La valutazione dei modelli VaR

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1 Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008

2 AGENDA Il backtesting dei modelli VaR Il test dell unconditional coverage Il test della conditional coverage Il test di Lopez I test basati sull intera distribuzione Esercizi 2

3 I test retrospettivi (backtesting) sono basati sul confronto fra le indicazioni del modello e i risultati dell'attività di negoziazione confronto tra la stima giornaliera del VaR e le perdite effettive del giorno successivo Se il modello è corretto, le perdite effettive dovrebbero risultare superiori al VaR con una frequenza coerente con quella definita dal livello di confidenza Se il VaR giornaliero è 83 e il livello di confidenza del modello è pari al 99%, ci si attende perdite superiori a 83 unicamente nell'1% dei casi, cioè 2,5 giorni su 250 giorni di negoziazione annui 3

4 26/07/ /08/ /09/ /10/ /11/ /12/ /01/ /02/ /03/ /04/ /05/ /06/2005 Rischio e valore nelle banche Un esempio di backtesting Backtesting del VaR di un portafoglio azionario Portafoglio equiponderato investito in due indici azionari (FTSE100 e Dow Jones Industrial Average) Orizzonte temporale: dal 26 luglio 2004 al 22 luglio 2005 Valori effettivi del portafoglio (257 dati giornalieri) 7000 Il portafoglio è partito da un valore di circa euro ed ha chiuso il periodo in esame a un valore di con rendimento del 13.6% circa Evoluzione del valore del portafoglio

5 Rischio e valore nelle banche Un esempio di backtesting Evoluzione del VaR giornaliero stimato con l approccio varianzecovarianze con livello di confidenza 95% nel periodo considerato /07/ /10/ /01/ /04/ /07/2005 Variazione di valore reale VaR al 95% La perdita giornaliera del portafoglio risulta superiore al VaR in 10 dei 257 giorni considerati, ossia nel 3,9% dei casi Risultato coerente con il livello di confidenza desiderato Il valore degli errori di stima connessi a tali eccezioni raggiunge tuttavia, in alcuni casi, importi rilevanti, anche il 100% del VaR stimato 5

6 Un esempio di backtesting Evoluzione del VaR giornaliero stimato con l approccio varianze-covarianze, con una volatilità stimata attraverso l EWMA (decay factor : 0,94 e 0,97) 100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0-20,0-40,0-60,0-80,0-100,0 26/07/ /10/ /01/ /04/ /07/2005 Variazione di valore effettiva VaR al 95%, lambda=0,94 VaR al 95%, lambda=0,97 6

7 Un esempio di backtesting Come si nota dalla figura della slide 6, un valore di lambda minore produce un VaR più reattivo alle condizioni recenti il VaR sale più rapidamente in presenza di rendimenti recenti fortemente negativi o positivi e si riduce più velocemente quando le variazioni giornaliere sono contenute L uso di un lambda minore consente di stimare meglio il rischio del portafoglio quando le perdite elevate sono precedute da altre perdite elevate In questo caso: VaR con decay factor 0,94 VaR con decay factor 0,97 9 eccezioni su 257 giorni (tasso di errore 3,5%) 10 eccezioni (tasso di errore 3,9%) 7

8 Un esempio di backtesting evoluzione del VaR giornaliero stimato con il modello delle simulazioni storiche Il VaR ottenuto con questo metodo presenta un evoluzione temporale peculiare, caratterizzata da una certa stabilità interrotta da improvvisi salti /07/ /10/ /01/ /04/ /07/2005 Variazione di valore effettiva VaR storico al 95% Quando la perdita relativa al percentile corrispondente al livello di confidenza prescelto esce dal campione il VaR cambia Numero di eccezioni = 11 Errore massimo = 119% del VaR 8

9 % di casi nel campione Rischio e valore nelle banche Un esempio di backtesting Il risultato dell approccio delle simulazioni storiche risulta abbastanza simile a quello connesso all approccio varianze-covarianze Il portafoglio ha una distribuzione simile ad una normale e ha un payoff lineare 16,0% 14,0% 12,0% 10,0% 8,0% 6,0% 4,0% 2,0% 0,0% I vantaggi della simulazione storica, full valuation e distribuzione dei rendimenti non vincolata a nessuna variabile casuale nota, vengono ridimensionati Rendimenti giornalieri 9

10 Un esempio di backtesting 100,0 80,0 Evoluzione congiunta del VaR secondo i tre approcci Numero di eccezioni Errore massimo, in % del VaR stimato VaR Parametrico (media semplice) % Parametrico (l=94%) 9 115% Parametrico (l=97%) % Storico % 60,0 40,0 20,0 0,0-20,0-40,0-60,0-80,0-100,0 26/07/ /10/ /01/ /04/ /07/2005 il secondo approccio (parametrico EWMA) produce stime di VaR più volatili Variazione di valore effettiva EWMA, lambda = 0,94 Simulazione storica Media mobile semplice 10

11 Hendricks 1996 Nello studio empirico condotto da Hendricks sono stati confrontati: 4 modelli di VaR storico (orizzonte temporale di 125, 250, 500 e giorni) 8 modelli VaR varianza/covarianza del tipo a medie mobili semplici (calcolate su 50, 125, 250, 500 e 1250 gg) ed esponenziali (con l pari a 0.94, 0.97 e 0.99) Sono stati creati diversi portafogli valutari, ciascuno composto con pesi casuali da 8 valute diverse. Il VaR giornaliero di ciascuno di questi portafogli è stato calcolato con ciascuno dei 12 diversi modelli per circa 12 anni (3.000 osservazioni giornaliere, dal gennaio 1993 al dicembre 1995) Livelli di confidenza 95% e 99% 11

12 Hendricks 1996 Risultati: Metodologia Rapporto % tra numero di eccezioni e totale giorni Rapporto medio tra perdita in eccesso al VaR e VaR VaR al 95% VaR al 99% VaR al 95% VaR al 99% Media mobile semplice 50 gg. 94,8 98,3 1,41 1,46 Media mobile semplice 125 gg. 95,1 98,4 1,38 1,44 Media mobile semplice 250 gg. 95,3 98,4 1,37 1,44 Media mobile semplice 500 gg. 95,4 98,4 1,38 1,46 Media mobile semplice gg. 95,4 98,5 1,36 1,44 Media mobile esponenziale (l=0,94) 94,7 98,2 1,41 1,44 Media mobile esponenziale (l=0,97) 95,0 98,4 1,38 1,42 Media mobile esponenziale (l=0,99) 95,4 98,5 1,35 1,40 Simulazione storica 125 gg. 94,4 98,3 1,48 1,48 Simulazione storica 250 gg 94,9 98,7 1,43 1,37 Simulazione storica 500 gg 94,8 98,8 1,44 1,37 Simulazione storica gg 95,1 99,0 1,41 1,30 Valore di riferimento distribuzione normale 1,254 1,145 valore teorico che il rapporto medio tra perdita effettiva e VaR dovrebbe assumere se la distribuzione dei rendimenti dei fattori di mercato fosse normale e se il VaR fosse corretto 12

13 Hendriks 1996 Per quanto riguarda il rapporto % tra numero di eccezioni e totale giorni: i modelli offrono una buona performance, avvicinandosi considerevolmente al valore teorico indicato dal livello di confidenza L esame del rapporto medio tra perdita in eccesso al VaR e VaR mostra come le perdite superiori al VaR siano mediamente molto maggiori della perdita attesa in ipotesi di normalità La differenza tra la distribuzione normale e la vera distribuzione dei dati è particolarmente sensibile oltre il VaR, cioè nelle code estreme della distribuzione 13

14 Una corretta valutazione della qualità di un modello VaR andrebbe fondata su due diversi aspetti: la coerenza del numero di eccezioni (numero di giorni in cui le perdite superano la stima del VaR) la dimensione delle eccezioni (valore della perdita in eccesso rispetto al VaR) La metodologia di backtesting proposta dal Comitato di Basilea si fonda sul primo criterio 14

15 Come stimare il risultato economico giornaliero con il quale confrontare il VaR? 1.Effettivo risultato economico derivante dalle vendita delle posizioni in portafoglio realmente liquidate dalla banca Inadeguato in quanto contrario a mark-to-market 2.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato, a fine giornata, il portafoglio effettivamente detenuto dalla banca in quel momento Impreciso a causa delle modifiche nella composizione del portafoglio della banca, intervenute durante la giornata 3.Il risultato economico che si ottiene rivalutando alle nuove condizioni di mercato di fine giornata il portafoglio detenuto dalla banca la sera del giorno precedente Risultato economico statico o static profit & loss più appropriato, confronta il VaR con una misura di perdita ad esso omogenea 15

16 Tecniche alternative di backtesting Nell esempio delle slide 4-10 si è concluso che un numero di eccezioni giornaliere pari a 9, 10 o 11 (su 257 giorni di negoziazione) fosse coerente con il livello di confidenza del 95% E una questione di significatività statistica 1.Qual è la percentuale massima di eccezioni coerente con il livello di confidenza del modello? 2.Qual è la percentuale minima di eccezioni oltre la quale si deve concludere che il modello non è valido (e in particolare, che la banca è esposta a rischi superiori a quanto indicato dal VaR)? Se si considera un modello VaR con livello di confidenza pari al 99% e nel backtesting si ottengono 2 eccezioni (2%) La percentuale di eccezioni è il doppio di quella attesa (2% anziché 1%), ma l errore è esiguo difficile concludere se il modello è corretto o scorretto 16

17 Tecniche alternative di backtesting Numerosi test statistici sono stati proposti nel corso della seconda metà degli anni novanta I test possono essere suddivisi in 3 categorie: 1.Test basati sulla frequenza delle eccezioni Si basano sul confronto fra il numero di giorni in cui la perdita ha superato il VaR e il relativo livello di confidenza 2.Test basati su una funzione di perdita Considerano oltre alla frequenza, anche la dimensione delle perdite (excess losses) 3.Test basati sull intera distribuzione di profitti e perdite Si confronta l intera distribuzione delle variazioni di valore previste dal modello VaR con i profitti e le perdite effettivamente realizzati 17

18 Tecniche alternative di backtesting In tutti i casi, l ipotesi oggetto di test ( ipotesi nulla, o H 0 ) è che il modello VaR della banca sia corretto Se H 0 viene rigettata, si deve concludere che il modello VaR non sia sufficientemente accurato I test sono esposti a due tipi di errori: Primo tipo rigettare l ipotesi nulla quando è corretta Secondo tipo accettare l ipotesi nulla quando è falsa Per finalità di risk-management si è interessati alla capacità del test di minimizzare l errore del secondo tipo ( potenza del test), incorrendo in un errore del primo tipo elevato Esiste un trade-off tra i due tipi di errori 18

19 Il test dell unconditional coverage È il proportion of failures test proposto da Kupiec nel 1995 IPOTESI H 0 : la frequenza delle eccezioni empiricamente rilevate,, è coerente con quella teorica desiderata, (tasso di eccezioni implicito nei valori osservati= ) Tale verifica non è condizionata a ulteriori ipotesi, perciò il test è unconditional Se l ipotesi nulla è corretta allora la probabilità di osservare x eccezioni in un campione di N osservazioni (tasso di eccezioni pari a p x/n) è data da una distribuzione binomiale con media N : Considerando un campione di 250 osservazioni giornaliere e un livello di confidenza del 99%, la probabilità di ottenere x eccezioni è: N! N x! x! pr( x;1%,250) N pr( x, N) x 250 x 0,01 x x (1 ) 250 0,99 x N x 19

20 Frequenza Rischio e valore nelle banche Il test dell unconditional coverage È possibile calcolare la probabilità associata a qualsiasi numero di eccezioni: 30% 25% 20% 15% 10% 5% x (1) pr(x) 2 S[pr(x)] 3 1S[pr(x)] 0 8,1% 8,1% 91,9% 1 20,5% 28,6% 71,4% 2 25,7% 54,3% 45,7% 3 21,5% 75,8% 24,2% 4 13,4% 89,2% 10,8% 5 6,7% 95,9% 4,1% 6 2,7% 98,6% 1,4% 7 1,0% 99,6% 0,4% 8 0,3% 99,9% 0,1% 9 0,1% 100,0% 0,0% 10 0,0% 100,0% 0,0% 0% Numero di eccezioni 20

21 Il test dell unconditional coverage Se il modello è corretto, la probabilità che si verifichi un numero di eccezioni pari o inferiore a 4 è 89,2% (seconda colonna tabella precedente), quindi la probabilità di avere più di 4 eccezioni è 10,8 (terza colonna) se si desse come regola quella di rifiutare l ipotesi nulla ogni volta che si verificano più di 4 eccezioni, l errore del primo tipo (rifiutare un modello corretto) sarebbe pari a 10,8%. Se si rifiutasse il modello solo se le eccezioni sono più di 6, il rischio di rifiutare un modello corretto sarebbe molto basso (1,4%) Poiché l errore che più preoccupa nell ottica del risk management non è rifiutare un modello corretto, ma fidarsi di un modello sbagliato (errore secondo tipo) è preferibile la prima delle due regole Ad una logica di questo tipo si ispira il Comitato di Basilea: fino a 4 eccezioni il modello viene considerato di buona qualità, fino a 9 parzialmente adeguato e da 10 eccezioni non accurato. 21

22 Il test dell unconditional coverage TEST INFERENZIALE: è possibile valutare la rispondenza tra il tasso di eccezioni registrato durante il backtesting (π x/n) e il tasso di eccezioni atteso se il modello è corretto () con un classico test di tipo likelihood ratio Il test si basa sul rapporto tra due funzioni di verosimiglianza Una è non vincolata, la probabilità di osservare un determinato fenomeno viene posta pari alla probabilità osservata nel campione. L x N x x 1 probabilità non vincolata di osservare x eccezioni, basata sul tasso di errore campionario LR uc La seconda funzione di verosimiglianza è invece vincolata al rispetto dell ipotesi nulla (probabilità che si verifichi un errore = ) x (1 ) ( ) 2ln x 1 N x N x L x N x x 1 Test: se π è significativamente diverso da assumerà valori positivi ed elevati, se invece sono vicini la statistica tenderà a zero 22

23 Il test dell unconditional coverage Riprendiamo il caso visto in precedenza (VaR con =1% e sottoposto a backtesting con N=250 giorni) Ipotizziamo che le eccezioni siano 4 π x/n = 4/250 1,6% Il valore della statistica LR uc sarà: LR uc 1% ln 1,6% 4 (1 1%) ,6% ,77 se l ipotesi nulla è corretta la statistica LR uc si distribuisce secondo una distribuzione chi quadrato con 1 grado di libertà LRuc 2 1 È quindi possibile: stabilire un valore soglia che comporti un errore del primo tipo sufficientemente elevato (ad esempio 2,7055 corrispondente al 90% della funzione di ripartizione) respingere l ipotesi nulla (modello inadeguato) se LR uc si colloca al di sopra della soglia 23

24 Il test dell unconditional coverage Riferendoci all esempio in esame: poiché 0,77 non supera 2,7055, il modello VaR è da considerarsi accettabile Se il valore della statistica LR uc fosse maggiore di 2,7055, allora il modello potrebbe essere rifiutato 10% Se si accetta un errore del primo tipo più elevato la soglia fissata sarebbe più bassa: una soglia pari a 0,4549 genererebbe un errore del primo tipo nel 50% dei casi, e in questo caso il modello VaR sarebbe rigettato. Se la soglia fosse 0,77 il modello comporterebbe un rischio di errore (tutt altro che modesto) del 38% 0,45 0,77 2,70 0,77 50% 38% 0,77 24

25 Il test dell unconditional coverage Il p-value del test è definito come la probabilità, nel caso in cui l ipotesi nulla sia corretta, di ottenere valori di LR uc superiori a quello osservato p F LR uc Minore è il p-value, meno affidabile è il modello funzione di densità cumulata di una chi-quadro con un grado di libertà Un punto cruciale nell ambito del backtesting è rappresentato dalla scelta del valore-soglia, cioè la significatività del test. Questa scelta dipende fondamentalmente dal costo associato ai due tipi di errori Gli errori del secondo tipo (considerare corretto un modello che non lo è) sono i più costosi. nel risk management si utilizzano frequentemente livelli di significatività statistica relativamente elevati, non inferiori al 10%. 25

26 Il test dell unconditional coverage È possibile dimostrare che la potenza statistica del test di Kupiec (definita come il complemento a uno dell errore del secondo tipo) è piuttosto bassa Questa probabilità è tanto maggiore: Vi è sempre un alta probabilità di accettare l ipotesi nulla quando essa è falsa. Quanto più il valore dell ipotesi nulla diminuisce Quanto maggiore è il livello di confidenza del modello Quanto più piccola è la dimensione del campione In generale il test di Kupiec richiede un campione composto da un numero elevato di dati (circa 10 anni di dati giornalieri) per poter generare risultati veramente affidabili. 26

27 Il test della conditional coverage Il test di Kupiec si focalizza unicamente sul numero di eccezioni e non considera la loro distribuzione temporale Un modello che alterna periodi in cui il VaR è sottostimato (numero di eccezioni elevato) a periodi in cui il VaR è sovrastimato (numero di eccezioni basso) potrebbe risultare accettabile Il test è non condizionato : la qualità di un modello è valutata in modo indipendente dalla capacità di reagire prontamente a nuove condizioni di mercato Se un modello è in grado di reagire correttamente alle nuove informazioni, allora la probabilità che si verifichi un eccezione nel giorno t dovrebbe essere indipendente da eventuali eccezioni registrate il giorno t-1 Se le eccezioni sono serialmente concentrate (clustered), è verosimile attendersi che se il giorno t-1 si è verificata un eccezione la probabilità (condizionata) di avere un altra eccezione il giorno t sia superiore alla media 27

28 Il test della conditional coverage È preferibile che le eccezioni siano indipendenti: Un test rivolto a valutare la conditional coverage di un modello VaR è quello proposto da Christoffersen nel 1998 La statistica LR uc viene estesa per verificare che le eccezioni siano serialmente indipendenti Vengono definite: 1,1 se così non fosse, all indomani dell eccezione, il risk manager dovrebbe aumentare il VaR su livelli superiori in modo che la probabilità condizionale di un eccezione rimanga in linea con il valore desiderato. 1,0 probabilità che un eccezione in t-1 sia seguita da un altra eccezione in t probabilità che un eccezione in t-1 sia seguita da una non eccezione in t 0,1 probabilità che in t si verifichi un eccezione senza che questa si sia verificata in t-1 0,0 probabilità che non vi siano eccezioni in t-1 e in t 28

29 Il test della conditional coverage C è INDIPENDENZA SERIALE se: 0,0 1 1,1 1,0 0, 1 la probabilità di avere o meno un eccezione in t è indipendente dal fatto che in t-1 si sia o meno verificata un eccezione Si consideri un campione N di osservazioni: x 1,1 = numero di eccezioni che sono state precedute da un altra eccezione x 0,1 = numero di eccezioni che non sono state precedute da un altra eccezione (si noti che, per definizione, avremo x 0,1 + x 1,1 x) x 1,0 = numero di eccezioni che non sono state seguite da un altra eccezione x 0,0 = numero di mancate eccezioni precedute da altre mancate eccezioni (per definizione, x 1,0 + x 0,0 = N - x) 29

30 Il test della conditional coverage È possibile ora stimare le probabilità attraverso le relative frequenze campionarie x 1,1 x 1 1,0 0,0 0,0 0,1 x0,0 x0,1 x 1,1 x x 1,1 0,1 Funzione di verosimiglianza non vincolata delle N osservazioni del campione: L N Funzione di verosimiglianza vincolata (stimare con la relativa frequenza campionaria π): L x 1,1 0,1 x N x 0,0 x 0,1 x 0,1 x 1 1,0 1,0 1,1 x1,0 x1,1 x0,0 x0,1 x1,0 x1, 1 x,, 0,0 1,0 0,1, 1,1 0,0 x 0,0 x0,1 x1,0 x1, 1 N x x x ,1 1,0 1,1 30

31 Il test della conditional coverage Likelihood ratio: LR ind 2ln L x L( x ) 0,0, 1,0, 0,1, 1,1 la probabilità (verosimiglianza) di ottenere x eccezioni sotto l ipotesi che le eccezioni siano serialmente indipendenti la verosimiglianza massima (non vincolata) per il campione di dati osservati La statistica LR ind si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con un grado di libertà. L ipotesi nulla di indipendenza seriale va dunque rifiutata quando LRind è maggiore del valore-soglia prescelto 31

32 Il test della conditional coverage Non sono stati in realtà testati 1,1 0, 1 e 0,0 1,0 1 ma le loro grandezze equivalenti basate sulle frequenze campionarie 1,1 0, 1 0,0 1,0 1 Il test non ci fornisce dunque alcuna informazione sulla correttezza del parametro Mediante questa statistica è possibile testare unicamente l indipendenza delle eccezioni, non la correttezza del modello (cioè il fatto che π= ) Per ottenere un test completo di copertura condizionale occorre dunque combinare fra loro: Il test di indipendenza Il test di unconditional coverage 32

33 Il test della conditional coverage Il test è dato da: LR cc L x 2ln L,0, 1,0, 0,1 LRcc si distribuisce asintoticamente come una chi-quadro con due gradi di libertà Per le proprietà dei logaritmi inoltre vale che: 0, 1,1 La metodologia di backtesting proposta da Christoffersen è più completa ed efficiente di quella analizzata in precedenza. coincide con il numeratore del test di unconditional coverage (ottenuto dal numeratore LR di imponendo = ) ind funzione di verosimiglianza non vincolata LR cc LR uc LR ind la scomposizione in 2 componenti evidenzia le cause che conducono al rifiuto del modello tiene conto del problema dell indipendenza 33

34 Il test di Lopez basato su una funzione di perdita I test precedenti presentano due principali problemi: sono caratterizzati da una bassa potenza statistica trascurano la dimensione delle perdite Non è rilevante se l eccezione sia stata determinata da una perdita pari al 110% o al 300% del VaR. Un alternativa alla valutazione di un modello VaR tramite test statistici è quella proposta da Lopez nel 1999 Il modello si basa sulla minimizzazione di una funzione di perdita costruita in modo da tenere in considerazione gli interessi del risk manager o dell organo di vigilanza 34

35 Il test di Lopez basato su una funzione di perdita La perdita (costo) associata al giorno t+1 assume la seguente forma: C t1 f g t1 t1, VaR t, VaR t se se t1 t1 VaR t VaR t con x, y gx, yx y f, rendimento del portafoglio stima del VaR elaborata all istante t e riferita al periodo t+1, espressa in termini percentuali Ottenuti i valori di C t1 backtesting, la perdita totale è: per gli N giorni che compongono il campione di N C M C t i1 Lopez propone di utilizzare questa perdita totale per confrontare modelli di istituzioni diverse o per la stessa istituzione in periodi diversi È possibile costruire un benchmark di riferimento, C*, con cui giudicare la qualità * di un modello (inadeguato se C M C ). i 35

36 Il test di Lopez basato su una funzione di perdita : L autore descrive tre funzioni di perdita alternative: 1. una funzione binaria, che assume valore 1 quando si verifica un eccezione e 0 in caso contrario 2. una funzione di perdita a zone, che rispecchia l attuale schema di backtesting proposto dal Comitato di Basilea C t1 1 0 se se t1 t1 VaR VaR t t 3. una funzione di perdita crescente rispetto all errore cumulando le perdite relative a più periodi si ottiene una misura di performance relativa che può essere impiegata in un confronto : fra diversi periodi temporali fra diverse istituzioni rispetto a un valore di riferimento 36

37 Il test di Lopez basato su una funzione di perdita : Nel caso della terza forma funzionale invece: C t1 1 t1 VaR 0 t 2 se se t1 t1 VaR t VaR t La funzione assegna punteggi maggiori alle eccezioni di maggior dimensione L approccio di Lopez è apprezzabile in quanto valuta anche l entità delle eccezioni In questo modo si valuta però la qualità di un modello VaR sulla base di una caratteristica estranea alla sua logica i modelli VaR sono costruiti senza alcuna attenzione alla dimensione delle perdite la correttezza di un modello VaR dovrebbe essere valutata solo sulla base della frequenza delle excess losses 37

38 I test basati sull intera distribuzione : Questo approccio diverso, denominato distribution forecast method, è stato proposto da Crnkovic e Drachman nel 1996 e ripreso da Diebold, Gunther e Tay nel 1998 e da Berkowitz nel Le tecniche di backtesting finora presentate si sono focalizzate sulla coda della distribuzione dei profitti e delle perdite L approccio proposto da questi autori prevede di considerare la distribuzione di probabilità utilizzata la sera del giorno t per calcolare il VaR e di trovare il percentile p t corrispondente al rendimento ε t+1 effettivamente osservato il giorno dopo Se le distribuzioni osservate per derivare il VaR e la distribuzione empirica dei rendimenti sono coerenti tra loro, i valori di p t dovrebbero seguire una distribuzione uniforme ed essere serialmente incorrelati 38

39 I test basati sull intera distribuzione : Crnkovic e Drachman propongono il test di Kupier basato sulla distanza fra la distribuzione di probabilità prevista e la distribuzione effettiva dei rendimenti del portafoglio Diebold, Gunther e Tay sottolineano che i test inferenziali sono spesso di scarsa utilità pratica perché possono condurre al rifiuto dell ipotesi nulla senza dare indicazioni su quale sia la vera distribuzione dei dati Essi privilegiano quindi un analisi grafica della distribuzione dei percentili associati ai rendimenti osservati, calcolati in base alla funzione di densità di probabilità del modello utilizzato per il calcolo del VaR Se gli istogrammi assumono tutti un altezza grosso modo identica, allora la distribuzione dei percentili è uniforme ed il modello può essere giudicato accurato 39

40 I test basati sull intera distribuzione : Se la distribuzione dei percentili non è uniforme e il modello non è accurato La forma degli istogrammi aiuta a comprendere da dove nasca l inaccuratezza del modello: Ad esempio se gli istogrammi centrali e quelli estremi risultano più alti della media, è probabile che la vera distribuzione dei rendimenti sia leptocurtica, per esempio una t di Student Berkowitz infine introduce un innovazione basata su una trasformazione dei dati tale da ottenere una nuova variabile casuale distribuita normalmente e da poter successivamente ricorrere ai classici test statistici associati alla gaussiana 40

41 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/1 1. Una banca sta effettuando il backtesting del suo modello VaR usando un campione di 400 rendimenti giornalieri passati. In 12 giorni su 400, le perdite hanno superato il VaR al 99% di confidenza. Usando una distribuzione binomiale, calcolate la probabilità associata ad un simile risultato se il modello VaR è corretto. Inoltre, calcolate il test di copertura non condizionale (usando l equazione [4] in questo capitolo) e (usando la tabella semplificata riportata qui di seguito, oppure la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel) stimate l errore del primo tipo (pvalue). Dite infine in cosa consiste il significato pratico di questo valore di errore. 41

42 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/1 Distribuzione di probabilità cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libertà x m % % % 88.62% 97.47% 99.84% % 100.0% 100.0% 100.0% % 0.00% 0.00% 0.18% 4.20% 38.40% 93.29% 99.99% 100.0% 100.0% % 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 0.00% 7.03% 99.99% 42

43 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/2 2.Considerate le seguenti affermazioni: il backtesting di un modello VaR per i rischi di mercato consiste nel I. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato già accaduti in passato; II. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock estremi nei rendimenti dei fattori di mercato mai accaduti in passato; III. calcolare il VaR associato a differenti scenari, corrispondenti a shock medi nei rendimenti dei fattori di mercato accaduti in passato; 43

44 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/2 IV. calcolare il VaR associato ai singoli sottoperiodi passati e confrontarlo con le perdite o i profitti che si sono effettivamente verificati. Quali di esse sono corrette? a) solo la II; b) la I e la II; c) la IV; d) la II e la IV. 44

45 I modelli per la stima della volatilità Esercizi/3 3. Una banca ha effettuato il backtesting del suo modello VaR su un insieme di 500 osservazioni, trovando 7 eccezioni (cioè valori superiori al VaR) consecutive. Calcolate il test di copertura non condizionale, il test di indipendenza seriale e il test di copertura condizionale. Usando la funzione DISTRIB.CHI(.) in Excel o la tabella qui di seguito, calcolate i p-values dei tre test. Commentate i risultati. Distribuzione di probabilità cumulata di x distribuito secondo una chi-quadrato con m gradi di libertà x m % 52.05% 59.72% 97.47% 98.72% 99.14% 99.38% 99.84% 99.99% % % 22.12% 29.53% 91.79% 95.50% 96.83% 97.65% 99.33% 99.94% % % 0.06% 0.17% 34.00% 48.34% 56.06% 62.13% 81.14% 96.40% 99.44% 45