Flusso del campo magnetico

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1 Lezione 19

2 Flusso del campo magnetico Il flusso magnetico o flusso di B attraverso una superficie aperta delimitata da un contorno chiuso e dato da Se il contorno chiuso e un circuito, il flusso in questione e detto Flusso magnetico concatenato. Se B e uniforme e perpendicolare alla superficie di area A il flusso diventa L unita di misura del flusso magnetico e il Weber

3 Legge di induzione di Faraday-Lenz NB: La f.e.m. indotta esiste sempre lungo il contorno della superficie usata per calcolare il flusso, indipendentemente dal fatto che la linea chiusa coincide con un circuito di materiale conduttore o meno. La variazione di flusso magnetico concatenato col circuito si puo avere: a) Se cambia nel tempo il modulo di B b) Se cambia nel tempo l angolo tra B e da c) Se cambia nel tempo l area del circuito in considerazione

4 Legge di Lenz La legge di Lenz permette di stabilire il senso della corrente indotta e quindi il verso della f.e.m. indotta. In pratica a Lenz e dovuto il segno meno nella La corrente indotta ha un verso tale da produrre un campo magnetico che si oppone alla variazione di flusso che l ha indotta Per esempio, avvicinando un magnete a una spira, il flusso nella spira, che prima era nullo sara diverso da zero. La corrente indotta nella spira avra direzione tale da produrre un campo opposto a quello generato dal magnete che si avvicina alla spira (tenta di conservare un flusso nullo). Nell esempio in figura, per fare questo la corrente nella spira girera in senso antiorario. Se viceversa lo stesso magnete e allontanato dalla spira, il flusso che era diverso da zero diminuira. La spira tende a conservare il flusso diverso da zero, per cui stavolta la corrente indotta girera in senso orario, tentando di tenere il campo costante con un campo indotto concorde con quello del magnete.

5 Esempi: Trasduttori elettromagnetici

6 Esempi: Alternatore

7 Esempi: Induzione da movimento

8 Esempi: Induzione in materiali massivi: Correnti di Foucault Quando invece che spire si considerano materiali conduttori massivi, le correnti indotte hanno la forma di vortici e sono note come correnti di Foucault o Correnti parassite. Un paio di modi in cui possono essere indotte e mostrato in figura. Si inducono anche se il conduttore e fermo e il campo magnetico e variabile. Poiche il conduttore ha una resistivita finita, ci sara una certa resistenza R incontrata dai vortici di corrente indotta, per cui sara dissipata energia con potenza 1 ε R 1 = R Questa potenza dissipata si trasforma, per effetto Joule, in calore. Questo e spesso un problema e viene evitato con accorgimenti che aumentano la resistenza lungo il percorso. Pero il fenomeno puo anche essere usato per riscaldare, come nei forni a induzione, per esempio. Questi si basano appunto sul principio che un materiale conduttore si riscalda se immerso in un campo magnetico rapidamente variabile. dφ Le correnti circolanti indotte sentono la forza dovuta al campo magnetico r r r df = idl B che viene trasmessa al materiale. Grazie alla legge di Lenz, questa forza si oppone alla variazione di flusso magnetico. Se la variazione di flusso e generata da moto, la forza dovuta alle correnti di Foucault si oppone al moto. Questo è alla base dei freni magnetici, in cui campi magnetici applicati a una ruota che gira creano una forza frenante.

9 Campo elettrico indotto I

10 Campo elettrico indotto II Il campo elettrico indotto e reale quanto lo e il campo elettrostatico. La sua circuitazione e pari alla forza elettromotrice indotta. Spazialmente, esso e diretto piu o meno allo stesso modo in cui e diretto un campo magnetico che e generato da correnti. Per un campo magnetico che varia in modulo, il campo Elettrico indotto gira intorno alle linee di campo Magnetico varabile che lo sta inducendo. Per esempio, se il campo magnetico in un conduttore cilindrico e diretto assialmente come in figura e la sua intensita varia nel tempo, le linee di campo elettrico indotto sono concentriche al conduttore, fuori e dentro il conduttore. Per calcolarlo possiamo applicare la legge di Faraday Φ r r E ds = E2πr 1 db E = r 2 r r E ds = E2πr Φ E = = BA = Bπr = BA = BπR 1 2 db R 1 r r < R r > R r r E ds dφ = B

11 Induttori e induttanza Una corrente che circola in circuito genera un campo magnetico. Questo campo magnetico avra un flusso concatenato con il circuito (ovvero sara non nullo l integrale del flusso del campo magnetico generato dal circuito calcolato attraverso una superficie che ha per contorno il circuito stesso). Il flusso di questo auto-campo sara proporzionale alla corrente i che circola nel circuito. La costante di proporzionalita, che dipende unicamente dalla geometria del circuito, e detta induttanza o coefficiente di auto-induzione. Φ B = Li L unita di misura dell induttanza e l Henry 1H = 1T m µ = 4π 10 H / m Un induttore, e un dispositivo inserito in un circuito che ha lo scopo di fornire una certa induttanza. Puo essere una spira, o meglio una serie di spire. La realizzazione piu comune di induttore e un solenoide. Per questo circuitalmente esso si rappresenta come una serie di spire, un solenoide, appunto. Come vedremo, un induttore e un accumulatore di campo magnetico, come la capacita lo e di un campo elettrico. Dalla legge di Faraday-Lenz, ai capi di un induttore ci sara una caduta di potenziale pari a / A Questa unita permette di esprimere anche la permeabilita magnetica del vuoto come V L dφ = B = L di

12 Induttanza di un solenoide Per un solenoide cilindrico lungo l di N spire e con sezione di area A avevamo trovato in campo magnetico all interno come Φ B ( solenoide) = NΦ ( spira) = NBA = Nµ ina = µ in N B = µ i = µ in l B Il flusso magnetico dovuto a una corrente che circola nel solenoide o flusso autoindotto e la somma dei flussi dovuti alle singole spire che lo compongono, ovvero N volte il flusso di una spira: Da cui ricaviamo l induttanza del solenoide come la Φ L = i = µ n la

13 ε dφ = = L di Autoinduzione Se in un induttore, quale e per esempio una bobina, varia la corrente, dalla legge di Faraday-Lenz comparira una forza elettromotrice autoindotta ai suoi capi: (*) Il termine auitondotta ci ricorda che qui il campo che stiamo considerando e il campo generato dalla stessa corrente circolante nel circuito (autocampo), non un campo esterno variabile. Percio si parla di autoinduzione, invece che induzione elettromagnetica. Dalla relazione (*), si vede che l induttanza esprime una certa inerzia alla variazione di corrente in un circuito: il segno della forza elettromotrice autoindotta e tale da opporsi alla variazione di corrente. Per cui se la corrente sta crescendo la forza elettromotrice tende a non farla crescere e viceversa se la corrente e in diminuzione la forza elettromotrice autoindotta tende a farla crescere. Per esempio, se il circuito prima era aperto, non vi era corrente circolante. Quando viene chiuso il circuito la corrente non cresce repentinamente, perche un induttore tende a comportarsi come un aperto al momento di chiusura del circuito, nel tentativo di far permanere la corrente nulla. Viceversa, quando viene aperto un circuito in cui circolava corrente, l induttore tende a far permanere corrente. Questo fenomeno va sotto il nome di extracorrenti di chiusura e di apertura. Mentre non si puo definire una differenza di potenziale all interno di un induttore, perche il campo indotto non e conservativo, si puo definire un differenza di potenziale ai capi dell induttore, pari all opposto della f.e.m. autoindotta: V = L di

14 Circuito RL (dc): chiusura circuito Al tempo t=0 l interruttore e portato su a, in modo che venga inserita la batteria. La corrente passa da zero a un valore finito. Pero c e una induttanza, che mostra inerzia al cambiamento di corrente, per cui all istante iniziale essa si comportera come un aperto, facendo in modo che i(0)=0. La legge delle maglie per il circuito si scrive: La soluzione che tiene conto che i(0)=0 e Che possiamo riscrivere come Dove abbiamo definito la costante di tempo induttiva come A t che tende a infinito, per tempi molto piu grandi della costante di tempo, la corrente satura al valore che sarebbe ottenuto se l induttore fosse rimpiazzato da un corto. i(0) = 0 Induttore si comporta come "aperto" a t = 0 i( ) = ε / R Induttore come "corto" a t =

15 Circuito RL (dc): apertura circuito Mentre sta circolando una corrente,al tempo t=0 l interruttore e aperto, in modo che venga disinserita la batteria. La corrente passa da un valore finito a zero. Al solito, poiche c e un induttore, che mostra inerzia al cambiamento di corrente, all istante iniziale essa si comportera in modo tale da fornire una forza elettromotrice in modo che la corrente non passi repentinamente a zero. La corrente indotta (extracorrente di apertura) va nel verso in cui circolava prima la corrente. Stavolta i(0)=ε/r. La legge delle maglie per il circuito si scrive: con soluzione di L + ir = 0 La corrente nel circuito, quando viene staccata la batteria, va a zero esponenzialmente, e non repentinamente, a causa dell induttanza.

16 Energia immagazzinata in un induttore Come una una energia elettrica puo essere immagazzinata nelle armature di un condensatore, cosi si puo immagazzinare energia magnetica in un induttore. La potenza fornita per instaurare un campo magnetico in un induttore e In un tempo l incremento di energia è Integrando tra 0 e i otteniamo l energia magnetica (dovuta alla corrente che instaura un campo magnetico) immagazzinata nell induttore come

17 L = µ 0 n 2 la Densita di energia del campo magnetico La densita di energia del campo magnetico e l energia magnetica per unita di volume. Possiamo calcolarla per un solenoide cilindrico ideale di lunghezza l e sezione di area A, per il quale avevamo gia calcolato l induttanza L. Il volume del solenoide e la. Avevamo trovato l induttanza del solenoide come Se circola una corrente i l energia magnetica immagazzinata nel solenoide e Ricordando che il campo magnetico nel solenoide e la densita di energia del campo sara : u U V U Al 1 µ 2 B B 2 2 B = = = 0n i = 2 B 2µ 0 La densita di energia trovata per il solenoide e valida per ogni situazione in cui c e un campo magnetico. La densita di enegia del campo magnetico sara sempre proporzionale al quadrato del campo, come quella elettrica.

18 Mutua induttanza Quando si ha una sola spira o un solo solenoide, un corrente circolante produce un auto campo associato a un flusso magnetico concatenato che si descrive con l autoinduttanza o induttanza L. Se si hanno due solenoidi o due singole spire vicine, l instaurarsi di una corrente i 1 in un solenoide (diciamo 1) produce un campo B 1 e quindi un flusso concatenato nel secondo solenoide. Il flusso concatenato col solenoide 2 dovuto a una corrente che circola nel solenoide 1 e proporzionale tramite un coefficiente M alla corrente i 1. Il coefficiente M e detto mutua induttanza. La stessa cosa vale se si invertono i ruoli delle due bobine. 1 2 Φ Φ = flusso totale indotto in 2 da 1 = N Φ = flusso totale indotto in 1da 2 = N Φ = Mi = Mi A questi flussi concatenati corrisponderanno, dalla legge di Faraday, le f.e.m. di mutua induzione nei due circuiti: dφ di ε = = M dφ di ε = = M Quindi, quando circola una corrente variabile nel circuito 1 viene indotta tensione nel circuito 2 e viceversa. Come per l induttanza, la mutua induttanza M dipende solo dalla geometria ed e la stessa se si considera l induzione di flusso dal circuito 1 su 2 o viceversa, quindi per calcolarla, si prende la situazione piu semplice. La mutua induttanza si misura in Henry.

19 V1

20 RV1

21 V2

22 RV2

23 V3

24 RV3

25 La sbarretta di lunghezza L si muove a velocita costante v sulle rotaie orizzontali. L=10.8 cm v=4.86 m/s B=1.18 T a) Quale e la f.e.m. indotta nella sbarretta? b) Se R=0.415mΩ, quale e la corrente indotta nel circuito Sbarretta/Rotaia? c) Quale e la potenza dissipata in calore? d) Quale e la forza agente sulla sbarretta? P 1 x s(t)

26 R P 1 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) Φ = BLs( t) = BLvt dφ ε = = BLv = 0.62V BLv i = ε = = 1.49A R R (i scorre in verso orario) ( BLv) P = i R = = 0. 92W R r r r F = il B ( BL) v F 19 = ilb = = 0. N R

27 P2 Dimostrare che per induttori in serie le induttanze si sommano, mentre se sono in parallelo si sommano gli inversi delle induttanze. V V V di = L di = L = V + V di V = L i = i + i di V = L ( = ( L + di + L ) ) = L di = V ( L L + V L di ) L 1 L = L + L 1 1 = + L L Serie P a ra l l el o