PREVISIONE. E inutile cercare di prevedere la componente deterministica. Quindi si opera su valori depurati di questa componente.

Transcript

1 PREVISIONE Sono analoghi a quelli di simulazione tranne che per l'uso dell'informazione: - si utilizzano tutte le informazioni disponibili (ingressi) fino all'istante t e si calcola il passo/i passi successivi con il modello, - si aggiorna l'informazione disponibile con nuovi dati e si procede. Funzionano tanto meglio quanto più l'inerzia del sistema è elevata (conta molto lo stato iniziale). Si assume di solito che il sistema reale sia composto da due parti: componente deterministica + componente stocastica Esempio: temperatura T del giorno t+1 T (t+1) = T + Tsen(2π/365(t+1)) + α T(t) + ε t componente deterministica media + variazione annuale componente stocastica giorno prec. + errore E inutile cercare di prevedere la componente deterministica. Quindi si opera su valori depurati di questa componente. T*(t+1) = T (t+1) [T + Tsen(2π/365(t+1))] = α*t*(t) + ε t 117

2 Per calcolare la previsione, si può tener conto solo delle informazioni note (es. T(t) temperatura del giorno corrente) e, se nota, della distribuzione di probabilità dell errore ε t. Un caso già visto: ricostruttore dello stato (uscita) sistema reale z -1 previsore ritardo unitario Si usano le informazioni note (y(t) e u(t)) e si prevede l uscita all istante t+1. Lo schema può essere usato anche su sistemi non lineari, linearizzando il sistema a ogni passo e ricalcolando la matrice L ogni volta (in questo caso quindi la matrice cambia con t). 118

3 Componente stocastica e rischio Se si conosce la distribuzione di probabilità dell errore ε t si può operare nel modo seguente: - si calcola con il modello il valore atteso dell uscita sulla base dell informazione corrente I t - si somma a questo la distribuzione dell errore - si ottiene così la distribuzione di probabilità della variabile prevista. In questo modo è possibile calcolare la probabilità di qualsiasi valore o il rischio di superare un certo limite (es. di legge). Come valutare la distribuzione dell errore Sui dati di taratura, si valuta ε t = misura t - previsione t e si controlla poi che questa serie abbia media nulla, distribuzione gaussiana, correlazione nulla con se stessa e le altre variabili (cioè sia un rumore bianco). 119

4 Modello ARMA o ARX (descrizione esterna) Un sistema dinamico lineare (es. discreto) può anche essere descritto attraverso le sole grandezze misurabili all esterno: ingresso u(t) e uscita y(t) (caso di sistema 1_ingresso 1_uscita). Es: x ( t + 1) = α x ( t) 1 2 x ( t + 1) = β x ( t) + u( t) 2 1 y( t) = γ x ( t) 1 Sostituendo: y( t + 1) = γα x ( t) = γα ( β x ( t 1) + u( t 1)) = ay( t 1) + bu( t 1) In generale: 2 1 y( t + 1) = a y( t) + a y( t 1) b u( t) + b u( t 1) parte autoregressiva AR parte a media mobile (moving average) MA N.B. la parte MA è detta a volte esogena (exogenous) N.B. a 1,a 2,,a n sono i coefficienti del polinomio caratteristico. Nel continuo: n+ 1 n n 1 n n 1 d y d y d y d u d u a n 1 1 a n 2 b n 1 1 b + n 2 n 1 = dt dt dt dt dt 120

5 Esempio u = forza y = posizione m y = Ky H y+ u H K 1 y+ y+ y = u m m m modello ARMA Esempio Conigliera y(t) = n coppie conigli Supponiamo u(t) = 0 e y(0) = 1 y(1) = 1 y(t+2) = y(t+1) + y(t) (1,1,2,3,5,8,13,...) modello AR(2) (= due termini autoregressivi) 121

6 I modelli ARMA sono spesso utili per effettuare previsioni su sistemi complessi. In tali casi i parametri a i e b i vanno poi stimati a partire dai dati. Esempio u(t) portata nella sezione 1 all ora t y( t + n) = u( t) ritardo piena di n ore y( t + n) = b u( t + n 1) + b u( t + n 2) b u( t) 1 2 n La portata all uscita è una media pesata della portata all ingresso. AR(1) y( t + n) = y( t + n 1) ipotesi di congelamento y( t + n) = 2 y( t + n 1) y( t + n 2) Estrapolatore del 1 ordine AR(2) y( t + n) = a y( t + n 1) a y( t + n 2)... a y( t) 1 2 Modello più complesso ARMA(n,n) y( t + n) = a y( t + n 1)... a y( t) + b u( t + n 1) +... b u( t) 1 n 1 n Estrapolatore di ordine n AR(n) n 122

7 A volte i modelli ARMA vengono detti a scatola nera (black box) perché sono strutture matematiche che vengono a priori scelte per descrivere la dinamica di un sistema complesso. Modelli matematici che vengono scelti con alcune motivazioni fisiche (analogia, meccanica di funzionamento, ipotesi di comportamento, ) sono invece chiamati a scatola grigia. Spesso, tuttavia, le due classi di modelli coincidono e cioè le ipotesi fatte non sono assolutamente essenziali. Esempio u(t) = pioggia y(t) = portata Il modello di Nash interpreta il bacino come una sequenza di n serbatoi, ma essendo lineare, può essere scritto anch esso come un modello ARMA. In molti casi gli ingressi sono più di uno. Es. p i (t) pioggia misurata al pluviometro i q(t+1)=αq(t) + β 1 p 1 (t)+β 2 p 1 (t-1)+ +γ 1 p 2 (t)+γ 2 p 2 (t-1)+..+δ 1 p 3 (t)+ 123

8 Taratura dei previsori I previsori sono di solito tarati con il consueto criterio dei minimi quadrati. E chiaro che, in questo caso, i valori della variabile y t compaiono sfalsati tanto nella matrice M dei dati, tanto nel vettore y dei risultati. ESEMPIO: sistema modello con 2 ingressi u w SISTEMA y previsore stima a lotti stima ricorsiva (la stima è aggiornata all arrivo di un nuovo dato) Il vettore dei parametri viene stimato in tempo reale fino alla convergenza I due metodi di stima portano, asintoticamente, allo stesso risultato. 124

9 PREVISIONE - CASO DI STUDIO: Qualità dell aria a Milano Vedi: Finzi, Fronza, Spirito, Multivariate stochastic models of sulphur dioxide pollution in an urban area, APCA Journal, 30: , 1980 stazioni meteo condizioni meteorologiche emissioni misure qualità aria inquinamento, e.g. SO 2 previsione allarme reazioni individuali esposizione sistema respiratorio DANNO La previsione è diffusa ogni giorno t per quello successive (t+1) e si riferisce ai valori previsti dalle normative (ad esempio, media delle 24 ore, valore massimo, massima media su 8 ore, ). La previsione può riguardare diversi inquinanti (es. PM10 in inverno, O 3 in estate). Qui trattiamo il caso di inquinanti primari (niente reazioni chimiche) e deposizione umida (pioggia) trascurabile. N.B. Il danno dipende dalle reazioni individuali all informazione fornita (allarme) e la reazione può dipendere a sua volta dalla bontà delle previsioni precedenti (falsi o mancati allarmi). 125

10 Dati disponibili quota isola di calore inversione temperatura rosa dei venti stagionale mappe meteo 126

11 Stazioni di misura della qualità dell aria (PTS, PM10, PM2,5, NOx, SO 2, VOC, ) Consideriamo ad esempio il sistema di previsione seguente: dati previsore concentrazione di la variabile di uscita da prevedere è la media su 24 ore della media della stazioni di misura effettuata alle ore 8 Possiamo usare come dati in ingresso: - la concentrazione di inquinante del giorno precedente (chiaramente se la concentrazione odierna è elevata, ci aspettiamo che lo sia anche quella successiva) - la temperatura T (d inverno, più bassa è la temperatura, più elevate saranno le emissioni per riscaldamento ed energia) - la condizione meteo m (con alta pressione, l inversione termica è più probabile) - la velocità del vento v (più vento, maggiore dispersione). 127

12 Scelta del modello Occorre scegliere la struttura del modello e tarare i parametri sulla base dei dati disponibili.. La struttura dipende dalle informazioni che immaginiamo di poter utilizzare in tempo reale e maggiore è la quantità di informazione necessaria, maggiori saranno i costi di implementazione del modello. Anche a parità di informazioni sono possibili diverse formulazioni. Occorre anche tener conto dell uso che poi si farà della previsione (es. inutile fare previsioni per diverse aree della città, se poi si può solo chiudere tutto al traffico) La procedura è la solita: selezione modello taratura dati Su Milano sono state sperimentate la strutture seguenti: 128

13 Modello 1 & sono i parametri da stimare è la concentrazione prevista per il giorno k+1 [ppm] è la concentrazione misurata nel giorno k [ppm] è la temperatura misurata nel giorno k [ C] è una temperatura di riferimento (evita divisioni per previsione perfetta (la pendenza non è 45 perché le unità sui due assi sono diverse) concentrazione prevista Il modello non è molto preciso perché tende un po a sottostimare gli episodi di inquinamento acuto. ρ = 0,76 ρ episodi = 0,69 concentrazione misurata 129

14 Modello 2 Il modello ha la stessa struttura del precedente, salvo il fatto che i parametri α e β si suppongono dipendenti dalla situazione meteo prevista per il giorno k+1: situazione ciclonica o anticiclonica. Ciò significa che devono essere calibrati DUE diversi modelli: prima si raggruppano tutti I dati relative a situazioni cicloniche e si tarano 2 parametri, poi tutti I dati relative a situazioni anticicloniche e si tarano altri 2 parametri. Si noti che si tratta di situazioni previste, cioè quelle elaborate da un servizio di previsione meteo, e che, separando I dati in due insiemi, occorre tener presente il loro effettivo legame temporale (cioè i giorni realmente precedenti, che potrebbero non appartenere allo stesso insieme). Raddoppiando il numero di parametri e specializzando il modello per le diverse situazioni, le prestazioni migliorano, ma il doppio dei dati è necessario per raggiungere la stessa affidabilità nella stima. La correlazione tra previsioni e misure passa da 0.76 a

15 Modello 3 Il modello differisce dal precedente solo per la presenza dell ultimo temine, che ha un segno meno per tener conto che la concentrazione decresce con l aumento della velocità del vento (maggiore dispersione). Notate però che si utilizza la velocità prevista per il giorno k+1. Se questa è calcolato solo per fare la previsione di inquinamento (ad es. con un AR(1)) è meglio usare direttamente quella rilevata al giorno k. previsione concentrazione prevista La previsione è migliorata in particolare sugli episodi più elevati: ρ = 0,88 ρ episodi = 0,82 Il modello utilizza tuttavia 6 parametri e quindi richiede più dati, oltre alle misure di vento in tempo reale (localmente rilevabili con un anemometro). concentrazione misurata 131

16 misure previsioni (si nota il tipico ritardo sui picchi dei modelli autoregressivi) Dati misurati Previsioni