STATISTICA A K (63 ore)

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1 STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it Soluzione esercizi 4 settimana + esercizi da svolgere 5 settimana 1

2 Rendimenti, in quintali per ettaro, d una certa varietà di frumento, per 100 appezzamenti di terreno Rendimenti n. appezzamenti Quartili? Significato del terzo quartile Box-plot Si illustrino le informazioni traibili dalla suddetta rappresentazione Soluzione: calcolo quartili Rendimenti n. appezzamenti f i F i ,16 0, ,23 0, ,25 0, ,21 0, ,

3 Boxplot PT inf = 59,56-1,5(68,09-59,56)=46,765 Dato che 46,765 < x min PT inf = x min = 54 PT sup = 68,09 + 1,5(68,09-59,56)=80,885 Dato che 80,885 > x max PT sup = x max = Distribuzione quasi simmetrica, nessun outlier ESERCIZIO RIASSUNTIVO Nella seguente tabella è riportata la distribuzione dei dipendenti di una grande azienda in base alla retribuzione lorda mensile: Numero di dipendenti Retribuzioni I) Si calcoli la media e la mediana delle retribuzioni e le si commentino. II) Si calcoli lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni e si commenti il significato dei risultati ottenuti. III) Si dica, motivando la risposta, quale trasformazione subirebbero la media, la mediana, lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni, calcolati ai punti precedenti, se: a)tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, b)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% c)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 2% e, dopo questo aumento, aumentate di 100 euro. IV) Si rappresenti graficamente la suddetta distribuzione e si dica quali informazioni si possono ricavare e si calcoli la moda. V) Si calcoli l indice di asimmetria di Fisher e lo si commenti 3

4 Retribuzioni n i f i F(x) x i Me (1100) 30 0,073 0, (1350) 130 0,317 0, (1750) 150 0,366 0, (2250) 50 0,122 0, (3000) 30 0,073 0, (4250) 20 0, M = ( ) / 410 = 1850 Scostamento quadratico medio: x i Me ordinati Retribuzioni f i x i Me (1100) 0, (1350) 0, (1750) 0, (2250) 0, (3000) 0, (4250) 0, f i F(x) 100 0,366 0, ,317 0, ,073 0, ,122 0, ,073 0, ,049 1 MAD = 300 4

5 y i = a + b x i M(X)= 1850 Me(X)=1650 σ(x)=722,04 MAD(X)=300 M(Y)= a + b M(X) Me(Y) = a + b Me(X) σ(y) = b σ(x) MAD (Y) = b MAD(X) a)tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, M = = 1900 Me = = 1700 σ = 722,04 MAD = 300 b) tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% M = ,07 = 1979,5 Me = ,07 = 1765,5 σ = 722,04 1,07 = 772,58 MAD = 300 1,07 = 321 c) tutte le retribuzioni fossero incrementate del 2% e, dopo questo aumento, aumentate di 100 euro. M = , = 1987 Me = , = 1783 σ = 722,04 1,02 = 725,26 MAD = 300 1,02 = 306 Analisi della forma di distribuzione Retribuzioni d i , , , , , ,013 Mo = 1350 Forma di distribuzione: asimmetria positiva 5

6 Soluzione: indice di asimmetria di Fisher Retribuzioni f i (x i M) 3 f i (1100) 0, , (1350) 0, , (1750) 0, , (2250) 0, , (3000) 0, , (4250) 0, , ,6 M=1850 asimmetria positiva ESERCIZIO: Var. % rispetto all anno precedente dei prezzi di due beni Anno Vino rosso Vino bianco ,3% +2,5% ,6% +6,4% ,8% +0,2% ,9% +3,1% N.I. dei prezzi con base 2000=100 Peso vino rosso triplo rispetto al peso vino bianco. Calcolare la serie dei NI composti (base 2000=100) Tasso medio annuo di variazione dei N.I. composti 6

7 Traccia di soluzione Ricostruzione NI a base mobile = var. % Ricostruzione NI a base fissa = relazione tra N.I. a base fissa e base mobile N.I. composti (base 2000=100) media ponderata N.I. semplici a base fissa: Variazione complessiva N.I. composti (base 2000=100) Ricostruzione NI a base mobile = var. % Anno Var % Vino rosso Var % Vino bianco N.I base mobile Vino rosso N.I base mobile Vino bianco ,3% +2,5% 103,3 102, ,6% +6,4% 107,6 106, ,8% +0,2% 101,8 100, ,9% +3,1% 102,9 103,1 7

8 Da NI a base mobile a NI a base fissa Anno N.I base mobile Vino rosso N.I base mobile Vino bianco N.I base fissa Vino rosso N.I base fissa Vino bianco ,3 102,5 103,30 102, ,6 106,4 111,15 109, ,8 100,2 113,15 109, ,9 103,1 116,43 112,67 Es. 111,15= 1,033 1, Es. 116,43= 1,033 1,076 1, N.I. composti (base 2000): peso vino rosso triplo rispetto al peso vino bianco Anno Vino rosso Vino bianco NI composti ,30 102,50 103, ,15 109,06 110, ,15 109,28 112, ,43 112,67 115,5 Es. 103,1= 103,3*0,75+102,5*0,25 8

9 Tasso medio annuo di variazione Anno NI composti , , , ,5 Tasso medio annuo di variazione ((1,155) 0,25-1)*100=3,67% ESEMPIO: Spesa media mensile delle famiglie (in euro) Anni spesa spesa var. % (mob) Variazione compl. ( ) della spesa a prezzi correnti? n.i. prezzi base 1995= , ,06 107, ,18 109, ,95 112, ,04 115,3 Spesa a prezzi costanti? Variazione compl. dei prezzi ( )? Variazioni % a base mobile della spesa a prezzi costanti? Tax medio annuo di variazione a prezzi costanti? 9

10 ESEMPIO: Spesa media mensile delle famiglie (in euro) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995= , ,06 107, ,18 109, ,95 112, ,04 115,3 Variazione compl. ( ) della spesa a prezzi correnti: Variazione compl. dei prezzi ( ): ESEMPIO: Spesa a prezzi costanti (in euro) Ann i spesa spesa var. % (mob) n.i. prezzi base (1995=100) Spesa a prezzi costanti (1995=100) , /1,058 = ,06 107, /1,077 = ,18 109, /1,095 = ,95 112, /1,122 = ,04 115, /1,153 =2.126 spesa var. % (mob) - - 0,70% - 0,47% + 3,37% - 2,25% 10

11 ESEMPIO: Variazione complessiva ( ) della spesa a prezzi costanti (del 1995 anno base) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995=100 Spesa a prezzi costanti spesa var. % , ,06 107, ,70% ,18 109, ,47% ,95 112, ,37% ,04 115, ,25% Tax medio annuo di variazione ( ) della spesa a prezzi costanti (del 1995 anno base) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995=100 Spesa a prezzi costanti spesa var. % , ,06 107, ,70% ,18 109, ,47% ,95 112, ,37% ,04 115, ,25% 11

12 ESERCIZIO: Fatturato panetteria (migliaia di Euro) e serie storica NI prezzi al consumo riferiti al pane (base 2000=100) Anno Fattur ato NI prezzi consumo , , ,2 Calcolare: Fatturato deflazionato (prezzi 2000) Tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti e a prezzi costanti Calcolo fatturato deflazionato Anno Fatturato NI prezzi consumo Fatturato deflazionato / ,5 168/1,045=160, ,6 169/1,076=157, ,2 171/1,102=155,2 155,2= fatturato che si avrebbe nel 2003 se il livello dei prezzi si fosse mantenuto uguale a quello del

13 Tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti e prezzi costanti Anno Fattur ato Fatturato deflazionato , , ,2 Prezzi correnti (171/162) 1/3 =1,0182 Prezzi costanti (155,2/162) 1/3 =0,986 Tax % medio annuo a prezzi correnti=1,82% Tax % medio annuo a prezzi costanti=-1,40% Esercizio Az A Az B ,5% 7,5% ,8% 8,0% % -2,4% ,5% +8,5% ,2% +5,4% Date la variazioni percentuali a base mobile del fatturato, calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 13

14 Soluzione: calcolare i n.i. a base mobile 1995 Az A Input (NI a base mobile /100) ,055 X 96 /X ,068 X 97 /X ,040 X 98 /X ,045 X 99 /X ,968 X 00 /X 99 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo 1995 X 95 /X ,055 X 96 /X 95 X 96 /X ,068 X 97 /X 96 X 97 /X ,040 X 98 /X 97 X 98 /X ,045 X 99 /X 98 X 99 /X ,968 X 00 /X X 99 /X 00 =1/(X 00 /X 99 )=1/ 0,968=1,

15 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo Obiettivo 1995 X 95 /X 00 X 95 /X ,055 X 96 /X 95 X 96 /X 00 X 96 /X ,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 X 97 /X ,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 X 98 /X ,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1, ,968 X 00 /X X 98 /X 00 = (X 99 /X 00 )/(X 99 /X 98 )=1,0330/ 1,045=0,9886 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo NI base 2000= X 95 /X ,055 X 96 /X 95 X 96 /X ,068 X 97 /X 96 X 97 /X ,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 0, ,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1, ,968 X 00 /X X 97 /X 00 =(X 98 /X 00 )/(X 98 /X 97 ) = 0,9886 /1,040=

16 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo NI base 2000= X 95 /X ,055 X 96 /X 95 X 96 /X ,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 0, ,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 0, ,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1, ,968 X 00 /X X 96 /X 00 =(X 97 /X 00 )/(X 97 /X 96 ) = 0,9505 /1,068=0.89 Esercizio Data la seguente serie storica di NI dei matrimoni civili dal 2001 al 2006 con base 2001=100 si calcoli la serie dei NI con base 2003=100 Sapendo che i matrimoni civili nel 2005 sono stati pari a 4552 si ricostruisca la serie storica originaria 16

17 Soluzione Input Input Obiettivo Obiettivo X 01 /X 01 X 01 /X X 02 /X 01 X 02 /X X 03 /X 01 X 03 /X X 04 /X 01 X 04 /X X 05 /X 01 X 05 /X X 06 /X 01 X 06 /X Si dividono tutti i valori per 0.958= X 03 /X 01 Ad esempio: X 02 /X 03 =(X 02 /X 01 )/X 03 /X 01 Soluzione Ricostruzione (approssimata) serie originaria Input Input Obiettivo Obiettivo X 01 /X 01 X X 02 /X 01 X X 03 /X 01 X X 04 /X 01 X X 05 /X 01 X X 06 /X 01 X X 05 =input =4552 Ad esempio: X 01 =[(X 05 /X 01 )(1/X 05 )] -1 =[1.055(1/4552)]

18 ESERCIZIO: Var. % rispetto all anno precedente dei prezzi di due beni Anno Bene A Bene B ,9% 1,0% ,5% +3,6% ,8% +4,5% ,6% +2,5% Calcolare: N.I. dei prezzi con base 1997=100 N.I. composti dei prezzi con base 1997=100 peso A = 20%; peso B = 80% Variazione complessiva dal 1997 al 2001 e tasso medio annuo dei N.I. composti Esercizio 18

19 Esercizio Reddito netto di un lav. e var % a base mobile FOI Anno Reddito netto % % % % Var % a base mobile FOI Calcolare (v. slide seguente) Calcolare Serie storica FOI con base 2008=100 Serie storica del reddito netto a prezzi costanti del 2008 Tax medio annuo di variazione del reddito netto a prezzi correnti ed il Tax medio annuo di variazione del reddito netto a prezzi costanti. Commentare i risultati Quale avrebbe dovuto essere la retribuzione del 2004 che ha lo stesso potere di acquisto della retribuzione di percepita nel

20 Soluzione: NI FOI con base 2008=100 e reddito a prezzi costanti Anno Reddito netto NI a base mobile FOI NI a base mobile FOI NI FOI base 2008= X 04 /X X 05 /X 04 X 05 /X X 06 /X 05 X 06 /X X 07 /X 06 X 07 /X X 08 /X 07 1 Es. x 06 /x 08 =0.9528=(x 07 /x 06 x 08 /x 07 ) -1 =( ) -1 x 05 /x 08 =0.9341=(x 06 /x 05 x 07 /x 06 x 08 /x 07 ) -1 =( ) -1 Soluzione: NI FOI con base 2008=100 e reddito a prezzi costanti Anno Reddito netto NI a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti Reddito a prezzi costanti: es =45300/

21 Calcolo dei tassi medi annui di variazione Anno Reddito netto NI % a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti Reddito a prezzi correnti (53700/45300) = % Reddito a prezzi costanti (53700/49320) = % Calcolo del tasso di inflazione nel periodo Anno Reddito netto NI % a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti Inflazione del periodo: 100/91.85= % Retribuzione del 2004 che ha lo stesso potere di acquisto della retribuzione di percepita nel 2008= Reddito 2004* Reddito 2004 a prezzi 2008=49320 Euro 21

22 Esercizi da svolgere per LUN 18 marzo Esercizio Si considerino i valori del reddito annuo di 16 individui come segue (dati in migliaia di Euro): 18; 18; 22; 23; 1; 5; 7; 13; 14; 15; 2400; 25; 27; 28; 29; 21. Si calcoli e si interpreti il valore della mediana e della media troncata con α=0.5. Si dica perché in questo caso la media troncata è preferibile rispetto alla media aritmetica. Si scriva e si rappresenti graficamente la distribuzione di massima concentrazione. 22

23 Es: 6 famiglie, ammontare della spesa annua (in euro) per l acquisto di due generi di largo consumo: latte fresco e biscotti. Famiglia Spesa annua per l acquisto di latte fresco ( ) A B C D E F Spesa annua per l acquisto di biscotti ( ) M(x)= M(y)= (i) r xy? (ii) commento (iii) diagramma di dispersione (iv) concordanza tra r xy e diagramma di dispersione (v) Perché r xy invece della retta di regressione? CORRELAZIONE FRA DUE S.S. Esempio: X = numero di extracomunitari iscritti al collocamento, Y = numero di discount Calcolare e r XY tra le variabili originarie, i NI a base fissa, le variazioni percentuali a base fissa, i NI a base mobile, le variazioni percentuali a base mobile Anni X Y

24 X = PREZZI (in euro) Y = QUANTITA VENDUTE (in n. di pezzi) Calcolare rxy sui dati originali, sui NI a base fissa e sulle variazioni percentuali. Commentare i risultati Anni X Y v(x) % v(y)% , , , , , ,1 +6, , ,8 +0, , ,0 +8, , ,0 +8,7 24