati due numeri naturali, di cui il primo è multiplo del secondo, la divisione del primo entro il secondo esprime il loro rapporto (il primo è il doppio, o il triplo, e così via, del secondo: confronto moltiplicativo). Alla base di questa ricca struttura vi è l idea di successivo e il principio di induzione che esprime l idea di ricorrenza, di ripetizione che è presente anche nell azione umana del contare. Ricordare la differenza fra l induzione empirica e l induzione matematica (l esplorazione empirica dei numeri e delle forme geometriche non può sostituirsi completamente alla consapevolezza delle verità e proprietà matematiche). Infatti, a partire dagli assiomi di Peano si possono definire le operazioni (struttura algebrica) e le relazioni d ordine (struttura d ordine) in N: iterando la funzione successivo si definisce l addizione e possiamo dimostrare tutte le sue proprietà, e a partire dall addizione definiamo la relazione d ordine maggiore o uguale ; iterando l addizione definiamo la moltiplicazione, e a partire dalla moltiplicazione definiamo la relazione d ordine multiplo. Il principio di buon ordinamento (detto anche principio di minimo) è equivalente al principio di induzione. 4) La geometria e il suo rapporto con l aritmetica Quale è l origine delle idee geometriche? Che rapporto intercorre fra lo spazio fisico e gli oggetti fisici e lo spazio geometrico e le figure geometriche? (Cap. 7.1, 7.2, Cap. 8.2 pp. 248 e 249) 4

5 Le idee basilari della geometria, come punto, segmento, superficie, solido, emergono sia dall osservazione della natura, attraverso le esperienze tattili, visive e motorie (l idea di solido geometrico, come sfera o cono, e l idea di moto rigido, come rotazione o traslazione); sia da diverse attività umane che si sviluppano nelle prime civiltà: l agrimensura (l idea di punto, lunghezza di un segmento, area di una superficie), la decorazione dei vasi e la rappresentazione pittorica (simmetria, segmenti, cerchi), l edilizia e l architettura (figure solide e piane, misure, proporzione). La ricerca di precisione ha condotto alle forme limite, le figure geometriche solide e piane. Tuttavia, la geometria è una scienza astratta e non sperimentale: un solido geometrico è un astrazione di un corpo fisico, il concetto di punto è l astrazione del punto tracciato puntando una matita, la retta è un astrazione dell immagine di una corda tesa, e lo spazio rappresentativo (il quadro delle immagini degli oggetti fisici che vediamo, sentiamo e ci rappresentiamo), è diverso dallo spazio geometrico. Vi sono in geometria idee di uguaglianza e di confronto, di somma o di multiplo fra segmenti, angoli, che sono collegate a quelle relative ai numeri, ma il pensiero geometrico si basa sull intuizione del continuo e non può essere ridotto all aritmetica Cap. 6.1, 7.1, 7. 3 pp ). Ad esempio, la distanza si misura con un numero ma si tratta di un idea che è tutt uno con il concetto di segmento di retta, legata all intuizione del continuo dello spazio e del tempo. 5) I concetti primitivi in aritmetica e in geometria. In aritmetica negli assiomi di Peano il numero, 1 e il successivo sono concetti primitivi (cap. 3.4); in geometria negli assiomi di Euclide il punto, la retta e il piano (cap. 7.5). Per tutti questi concetti Euclide propone delle definizioni che fanno leva sulla esperienza; nella matematica moderna si rinuncia a proporre definizioni di alcuni concetti primitivi. Abbiamo indagato le origini del concetto di numero nel contare e nella rappresentazione simbolica (Cap. 2) e le origini dei concetti geometrici legati alla misura, alla tecnica e le arti (Cap. 7.2) 6) La geometria euclidea Negli Elementi di Euclide si presenta un modo di ragionare sulle figure piane e solide che permette di ottenere un gran numero di proprietà geometriche (come il teorema di Pitagora) sulla base di alcuni pochi postulati o affermazioni accettate come vere. Questi postulati corrispondono in parte, per quanto riguarda il piano, alla nostra esperienza grafica visuale lavorando con righello e compasso: dati due 5

6 punti possiamo tracciare la retta che li unisce; dato un punto e un segmento possiamo tracciare la circonferenza con centro quel punto e raggio quel dato segmento. (Cap. 7.4) Le prime proprietà basilari della geometria euclidea poggiano sulla congruenza (criteri di congruenza dei triangoli) e sul parallelismo (teorema fondamentale delle parallele). Si dimostrano quindi risultati relativi ai triangoli e ai parallelogrammi, e poi ai poligoni in generale. Le dimostrazioni si basano sui punti e segmenti ausiliari, la decomposizione delle figure in triangoli, e l applicazione di risultati già dimostrati. Molti esempi di queste dimostrazione si studiano nella scuola superiore. (Cap. 7.6). È possibile proporre ai bambini esercizi di disegno, di piegatura della carta o di uso di materiali di costruzione che evocano le proprietà geometriche che hanno una dimostrazione rigorosa nella geometria euclidea. Queste attività non costituiscono dimostrazioni, ma permettono di assimilare i concetti astratti della geometria capendo il loro significato (invece di imparare definizioni a memoria) e permettono anche di eseguire ragionamenti e deduzioni. (Cap. 8.5) Lavorando sulle figure piane e solide, sull equivalenza di aree e volumi, sulla simmetria e la similitudine, sulla misura di lunghezze e sul calcolo di aree e volumi a partire dalle misure di segmenti, i bambini esplorano il rapporto tra astratto e concreto tipico della geometria, che è alla base della tecnica, dell architettura e della fisica. 7) Il concetto di spazio in geometria Nel paragrafo 8.1 si riflette sul collegamento fra la geometria sintetica (senza coordinate) che è una utile guida per la geometria intuitiva nella scuola primaria e la geometria analitica studiata nella scuola superiore. Il concetto di spazio geometrico e di posizione nello spazio attraverso le coordinate è tipico della matematica moderna. Non si deve confondere lo spazio geometrico astratto con la rappresentazione mentale delle sensazioni visive, tattili e motorie Cap. 8.2 pp. 248 e 249). 8) La rappresentazione dei numeri sulla retta La rappresentazione dei numeri sulla retta è un esempio importante del collegamento fra i concetti basilari dell aritmetica (numero, 1, zero) e concetti basilari della geometria (punto, segmento). Fissato un punto O e un segmento OP, ogni numero naturale n è rappresentato di un punto 6

7 tale che la distanza tra il punto e l origine O è n volte il segmento dato (in particolare, O rappresenta il numero 0 e P rappresenta il numero 1). Analogamente si procede per i numeri razionali (Cap. 6.1, cap p. 239). Si può scegliere OP in modo appropriato per poter rappresentare più o meno numeri naturali sul foglio di carta. Vi sono molti altri modelli concreti e rappresentazioni dei numeri (ad esempio Cap. 3, 1, pp , cap. 6.2, p. 159, cap. 5.2 Fig. 5.2, 5.3, 5.4). A scuola si possono proporre per affrontare i vari aspetti dei numeri. 9) L esigenza di altri numeri Perché la matematica ha sviluppato un complicato sistema di numeri ampliando l insieme dei numeri naturali? (Cap. 3 e Cap. 5) I numeri naturali sono i numeri per contare. Usando un buon sistema di sottomultipli delle unità di misura, i numeri naturali servono anche a misurare, al meno se non si richiede una grande precisione. Tuttavia, essi non funzionano bene per misurare come lo fanno per contare. Inoltre, con i numeri naturali non sempre si possono eseguire la sottrazione e la divisione. Nel corso della storia sono stati creati altri numeri, in modo tale che essi conservassero le buone proprietà algebriche di N e la relazioni d ordine totale maggiore o uguale. I primi numeri diversi dai naturali usati storicamente sono state i numeri frazionari positivi, scritti in forma di frazione (ad esempio gli Egizi usavano le frazioni unitarie) o scritti in notazione posizionale (ad esempio gli scribi babilonesi scrivevano numeri frazionari in notazione posizionale sessagesimale): questi numeri sono oggi chiamati numeri razionali. 10)Quando è possibile dividere due numeri naturali? Dati due numeri naturali, il primo si può dividere per il secondo solo se è multiplo del secondo. Se consideriamo questi numeri nell insieme dei numeri razionali, allora la divisione è sempre possibile (divisione del maggiore per il minore ma anche del minore per il maggiore). Usando l algoritmo usuale in colonna, decomponiamo le unità del resto e proseguiamo la divisione mettendo la virgola (Cap. 5, pp ). Quando un numero naturale non è multiplo di un altro numero naturale possiamo trovare una approssimazione del quoziente grazie alla divisione intera o divisione con resto, che decompone il primo numero come somma di un multiplo del secondo più un resto. 10) I vari significati della notazione frazionaria 7

8 Prima di essere considerati come veri e propri numeri (i numeri razionali, che includono le frazioni negative, che hanno una struttura d ordine e una struttura algebrica), le frazioni erano essenzialmente una notazione, che ammetteva diverse interpretazioni collegate fra di loro. Nella matematica greca teorica non vi erano frazioni, ma soltanto rapporti fra numeri interi o fra grandezze geometriche (lunghezza, area, volume). (Cap. 5.1) Tutt ora usiamo le frazioni con significati diversi (così come vi sono diversi valori d uso dei numeri naturali: cardinale, ordinale, uso nella misura, come codice) (Cap. 5.2) Vi sono molte possibili rappresentazioni geometriche di una frazione. Scriviamo i numeri razionali come frazioni, oppure in notazione posizionale (base 10 ad esempio nelle misure del sistema metrico decimale, base 60 per indicare frazioni di ora), oppure come percentuale. Ogni notazione e ogni rappresentazione geometrica mette in primo piano qualcuno dei vari significati. 11) Il numero zero (Cap. 2 e 3) Lo zero, prima di essere considerato un numero, era soprattutto un simbolo grafico che indicava una posizione vuota in un sistema di numerazione posizionale decimale. Lo zero non è uno dei numeri per contare. Tuttavia, possiamo descrivere N { 0}con gli assiomi di Peano con 0 come elemento privilegiato (l elemento che non è successore di nessun numero). Considerando N { 0}, l addizione e la moltiplicazione si possono estendere scrivendo: n + 0 = n n 0 = 0 e in questo insieme 0 è l elemento neutro dell addizione. 12) Il sistema dei numeri della matematica Seguendo un ordine logico (non storico), questo è l ampliamento dei numeri che abbiamo seguito nel corso: N N { 0} Z Q 8

9 La relazione d ordine maggiore o uguale in Z e in Q è totale ma non è un buon ordinamento. In Q abbiamo invece una proprietà di densità. In Z possiamo eseguire qualsiasi sottrazione: la sottrazione è l addizione dell opposto. In Q possiamo eseguire qualsiasi sottrazione e anche qualsiasi divisione: la divisione è la moltiplicazione per l inverso. In particolare, dati due numeri naturali, la loro divisione in Q ci indica il rapporto fra di loro, anche quando non sono uno multiplo dell altro. 13) La fattorizzazione dei numeri naturali in fattori primi (Cap.4.3) 14) La divisione con resto dei numeri interi (Cap. 4) La relazione d ordine multiplo in N non è totale: vi sono molte coppie di numeri nelle quali nessuno dei due è multiplo dell altro. Tuttavia, dati due numeri naturali, possiamo considerare sempre quale è il maggiore dei due (D), e quindi determinare fra quali due multipli consecutivi del minore (d) si colloca il maggiore d q < D < d ( q +1) Inoltre, possiamo determinare la distanza o resto r fra il maggiore dei due numeri e il minore dei due multipli del minore fra cui si colloca (ovviamente il resto sarà sempre un numero positivo e minore della distanza q fra due multipli consecutivi di q, quindi o r < q): D = d q + r Otteniamo così una rappresentazione di ogni numero naturale dato D (più in generale, anche di ogni numero intero D) in termini della famiglia dei multipli di ogni numero naturale d specificamente una decomposizione di D usando la addizione e la moltiplicazione: questa decomposizione di D è unica, fissato d. Questa decomposizione è utile nella risoluzione di molti problemi pratici. Osserviamo inoltre che questa decomposizione è la prima espressione aritmetica che apprendono i bambini; per interpretarla correttamente, è necessario ricordare una convenzione, la gerarchia delle operazioni (si eseguono prima le moltiplicazioni, dopo le addizioni). Inoltre, questa decomposizione ha una grande importanza in matematica, e si può generalizzare a tutti i numeri interi. Infatti, dall ultima decomposizione del numero 12 vediamo, in primo luogo che questa 9

10 decomposizione si può ottenere anche se D è minore di d; infatti in tal caso 0 < D < d D = d 0 + D Ad esempio, 5 = Quindi, dal punto di vista puramente matematico non serve stabilire quale dei due numeri è maggiore per dividere uno per l altro nella divisione con resto. In secondo luogo, questa decomposizione si può ottenere anche se D è un numero negativo. Ad esempio: 5 = 7 1 ( ) + 2 Quindi, abbiamo un risultato generale, il teorema della divisione con resto per i numeri interi che abbiamo dimostrato (Cap 4.1). 15) La classificazione dei numeri interi rispetto ai vari moduli in classi di congruenze. Fissato un numero naturale d, chiamato modulo, l insieme dei numeri interi risulta suddiviso (il termine matematico preciso è partizione) in d sottoinsiemi o classi di resto, dove sono classificati i numeri a seconda del tipo di decomposizione che hanno rispetto a quel modulo. In ogni classe di resto, i numeri sono separati da una distanza uguale al modulo o un multiplo del modulo. Esempio. Modulo 5, 12 appartiene alla classe di congruenza [2], insieme a 7 e a -3 Modulo 7, 12 appartiene alla classe di congruenza [5], insieme a -2 e a 26; Modulo 6, 12 appartiene alla classe di congruenza [0], insieme a tutti i multipli positivi e negativi di 6 Modulo 13, 12 appartiene alla classe di congruenza [12], insieme a -1 e a ) Decomposizioni di un numero I numeri si esprimono in modi diversi simbolicamente, si decompongono usando la moltiplicazione e l addizione. Esempio. Diverse rappresentazioni del numero

11 12 = fattorizzazione in fattori primi 12 = 2 6 decomposizione modulo 2 12 = 3 4 decomposizione modulo 3 12 = decomposizione modulo 5 12 = decomposizione modulo 7 12 = decomposizione modulo Si veda il Cap. 4. 4, pp ) Relazioni di equivalenza Abbiamo introdotto due relazioni di equivalenza nello studio dei numeri. La prima è, dato un numero naturale n, la relazione di congruenza modulo n nell insieme Z. La relazione determina una partizione di Z in (un numero finito di) classi di equivalenza dette classi di resto. La seconda è la relazione di equivalenza stabilità nell insieme Z Z * dalla regola del prodotto incrociato date due coppie ( a,b), ( c,d) Z Z * ( a,b) ( c,d) se a d = b c Questa relazione determina una partizione di Z Z *in (infinite) classi di equivalenza: ogni classe di equivalenza è un numero razionale. Ma anche in geometria vi sono relazioni di equivalenza, quali la congruenza, l equiestensione, l isoperimetria. La definizione di relazione di equivalenza si trova nel Cap. 4, p ) Insieme finito e insieme numerabile. Per dimostrare che un insieme è finito bisogna: indicare con quale segmento iniziale di N può essere messo in corrispondenza biunivoca (I 5, oppure I 10, o altro) esibire una corrispondenza biunivoca fra il segmento iniziale indicato e l insieme dato. Una corrispondenza biunivoca è una regola che associa ad ogni elemento del segmento iniziale un elemento e uno solo dell insieme dato, in modo tale che ogni elemento dell insieme dato è associato ad uno e uno solo elemento del segmento iniziale: per esibirla basta indicare tutte le immagini degli elementi del segmento iniziale; alle volte è possibile indicare con una formula come si trovano le immagini. 11

12 Esempio. L insieme delle vocali dell alfabeto italiano è un insieme finito. Infatti esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con il segmento iniziale I 5, come si può vedere qui sotto c : I 5 { a,e,i,o,u } 1 i 3 a 5 e 2 o 4 u Per dimostrare che un insieme è numerabile bisogna esibire una corrispondenza biunivoca fra l insieme dei numeri naturali N e l insieme dato. Una corrispondenza biunivoca è una regola che associa ad ogni numero naturale un elemento e uno solo dell insieme dato, in modo tale che ogni elemento dell insieme dato è associato ad uno e uno solo numero naturale: per esibirla non è possibile indicare le immagini di tutti i numeri naturali, quindi bisogna indicare una formula per dare l immagine di un numero naturale scelto a piacere oppure fornire alcuni esempi che permettano di capire la regola (con un ragionamento del tipo e così via). Esempio 1. L insieme A dei multipli interi di tre è un insieme numerabile. Infatti esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con N, come si può vedere qui sotto c : N A e così via Esempio 2. L insieme B dei numeri naturali dispari è un insieme numerabile. Infatti esso può essere messo in corrispondenza biunivoca con N, come si può vedere qui sotto: f : N B n f (n) = 2n 1 12

13 19) Scopo formativo e scopo utilitario nella matematica della scuola primaria Cap ) L idea di algoritmo La discussione dell algoritmo euclideo ci ha fornito un esempio di algoritmo in matematica, come procedura ricorsiva per ottenere una soluzione; lo abbiamo confrontato con gli algoritmi in colonna delle quattro operazioni scolastiche. 21) Approssimazione e precisione in matematica Nell esaminare la divisione intera abbiamo discusso l idea di approssimazione in matematica, l importanza che essa ha acquistato nella matematica moderna e come essa si ritrova in temi scolastici tradizionali come la divisione intera oppure l arrotondamento. La rappresentazione grafica sulla retta aiuta ad arrotondare i numeri alle decine, alle centinaia e così via aiutandosi con l intuizione geometrica (distanza del numero alla decina superiore o inferiore ecc.) 13