Reti Logiche 1. Prof. B. Buttarazzi A.A. 2009/2010 ASF

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1 Reti Logiche 1 Prof. B. Buttarazzi A.A. 2009/2010 ASF

2 Sommario Introduzione alle reti sequnziali La definizione di ASF ASF di Mealy e Moore Diagrammi di stato e Tabelle di flusso Automi equivalenti Minimizzazione di ASF Esempi 2

3 Introduzione alle reti sequenziali Reti combinatorie Le reti combinatorie sono caratterizzate da un modello che definisce in modo univoco la corrispondenza tra ingresso e uscite z=f(x) ingressi Porte logiche combinatorie uscite 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 3

4 Reti combinatorie Una rete combinatoria con n ingressi ed m uscite realizza m funzioni booleane con n ingressi. Assegnando alle variabili binarie x 1 x 2.x n (che rappresentano i segnali di ingresso) tutte le possibili configurazioni di ingresso il comportamento della rete si specifica tramite la tabella di verità di ciascuna funzione di uscita z 1 z 2.z m. 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 4

5 Limite delle Reti Combinatorie Una Rete Combinatoria realizza una (o m ) funzione booleana ma non è in grado di realizzare un algoritmo Ad esempio un addizionatore ripple-carry con 4 FA realizza la funzione di somma con input parallelo a 4bit però. nessuna RC è in grado di realizzare da sola l algoritmo della somma ovvero una generica somma a n-bit con input sequenziale. 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 5

6 Addizionatore per numeri binari rappresentati su 4 bit (e risultato rappresentato 0 su 5 bit) ottenuto dalla connessione di 4 moduli FA. Esempio di RC X0 Y0 X1 Y1 1 BIT FULLADDER 1 BIT FULLADDER Z0 Z1 X2 Y2 1 BIT FULLADDER Z2 X3 Y3 1 BIT FULLADDER 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 6 Z3 Z4

7 RC con I/O Sequenziale Proviamo a calcolare la somma di 2 numeri rappresentati su 3bit con I/O sequenziale X = (x 2, x 1, x 0 ) = 011, Y = (y 2, y 1, y 0 ) =110 X+Y = (r 3, z 2, z 1, z 0 ) = /06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 7

8 Somma per dati sequenziali Questo problema non può essere risolto da una Rete Combinatoria. Occorre una rete capace di memorizzare il riporto e riassegnarlo all ingresso, quindi capace di dare risposte non solo in funzione dell'ingresso corrente, ma anche dello stato corrente della sua memoria interna.. x y 2 x y 1 x y 0 FA Memoria ad 1 bit 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 8 z r 3 z r 2 Occorre la memorizzazione del riporto! Occorre introdurre linea di ciclo! z r 1 X+Y = 101

9 Somma 3-bit con I/O sequenziale x 2 x 1 x 0 z 2 z FA X+Y = errato! y 2 y 1 y 0 r 3 r 2 r 1 z 0 X+Y = (r3, z2, z1, z0) =1001 corretto 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 9

10 Reti Logiche per la somma Addizionatore Parallelo Addizionatore Seriale a b Addizionatore 1-bit s r a b r s a b Addizionatore 1-bit s r Schema a Blocchi Tabella di verità Memoria 1-bit Rete Logica Combinatoria Rete Logica Sequenziale 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 10

11 Addizionatore Seriale ingresso x 1 x 2 Rete Combinatoria Full Adder uscita z 1 stato presente y1 Y 1 stato futuro L addizione è ottenuta mandando in ingresso al Full Adder il riporto calcolato al passo precedente 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 11

12 Rete Sequenziale Una Rete sequenziale è caratterizzate dal fatto che le uscite non dipendono solo dall'ingresso all'istante t ma anche dalla sequenza degli ingressi applicati a partire dalla condizione iniziale. ingresso x 1 x 2 x n stato presente y 1.. Rete Combinatoria Y 1.. Y k y k 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 12 z 1 z 2 z m stato futuro uscita

13 Rete Sequenziale In una Rete Sequenziale se indichiamo: x le variabili di ingresso z le variabili di uscita y le variabili che rappresentano lo stato attuale, Y le variabili che rappresentano lo stato futuro allora la relazione tra ingresso e uscita si articola in due funzioni: Y= δ(x,y) z = ω(x,y) funzione di transizione di stato funzione di uscita 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 13

14 Rete Sequenziale Y= δ(x,y) z = ω(x,y) Le due funzioni indicano che quando arrivano in ingresso dei segnali (x) l output z prodotto dal sistema dipende sia dal valore di segnali in ingresso (x) sia dallo stato attuale (y). in cui si trova il sistema Ma il sistema oltre a produrre l output z, secondo la funzione di uscita ω, passerà dallo stato attuale y a quello successivo Y secondo la funzione di transizione δ, che tiene conto del tipo di input e dello stato attuale. ω 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 14

15 Rete Sequenziale Il numero di elementi di memoria dipende dai diversi stati in cui potrà trovarsi il sistema: - un elemento di memoria (1 bit) permette di rappresentare 2 stati (0,1). - n elementi di memoria (n bit) posso rappresentare 2 n stati distinti. 22/06/2010 Corso di Reti Logiche 2005/06 15

16 Automi a stati finiti Per fare l analisi e la sintesi delle Reti Sequenziali è utile uno strumento formale adatto a descrivere sistemi con memoria. L'automa a stati finiti è il modello astratto adatto a rappresentare le reti sequenziali. Prima di affrontare lo studio delle reti sequenziali analizzeremo, limitatamente agli obiettivi di questo corso, le caratteristiche degli automi a stati finiti. 16

17 Introduzione agli Automi Con il termine automa s intende un qualunque dispositivo, che esegue in modo autonomo un particolare compito, sulla base di ordini ricevuti. 17

18 Automi Sono esempi di automi la lavatrice, la lavastoviglie, i sistemi di controllo di apertura/chiusura delle banche, i bancomat, i sistemi di controllo degli ascensori, i distributori automatici di bevande, gettoni telefonici, benzina. Sono rappresentabili con automi anche sistemi più astratti come gli analizzatori di linguaggi, i riconoscitori di sequenze, i traduttori. Anche i computer sono automi, in particolare sono automi che possono svolgere un ruolo diverso a seconda del programma che in quel momento sta girando nella memoria centrale. 18

19 Automi Descrivere un automa significa fornire una indicazione, (supportata dall uso di schemi,grafi, tabelle) delle modalità di funzionamento dell automa stesso (cosa fa l'automa). Quando descriviamo un automa compiamo un procedimento di astrazione preoccupandoci del solo comportamento logico-funzionale dell'automa e non della sua realizzazione fisica. 19

20 Automa a Stati Finiti Noi ci riferiremo ad una particolare classe di automi, quella degli ASF che, da un punto di vista puramente matematico, rappresenta il modello astratto di un sistema con input ed output discreti, che può trovarsi in uno fra n STATI distinti. Lo stato rappresenta una condizione in cui il sistema si trova tenendo conto degli input ricevuti in precedenza e da esso dipende il comportamento del sistema a fronte di input successivi. 20

21 Automa a Stati Finiti Il comportamento di un automa a stati finiti A è descritto dalla quintupla A=<I, O, Q, δ, ω > 21

22 Automi a stati finiti ove I, O, Q, indicano rispettivamente A=<I, O, Q, δ, ω > I insieme finito di simboli di input O insieme finito di simboli di output Q insieme finito di stati interni di cui si assume q 0 Q stato iniziale (di partenza ) mentre δ, ω sono le funzioni che specificano il comportamento dell automa. δ : I Q Q è la funzione di transizione di stato (che ha per dominio il prodotto cartesiano I Q (ovvero l'insieme delle coppie x i,q i ) e per codominio Q,) che serve a specificare il nuovo stato raggiunto dall automa; ω : I Q O è la funzione di uscita, che serve a specificare il simbolo di uscita prodotto dall automa. 22

23 Automi Esistono automi ove l informazione prodotta in uscita dipende soltanto dallo stato raggiunto dalla macchina. (ovvero il valore dell uscita è già associato allo stato dell automa vedi Latch prossime lezioni) pertanto in tali casi anziché usare il simbolo ω si userà ω. Allora distingueremo i due tipi di automi in: Automi di Mealy quelli che fanno uso della funzione di uscita ω Automi di Moore quelli che fanno uso della funzione di uscita ω. 23

24 Automi Un automa si dice di Mealy (oppure improprio ) quando è caratterizzato dal fatto che l uscita (z t ) al tempo t, oltre che dallo stato (q t ), dipende anche dagli ingressi nello stesso istante, in pratica:z t =ω(x t,q t ). Un automa si dice di Moore (oppure proprio) quando l uscita (z t ) al tempo t dipende esclusivamente dal valore assunto dallo stato al tempo t, in pratica:z t =ω (q t ). Non si deve pensare che gli automi di Moore siano più limitati di quelli di Mealy (rispetto alle cose che possono fare) in quanto è sempre possibile trasformare ogni automa di Mealy nel corrispondente automa di Moore e viceversa. 24

25 Rete Sequenziale In una rete sequenziale x le variabili di ingresso z le variabili di uscita y le variabili che rappresentano lo stato attuale, Y le variabili che rappresentano lo stato successivo (a quello attuale) allora la relazione tra ingresso e uscita si articola in due fasi: Y= G(x,y) funzione di transizione di stato z = F(x,y) funzione di uscita 25

26 Rete Sequenziale Facendo corrispondere: I x, O z Q y,y δ G ω F si può osservare la stretta corrispondenza che c è fra un automa a stati finiti A descritto dalla quintupla A=<I, O, Q, δ, ω > e una rete sequenziale descritta dalle relazioni ingresso uscita Y= G(x,y) z = F(x,y) Le Reti Sequenziali sono esempi di automi di Mealy. 26

27 Rappresentazioni di ASF Per rappresentare il comportamento di un automa ovvero: i diversi stati, la funzione che calcola, lo stato successivo δ, e la funzione che calcola l'uscita ω, generalmente si utilizzano due tipi di rappresentazione equivalenti: rappresentazione a grafo: diagramma degli stati; rappresentazione a matrice: tabella di flusso; 27

28 Rappresentazione a grafo Nella rappresentazione a grafo, chiamato diagramma degli stati, i nodi rappresentano i possibili stati dell automa; gli archi rappresentano le relazioni di passaggio da uno stato all altro, secondo il particolare input. 28

29 ASF di Mealy Nel diagramma degli stati dell Automa di Mealy ogni nodo rappresenta uno stato. Ad ogni arco che collega due nodi (stati) q 1 q 2 è associata una coppia x/z, dove x è l ingresso che provoca il cambiamento dallo stato q 1 allo stato q 2 e z è l uscita che ne deriva. x / z q 1 q 2 29

30 ASF di Mealy Il generico arco che collega la coppia di nodi (stati) q 1 q 2 è etichettato da una coppia di valori x,z tali che δ(x,q 1 ) = q 2 e ω(x,q 1 ) = z. x / z q 1 q 2 x / ω(x, q 1 ) q 1 δ (x, q 1 ) Stato q 1 Stato q 2 30

31 Nel diagramma degli stati dell Automa di Moore ogni nodo rappresenta uno stato cui è associata l uscita corrispondente Pertanto ogni stato è rappresentato da una coppia q/z ove q denota il particolare stato e z è l uscita ad esso associata. Es: (qi / ω( qi) ) ASF di Moore Ad ogni arco che collega due nodi (stati q 1 q 2 ) è associata una sola etichetta x, che rappresenta l ingresso che provoca il cambiamento dallo stato q 1 allo stato q 2. x q 1 / ω( q 1 ) δ (x, q1) stato q 1 stato q 2 31

32 ASF di Moore Il generico arco che collega la coppia di nodi (stati q 1 q 2 ) è etichettato da x tale che δ(x,q 1 ) = q 2 ove q 2 è associato all uscita z 2 e z2 = ω( q 2 ) x q 1 / ω( q 1 ) δ (x, q1) stato q 1 stato q 2 32

33 ASF di Mealy Nella rappresentazione a matrice, chiamata tabella di flusso di un ASF di MEALY, ogni casella (incrocio riga-colonna) specifica qual è il successivo stato e l output prodotto dall automa se esso si trova in un determinato stato e riceve un certo input. 33

34 Tabella di flusso di un ASF di Mealy insieme degli stati i 1 i 2.. i n-1 i n insieme s 1 s 2.. s k Ogni riga della tabella rappresenta uno stato dell'automa Ogni colonna rappresenta una configurazione in ingresso.. degli ingressi 34

35 Tabella di flusso di un ASF di Mealy In ogni incrocio riga colonna è rappresentato lo stato futuro/ simbolo d'uscita determinato dalla transizione. ingresso stato presente i 1 i 2.. i n-1 i i i n s 1.. s 2. s j. s k s p/ z p stato futuro/ uscita 35

36 Tabella di flusso di un ASF di Moore Nella rappresentazione a matrice, chiamata tabella di flusso un ASF di MOORE, ogni casella specifica qual è il successivo stato (e quindi l output prodotto dall automa) se esso si trova in un determinato stato e riceve un certo input. 36

37 Tabella di flusso di un ASF di Moore insieme degli stati i 1 i 2.. i n z s 1 s 2.. s k Ogni riga della tabella rappresenta uno stato dell'automa. Ogni colonna (tranne l ultima) rappresenta una configurazione in ingresso.. insieme degli ingressi colonna delle uscite 37

38 Tabella di flusso di un ASF di Moore stato presente In ogni incrocio riga colonna è rappresentato solo lo stato futuro, s 1 s 2.. i 1 i 2.. u..... in quanto il simbolo d'uscita è sull ultima colonna. s j. s k..... ingresso i i. i n.... s p. u j uscita.... stato futuro. 38

39 Un Automa di Mealy è un ASF A 1 =<I, O, Q, δ, ω > Riassumendo I insieme finito di simboli di input O insieme di valori di output Q insieme finito di stati interni di cui si assume q 0 Q stato di partenza δ : I Q Q funzione di transizione serve a specificare il nuovo stato raggiunto dall automa; ω : I Q O funzione di uscita, serve a specificare il simbolo di uscita prodotto dall automa. dove l uscita al tempo t, oltre che dallo stato, dipende anche dagli ingressi nello stesso istante:z t =ω(x t,q t ). 39

40 Riassumendo Un Automa di Moore è un ASF A 2 =<I, O, Q, δ, ω > I insieme finito di simboli di input O insieme di valori di output Q insieme finito di stati interni di cui si assume q 0 Q stato di partenza δ : I Q Q funzione di transizione serve a specificare il nuovo stato raggiunto dall automa; ω : Q O funzione di uscita, serve a specificare il simbolo di uscita prodotto dall automa. dove l uscita al tempo t dipende esclusivamente dal valore assunto dallo stato:z t =ω (q t ). 40

41 Riassumendo Automa di MEALY: L'uscita della rete dipende dagli ingressi e dagli stati interni : z=w(x,q). Il nodo contiene solo il nome dello stato (q). Sugli archi ci sono 2 etichette (x/w(x,q) che rappresentano la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno stato all'altro e il simbolo d'uscita. Diagrammi degli stati Mealy x / ω(x, q) q δ (x, q) Moore x q/ω(q) δ (x, q) Automa di MOORE: L'uscita della rete dipende dallo stato interno: z=w (q). Il nodo ha due etichette (q/w(q)) che rappresentano rispettivamente il nome dello stato ed il simbolo d'uscita corrispondente. Sugli archi vi è solo un etichetta (x ) la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno stato all'altro. 41

42 Riassumendo Tabella di Flusso Mealy q ingressi x δ (x,q) / ω (x,q) ingressi x Moore q δ (x,q) ω(q) 42

43 Esercizio Dato il diagramma degli stati del seguente Automa dire di che tipo di Automa si tratta B/0 A/1 q 0 q 1 B/1 A/0 43

44 Soluzione Dal momento che ciascun nodo contiene solo il nome dello stato (q) e sugli archi ci sono 2 etichette (x/z) che rappresentano la configurazione di ingresso che determina il passaggio da uno stato all'altro e il valore dell'uscita per tale configurazione, si tratta di un Automa di MEALY L'uscita della rete dipende dagli ingressi e dagli stati interni : z=w(x,q). B/0 A/1 q 0 q 1 B/1 A/0 44

45 Esercizio Dato il diagramma degli stati del seguente Automa di Mealy determinare la corrispondente Tabella di Flusso B/0 A/1 q 0 q 1 B/1 A/0 45

46 Soluzione B/0 A/1 q 0 q 1 B/1 A/0 A B q0 q0/1 q1/0 q1 q0/0 q1/1 46

47 Esercizio Dato il diagramma degli stati del seguente Automa di Mealy determinare la corrispondente Tabella di Flusso 00/0 01/1 10/1 q 0 11/0 q 1 01/0 10/0 11/1 00/1 47

48 Soluzione 00/0 01/1 10/1 Q 0 11/0 Q 1 01/0 10/0 11/1 00/ Q0 Q0/0 Q0/1 Q1/0 Q0/1 Q1 Q0/1 Q1/0 Q1/1 Q1/0 48

49 Esercizio Data la seguente Tabella di Flusso determinare il corrispondente diagramma degli stati. 0 1 q0 q0/0 q1/0 q1 q0/0 q1/1 49

50 Soluzione 0 1 q0 q0/0 q1/0 q1 q0/0 q1/1 1/0 0/0 q 0 q 1 1/1 0/0 50

51 Esercizio Dato il diagramma degli stati del seguente Automa di Moore determinare la corrispondente Tabella di Flusso q 0 /1 01 q 1 /

52 Soluzione q 0 / q 1 / q 0 q ω q0 q1 q0 q0 1 q1 q1 q0 q1 0 52

53 Equivalenza Due stati q e q di un automa A si dicono equivalenti se per ogni simbolo di ingresso x (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento 1-step) (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) 53

54 Stati equivalenti Nell automa di Mealy rappresentato si nota che q 0 q 2 in quanto: applicando la sequenza di simboli in ingresso AAB allo stato q 0 il sistema produce in output 110 ω (A, q 0 ) =1 ω (A, q 2 ) = 1ω (B, q 2 ) = 0 applicando la sequenza di simboli in ingresso AAB allo stato q 2 il sistema produce in output 110 ω (A, q 2 ) =1 ω (A, q 2 ) = 1ω (B, q 2 ) = 0 B/0 A/1 q 0 q B/1 1 A/0 B/0 A/0 A/1 q 2 q B/1 3 54

55 Stati equivalenti In un certo senso, potremmo dire che la presenza degli stati equivalenti (q0 e q1) in A é ridondante, in quanto gli stati equivalenti effettuano le stesse transizioni a fronte degli stessi input. Poiché un automa é un modello astratto di una macchina sequenziale, é intuitivo il fatto che sia conveniente minimizzare un automa, ovvero trovare un automa equivalente che abbia il minimo numero di stati. Si noti comunque che ridurre il numero degli stati di un automa (sostituendo tutti gli stati equivalenti con un unico rappresentante) equivale a ridurre (con legge logaritmica) il numero di elementi di memoria nel circuito corrispondente. 55

56 ControEsempi applicando la sequenza di simboli in ingresso AAB allo stato q 0 il sistema produce in output 100 ω (A, q 0 ) =1 ω (A, q 2 ) = 0ω (B, q 2 ) = 0 ma applicando la sequenza di simboli in ingresso AAB allo stato q 2 il sistema produce in output 000 ω (A, q 2 ) =0 ω (A, q 2 ) = 0ω (B, q 2 ) = 0 B/0 A/1 q 0 q B/1 1 A/0 B/0 A/0 A/0 q 2 q B/1 3 Detti q e q due stati equivalenti di un automa A, qualunque sequenza di simboli di ingresso applicata ad A nello stato q oppure ad A nello stato q da luogo alla stessa sequenza di output. 56

57 ControEsempi Partendo dallo stato q 0 δ (B, q 0 ) = q 1 Partendo dallo stato q 2 δ (B, q 2 ) = q 0 A/1 q 0 B/0 q 1 B/1 A/0 A/1 B/0 A/0 q 2 q 3 B/1 57

58 Equivalenza fra ASF Due automi dello stesso tipo A e A sono equivalenti se per ogni stato s di A esiste uno stato s di A equivalente ad s e viceversa. Riprenderemo l aspetto della equivalenza per la minimizzazione degli automi 58

59 Minimizzazione degli stati di un ASF Dato un Automa (ovvero data la sua tabella di flusso) il processo di minimizzazione mira ad eliminare gli stati ridondanti dell automa, eventualmente presenti. Il processo di minimizzazione degli stati di un automa consiste nei seguenti 3 passi: Trovare una partizione di stati dell automa suddivisi in classi di equivalenza avente cardinalità minima. Scegliere un solo stato per ciascuna classe della partizione Sostituire ciascuna classe con il solo stato (nodo) scelto (utilizzando la tecnica della fusione). 59

60 Osservazioni Per determinare l automa minimo di un dato automa, a differenza di quanto capita per le funzioni booleane, esistono procedure efficienti Algoritmo per partizioni successive Metodo triangolare Va comunque osservato che tra le due operazioni di minimizzazione è più importante quella delle funzioni booleane, infatti mentre minimizzare un automa significa ridurre il numero degli stati (rapporto tra numero di elementi di memoria e numero degli stati è k / 2 k ) per le funzioni booleane risparmiare un operatore significa ridurre di uno il numero di porte. 60

61 Minimizzazione di un ASF di Mealy Per descrivere i vari passi dell ALGORITMO di minimizzazione utilizzeremo come esempio la seguente tabella di flusso iniziale: A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,0 E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 61

62 Primo step Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 62

63 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A}

64 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A}

65 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C}

66 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D}

67 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D}

68 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D,F}

69 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D,F}, {B}

70 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D,F}, {B}

71 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} {A,C,D,F}, {B}

72 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}

73 Primo step (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}

74 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A è equivalente a C se per configurazione di input ( )l automa transita nella stessa classe di equivalenza 74

75 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Vediamo se A è equivalente a C (per ogni input deve essere δ(x, q ) δ (x, q ') ) 75

76 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 A è equivalente a C se per ogni input ( )l automa transita nella stessa classe δ(x, q ) δ (x, q ') 00: δ(00, A ) =A ovvero {α}, Α e δ(00, C)= C ovvero {α} C 76

77 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 A è equivalente a C se per ogni input ( )l automa transita nella stessa classe 01: δ(01, A ) =E ovvero {γ}, Α e δ(01, C)= B ovvero {γ} C 77

78 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 A è equivalente a C se per ogni input ( )l automa transita nella stessa classe 11: δ(11, A ) =A ovvero {α}, Α e δ(11, C)= C ovvero {α} C 78

79 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 A è equivalente a C se per ogni input ( )l automa transita nella stessa classe 10: δ(10, A ) =F ovvero {α}, Α e δ(10, C)= F ovvero {α} C 79

80 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Quindi A è equivalente a C in quanto per ogni input δ(x, q ) δ (x, q ') 80

81 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Ora vediamo se A è equivalente a D (per ogni input deve essere δ(x, q ) δ (x, q ') ) Dai confronti se vede che A D 81

82 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,O E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0.ripetendo Dai confronti se vede che A D 82

83 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E}= {α}, {γ} A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,0 E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 Ma A non è equivalente a F in quanto δ(01, A ) =E ovvero {γ}, e δ(01, F)= F ovvero {α} 83

84 Secondo step (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) pertanto devo ulteriormente partizionare l insieme Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Π 1 (Q)= {A,C,D,F}, {B,E} Π 2 (Q)= {A,C,D}, {F},{B,E= {α}, {β}, {γ} 84

85 Secondo step Eseguo lo stesso controllo sulla classe {B,E} che non risulta partizionabile, pertanto l insieme delle classi equivalenti è: {A,C,D}, {F} {B,E}, {α}, {β}, {γ} 85

86 Secondo step Tutti gli stati appartenenti ad una stessa classe possono essere sostituiti da uno solo di essi ( rappresentante ) in quanto sufficiente a rappresentarli tutti in una tabella di flusso minima. Pertanto le classi risultanti sono: α:=(α,c,d) β:=(β,ε) γ:=(f) 86

87 Tabella di flusso A questo punto è possibile aggiornare la tabella di flusso (sostituire le 3 righe A,C,D con α le 2 righe B,E con β e F con γ A A,1 E,0 A,1 F,0 B A,1 B,1 D,1 B,0 C C,1 B,0 C,1 F,0 D D,1 E,0 D,1 F,0 E A,1 E,1 C,1 E,0 F C,1 F,0 F,1 F,0 α:=(a,c,d) β:=(β,ε) γ:=(f) α α,1 β,0 α,1 γ,0 β α,1 β,1 α,1 β,0 γ α,1 γ,0 γ,1 γ,0 D D,1 E,0 D,1 F,0 87

88 Tabella di flusso La tabella di flusso minima è: α α,1 β,0 α,1 γ,0 β α,1 β,1 α,1 β,0 γ α,1 γ,0 γ,1 γ,0 D D,1 E,0 D,1 F,0 Ogni riga della tabella rappresenta uno stato dell'automa. E A,1 E,1 C,1 E,0 Ogni colonna rappresenta una configurazione in ingresso. B C,1 F,0 F,1 F,0 88

89 Minimizzazione di un ASF di Mealy Poichè l automa minimo ha 3 stati (ovvero necessita di ricordare 3 stati distinti (α,β,γ) ) per la sua implementazione (sintesi) saranno sufficienti 2 bit, che potremmo codificare nel seguente modo: α=00, β=01, γ=11. 89

90 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q ) (passo induttivo) 90

91 Minimizzazione di un ASF di Moore La minimizzazione di un automa di Moore è più semplice in quanto la prima partizione si determina osservando direttamente la colonna z 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 1 (Q)= {A,B,C,D,}, {E,F}= {α}, {γ} 91

92 Minimizzazione di un ASF di Moore Mentre per i passi successivi è identica al caso precedente Confronto A e B 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 1 (Q)= {A,B,C,D,}, {E,F}= {α}, {γ} 92

93 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,C,D,}, {B}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 93

94 Minimizzazione di un ASF di Moore Confronto A e C 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,C,D,}, {B}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 94

95 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 95

96 Minimizzazione di un ASF di Moore Confronto A e D 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 96

97 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 97

98 Minimizzazione di un ASF di Moore Confronto B e C 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 98

99 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 99

100 Minimizzazione di un ASF di Moore Confronto E e F 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 100

101 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 E F A 1 F E D 1 Π 0 (Q)= {A,B,C,D,E,F} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q )(passo induttivo) Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 101

102 Minimizzazione di un ASF di Moore 0 1 z A D B 0 B E C 0 C F B 0 D A B 0 Scelgo A,B,E come rappresentanti delle 3 classi di equivalenza: Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} E F A 1 F E D 1 102

103 ASF di Moore ridotto 0 1 z A A B 0 B E B 0 E E A 1 Π 2 (Q)= {A,D,}, {B,C}, {E,F}= {α}, {β}, {γ} 103

104 Esercizio Minimizzare l automa di cui di seguito è riportata la tabella di flusso 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 104

105 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Metodo delle partizioni: (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) (ii)δ(x, q ) δ (x, q ')(passo induttivo) 105

106 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Π 1 (Q)={A} 1 0 (i)ω (x, q ) = ω (x, q ') (equicomportamento) Partizioniamo l insieme di stati di partenza in funzione dell output prodotto 106

107 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Π 1 (Q)={A,B}

108 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Π 1 (Q)={A,B,C}

109 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Π 1 (Q)={A,B,C}

110 Soluzione 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 Π 0 (Q)={A,B,C,D} Π 1 (Q)={A,B,C}, {D}

111 Soluzione (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') (passo induttivo) Per ogni partizione creata vedo se è soddisfatta la regola ii 0 1 Π 1 (Q)={A,B,C}, {D} = {α}, {γ} A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 δ(0, A ) =A ovvero {α}, e δ(0, B)= C ovvero {α} 111

112 Soluzione (ii)δ(x, q ) δ (x, q ') 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 ma (passo induttivo) δ(1, A ) =B ovvero {α}, mentre δ(1, B)= D ovvero {γ} Quindi A non è equivalente a B anche se produce lo stesso output pertanto devo ulteriormente partizionare l insieme Π 2 (Q)={A,C }, { B}, {D} {α}, {β}, {γ} 112

113 Esercizio Rispondere alle seguenti domande 1) Cosa deve accadere perché due stati A e B di un automa di Mealy siano equivalenti? 2) Se viene applicata una stessa sequenza di ingressi a due stati equivalenti di un automa cosa si ottiene? 3) Data la seguente tabella di flusso, dire perché A non è equivalente a D 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 113

114 Esercizio 4) Data la seguente tabella di flusso, dire quale tra le seguenti relazioni di equivalenza è vera. a) A C b) B C 0 1 A A/1 B/0 B C/1 D/0 C C/1 B/0 D B/0 C/1 114

115 Esercizio Sia data la tabella di transizione seguente dove X={a,b} Y={0,1} Q={q0, q1, q7 } Minimizzare l automa a b q0 q1/1 q7/1 q1 q5/1 q3/1 q2 q3/0 q4/1 q3 q2/0 q5/1 q4 q3/1 q2/1 q5 q2/1 q2/1 q6 q2/1 q3/1 q7 q2/0 q0/1 115

116 Soluzione a b qe qf/1 qh/1 qf qd/1 qg/1 qd qg/1 qg/1 qg qg/0 qd/1 qh qg/0 qd/1 116

117 Riepilogo 1 AUTOMI: sono sistemi astratti in grado di modellare il comportamento delle reti sequenziali, (in genere un automa è un dispositivo che esegue in modo autonomo un particolare compito, sulla base di ordini ricevuti) AUTOMA DI MEALY: è caratterizzato dal fatto che l uscita al tempo t, oltre che dallo stato, dipende anche dagli ingressi nello stesso istante, in pratica:z t =ω(x t,q t ). AUTOMA DI MOORE: è caratterizzato dal fatto che l uscita al tempo t dipende esclusivamente dal valore assunto dallo stato, in pratica:z t =ω (q t ). 117

118 Riepilogo 2 DIAGRAMMI DEGLI STATI: x / ω(x, q) q δ (x, q) Mealy x q/ω(q) δ (x, q) Moore TABELLE DI FLUSSO: ingressi x ingressi x q δ (x,q) / ω (x,q) Mealy q δ (x,q) ω(q) Moore 118

119 Riepilogo 3 STATI EQUIVALENTI: Due automi dello stesso tipo A e A sono equivalenti se per ogni stato s di A esiste uno stato s di A equivalente ad s e viceversa. MINIMIZZAZIONE ASF: Il processo di minimizzazione degli stati di un automa consiste nei seguenti 3 passi: -trovare una partizione di stati dell automa suddivisi in classi di equivalenza avente cardinalità minima. -scegliere un solo stato per ciascuna classe della partizione -sostituire ciascuna classe con il solo stato (nodo) scelto (utilizzando la tecnica della fusione). L automa minimo è unico (ha tanti stati quante sono le classi di indistinguibilità) 119