Operatore delta. Introduciamo un operatore che rappresenta una piccola variazione della grandezza fisica F.

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1 Prof.. Di Muro Operatore delta Introduciamo un operatore che rappresenta una piccola variazione della grandezza fisica F. F = F fale F iziale se n è una costante n = 0 fatti la costante non varia. Questo operatore è un operatore leare, ovvero un operatore che soddisfa la seguente proprietà: ( m + n B ) = m + n B con m ed n costanti fatti ( m + n B ) = ( m + n B ) f ( m + n B ) i = ( m f + n B f ) ( m i + n B i ) = m ( f i ) + n ( B f B i ) = m + n B c.v.d. zione dell operatore sul prodotto: ( B) = (B) f (B) i Ricordando che f = i + e ponendo semplicemente i = si ha ( i + ) ( B i + B ) (B) i = B + B + B B + B Perché B è trascurabile rispetto agli altri termi quanto prodotto due piccole variazioni Interpretazione geometrica: Considerando un rettangolo di lati e B, effettuando una variazione dei lati, il rettangolo aumenta la sua area. Se la variazione è sufficientemente piccola si può trascurare rispetto all area totale l area colore. In defitiva B B B B B ( B) = B + B nalogamente per un prodotto di tre fattori: ( B C) = [( B ) C] = ( B) C + C ( B) = B C + C B + B C zione dell operatore sul rapporto: ( B ) = ( B1 ) = B 1 + B 1 = B B +B 1 = B B B In defitiva ( B ) = B B B

2 Prof.. Di Muro zione dell operatore sulla potenza: In defitiva ( n ) = ( n ) = n n 1 Portar fuori = n n 1 n volte n-1 volte n-1 volte n-1 volte n volte Esempio: per portar fuori dall operatore delta una potenza di una grandezza fisica si applica la regola vista x 5 = 5 x x Portar dentro È l operazione versa della precedente Da n n 1 = ( n ), posto m = n 1 si ha ( ) m = ( m+1 ) e qudi, m = Esempio: per portar dentro all operatore delta una potenza di una grandezza fisica si applica la regola vista x x = x. Occorre tuttavia fare attenzione perché se aggiungiamo una costante nell operatore delta a secondo membro, il risultato non cambia x = x x Ma anche ( x + 7 ) = x x = x = x x In defitiva la regola è m = ( + C ) con C costante. Per cui l esempio precedente deve essere corretto così: x x = ( x + C ) Esempi: x = ( x + C ) ( x + ) x = ( x + x + C ) Sommatoria dell operatore : = 0 1 i f = n f = n = n n 1 = = n 0 = f. In defitiva f f

3 Prof.. Di Muro Derivata Quando la variazione di una grandezza fisica è fitesima ( piccola, ma proprio piccola ), i matematici usano una notazione ed un nome diverso per la variazione. La notazione è d ( di ) ed il nome è differenziale. Riscriviamo le regole viste con la nuova notazione: 1. d( m + n B ) = m d + n d B con m ed n costanti. d( B) = d B + B d. d( n ) = n n 1 d In particolare l ultima relazione può essere scritta come: d( n ) d = n n 1 che si legge la variazione della grandezza n rispetto ad una variazione fitesima della grandezza è uguale ad n n 1, oppure modo più breve la derivata della grandezza n rispetto ad è uguale ad n n 1. In generale potremmo considerare, anziché la potenza ennesima di una qualsiasi funzione di che cos dicheremo con f ( ), p. es. f( ), tal caso si avrà 5 d f ( ) derivata di f ( ) rispetto ad d Il simbolo d significa derivata rispetto ad, ciò che deve essere derivato, ovvero f ( ), sta alla d destra del simbolo. Esempio: d ( x ) 1x f( x) df ( x) Da un punto di vista matematico, il passaggio da a è dato da un operazione detta limite, x f ( x) df ( x) e si scrive: lim, ciò significa che se la variazione x diventa piccolissima o meglio x 0 x f( x) tende a zero ( da cui la scrittura x 0 ), allora il rapporto detto rapporto crementale è x df ( x) proprio la derivata.

4 Prof.. Di Muro Dalla regola N 1. supponendo che e B dipendano dalla variabile x, cioè ( x ) e B ( x ), dividendo tutto per si ha: d d db ( m nb) m n ciò significa che la derivata è un operatore leare. Dalla regola N. con la stessa ipotesi, dividendo tutto per si ha: d B d B d B che costituisce la regola per derivare un prodotto di funzioni. Esercizi: derivare la funzione: 5 y x x dy 5x 9x derivare la funzione: y ( x x )( x x 1) dy d( x x ) d( x x 1) ( x x 1) ( x x ) ( 6x 1)( x x 1) ( x x )( x 1)

5 Prof.. Di Muro Integrale Consideriamo ora le restanti regole m = ( + C ) f f La prima scritta con i differenziali diventa m d = d ( + C ) e la seconda f d f. Il simbolo sommatoria quando la grandezza varia modo contuo. è il simbolo di tegrazione e sostituisce la Infatti quando i d l tervallo p. es. = 1 diventa via via più piccolo fo ad essere fitesimo; ciò comporta che aumenta il numero di parti cui l tervallo f è suddiviso, questo numero di suddivisioni cresce e, nel limite, al dimuire di i diventa fitamente grande. = 0 1 i f = n = 0 1 i m > n f = m Il tutto, matematicamente, viene espresso con: i n 1 f lim d n La f d si legge, tegrale da a f d. a f sono detti estremi di tegrazione, è l estremo feriore ed f l estremo superiore. Esercizio: 5 5 Quando un tegrale presenta gli estremi di tegrazione viene detto tegrale defito. Quando vece non presenta gli estremi di tegrazione viene detto tegrale defito.

6 Si presenta, generale, il problema di tegrare una funzione: b a f ( x) Prof.. Di Muro Come si vede la funzione f ( x ) è posta tra il simbolo d tegrale ed il differenziale ed è detta funzione tegranda. Nell esercizio precedente f ( x ) = 1 è ciò ha comportato una facile risoluzione, ma non è sempre così. È bene specificare che il simbolo non è l tegrale, ma solo il simbolo d tegrale, se si parla di tegrale il simbolo è sempre associato ad un differenziale. Lavorando con l operatore delta si era detto che l operazione del portar fuori.era l versa dell operazione del portar dentro., ma l operazione del portar fuori.corrisponde alla derivazione mentre l operazione del portar dentro. corrisponde all tegrazione, qudi l tegrazione è l operazione versa della derivazione, un po come la radice quadrata è l operazione versa del quadrato. Quando ad una funzione si applica un operatore e qudi si applica l operatore verso la funzione resta alterata, p. es. ( f ( x) ) f ( x) nello stesso modo x oppure d pplichiamo ora il simbolo di tegrale alla prima regola, che ricordiamo è: m d = d ( + C ) m1 m1 m1 m d( C) 1 m1 C Si ha: d d( C) C ' m 1 m 1 m 1 m 1 C ricordando che le costanti possono essere portate fuori e ridefendo la costante C '. m 1 bbiamo ricavato qudi una regola per tegrare i polomi: m1 m d C m 1 Sia l operatore derivata che l operatore tegrale sono operatori leari ( ciò discende dal fatto che, come abbiamo dimostrato precedentemente, l operatore delta è leare ). Ciò significa che: con m ed n costanti. d d db ( m nb) m n e che ( m nb) m n B Esercizio: Data la funzione f ( x) x x calcolare la sua derivata rispetto ad x. df ( x ) d (x x ) d ( x ) d 6x 1 Data la funzione g x ( ) 6x 1 tegrarla rispetto ad x e calcolare la costante per riottenere la f ( x ). x (6x 1) 6 x 6 x C x x C Confrontando con la f ( x ) deve essere C =.

7 Prof.. Di Muro Schema riassuntivo La derivata e l tegrale sono operatori leari: con m ed n costanti. d d db ( m nb) m n e ( m nb) m n B La derivata di un prodotto segue la regola: d B d B d B nota bene: l tegrale di un prodotto non segue la stessa regola. La derivata di una potenza segue la regola: d n n n1 L tegrale di una potenza segue la regola: m1 m d C m 1 Esercizi: tegrare la funzione: y 5x 9x 5 x x 5 (5x 9 x ) 5 x 9 x 5 9 x x C 5 Integrare nell tervallo [, ] la funzione y x x x x ( ) Integrare la funzione y x x sapendo che per x 1 l tegrale vale ( ) x x x x x x C Ponendo la condizione detta condizione iziale si ha: 1 1 C da cui 1 C per cui l tegrale è x x 1.