Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice in un dato anno:

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1 Esercizio 1 Data la seguente distribuzione delle macchine vendute per casa produttrice in un dato anno: Casa Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen ni Individuare la moda; 2. Rappresentarla graficamente; 3. Calcolare l indice di omogeneità. 1) La moda è la modalità prevalente, ovvero la modalità cui corrisponde la frequenza più elevata. In questo caso la moda è dunque la Fiat. 2) Una distribuzione semplice di un carattere qualitativo sconnesso come quello dato è rappresentabile graficamente mediante un diagramma a torta o a barre. Nel primo caso è necessario individuare modalità per modalità l angolo corrispondente allo spicchio di competenza, che risulta proporzionale alla frequenza relativa. Tali angoli si calcolano con le seguenti proporzioni, essendo pari a il numero complessivo di auto vendute: Fiat 59865:159640=x:360 angolo=(360*59865)/159640= 135 Ford 19955:159640=x:360 angolo=(360*19955)/159640= 45 Lancia 13303:159640=x:360 angolo=(360*13303)/159640= 29,99925 Opel 15521:159640=x:360 angolo=(360*15521)/159640= 35,001 Renault 11086:159640=x:360 angolo=(360*11086)/159640= 24,99975 Volkswagen 39910:159640=x:360 angolo=(360*39910)/159640= 90 Il grafico a torta è dunque: Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen Il grafico a barre è invece il seguente:

2 Fiat Ford Lancia Opel Renault Volkswagen 3) Per calcolare l indice di omogeneità occorre calcolare la somma dei quadrati delle frequenze relative: Casa ni fi fi^2 Fiat ,375 0, Ford ,125 0, Lancia , , Opel , , Renault , , Volkswagen ,25 0,0625 totale , L indice è dunque pari a 0,24. Volendo trasformarlo in un indice relativo basta moltiplicarlo per k/(k-1), dove k è i numero delle modalità: indice relativo=0,24*6/5=0,29. Esercizio2 Si consideri la seguente distribuzione delle industrie di un certo settore merceologico secondo il fatturato annuo in vecchi milioni di lire: Fatturato (300,600] (600,900] (900,1500] (1500,2200] Aziende ) Determinare la distribuzione delle frequenze relative 2) Calcolare la classe modale del fatturato 3) Fornire una rappresentazione grafica della distribuzione 4) Calcolare la media e la varianza del carattere. 1) La distribuzione delle frequenze relative si ottiene come segue:

3 Classi di modalità Freq. Assolute Freq. Relative ni fi=ni/n (300,600] 20 0, (600,900] 45 0, (900,1500] 55 0, (1500,2200] 50 0, Totale ) Per calcolare la classe modale del fatturato non è sufficiente fare ricorso alle frequenze, dal momento che le classi hanno ampiezze diverse. E necessario allora calcolare la distribuzione delle densità delle classi, data dal rapporto tra la frequenza relativa e l ampiezza della classe: Classi di modalità Freq. Assolute Freq. Relative Ampiezza classe Densità freq. ni fi=ni/n Ai=xi+1-xi hi=fi/ai (300,600] 20 0, , (600,900] 45 0, , (900,1500] 55 0, , (1500,2200] 50 0, , Totale Ne segue che la classe modale è la classe (600,900]. 3) La rappresentazione grafica adatta a questo tipo di distribuzione è l istogramma, in cui la base dei rettangoli è pari all ampiezza della classe e l altezza è pari alla sua densità di frequenza. 4) Nel caso in esame l istogramma è quello della seguente figura 0,0009 0,0005 0, ) Per calcolare la media è necessario individuare un valore rappresentativo della classe. Tale valore, di norma, è il valore centrale per cui si ha: Classi di modalità Freq. Assolute Freq. Relative Ampiezza classe Densità freq. Valore centr. media ni fi=ni/n Ai=xi+1-xi hi=fi/ai xc=(xi+xi+1)/2 xc*fi (300,600] 20 0, , ,94118 (600,900] 45 0, , ,5294 (900,1500] 55 0, , ,2353 (1500,2200] 50 0, , ,1176 Totale ,824

4 La media è quindi calcolata sommando i prodotti tra i valori centrali di ogni classe e le corrispondenti frequenze relative. Per il calcolo della varianza basta aggiungere le seguenti colonne alla precedente tabella: (xc-m) (xc-m)^2 [(xc-m)^2]*fi -733, , ,98-433, , ,59 16,18 261, , , , ,2 Dunque la varianza è pari a , ,4 Esercizio3 Un gruppo di neolaureati, dopo un anno dal conseguimento del titolo, dichiara di avere uno stipendio mensile (in euro): Costruire una tabella di frequenza divisa in classi di pari ampiezza. Occorre innanzitutto ordinare la distribuzione dal più piccolo al più grande: Ciò consente di individuare l estremo inferiore (0) e l estremo superiore della distribuzione (1600), e dunque il campo di variazione pari a d= =1600. Scelto il numero k di classi, ad esempio 4, l ampiezza di ciascuna classe sarà pari ad a=d/k, ovvero a=1600/4=400 e la distribuzione in classi sarà la seguente: classi di reddito ni [0-400) 2 [ ) 4 [ ) 2 [ ] 4 Esercizio4 Assegnato l'insieme dei valori {22, 16, 19, 18, 22, 16, 27, 26, 23, 26}, calcolare la media,la mediana, il primo ed il terzo quartile, lo scarto quadratico medio. Se ora al posto dell ultimo valore 27 mettiamo il numero 40, cosa posso aspettarmi: La media crescerà, diminuirà o resterà uguale? La mediana crescerà, diminuirà o resterà uguale? Il primo e il terzo quartile cresceranno, diminuiranno o resteranno uguali? La deviazione standard crescerà, diminuirà o resterà uguale?

5 Riscrivendo la distribuzione ordinata possiamo rapidamente calcolare quanto richiesto: xi xi-m (xi-m)^2 16-5,5 30, ,5 30, ,5 12, ,5 6, ,5 0, ,5 0, ,5 2, ,5 20, ,5 20, ,5 30,25 totale ,5 La media sarà pari a 215/10=21,5, la varianza sarà pari a 152,5/10=15,25 e lo scarto quadratico medio sarà la radice quadrata della varianza, ovvero 3,9. Per quanto riguarda il calcolo della mediana, la distribuzione è pari (n=10), dunque la mediana è il valore o la modalità che occupa la posizione (n/2)+1, ovvero la mediana è pari a 0,5*(x(n/2)+x(n/2+1)) ovvero Me=(22+22)/2=22. I quartili saranno pari a: posizione Q1=n*0,25=10*0,25=2,5=3 (arrotondando per eccesso) dunque Q1=18 posizione Q3=n*0,75=10*0,75=7,5=8 (arrotondando per eccesso) dunque Q3=26. Se l ultimo valore della distribuzione fosse 40 invece di 27: -la media cresce, e diventa pari a 22,8; -la mediana resterà uguale; -Q1 e Q3 restano uguali; -la deviazione standard cresce, e diventa pari a 6,69. Esercizio5 Per valutare il contratto di una società di catering, viene condotta una conduce un indagine sui 30 clienti che hanno usato il servizio nella settimana dal 5 all'11 novembre. I clienti esprimono il loro giudizio sulla qualità del servizio con una scala di punteggi che vanno da 1 (pessima) a 5 (ottima). I risultati sono i seguenti: Giudizio (punteggio) Numero clienti totale 30 Calcolare punteggi medio e mediano del giudizio.

6 Calcolare la moda. La moda della distribuzione è il giudizio 3. Per il calcolo della media e della mediana possiamo procedere attraverso il calcolo delle frequenze relative semplici e cumulate: xi ni fi xi*fi Fi 1 8 0, , , ,1 0,2 0, ,4 1,2 0, , , totale ,6 La media sarà pari a 2,6, mentre dall esame della distribuzione delle frequenze relative cumulate osserviamo che la modalità 2 si lascia alle spalle il 37% circa della distribuzione, mentre la modalità 3 se ne lascia alle spalle il 77% circa. Il 50% ricade in questo intervallo e pertanto la mediana sarà la modalità 3. Esercizio6 Dato il seguente dataset: Soggetto Età Residenza Reddito Auto Punteggio Km giornalieri (Migliaia di ) Possedute quiz percorsi 1 22 Cantagallo 0, Cantagallo 0, Poggio a Caiano 1, Carmignano 2, Poggio a Caiano 3, Montemurlo 0, Carmignano 3, Montemurlo 1, Montemurlo 1, Carmignano 1, Montemurlo 1, Cantagallo 0, Montemurlo 0, Carmignano 1, Carmignano 1, Montemurlo 3, Cantagallo 2, Montemurlo 0, Carmignano 1, Poggio a Caiano 2,

7 a. Determinare la moda per il carattere Comune di Residenza. b. Determinare la media aritmetica per il carattere Punteggio quiz a partire dai dati grezzi. c. Determinare la moda e la media per il carattere Auto Possedute a partire sia dalla successione di valori sia dalla distribuzione di frequenze. d. Costruire la distribuzione di frequenza per il carattere Punteggio quiz suddividendo la distribuzione in 4 classi di uguale ampiezza e determinare la classe modale e la media aritmetica e. Verificare la presenza di valori anomali per il carattere Km giornalieri percorsi attraverso una opportuna rappresentazione grafica. f. Calcolare la media troncata al 20% per il carattere Km giornalieri percorsi. g. Con riferimento al carattere Km giornalieri percorsi, calcolare i principali indici di variabilità. h. Stabilire in maniera opportuna quale tra i due caratteri Km giornalieri percorsi e Punteggio quiz presenta maggiore variabilità. a)ricostruendo la distribuzione di frequenze del carattere Comune di residenza: xi ni cantagallo 4 poggio a caiano 3 carmignano 6 montemurlo 7 totale 20 Si ricava che la moda è Montemurlo. b)basta sommare i valori delle modalità, ottenendo il valore 3369, e dividere per la numerosità del collettivo, pari a 20: media=3369/20=168,45. c)per il calcolo della media a partire dai dati grezzi si procede come al punto b), ottenendo: media=61/20=3,05. Attraverso la ricostruzione della distribuzione delle frequenze: xi ni xi*fi totale Osserviamo che la distribuzione è bimodale (modalità 3 e 4 con frequenza 5) e che la media assume come prevedibile lo stesso valore pari a 61/20=3,05.

8 d)riscrivendo la distribuzione ordinata del carattere Punteggio quiz Osserviamo che gli estremi della stessa sono 158 e 182, per un campo di variazione pari a =24. Il passo di ogni classe sarà dunque pari a 24/4=6. In questo modo si ricava facilmente la distribuzione in classi e operando come di consueto: Freq. Ampiezza Densità Classi di modalità Freq. Assolute Relative classe freq. Valore centr. media ni fi=ni/n Ai=xi+1-xi hi=fi/ai xc=(xi+xi+1)/ ,25 6 0, , ,3 6 0, , ,25 6 0, , ,2 6 0, ,8 totale ,4 Si ricava che la classe modale è la classe (in questo caso, anche senza passare per le densità, essendo le classi di uguale ampiezza) mentre la media è pari a 169,4. e)l opportuna rappresentazione grafica è il boxplot. Per realizzarlo, dobbiamo calcolare la mediana, e i quartili Q1 e Q3. Si ha: Mediana: essendo la numerosità del collettivo pari (n=20), la mediana è il risultato della semisomma delle modalità nelle posizioni n/2, ossia 10, e n/2+1, ossia 11. In entrambe le posizioni c è la modalità 25 che dunque è la mediana. posizione Q1=n*0,25=20*0,25=5 dunque Q1=21 posizione Q3=n*0,75=20*0,75=15 dunque Q3=26. Per disegnare il boxplot occorre calcolare i cosiddetti baffi: baffo superiore=q3+1,5*(q3-q1)=26+1,5*(26-21)=33,5 baffo inferiore=q1-1,5*(q3-q1)=21-1,5*(26-21)=13,5 Si ottiene il grafico seguente:

9 Che mostra la presenza di un valore anomalo, la modalità 35. f)per calcolare la media troncata al 20%, poiché la numerosità del collettivo è pari a 20, è necessario eliminare 20*0,2=4 modalità, due nella coda destra della distribuzione e due nella coda sinistra. Si ottiene così la distribuzione: Cui corrisponde una media pari a 24 (la media completa è pari a 24,45). g)i principali indici sono il campo di variazione, la differenza interquartile e la varianza. Il campo di variazione è pari a 35-14=21. La differenza interquartile è pari a Q3-Q1=26-21=5 Per il calcolo della varianza si procede come segue: xi xi-m (xi-m)^ ,45 109, ,45 55, ,45 19, ,45 11, ,45 11, ,45 11, ,45 2, ,45 2, ,45 0, ,55 0, ,55 0, ,55 0, ,55 0, ,55 2, ,55 2, ,55 2, ,55 20,7025

10 30 5,55 30, ,55 73, ,55 111,3025 totale 468,95 468,95 è la devianza, ovvero la somma dei quadrati degli scarti dalla media. Dividendo per la numerosità campionaria si ottiene la varianza: varianza=468,95/20=23,45 cui corrisponde una deviazione standard pari a 4,84. g)per determinare quale delle due distribuzioni presenta la variabilità maggiore è necessario calcolare i coefficienti di variazione, pari al rapporto tra la deviazione standard e la media. Per il carattere Km percorsi si avrò cv=100*4,84/24,45= 19,79. Calcolando la media e la deviazione standard per il carattere Punteggio quiz si ottiene cv=100*7,14/168,45=4,24. Il carattere Km percorsi presenta pertanto una maggiore variabilità rispetto al carattere Punteggio quiz (nel collettivo considerato). Esercizio7 Dato il seguente estratto dal libretto di uno studente universitario, calcolare la media dei suoi voti. Votazione CFU Si tratta di calcolare una media ponderata, perché ogni modalità del carattere ha, in generale, un peso diverso rispetto alle altre. La procedura è la seguente:

11 xi (Votazione) pi (CFU) xi*pi totale Il totale andrà diviso per il valore complessivo dei persi. Pertanto: media ponderata=3519/130=27,07. Si osservi che la media semplice (sbagliata!) sarebbe uguale a 26,61 Esercizio8 La seguente tabella fornisce la distribuzione delle 100 famiglie di un quartiere secondo il carattere X = numero di figli : numero di figli frequenze assolute Determinare: a) il campo di variazione; b) la differenza interquartile; c) la varianza a)il campo di variazione è pari a 6-0=6.

12 b,c) si procede come segue: xi ni Ni Fi xi*ni xi-m (xi-m)^2 fi [(xi-m)^2]*fi , ,3 1, , ,15 0, , , , ,12 0, , ,1 0, , ,09 0, ,04 0,64 totale ,32 Dalla distribuzione delle frequenze relative cumulate (Fi) si osserva che Q1=0 e che Q3=3, per cui Q3-Q1=3-0=3. La varianza è pari a 3,32. Esercizio9 Il reddito annuo (in migliaia di euro) di 7 persone è il seguente: individui A B C D E F G reddito Calcolare il rapporto di concentrazione di Gini commentando il risultato. Tracciare la curva di Lorenz. Si procede come segue: ind xi Ai Qi fi Fi Fi-Qi , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,75 0, , , , totale 140 3, , L indice di Gini sarà pari a R=0,8373/3=0,276. Tale valore attesta una moderata concentrazione nel reddito annuo.

13 La curva di Lorenz sarà la seguente: curva di Lorenz Q Esercizio (nel grafico le nostre Fi sono indicate con Pi). Data la seguente serie storica del prezzo medio al kg di un certo bene A, calcolare la serie dei corrispondenti numeri indice a base fissa e a base variabile. anno prezzo (euro al kg) , , , , , , , , , , , , ,65 P Per il calcolo della serie dei numeri indice a base fissa il riferimento è sempre lo stesso, ovvero il prezzo del bene nell anno Ciascun prezzo andrà quindi diviso per il prezzo del Nel caso dei numeri indice a base mobile invece, il riferimento è sempre quello dell anno precedente. Si avrà pertanto:

14 anno prezzo (euro al kg) b.f. b.m ,05 100, ,89 94,75 94, ,95 96,72 102, ,15 103,28 106, ,20 104,92 101, ,18 104,26 99, ,45 113,11 108, ,15 136,07 120, ,00 131,15 96, ,85 126,23 96, ,00 131,15 103, ,12 135, ,65 119,67 88,59223 Esercizio11 Date le distribuzioni delle due variabili per i seguenti paesi europei var A var B francia 9,8 30 spagna 9,3 31,2 portogallo 5,7 29,9 polonia 7,5 28,8 grecia 8,1 30,3 norvegia 15,5 30,1 austria 7,9 29,8 italia 9,9 31,3 svizzera 12,2 31,3 ungheria 5,9 29,3 svezia 15,5 30,7 Rendere comparabili le due distribuzioni tramite normalizzazione e standardizzazione. Calcolare l'indice composito. La normalizzazione consiste nella trasformazione: Xi*=(xi xmin)/(xmax xmin). Per la prima variabile xmin=5,7 e xmax=15,5, per la seconda xmin=28,8 e xmax=31,3. Si avrà pertanto: distribuzione normalizzata:

15 L indice composito sarà pari a: var A var B francia 0, ,48 spagna 0, ,96 portogallo 0 0,44 polonia 0, grecia 0, ,6 norvegia 1 0,52 austria 0, ,4 italia 0, svizzera 0, ungheria 0, ,2 svezia 1 0,76 francia 0, spagna 0, portogallo 0,22 polonia 0, grecia 0, norvegia 0,76 austria 0, italia 0, svizzera 0, ungheria 0, svezia 0,88 La standardizzazione consiste nella trasformazione: Xi*=(xi media)/deviazione std. E allora necessario calcolare media e dev. Std. Per la variabile B: xi-m (xi-m)^2 francia 30-0, , spagna 31,2 0, , portogallo 29,9-0, , polonia 28,8-1, , grecia 30,3 0, , norvegia 30,1-0, , austria 29,8-0, ,19843 italia 31,3 1, , svizzera 31,3 1, , ungheria 29,3-0, , svezia 30,7 0, , totale 332,7 6, La media sarà pari a 332,7/11=30,24 e la varianza a 6,727/11=0,611 per cui dev.std=0,78 Per la variabile A:

16 xi-m (xi-m)^2 francia 9,8 0,05 0,0025 spagna 9,3-0,45 0,2025 portogallo 5,7-4,05 16,4025 polonia 7,5-2,25 5,0625 grecia 8,1-1,65 2,7225 norvegia 15,5 5,75 33,0625 austria 7,9-1,85 3,4225 italia 9,9 0,15 0,0225 svizzera 12,2 2,45 6,0025 ungheria 5,9-3,85 14,8225 svezia 15,5 5,75 33,0625 totale 107,3 114,7875 La media sarà pari a 107,3/11=9,75 e la varianza a 114,787/11=10,435 per cui dev.std=3,23 distribuzione standardizzata: var A var B francia 9,8 30 0, ,30769 spagna 9,3 31,2-0, , portogallo 5,7 29,9-1, ,4359 polonia 7,5 28,8-0, ,84615 grecia 8,1 30,3-0, , norvegia 15,5 30,1 1, ,17949 austria 7,9 29,8-0, ,5641 italia 9,9 31,3 0, , svizzera 12,2 31,3 0, , ungheria 5,9 29,3-1, ,20513 svezia 15,5 30,7 1, , L indice composito sarà pari a: francia -0,14611 spagna 0, portogallo -0,84488 polonia -1,27137 grecia -0,21696 norvegia 0, austria -0,56843 italia 0, svizzera 1, ungheria -1,19854 svezia 1,184965