La matematica nell arte di Escher

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1 geometria, metamorfosi e percezione 11 febbraio 2011

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3 La prospettiva è una tecnica pittorica che si sviluppa lentamente

4 La prospettiva è una tecnica pittorica che si sviluppa lentamente Possiamo vedere Giotto, nella cappella degli Scrovegni:

5 La prospettiva è una tecnica pittorica che si sviluppa lentamente Possiamo vedere Giotto, nella cappella degli Scrovegni:

6 Forse non il primo a usarla consapevolmente, di sicuro Piero della Francesca fu il primo a trattarla matematicamente

7 Forse non il primo a usarla consapevolmente, di sicuro Piero della Francesca fu il primo a trattarla matematicamente

8 Forse non il primo a usarla consapevolmente, di sicuro Piero della Francesca fu il primo a trattarla matematicamente

9 La prospettiva non è dunque essenziale perché il nostro cervello possa riconoscere un immagine

10 La prospettiva non è dunque essenziale perché il nostro cervello possa riconoscere un immagine Possiamo infatti riconoscere l ambientazione nello spazio anche con un assonometria

11 La prospettiva non è dunque essenziale perché il nostro cervello possa riconoscere un immagine Possiamo infatti riconoscere l ambientazione nello spazio anche con un assonometria

12 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini

13 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini

14 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini

15 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini

16 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini

17 Escher sfrutta abilmente la nostra percezione delle immagini per ingannarci

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19 Tutti sappiamo ricoprire il piano con esagoni

20 Tutti sappiamo ricoprire il piano con esagoni Lo sanno fare perfino le api:

21 Tutti sappiamo ricoprire il piano con esagoni Lo sanno fare perfino le api: l esagono è il poligono regolare con il massimo numero di lati con cui si possa ricoprire il piano

22 Tutti sappiamo ricoprire il piano con esagoni Lo sanno fare perfino le api: l esagono è il poligono regolare con il massimo numero di lati con cui si possa ricoprire il piano Perciò il ricoprimento con esagoni è il modo più efficiente per avere celle di volume massimo con minimo dispendio di materiale per costruire le pareti

23 Naturalmente si può ricoprire il piano in molti modi regolari

24 Naturalmente si può ricoprire il piano in molti modi regolari Escher usa questo tipo di ricoprimenti in molte opere

25 Naturalmente si può ricoprire il piano in molti modi regolari Escher usa questo tipo di ricoprimenti in molte opere

26 Naturalmente si può ricoprire il piano in molti modi regolari Escher usa questo tipo di ricoprimenti in molte opere

27 Naturalmente si può ricoprire il piano in molti modi regolari Escher usa questo tipo di ricoprimenti in molte opere magari con variazioni

28 È però possibile ricoprire il piano in modo aperiodico

29 È però possibile ricoprire il piano in modo aperiodico Penrose scoprì come costruire un ricoprimento di questo tipo usando due figure particolari

30 È però possibile ricoprire il piano in modo aperiodico Penrose scoprì come costruire un ricoprimento di questo tipo usando due figure particolari

31 Ricoprimenti di Penrose

32 Ricoprimenti di Escher

33 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso

34 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre:

35 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

36 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

37 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

38 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

39 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

40 Un ricoprimento è periodico se ammette movimenti rigidi del piano che lo trasformino in sé stesso Se vogliamo che sia formato da poligoni regolari uguali ne otteniamo tre: con triangoli, quadrati o esagoni Con poligoni regolari anche diversi, ne sono possibili molti

41 Ma se cambiamo spazio?

42 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij

43 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai

44 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora:

45 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora: Gauss

46 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora: Gauss Da oltre duemila anni rimaneva aperto il problema se il postulato delle parallele di Euclide fosse o no dimostrabile a partire dagli altri

47 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora: Gauss Da oltre duemila anni rimaneva aperto il problema se il postulato delle parallele di Euclide fosse o no dimostrabile a partire dagli altri Lobačevskij e Bolyai studiarono il sistema geometrico che si ottiene negando l unicità della parallela

48 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora: Gauss Da oltre duemila anni rimaneva aperto il problema se il postulato delle parallele di Euclide fosse o no dimostrabile a partire dagli altri Lobačevskij e Bolyai studiarono il sistema geometrico che si ottiene negando l unicità della parallela Il sistema ottenuto appariva privo di contraddizioni,

49 Ma se cambiamo spazio? 1830: Lobačevskij 1832: Bolyai Prima ancora: Gauss Da oltre duemila anni rimaneva aperto il problema se il postulato delle parallele di Euclide fosse o no dimostrabile a partire dagli altri Lobačevskij e Bolyai studiarono il sistema geometrico che si ottiene negando l unicità della parallela Il sistema ottenuto appariva privo di contraddizioni, ma è davvero così?

50 Poincaré ideò un metodo formidabile per dimostrare che la geometria non euclidea è coerente, cioè non conduce a contraddizioni

51 Poincaré ideò un metodo formidabile per dimostrare che la geometria non euclidea è coerente, cioè non conduce a contraddizioni

52 Che cos è un punto? Che cos è una retta?

53 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che

54 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti

55 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo

56 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo ma non è un intuizione a priori

57 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo ma non è un intuizione a priori con buona pace di Kant

58 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo ma non è un intuizione a priori con buona pace di Kant La geometria euclidea è una teoria matematica, che può essere usata per descrivere lo spazio fisico,

59 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo ma non è un intuizione a priori con buona pace di Kant La geometria euclidea è una teoria matematica, che può essere usata per descrivere lo spazio fisico, ma non è necessariamente l unico modo valido per descriverlo

60 Che cos è un punto? Che cos è una retta? Con il modello di Poincaré possiamo renderci finalmente conto che sono concetti e non oggetti La geometria può servire a descrivere lo spazio in cui ci troviamo ma non è un intuizione a priori con buona pace di Kant La geometria euclidea è una teoria matematica, che può essere usata per descrivere lo spazio fisico, ma non è necessariamente l unico modo valido per descriverlo Per esempio, la relatività generale non usa di certo la geometria euclidea

61 Escher ci mostra che cosa si può fare in geometria non euclidea

62 Escher ci mostra che cosa si può fare in geometria non euclidea Un ricoprimento del piano non euclideo con quadrati e triangoli

63 Ricoprimento del piano non euclideo con esagoni (a quattro a quattro!)

64 Ricoprimento del piano non euclideo con esagoni (a quattro a quattro!)

65 Ricoprimento del piano non euclideo con esagoni (a quattro a quattro!)

66 E adesso procediamo senza sosta per l infinito!

67 E adesso procediamo senza sosta per l infinito!