Gli studenti si misurano in una prova di logica matematica che prevede la risoluzione di problemi di matematica ricreativa. Essi contengono notizie

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1 Prova di logica matematica Gli studenti si misurano in una prova di logica matematica che prevede la risoluzione di problemi di matematica ricreativa. Essi contengono notizie storiche, curiosità, spaccati di vita quotidiana, emergenze architettoniche e naturalistiche del territorio sannita. Foglianise 5 maggio 2012

2 Jackpot al Manfred s Una domenica, in modo del tutto occasionale, io e mia moglie ci siamo seduti a un tavolino del Manfred s per bere un aperitivo. Il bar, situato nella piazza più grande del paese, era pieno di giovani. Mentre chiacchieravo con mia moglie non ho potuto fare a meno di osservare un signore sulla quarantina che si intratteneva davanti ad una infernale macchinetta. La slot machine usata dal signore in questione ha 10 simboli diversi che si ripetono su tre rulli simili a quelli presenti nell immagine. Spiego brevemente il semplice funzionamento di queste macchine: il giocatore inserisce una quantità di monete a piacere che costituisce l entità della scommessa e mette in movimento, abbassando la classica leva, tre rulli sui quali sono impresse le dieci immagini. I rulli si fermano uno per volta e si attende l esito della giocata. Se le immagini presenti sui rulli formano una combinazione vincente, inizia una pioggia di monete corrispondente alla vincita prestabilita. Ad esempio, se introduco 1,50 per giocare e la slot allinea una combinazione vincente che paga 10 a 1, il giocatore riscuote 15,00 di vincita. Sul grande schermo della macchina sono presenti le combinazioni vincenti e il corrispettivo pagato dalla slot in caso di successo. 1. Sapendo che il jackpot è 250 a 1 e si realizza con tre simboli del dollaro, qual è la probabilità che tale vincita si realizzi? 2. Ogni rullo contiene tre volte la scritta BAR: singola, doppia e tripla (vedi immagine). Sapendo che ogni disposizione contenente le scritte BAR corrisponde a una vincita, sapresti determinare la probabilità che il giocatore ha di vincere indipendentemente dalla posta in gioco? 2

3 Jackpot al Manfred s Il numero di disposizioni possibili è dato dal cubo dei dieci simboli 10 3 = il jackpot si realizza con una probabilità pari a 1/1000 poiché l allineamento del dollaro corrisponde a un solo evento favorevole. 2. Mentre gli eventi favorevoli relativi alle scritte BAR sono tre per ogni rullo, quindi:

4 Torneo alla Sorienza Questa immagine di Google Maps risale al 2010 e ritrae uno scorcio della contrada Sorienza, nel comune di Cautano. Immersa nel verde dell area parco del Taburno- Camposauro la contrada accoglie poche abitazioni e un impianto per la ristorazione. Nella stessa contrada, a due passi dal ristorante omonimo, è ubicato il campo da tennis che vedete nell immagine. Purtroppo il campo si presenta in un totale stato di abbandono e l impianto non è più funzionante. Nel 1982, epoca in cui il campo era efficientissimo, decidemmo di organizzare un torneo a sei. I concorrenti: Claudio, Valerio, Flavio, Filippo, Fiorenzo ed io. L idea era quella di trascorre qualche ora in totale relax, giocare e godere della salùbre aria di montagna. Optammo così per un torneo all italiana durante il quale ogni giocatore incontra tutti gli altri. Tale scelta permise a tutti noi di disputare un congruo numero di partite prima di approdare al secondo turno superato soltanto da Flavio, Filippo e Fiorenzo. Sapendo che ogni giorno tutti abbiamo disputato una partita, sapresti determinare il numero complessivo di incontri giocati nel primo turno e in quante giornate si sono svolte le gare? 4

5 Torneo alla Sorienza Si può giungere alla soluzione almeno in due modi. 1. Dato che ogni giocatore ha 5 avversari è evidente che disputerà 5 gare. Indichiamo con A il primo giocatore. Mentre A disputa 5 gare il giocatore B ne disputa 4 più quella che lo vede coinvolto con A che ovviamente si conta una sola volta e così si procede per tutti gli altri contendenti. Quindi il numero di incontri si ottiene costruendo il numero triangolare di 5 righe: In generale, se n indica il numero dei concorrenti, si può ricorrere al teorema di Gauss della somma dei primi n numeri naturali che equivale a determinare numeri triangolari: n n 1 incontri = Un altro semplice approccio è fornito dal calcolo combinatorio. Si tratta infatti di combinare 6 soggetti (giocatori) in due posizioni (giocatori per gara) senza ripetizioni (lo stesso incontro non si può ripetere). Basta applicare la formula della combinazione semplice senza ripetizioni: 6 2 6! !2! Per quanto concerne le giornate è evidente che perché tutti possano giocare una partita si devono disputare 3 partite al giorno per complessive cinque giornate. 5

6 Piazza Arechi II Il duca longobardo Arechi II fondò intorno al 760 l edificio che ospita la chiesa di Santa Sofia in Benevento; presto divenne il tempio nazionale dei Longobardi, che, dopo la sconfitta di Desiderio ad opera di Carlo Magno (774), si erano rifugiati nel Ducato di Benevento. La chiesa di Santa Sofia è una delle più importanti testimonianze dell'architettura longobarda nella Langobardia Minor, anche se nel corso dei secoli è stata più volte oggetto di interventi di ristrutturazione o parziale ricostruzione dovuti ai gravi danni subìti dalla struttura in seguito ai terremoti. L edificio, ricco di testimonianze architettoniche, pittoriche e scultoree dell'arte longobarda fa parte della Lista dei patrimoni dell'umanità dell'unesco dal giugno Alle spalle del chiostro (vedi immagine dal satellite) ha sede una piazza intitola ad Arechi II. La piazza presenta un interessante disegno sul pavimento. A prima vista sembrerebbe trattarsi di due insiemi di circonferenze concentriche, in realtà sono due spirali a spire equidistanti, dette spirali archimedee. È interessante notare che i due cerchi, disposti in A e B, sono uguali e che la misura del loro diametro è uguale alla distanza che intercorre tra una spira e l altra. Sapendo che ogni cerchio rosso ha un area pari a cm 2, sapresti calcolare l area del quadrato colorato di giallo? 6

7 Piazza Arechi II (VERSIONE CORRETTA) Attenzione, distrattamente avevo considerato il raggio come distanza tra le spire mentre la traccia fa riferimento al diametro. Dall area del cerchio si determina il raggio: r=130 da cui il diametro d=260 cm Tra le due circonferenze vi sono 10 spazi pari a 260 cm intervallati dalle spire delle due spirali: d=260*10=2600 cm Quindi la diagonale d del quadrato misura 2600 cm, pertanto giacché il lato del d quadrato è l= Area = l 2 = = cm 2 2 Area = 338 m 2 2 7

8 Simmetria dei numeri La militanza nell associazione Pro Loco mi ha permesso di organizzare e coordinare le attività ludiche estive. Tra le tante attività un importante appuntamento estivo era quello della caccia al tesoro che coinvolgeva l intera comunità e si svolgeva nelle piazze e lungo le strade del paese. Le squadre erano impegnate in coreografiche ricostruzioni di ambientazioni, prove di abilità e rompicapi da risolvere in gruppo. Vi propongo un enigma grazioso tra quelli ideati per la caccia. Si consideri la crocetta come centro di simmetria e si completi il percorso già tracciato disegnando i simmetrici dei segmenti presenti. Si otterrà una spezzata con nove punti di riferimento tra cui il triangolino di partenza e il centro di simmetria. Numerando il percorso con gli interi da 1 a 9 noterai un interessante corrispondenza tra la simmetria delle forme geometriche e la matrice di numeri che si ottiene disponendoli in senso crescente lungo il percorso. Fatto ciò, descrivi sinteticamente il comportamento dei numeri in funzione della loro posizione. Suggerimento: indaga sulle righe, sulle colonne e sulle diagonali ottenute con i numeri che hai appena disposto. 8

9 Simmetria dei numeri Dato che la crocetta è centro di simmetria si può costruire la spezzata simmetrica di quella assegnata e unire tutti gli estremi (crocetta inclusa) con i numeri consecutivi da 1 a 9 (vedi figure). Si nota che alla simmetria delle forme corrisponde un equilibrio numerico: la somma delle terne di numeri determinata in verticale, in orizzontale o in diagonale è sempre uguale a 15. Tale matrice di numeri è nota con il nome di quadrato magico. 9

10 Eremo di San Michele La costruzione dell'eremo di San Michele Arcangelo risale all'epoca longobarda, epoca in cui si identificava il Santo con il dio Odino, signore della guerra. La chiesa si trova sul versante meridionale del monte Caruso che sovrasta Foglianse. Il sito è particolarmente suggestivo poiché l eremo è ubicato in una grotta naturale che ospita una sorgente nel periodo autunnale e invernale. Il convento fu consacrato a San Michele dal Cardinale Orsini, divenuto successivamente papa con il nome di Benedetto XIII. L'altare in pietra viva conserva ancora un dipinto di epoca longobarda in buono stato. Annessi alla chiesa vi sono dei vani dove un tempo dimorava l'anacoreta, custode del Santuario. L'anacoreta è un religioso che prega e si purifica in solitudine, lavorando da solo per autosostentarsi. Questi, a differenza dell'eremita, non è detto che viva sempre in solitudine totale. Ristrutturato da qualche tempo, l'eremo offre più idonei spazi ove godere della suggestiva vista della Valle Vitulanese e del Beneventano. Nell immagine che ritrae il lato destro della struttura si nota una scala che ha subìto pochissimi ritocchi. In essa appaiono chiari sia il forte declivio che l irregolarità della gradinata. Proviamo ad immaginare una concreta ricostruzione della scala. Per realizzarla si parte dal suo elemento principale: il gradino. Esso si basa sull altezza, detta alzata e sulla profondità detta pedata. L'alzata in genere è compresa tra 13 e 20 cm mentre la pedata viene calcolata tramite relazioni empiriche e parte da 30 cm. In ogni caso vi è una formuletta che stabilisce la relazione tra alzata (A) e pedata (P), in modo che l'aumento della pedata corrisponda a una riduzione dell'alzata e viceversa: 2A + P = cm (la somma del doppio dell alzata e la pedata oscilla tra 62 e 64 cm). Sapendo che i gradini devono essere utti uguali tra loro, che la scala ha inizio a 10,73 metri di distanza dalla struttura e la base del portale si trova a un altezza di 3,77 metri dal piano d appoggio della scala, sapresti trovare il numero esatto e la dimensione dei gradini in modo che risulti soddisfatta la relazione 2A + P = 63? 10

11 Eremo di San Michele Dopo aver trasformato le miure in numeri interi (da metri a cm) il problema consiste nel verificare se esiste un intero comune che sia divisore della base e dell altezza. Problema di M.C.D. 1073=29*37 377=29*13 Il divisore comune delle due dimensioni è 29, pertanto i gradini sono 29 Mentre, i gradini hanno alzata pari a 13 cm e pedata uguale a 37 cm pertanto, sostituendo nella formula: (2A + P = 63) 2* = = 63 cm 11

12 Bianco Stivale Nel mese di febbraio di quest anno copiose e ripetute nevicate hanno imbiancato gran parte dello Stivale. Anche il Sannio è stato interessato dalle precipitazioni nevose: una spessa coltre di neve ha coperto il territorio sannita per diversi giorni. Ma la neve spesso contrappone al suggestivo candore del paesaggio una discreta quantità di disagi. La valle del Fortore, particolarmente sensibile a tali eventi, ha visto isolate per un lungo periodo alcune aree geografiche residenziali, lasciando così fuori dal mondo un gran numero di famiglie. I sindaci della valle hanno sùbito dato l allarme e i primi interventi non si sono fatti attendere. La Protezione Civile ha individuato sulla carta cinque punti strategici da raggiungere in elicottero (B, C, D, E, F). In ogni sito, senza atterrare, sono state adagiate due casse contenenti generi di prima necessità. Nel punto di raccolta A, indicato sulla carta, l elicottero ha potuto caricare le casse (non più di tre per volta) e levarsi in volo per consegnarle nei 5 punti. L intera operazione ha richiesto un pieno di kerosene (500 litri). Sapendo che l elicottero ha consumato 180 litri di caburante per ogni ora di volo e che ha viaggiato con una media di 100 km/h, sapresti individuare un percorso compatibile con il consumo di kerosene? Ricorda che l elicottero può trasportare, al massimo, tre casse a bordo, pertanto per approvvigionarsi deve tornare nel punto di raccolta A. 12

13 180 litri : 60 min = 500 litri : x min Da cui x = 166,6 min 100 km : 60 min = x Km : 166 min Da cui x= 276,6 Km Bianco Stivale Un itinerario potrebbe essere descritto come sopra con quattro carichi di cui 2 da tre casse e 2 da due casse (totale: 274,68 Km percorsi). 13