UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA, PRIMO LIVELLO

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CATANIA FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN INFORMATICA, PRIMO LIVELLO EVA SCIACCA Implementazione di modelli compatti di dispositivi a semiconduttori bipolari: HICUM RELAZIONE PROGETTO FINALE TUTOR UNIVERSITARIO: Ch.mo Prof. A. MARCELLO ANILE TUTOR AZIENDALE: Dott.ssa Valeria Cinnera - ST Microelectronics ANNO ACCADEMICO

2 Indice Introduzione 3 1 PANORAMICA SUI TRANSISTOR BJT Introduzione Struttura e principio di funzionamento Equazioni e parametri fondamentali Caratteristiche statiche ad emettitore comune Funzionamento in interdizione e saturazione Polarizzazione del BJT. Punto di funzionamento a riposo BJT come amplificatore di piccoli segnali di bassa frequenza Circuito equivalente dei BJT per piccoli segnali di bassa frequenza Configurazioni amplificatrici fondamentali Classificazione dei BJT HICUM Introduzione Caratteristiche del modello Equazioni del modello Circuito Equivalente Circuito Equivalente a piccolo segnale Disponibilità commerciale di Hicum TOOL HICUM/L Introduzione Uso del tool Esempi ESAME DEI RISULTATI RAGGIUNTI 39 5 REFERENCES LINK A SITI WEB CONSULTATI 42 2

3 Introduzione La complessità dei circuiti elettronici digitali di pratica utilità rende necessario l'utilizzo del calcolatore come strumento di valutazione accurata delle grandezze elettriche di interesse. Anche in casi molto semplici, la risoluzione rigorosa del circuito risulta impossibile, data la pronunciata nonlinearità del comportamento di una qualunque porta logica. Per tale ragione si ricorre ai simulatori circuitali, che consentono di risolvere numericamente reti elettriche ad elevata complessità, compatibilmente con le risorse di calcolo disponibili, sulla base di modelli matematici assegnati dei dispositivi utilizzati. Quella usata per l analisi e la sintesi dei circuiti elettronici è una delle più importanti simulazioni mediante calcolatore ed è nota come Computer Aided Design ( o CAD, cioè progetto assistito dal calcolatore ) elettronico. Se si vuole una giustificazione della sua importanza, basti pensare che lo sviluppo attuale dei circuiti integrati si deve essenzialmente allo sviluppo e alla sofisticazione dei programmi di CAD. Solo mediante il loro aiuto infatti possono essere progettati e costruiti microcircuiti composti di milioni di transistori-equivalenti, come ad esempio le CPU dei calcolatori. In particolare, per chi già possiede una certa preparazione teorica ed una certa pratica di laboratorio, un CAD può costituire uno strumento di straordinaria potenza e di inimmaginabile potenzialità. Permette infatti di eseguire, in brevissimo tempo, una innumerevole quantità di prove su un grandissimo numero di variazioni dello stesso circuito, permettendo così anche la sintesi di circuiti mediante successive operazioni di cut and try. Esempi di simulatori circuitali sono ELDO della Mentor-Graphics e le molteplici varianti di SPICE (come Pspice, WinSpice o SuperSpice) con versioni free e, il più delle volte, commerciali. Va sottolineato il fatto che ogni azienda, soprattutto se di un certo livello, ha il suo simulatore; di solito si tratta di versioni di SPICE (ad es. la Texas Instruments adopera TI SPICE), con parametri in più rispetto al pacchetto base. Per quanto riguarda il simulatore ELDO, esso ha la stessa accuratezza di SPICE ed accetta in ingresso la stessa netlist solo che è stato dimostrato essere più lento e viene utilizzato soprattutto in aziende che si occupano in modo specifico del livello circuitale. Il progetto da me sviluppato consiste nella validazione e revisione di un tool scritto in Fortran77 che consente di effettuare una caratterizzazione veloce dei parametri dinamici delle models dei dispositivi bipolari, senza perdita di accuratezza nei risultati. 3

4 L utilizzo di tale tool potrà permettere un notevole risparmio in termini delle licenze Eldo, il simulatore circuitale CAD usato tuttora da ST Microelectronics di Catania, azienda presso la quale il progetto è stato svolto. Nella prima parte della relazione viene effettuata una panoramica sui transistori bipolari a giunzione o BJT. In seguito viene esposto il modello HICUM, modello matematico sul quale è basato il funzionamento del tool. Quindi viene data una descrizione dettagliata sull utilizzo del tool ed infine sono mostrati i risultati forniti dal tool messi a confronto con quelli forniti dal simulatore Eldo. 4

5 1 PANORAMICA SUI TRANSISTOR BJT 1.1 Introduzione La parola transistor è la contrazione di transfer resistor (resistore di trasferimento). Questa terminologia, introdotta dai primi sperimentatori, tende a sottolineare come, in determinate condizioni di funzionamento, questo dispositivo si dimostri in grado di trasferire, sostanzialmente immutata, una variazione di corrente da una resistenza bassa ad una di valore più elevato, ricavandone un amplificazione di tensione. Esistono due tipi di transistori, quelli bipolari e quelli ad effetto di campo. Il principio di funzionamento di una giunzione e le sue proprietà rettificatrici, sono alla base del funzionamento dei transistori bipolari (Bipolar Junction Transistor - Bjt) che hanno rivoluzionato letteralmente il mondo dell'elettronica dal 1948, quando furono realizzati per la prima volta negli Stati Uniti da Bardeen, Schockley e Brattain. L aggettivo bipolare evidenzia un processo di conduzione che coinvolge contemporaneamente i portatori maggioritari e quelli minoritari. I primi BJT commercializzati nel 1951 erano dispositivi al germanio con serie limitazioni di impiego a causa della temperatura massima di lavoro relativamente bassa (75-90 C). Pochi anni più tardi furono introdotti i transistori al silicio (temperatura di funzionamento fino a 200 C) con il conseguente progressivo declino del germanio, oggi praticamente abbandonato dai costruttori. La rapida evoluzione delle tecniche costruttive (dal rudimentale transistore a punta di contatto a quelli ottenuti per crescita, per lega, per diffusione, fino alla tecnologia planare epitassiale) ha portato alla produzione di migliaia di tipi di BJT per le più svariate applicazioni. Si possono citare in particolare quelli riguardanti il trattamento dei segnali audio (settore HI-FI), dei segnali video, dei segnali a radio frequenza (VHF, UHF, comunicazioni via satellite) e quelle legate all elettronica industriale di potenza (sistemi di controllo e di alimentazione). Con l avvento delle tecniche di integrazione all inizio degli anni 60, il BJT perde progressivamente importanza come componente discreto, diventando però il componente base dei circuiti integrati bipolari, sia logici (TTL, ECL, ecc.) che analogici (amplificatori operazionali, ecc.) sempre più complessi. 5

6 Questo rende indispensabile la buona conoscenza di un dispositivo che, se in molte applicazioni è stato relegato ad elemento di contorno, viene tuttora largamente utilizzato in alta frequenza e in generale nell elettronica di potenza. 1.2 Struttura e principio di funzionamento Tre regioni adiacenti di semiconduttore drogate alternativamente di tipo p e di tipo n costituiscono, sotto certe condizioni, un transistore a giunzione bipolare. Questa struttura è rappresentata in forma schematica nella figura 1.2/1 nelle due possibili versioni di BJT: pnp e npn, con i simboli grafici corrispondenti, i versi reali delle correnti e le tensioni più significative. La parte centrale viene chiamata base e le due laterali emettitore e collettore. Il dispositivo presenta quindi due giunzioni, giunzione base-emettitore e giunzione base-collettore, che indicheremo in seguito rispettivamente con Je e Jc. La simmetria dei modelli è convenzionale; in realtà le giunzioni Je e Jc hanno aree diverse, come pure diversa risulta l intensità del drogaggio delle varie zone. Ne consegue che i terminali E e C non sono praticamente intercambiabili e vengono espressamente indicati dal costruttore. Il verso della freccia nel simbolo è quello della corrente diretta di Je. Due particolarità costruttive sono veramente essenziali per il funzionamento del BJT: --- la regione di base deve essere molto sottile; --- la stessa regione deve essere poco drogata rispetto a quella di emettitore. Fig. 1.2/1: Le due possibili versioni di BJT: pnp (sinistra) ed npn (destra). Il BJT può lavorare come dispositivo lineare (amplificatore di segnale) o come dispositivo a due stati ON-OFF (interruttore elettronico). Nel funzionamento lineare la corretta polarizzazione delle giunzioni prevede: Je polarizzata direttamente e Jc polarizzata inversamente. Questo comporta una diminuzione della barriera di potenziale di Je e la nascita di una corrente di diffusione attraverso la 6

7 giunzione; viene invece ostacolato il movimento dei portatori di maggioranza attraverso Jc per l innalzamento della barriera di potenziale causato della polarizzazione inversa. Fig. 1.2/2: Polarizzazioni nel transitor BJT npn in funzionamento lineare. La figura sottostante (Fig. 1.2/3) illustra il processo di conduzione all interno di un transistor npn evidenziando le varie componenti della corrente. La polarizzazione diretta di Je dà luogo ad una corrente di diffusione, dovuta prevalentemente agli elettroni liberi che dall emettitore si dirigono verso la base (Ine) e, in misura alquanto minore per il debole drogaggio della base, alle lacune che da B vanno verso E (Ipe). Giunti nella base, gli elettroni liberi hanno poche probabilità di ricombinarsi con le lacune presenti in numero relativamente scarso e, vista la sottigliezza della regione, essi arrivano rapidamente alle vicinanze di Jc, che attraversano sotto l effetto del campo elettrico favorevole (Inc). A titolo indicativo si può pensare che solo un elettrone su cento si ricombini nella base. Fig. 1.2/3: Processo di conduzione all interno di un transistor npn in funzionamento lineare. Le ricombinazioni danno luogo alla componente principale (Ine Inc) della Ib, mentre gli elettroni che hanno proseguito il loro cammino attraverso Jc, danno origine alla componente principale Inc di Ic Ie. Con I 0 è stata indicata la corrente inversa di saturazione di Jc, dovuta ai portatori minoritari. Si noti il verso delle correnti, convenzionalmente contrario a quello di spostamento degli elettroni. Mentre in un transistor npn la conduzione è dovuta prevalentemente al moto degli elettroni liberi, in un transistor pnp la conduzione si basa, invece, prevalentemente sul movimento delle lacune e tensioni e correnti presentano verso opposto. 7

8 1.3 Equazioni e parametri fondamentali Dall analisi della conduzione fatta in precedenza e con riferimento allo schema della figura 1.2/3 si possono dedurre e verificare le equazioni di funzionamento lineare del BJT. Assumendo come circuito di ingresso quello percorso da Ie, e come circuito di uscita quello percorso da Ic, si nota che la base è comune ai due circuiti. Per questo motivo la configurazione viene detta a base comune (common base: CB). Risulta dalla figura 1.2/3 che: [1] Ie = Ic + Ib E dalla figura si ricava anche che: [2] Ic = Inc + I0 Come si è visto Inc è una frazione rilevante della corrente di emettitore, mentre la corrente inversa I 0 comunemente indicata dai costruttori con Icb0 (per sottolineare che circola tra C e B e viene misurata ad emettitore aperto), ha valori abitualmente compresi tra 1 na e 1 µa per i BJT al silicio a temperatura di 25 C. L'equazione [2] si può quindi riscrivere come: [3] Ic = α Ie + Icb0 dove α, che rappresenta con ottima approssimazione l'amplificazione statica di corrente a base comune (α Ic/Ib), assume valori compresi tra 0,9 e 0,999. La corrente di base Ib è quindi relativamente piccola ed esercita una funzione di controllo sulla corrente principale, come risulta ricavando la relazione di proporzionalità che la lega ad Ic. Combinando infatti le eq. [1] e [3] si ottiene: [4] Ic = [α / (1-α)] * Ib + [1 / (1-α)] * Icb0 E ponendo: [5] β = α / (1-α) Si perviene infine a: [6] Ic = β Ib + (β+1) Icb0 8

9 In realtà considerato il basso valore di Icb0, il coefficiente β riveste un interesse più teorico che pratico e i costruttori forniscono un altro parametro indicato con Hfe, guadagno di corrente in continua (DC Current Drain). [7] Hfe = Ic / Ib L approssimazione Hfe β è senz altro lecita nei casi pratici di BJT al silicio, per i quali Ic e Ib sono normalmente entrambe molto maggiori di Icb0 fino a temperature di lavoro elevate. Per i transistor commerciali Hfe è di solito compreso tra 10 e L equazione [6] evidenzia infine l esistenza di una corrente residua di collettore per Ib = 0; essa viene chiamata Ice0 e vale: [8] Ice0 = (β+1) Icb0 In pratica Ice0 non risulta, per i BJT al silicio, molto maggiore di Icb Caratteristiche statiche ad emettitore comune L interesse pratico della configurazione circuitale a base comune non appare evidente a priori per l assenza di amplificazione di corrente fra ingresso e uscita, essendo Ic Ie. Si osserva, invece, che ad una data Ib corrisponde una Ic molto maggiore e si può quindi pensare di assumere Ib come corrente di ingresso e Ic come corrente di uscita, collegando il BJT ad emettitore comune (common emitter CE), come in figura1.4/1 dato che è la configurazione che riveste maggiore interesse applicativo. Il funzionamento del BJT risulta in questo caso caratterizzato dalle relazioni che legano le seguenti correnti e tensioni: Ic, Ib, Vce, Vbe. Si possono rilevare sperimentalmente diverse famiglie di curve caratteristiche, alcune delle quali sono di notevole importanza pratica. Fig. 1.4/1: Configurazione del BJT ad emettitore comune 9

10 Caratteristiche di ingresso Rappresentano l'andamento della corrente di ingresso Ib al variare della tensione Vbe, per valori costanti di Vce. In funzionamento lineare (in pratica per valori di Vce superiori a pochi decimi di volt) le caratteristiche sono quasi indipendenti da Vce e tendono a coincidere confluendo in un'unica curva. Nella figura accanto è riportata la caratteristica di ingresso di un BJT al silicio, in tutto simile alla caratteristica di un diodo, con tensione di soglia Vs 0,5 V e di lavoro Vbe = 0,6 0,7 V. Si deve evitare una polarizzazione inversa troppo elevata di Je, che porta alla rottura (breackdown) della giunzione, in genere irreversibile. La tensione di breakdown non supera infatti normalmente i V. Caratteristiche di uscita Rappresentano l'andamento di Ic al variare di Vce per valori costanti di Ib. Sono di notevole interesse didattico, anche se la tendenza dei manuali è di non riportarle più. Per valori di Vce superiori a pochi decimi di volt, le caratteristiche appaiono ben distinte e, in prima approssimazione, possono essere considerate orizzontali, parallele ed equidistanti per uguali variazioni di Ib. In realtà, Ic cresce lentamente all'aumentare di Vce e le curve tendono ad addensarsi sia verso l'alto che verso il basso. Per valori di Vce molto bassi le caratteristiche non sono più distinte: il transistore viene detto in saturazione. 1.5 Funzionamento in interdizione e saturazione Il transistor viene spesso utilizzato come interruttore (switching transistor) adatto ad attivare o disattivare circuiti, trasduttori, ecc. In tutte queste applicazioni il funzionamento è legato a due particolari stati del BJT: quello di saturazione (ON) e quello di interdizione (OFF). Notevole importanza assume il tempo impiegato dal dispositivo per il passaggio da uno stato all altro. 10

11 a) Saturazione Esaminando le caratteristiche di uscita del BJT è già stato rilevato che, per bassi valori di Vce, le curve per Ib = costante tendono a confondersi. In questa regione del piano Ic, Vce, la corrente Ib perde il controllo di Ic, il cui valore dipende essenzialmente da Vce. Ciò significa che viene a mancare la relazione di proporzionalità Ic = Hfe Ib e il transistor è detto in saturazione. Questa situazione si verifica quando entrambe le giunzioni Je e Jc si trovano polarizzate direttamente e si ha quindi Vce<Vbe. Per i transistor npn al silicio di piccola potenza (di segnale) i valori tipici (convenzionali) delle tensioni di saturazione sono i seguenti: Vce sat = 0,2 V e Vbe sat = 0,8 V Per i transistor pnp, com è ovvio, le tensioni hanno segno opposto. In pratica un BJT risulta in saturazione se ad un incremento di Ib non corrisponde alcun apprezzabile aumento di Ic. Ne deriva che la verifica o l imposizione dello stato di saturazione ON può essere fatta utilizzando la relazione che lo caratterizza: IB > IC / HFE si ricava: b) Interdizione Un transistore di dice interdetto se Ie = 0. Imponendo questa condizione nelle equazioni [3] e [1] Ic = Icb0 Ib = - Ic = - Icb0 Considerato il basso valore di Icb0, la zona di interdizione, nel piano delle caratteristiche di uscita, coincide praticamente con l asse di Vce. L interdizione si verifica se entrambe le giunzioni sono polarizzate inversamente. Ovvero si ha che Vbe<0. (per un transistor pnp Vbe 0). 11

12 1.6 Polarizzazione del BJT. Punto di funzionamento a riposo L amplificazione dei segnali, senza eccessiva distorsione della forma d onda, richiede il funzionamento del BJT in zona attiva o lineare. Questo può essere ottenuto applicando alle giunzioni opportune tensioni continue mediante reti di batterie e resistori, dette reti di polarizzazione. In questo modo si impone al BJT un ben preciso punto di funzionamento, chiamato punto di funzionamento a riposo per sottolineare che dipende esclusivamente dalle tensioni continue. Tale punto indicato con Q è determinato dalle sue coordinate IbQ, VbeQ, IcQ e VceQ. La determinazione di Q può essere fatta per via grafica o per via analitica. Stabilizzazione del punto di funzionamento La variabilità dei parametri del BJT, sia per motivi termici che tecnologici, ha come effetto l'instabilità di Q, che deve essere controllata e contenuta entro limiti prestabiliti. Esaminiamo le situazioni reali. BJT di segnale. La modesta potenza dissipata dal dispositivo rende poco importante il problema termico causato dal suo autoriscaldamento e la temperatura di lavoro Tj risulta di poco superiore a quella ambiente Ta. Alla temperatura ambiente di riferimento Ta = 27 C l'unico vero problema di instabilità di Q è quello legato alla dispersione di Hfe. Per limitate escursioni di Ta al di sopra di 27 C, al problema della dispersione di Hfe si aggiunge quello del suo incremento termico; minor peso hanno, invece, le variazioni di Vbe, mentre quelle di Icb0 producono effetti normalmente trascurabili. BJT di potenza. In tal caso la potenza dissipata dal dispositivo è elevata e la temperatura Tj all'interno del transistore risulta spesso molto maggiore di Ta. Gli effetti termici sono quindi rilevanti anche a Ta = 27 C e il problema va considerato sotto l'aspetto del raggiungimento di un equilibrio termico stabile. Infatti, se l'aumento di Tj per autoriscaldamento provoca un aumento di Ic, che porta, ad un ulteriore incremento di Tj, ecc., può innescarsi un meccanismo di reazione positiva denominato fuga termica, che porta rapidamente alla distruzione del dispositivo per il superamento della massima temperatura di lavoro Tj(max) prevista dal costruttore. Per un BJT al silicio si ha in genere Tj(max) = 150 C. 12

13 La stabilizzazione del punto di funzionamento può essere ottenuta con l'impiego di particolari reti di polarizzazione che rendono Q indipendente, in larga misura, dai parametri del BJT. Con un'altra tecnica, detta di compensazione, si introducono nel circuito di polarizzazione componenti sensibili alla temperatura (termistori, diodi, transistori) in grado di produrre effetti termici uguali ed opposti a quelli indesiderati e quindi annullarli. Le due tecniche sono da considerarsi complementari per i circuiti a componenti discreti, mentre per la stabilizzazione di quelli integrati vengono usate sofisticate tecniche di compensazione. 1.7 BJT come amplificatore di piccoli segnali di bassa frequenza Per basse frequenze si devono intendere frequenze per le quali siano da considerarsi trascurabili gli effetti capacitivi delle giunzioni Je, e Jc; questo si verifica, in genere, fino ad almeno qualche decina di khz. Nella maglia di ingresso del circuito ad emettitore comune della figura 1.7/1 è stata inserita una sorgente di segnale Vs, ad esempio sinusoidale. Il regime di funzionamento è ora dinamico e sul circuito sono stati indicati i valori istantanei di correnti e tensioni: Ib, Ic, Vbe, Vce. Fig. 1.7/1: Circuito ad emettitore comune in cui è stata inserita una sorgente di segnale Vs Esaminiamo il problema in primo luogo nel piano Vbe, Ib (figura 1.7/2)della caratteristica di ingresso. Al circuito di base è ora applicata non più, una tensione continua Vbb, ma una tensione variabile: Eb (t) = Vbb + Vsm sen ωt con valori massimo e minimo. Questo fa sì che la retta di polarizzazione anziché rimanere fissa, trasla, al variare di Vs, parallelamente a se stessa mantenendo la pendenza 1/Rb, ed assumendo come posizioni estreme quelle relative ai valori istantanei di tensione Eb(max) e Eb(min). Il punto di funzionamento si sposta conseguentemente sulla caratteristica di ingresso tra Q1, e Q2 attorno alla sua posizione di riposo Q. Nell'intervallo compreso tra Q1 e Q2 la caratteristica è circa rettilinea (ciò risulta 13

14 più vicino al vero per piccole variazioni attorno a Q, diremo per piccoli segnali). Il funzionamento è quindi, con buona approssimazione, da ritenersi lineare. In tal caso sia Ib che Vbe risultano sinusoidali. Fig 1.7/2: Caratteristiche di ingresso nel caso del funzionamento dinamico del BJT Spostiamo ora l'analisi grafica nel piano delle caratteristiche di uscita (vedi figura 1.7/3), tramite la caratteristica di trasferimento Ic = f (Ib). L'equazione alla maglia di uscita del circuito della figura 1.7/1 è : Vcc = Vce + RcIc È questa l'equazione di una retta, detta retta di carico dinamica, di pendenza 1/Rc, e quindi coincidente, in questo caso, con quella statica. Al variare di Ib, il punto di lavoro si sposta su questa retta tra le posizioni estreme Q1 e Q2. Se in questa zona le caratteristiche sono sufficientemente parallele ed equidistanti per uguali variazioni di Ib, il funzionamento potrà considerarsi lineare e Ic, e Vce avranno andamento sinusoidale. 14

15 Fig 1.7/3: Caratteristiche di uscita nel caso del funzionamento dinamico del BJT Dall'analisi grafica illustrata si nota che ad un aumento di Ic corrisponde una diminuzione di Vce. Per questo motivo la configurazione CE (common emitter) viene detta invertente. Pertanto, nel caso di segnali sinusoidali (Vs) risulta che Ib, Vbe ed Ic sono in fase, mentre Vce, risulta sfasata di 180 ; In generale definiremo come amplificazione di tensione e di corrente, rispettivamente (in regime sinusoidale): Av = Vce / Vbe Ai = - (ic / ib) 1.8 Circuito equivalente dei BJT per piccoli segnali di bassa frequenza In funzionamento lineare la determinazione delle amplificazioni di corrente e di tensione, anziché graficamente, può essere fatta più agevolmente per via analitica, ricorrendo ad un modello equivalente del BJT per piccoli segnali. I modelli utilizzabili possono essere di tipo universale (circuiti a parametri z, y, h, ecc.), derivanti dalla teoria dei doppi bipoli lineari, oppure più specifici e ottenuti da un'accurata analisi della struttura fisica e del meccanismo di conduzione del dispositivo. Modello a parametri h e Prenderemo in considerazione il circuito equivalente a parametri h (hybrid parameter) riferito alla configurazione ad emettitore comune (figura 1.8/1). Questo modello, largamente utilizzato, presenta il vantaggio di poter essere interpretato e ricordato anche sulla base di semplici considerazioni fisiche e grafiche. La resistenza hie inserita nel circuito d'ingresso rappresenta, con buona approssimazione, la resistenza differenziale della giunzione Je. Il generatore dipendente di tensione hrevce tiene conto 15

16 dell'effetto Early, ossia del fatto che la caratteristica di ingresso dipende, seppure in maniera piuttosto limitata, dalla tensione di uscita. Il circuito di uscita è costituito invece da un generatore quasi ideale di corrente proporzionale a quella di ingresso Ib, come si può dedurre dall'andamento circa orizzontale delle caratteristiche di uscita del dispositivo in zona lineare; hoe è pertanto una conduttanza molto piccola. Fig. 1.8/1: circuito equivalente a parametri h riferito alla configurazione ad emettitore comune Dalle equazioni di funzionamento del circuito della figura 1.8/1: Vbe =hie Ib+ hre Vce, ed Ic = hfe Ib + hoe Vce si ricavano le definizioni dei parametri h e. Il pedice e si riferisce alla configurazione CE. Hie è la resistenza di ingresso con uscita in cortocircuito. Il pedice i sta per input. Il suo ordine di grandezza abituale va dalle centinaia di Ω a 10KΩ. Hre è il fattore di reazione interna o amplificazione inversa di tensione a vuoto; r sta per reverse e il suo valore è dell ordine di Ω. Hfe è l amplificazione di corrente di cortocircuito; f sta per forward (diretta) e il suo valore è normalmente compreso tra 10 e Hoe è la conduttanza di uscita con ingresso a vuoto. o sta per output e il suo valore è compreso abitualmente tra 10 e 100µS (micro siemens). Quindi hoe è compresa tra 10 e 100 kω. Si noti che i parametri sono definiti per un dato punto di funzionamento Q (Ibq, Vbeq, Icq, Vceq) e che, sulla base di queste definizioni, essi possono essere ottenuti per via grafica dalle caratteristiche statiche del BJT. Variazioni dei parametri h e I parametri h e dipendono dal punto di funzionamento a riposo e quindi da Ic e Vce. Il costruttore ne fornisce, a volte, le curve di variazione in funzione di Ic, mentre viene generalmente ignorata la 16

17 variazione relativa a Vce, di modesta entità. L'andamento qualitativo di queste curve è comune a tutti i BJT. In particolare si nota che, al crescere di Ic, hie diminuisce e hoe aumenta. Per BJT della stessa sigla si riscontra abitualmente una forte dispersione dei valori dei parametri e spesso i cataloghi si limitano a fornire il valore massimo e minimo di ciascuno, per un punto di lavoro precisato. La loro misura viene in genere effettuata a f = 1 khz ma sono da ritenersi indipendenti da f, fino a frequenze per le quali siano ancora trascurabili gli effetti capacitivi delle giunzioni. Modello approssimato generalizzato Considerato il basso valore di hre, il generatore dipendente hre Vce del circuito può essere trascurato. Molto spesso risulta trascurabile anche l influenza della resistenza 1/hoe, specie quando il suo valore risulta superiore di almeno un ordine di grandezza, alla resistenza di carico complessiva inserita nel circuito collettore -emettitore. Le approssimazione risultano accettabili nella maggior parte dei casi pratici, specie se confrontate con le tolleranze dei vari componenti e con la dispersione stessa dei valori dei parametri del BJT. Occorre infine sottolineare che i modelli equivalenti illustrati sono indipendenti dal tipo di transistor utilizzato, npn o pnp. 1.9 Configurazioni amplificatrici fondamentali Come amplificatore di piccoli segnali, il BJT, opportunamente polarizzato, viene inserito tra una sorgente di segnale Vs con resistenza interna Rs, ed un utilizzatore caratterizzato dalla sua resistenza RL. Questa situazione è illustrata dallo schema generale di figura 1.9/1, nel quale compaiono due capacità Ca1 e Ca2, dette di accoppiamento, con il compito di evitare che la sorgente di segnale ed il carico siano percorsi dalla corrente continua presente nella rete di polarizzazione, cosa che in molti casi può essere dannosa. Allo stesso tempo il punto di funzionamento a riposo Q risulta così indipendente da Rs e RL, il che rende più semplice il dimensionamento della rete di polarizzazione. Fig 1.9/1: BJT come amplificatore di piccoli segnali 17

18 Il circuito completo è rappresentato in figura1.9/2. Oltre alle due capacità di accoppiamento Ca1 e Ca2, si nota la presenza di una terza capacità Ce, detta di by-pass, che ha la funzione di porre dinamicamente a massa l'emettitore, cioè di cortocircuitare, per il segnale, la resistenza Re. In pratica Ca1, Ca2 e Ce devono essere di valore sufficientemente elevato da rendere trascurabile la loro reattanza alla frequenza del segnale. Circuito statico. È il circuito per la continua, utile per la determinazione del punto di funzionamento a riposo (Vs = 0). Può essere ottenuto facilmente da quello di figura 1.9/2 considerando circuiti aperti le capacità Ca1, Ca2 e Ce. Si perviene così al circuito di figura1.9/3 nel quale si riconosce immediatamente la rete di polarizzazione automatica. Circuito dinamico. È il circuito per le variazioni rispetto alla situazione di riposo e riguarda quindi esclusivamente il segnale. Viene ricavato da quello di figura 1.9/2, considerando in cortocircuito sia la batteria di alimentazione (che non introduce variazioni) sia le capacità Ca1, Ca2 e Ce. Fig 1.9/2: Circuito completo per il BJT come amplificatore di piccoli segnali Fig 1.9/3: Circuito statico per il BJT come amplificatore di piccoli segnali Classificazione dei BJT Identificazione I BJT vengono identificati da una sigla numerica o alfanumerica stabilita dal costruttore. Quelli commercialmente più diffusi sono contrassegnati da sigle standardizzate secondo accordi presi dalle industrie. I tre sistemi principali di identificazione sono statunitense (JEDEC), europeo (PRO ELEC- TRON) e giapponese (JIS). 18

19 Contenitore (case) Esistono numerosissimi tipi di contenitori per BJT (alcune centinaia). Tuttavia la maggior parte dei costruttori fa riferimento alla standardizzazione JEDEC, che li indica con la sigla TO seguita da un numero da una a tre cifre (ad esempio TO-3, TO-92, TO-220). Alcuni tipi sono metallici, altri interamente plastici, altri ancora misti differenzia ti per forma e dimensioni prescritte. Molto diffusi sono i contenitori TO-3, TO-5, TO-18, TO-92. Di ciascun tipo possono a volte esistere anche più versioni che differiscono solo per qualche particolare costruttivo (ad esempio per la disposizione dei terminali). Si segnala infine che alcuni contenitori particolarmente adatti per montaggi miniaturizzati vengono spesso indicati con la sigla SOT (small outline transistor) seguita da un numero. Come scegliere i BJT BJT npn e pnp: Si deve, in primo luogo, distinguere tra BJT npn e pnp. Nel campo delle basse frequenze i cataloghi propongono numerosi esemplari, sia di un tipo che dell'altro, per le più svariate applicazioni. Nella pratica risulta, però, maggiormente utilizzato il tipo npn. Un uso combinato dei due tipi permette spesso di semplificare le configurazioni circuitali o di realizzarne di particolari senza dover necessariamente ricorrere ad alimentazioni di segno opposto. Transistori npn e pnp con caratteristiche di funzionamento sufficientemente simili vengono detti complementari; queste coppie vengono utilizzate in circuiti che richiedono speciali simmetrie di funzionamento. Per le frequenze di lavoro più elevate prevalgono i transistori npn, più veloci a causa della maggiore mobilità, all'interno del semiconduttore, degli elettroni liberi rispetto alle lacune. Potenza dissipabile: Sulla base della potenza dissipabile i BJT possono essere classificati sostanzialmente in tre gruppi: BJT di piccola potenza (low power, oppure small signal transistors). Sono transistori per i quali Pd non supera normalmente le poche centinaia di mw, con una corrente Ic fino a 100 ma (esempio: 2N3904, BC108, ecc.). BJT di media potenza (medium power transistors). In questo caso Pd è di poco superiore a quella precedente, raggiungendo valori dell'ordine di ,5 W solo con l'uso di un dissipatore. Ic(max) è abitualmente compresa tra 0,1 A e 1 A (esempio: 2N2222A, 2N 1711, ecc.). BJT di potenza (power transistors). Sono quelli per potenze superiori al watt e correnti maggiori di 1 A. I costruttori ne fanno quasi sempre l'oggetto di un catalogo specifico. Esempi sono il BD139, il 2N3055, ecc. 19

20 Questa classificazione, che scaturisce dalle indicazioni riportate sui cataloghi delle maggiori ditte costruttrici, ha valore puramente indicativo, non esistendo di fatto confini troppo precisi tra un gruppo e l'altro. Campi di applicazione: In genere i cataloghi, al fine di facilitare la scelta del dispositivo più idoneo per una determinata applicazione, classificano i BJT secondo categorie tipiche. Ne illustriamo ora alcune di particolare rilievo riguardanti i BJT di piccola e media potenza. General purpose transistors. Sono BJT per uso generale, particolarmente versatili, in grado di fornire discrete prestazioni in molti settori applicativi. Trovano impiego nell'amplificazione dei piccoli segnali, dalla continua fino a frequenze di parecchie centinaia di khz, ma possono essere usati anche come oscillatori e interruttori. Low level amplifier transistors. Sono BJT specifici per l'amplificazione di segnali deboli (spesso inferiori al mv) forniti da trasduttori di vario tipo presenti, per esempio, nel settore della riproduzione audio o in quello della strumentazione. Della massima importanza risultano in questo caso i parametri riguardanti il rumore generato dal dispositivo, in particolar modo la cifra di rumore indicata con NF, che deve assumere il valore più basso possibile. High voltage amplifier transistors. Sono BJT per applicazioni che richiedono tensione elevata con corrente di collettore relativamente bassa, utili ad esempio in circuiti inseriti direttamente sulla rete elettrica a 220 V. Importanti risultano in questo caso le massime tensioni applicabili tra i terminali, in particolare quella tra collettore ed emettitore BVce0. Switching transistors. Sono BJT particolarmente adatti a funzionare come interruttori veloci. Molto importanti sono, in questo caso, i tempi di commutazione e in particolare Toff, che scende comunemente a valori di poche decine di ns. RF transistors. Sono BJT per radiofrequenze che trovano impiego nel campo delle telecomunicazioni come amplificatori, mixer, oscillatori. Le frequenze di lavoro vanno dalle centinaia di khz (radio AM) al GHz (comunicazioni via satellite) includendo la gamma VHF e UHF (radio FM, televisione). È caratterizzante in questo caso il valore della frequenza di transizione ft. Per la classificazione dei BJT di potenza si può, in linea di massima, fare riferimento alle ultime tre categorie elencate, alle quali si deve aggiungere quella dei low frequency power transistors impiegati in applicazioni di bassa frequenza (amplificatori audio, alimentatori, ecc.). 20

21 2 HICUM 2.1 Introduzione Lo scopo della seguente introduzione è di provvedere a: (i) una motivazione dietro alla modellistica compatta, approccio perseguito con HICUM; (ii) una veduta d'insieme sulla sua area di applicazione; e (iii) un elenco di requisiti per un modello compatto da diversi punti di vista. La tecnologia bipolare ha visto recentemente una crescita tremenda, dovuta soprattutto a domande che richiedono alta velocità e potenza da un lato e basso rumore e distorsione dall altro. Al momento, notevoli applicazioni della tecnologia bipolare sono: Comunicazioni Wireless che variano nel range dai 0.9 a 2.4 GHz per, GSM, GPS, DECT,e nel range di 4-12 GHz per, TV satellite, WLAN, e nel range dai 20 ai 60GHz per comunicazioni a banda corta. Comunicazioni in fibra ottica che variano nel range dai 5 ai 40 Gb/s, ad esempio l accesso veloce ad internet ed il trasferimento dati (LAN, WAN) come pure tecnologie TV/HDTV (FTTC, FTTH); sono state intraprese produzioni e progetti per sistemi sino a 10Gb/s, vedendo anche una spinta significativa per integrazioni più alte come interruttori cross-point in processi di BiCMOS con enfasi su bassa-potenza ad alta-velocità dei circuiti bipolari. Si stanno già sviluppando sistemi che operano a 40Gb/s. Circuiti lineari analogici per esempio disc drives, dispositivi elettronici commerciali in generale, dispositivi elettronici automobilistici. Molti di questi componenti richiedono processi affidabili e stabili con tensioni di rottura più alte piuttosto che processi bipolari avanzati ad alta velocità. L'acquisizione dei dati e conversione veloce (ADCs) per es.,strumentazioni per la misurazione. Componenti automobilistici avanzati a frequenze molto alte che variano da 24 a 77 GHz per esempio quelli che avvertono ed evitano una collisione. Si presume che la sequenza riportata sia rudemente nell'ordine dell'importanza dal punto di vista del business odierno ma la classificazione può cambiare rapidamente in tali aree a rapidissima crescita. Le prime due applicazioni comprendono il più gran numero di progetti possibili. 21

22 Come conseguenza, la modellazione compatta di transistor bipolari dovrebbe concentrarsi su queste aree che, fortunatamente, includono la maggior parte dei problemi critici delle seconde due applicazioni. La modellazione compatta è anche fortemente connessa allo sviluppo dei processi tecnologici. Un modello compatto e physic-based insieme ad una buona metodologia di estrazione dei parametri, può contribuire significativamente a migliorare l'allineamento dello sviluppo di un processo con la necessità di progettazione del prodotto permettendo veloci valutazioni su come l'impatto del processo cambi il funzionamento dell apparecchiatura e del circuito. La modellazione (compatta) fondamentalmente provvede un collegamento fra processing e progettazione. In generale, il processo bipolare spanna una effettiva diversificazione nella struttura dell'apparecchiatura ma anche nei tipi dell'apparecchiatura. È raccomandato di dividere modelli bipolari compatti in almeno due categorie: apparecchiature verticali incluso transistor npn ad alta velocità apparecchiature laterali, soprattutto transistor pnp. HICUM fa parte della prima categoria. È probabile che sia necessario dividere la prima categoria nuovamente in transistor a basso-potere (BVCEO < 10V) e ad alto-potere (BVCEO > 10V) se la differenza nel progetto dell'apparecchiatura e la serie della domanda elettrica risulta essere troppo grande per un singolo modello. Quindi, HICUM è stato verificato per essere accurato per transistor con valori di BVCEO pari a circa 15V. Da come dichiarato sopra possono essere dedotti i seguenti requisiti per un modello compatto dal punto di vista industriale: l' alta accuratezza su un largo range elettrico (e di temperatura); un calcolo scalabile di parametri, incluse le configurazioni a contatti variabili, in modo da permettere ottimizzazioni circuitali; stabilità numerica e tempo di esecuzione veloce, anche se questo sia piuttosto dipendente dalla singola applicazione. physics-based, permettendo modellistica predittiva e statistica; una procedura di estrazione affidabile e ben definita dovrebbe essere insieme disponibile con esempi di testing; il solo uso di un equipaggiamento standard è importante per esempio per una veloce produttività. 22

23 la formulazione modulare delle equazioni del modello,che minimizza le interrelazioni fra le diverse regioni elettriche e facilita la semplice realizzazione nei simulatori circuitali. Il modello avanzato HICUM è stato sviluppato a causa delle limitazioni del modello standard SPICE Gummel-Poon (SGPM), specialmente per disegnare circuiti ad alta velocità. 2.2 Caratteristiche del modello HICUM è un modello compatto di transistor bipolare semi-fisico. Semi-fisico vuol dire che per configurazioni arbitrarie del transistor, definite dalla misura dell'emettitore così come dal numero e dall ubicazione di contatti di base, emettitore e collettore, può essere calcolato un set completo di parametri del modello da un solo set di specifici dati elettrici e tecnici della tecnologia. Per questo, il valore di ogni elemento nel circuito equivalente è riferito ad una funzione che descrive la dipendenza da specifici dati elettrici (come resistenze e capacità per unità di area o lunghezza), dati tecnologici (come ampiezza e drogaggio della regione di collettore sotto l emettitore), dati fisici (come le mobilità), dimensioni del transistor (come le regole per il design), punto operativo, e temperatura. La disponibilità di tale modello compatto e semi-fisico è un importante requisito indispensabile per l ottimizzazione circuitale riguardo ad es. alla velocità massima ed al basso potere di consumo così come per quanto riguarda i processi di modifiche nel design. Il nome HICUM deriva da high-current model, il quale indica che inizialmente HICUM era sviluppato con una speciale enfasi sulla modellazione della regione operativa ad alta densità di corrente che è molto importante per certe applicazioni ad alta velocità. La prima versione fu descritta in dettaglio in [2,3,4,5,6] e fu verificata per applicazioni digitali basate su una tecnologia convenzionale. Più tardi, furono sviluppate formule per il calcolo della resistenza di base [7,8,9] quali includono effetti tridimensionali che si presentano in transistor corti con una lunghezza di emettitore che si avvicina alla sua ampiezza. L'introduzione di tecnologie di allineamento a poly-silicio così come l estensione del modello ad operazioni ad alta-frequenza analogica hanno condotto a miglioramenti per la prima versione, la quale fu anche molto testata per applicazioni a grande-segnale di tipo digitale. HICUM è basato su un esteso e generalizzato GICCR (Integral Charge-Control Relation). Comunque, in contrasto all (originale) modello Gummel-Poon (GPM) così come lo SPICE-GPM (SGPM) e le sue varianti, in HICUM il concetto di (G)ICCR è applicato costantemente senza semplificazioni inadeguate e parametri supplementari fittizzi (come le Prime tensioni). 23

24 Da allora l affidabile progetto e l ottimizzazione di circuiti ad alta velocità richiedono principalmente una modellazione accurata del comportamento dinamico del transistor, quantità come capacità di svuotamento ed il tempo di transito delle cariche mobili così come le cariche associate che determinano il comportamento dinamico, sono considerate come quantità di base del modello. Un'approssimazione accurata di queste quantità di base come funzione di prodotti della polarizzazione, così, non solo danno una descrizione accurata del comportamento a piccolo-segnale e dinamico a grande-segnale ma anche del comportamento in DC. Questo accoppiamento tra descrizione statica e dinamica conduce, inoltre, ad una riduzione di parametri del modello artificiali come Prime tensioni e correnti presso i nodi. Inoltre, le sopra menzionate quantità di base possono essere determinate facilmente e accuratamente da metodi di misurazione standard di piccolo-segnale. La modularità e l approccio physics-based di HICUM permettono la costruzione di una gerarchia del modello senza sforzo supplementare nell estrazione di parametri. Basato su HICUM Level2 (HICUM/L2) ed il suo corrispondente insieme di parametri elettrici specifici, si sta sviluppando una versione semplificata HICUM Level0 (HICUM/L0) con lo stesso circuito equivalente come l SGPM. In contrasto al secondo tuttavia, HICUM/L0 elimina molti problemi mentre mantiene la similare complessiva semplicità. Il modello di HICUM/Level0 non è ancora disponibile in simulatori commerciali. Gli importanti effetti fisici ed elettrici presi in considerazione da HICUM/L2 possono essere espressi brevemente sotto: effetti ad alte-correnti (incl. quasi-saturazione) modello distribuito ad alta-frequenza per la regione base-colletore esterna iniezione di periferia dell emettitore ed inerente deposito della carica addensamento della corrente di emettitore (attraverso una polarizzazione della resistenza di base interna) correnti di collettore bi - e tri- dimensionali capacità parassita (indipendente dalla polarizzazione esterna) tra terminale base-emettitore e base-collettore effetti verticali non-quasi-statici (NQS) per trasferimento di corrente e cariche minoritarie dipendenza dalla temperatura e auto-riscaldamento 24

25 debole rottura a valanga alla giuzione base-collettore tunneling alla giuzione base-emettitore transistor del substrato parassita differenze di bandgap scalability laterale La modellazione di questi effetti non solo è riflessa nelle equazioni del modello ma anche nella topologia del circuito equivalente. Anche se gli effetti elencati sopra sono presi in considerazione, il circuito equivalente standard di HICUM/ L2 corrisponde ad un modello a singolo transistor (si veda Fig. 2.4/1), il quale ha mostrato come possa essere sufficientemente accurato per l enorme maggioranza di applicazioni circuitali. HICUM/L2 contiene elementi per descrivere il transistor interno, la periferia dell'emettitore e le regioni del transistor esterne. Il transistor interno è definito dalla regione sotto l emettitore al quale è assegnata un'ampiezza effettiva e l area, rispettivamente per mantenere un modello di transistor singolo con la più semplice possibile topologia del circuito equivalente. In contrasto ai modelli per transistor MOS, i calcoli dipendenti dalla geometria sono stati perfezionati in un programma separato (TRADICA) per varie ragioni. A causa della sua natura semi-fisica HICUM/L2 possiede capacità di scalatura geometrica fino ad alte densità di correnti. Le formulazioni del modello sono estese in un modo semplice anche al di fuori di quelle regioni di polarizzazione che ne assicurano la stabilità numerica. 2.3 Equazioni del modello E possibile visionare tutte le equazioni del modello all interno del documento [1]. Tutte le equazioni che sono effettivamente usate nel codice che implementa il modello sono nel testo marcate da una cornice. Lo sfondo fisico delle equazioni è discusso brevemente e sono provviste citazioni per chiarimenti più particolareggiati. Le equazioni del modello sono discusse sulla base di un transistor verticale npn. Il modello può essere applicato facilmente ad un transistor pnp verticale, ma richiede per la maggior parte di processi la somma di un secondo transistor parassita (ad esempio un subcircuito). Al momento la versione disponibile di HICUM (chiamata HICUM/Level2) include molti effetti fisici che sono rilevanti per i processi odierni basati sulla tecnologia del silicio (incluse le tecnologie 25

26 SiGe). Come conseguenza, il suo circuito equivalente è piuttosto complicato e non si adatta bene ad i grezzi calcoli analitici spesso compiuti da disegnatori del circuito nella fase preliminare di progettazione. Perciò, si intende offrire in un prossimo futuro una versione fortemente semplificata del modello, detta HICUM/Level0. La combinazione di questi diversi livelli di complessità durante la progettazione del circuito, ci si aspetta che riesca a diminuire sforzo computazionale e tempo di elaborazione. 2.4 Circuito Equivalente A confronto con SGPM il circuito equivalente (EC) di HICUM/Level2 contiene due nodi supplementari del circuito, vale a dire B* ed S' in Fig. 2.4/1. Il nodo B*, che disgiunge il punto operativo dipendente dalla resistenza di base interna dal punto operativo indipendente dal componente esterno, tiene conto degli effetti di emettitore in periferia, che possono giocare un ruolo significativo nei moderni transistor. Questo nodo ha anche il compito di eseguire una modellazione migliorata della natura distribuita della regione esterna base-collettore (BC) dividendo la capacità di BC esterna CBCx su rbx in forma di un circuito equivalente RC in serie tipoπ. Come ulteriore vantaggio dell inserimento del nodo B*, la corrente di emettitore ad altafrequenza e a piccolo-segnale può essere correttamente presa in considerazione dalla capacità CrBi. Una capacità di isolamento di emettitore-base CEox che diviene significativa per le tecnologie avanzate con sottile regioni spaziali o di collegamento, così come l ossido della capacità di BC, indicato con Ccox ed incluso nell'elemento di CBCx, sono presi in considerazione. A differenza degli altri modelli, l'influenza delle resistenza interne di collettore in serie è (parzialmente) presa in considerazione dalle equazioni del modello per il trasferimento di corrente e delle cariche minoritarie che sono rappresentate dagli elementi CdE e CdC in Fig. 2.4/1. Come conseguenza, il terminale di collettore C' del transistor interno è (fisicamente) localizzato alla fine della regione epitassiale di collettore. Questo approccio non solo evita un modello di equazioni complicato e computazionalmente costoso per una " resistenza di collettore interna", ma anche salva un nodo. L'approccio scelto è stato dimostrato essere accurato per una larga serie di tecnologie bipolari esistenti. L affidabile progetto di circuiti ad alta velocità richiede spesso la considerazione dell'accoppiamento fra lo spesso strato sepolto ed il substrato del terminale S. 26

27 Poiché il materiale del substrato consiste di ambo una componente resistiva ed una capacitiva, come primo (grezzo) approccio viene introdotta una rete del substrato con una resistenza rsu ed una capacità CSu, mentre si conduce all interno il nodo del substrato S*. E stato preso in considerazione un possibilmente esistente transistor con substrato usando un semplice modello per il trasporto. Come nel SGPM, questo può essere anche realizzato da un sottocircuito e ponendo rsu e CjS a zero nel circuito equivalente di HICUM. Nei processi bipolari avanzati, il terminale dell'emettitore del transistor del substrato (B *) si muove verso il contatto (npn) di base (B) il quale permette la realizzazione esterna di tale transistor parassita tramite un sottocircuito anche più semplice. Il transistor del substrato - se non è evitato da misure della configurazione corrette - solamente funzionerebbe per operazioni a tensioni molto basse di CE (saturazione molto alta). La descrizione è data per un transistor npn, il quale è usato soprattutto per tipologie di transistor bipolari. Per transistor pnp verticali, il modello può essere applicato scambiando i segni delle tensioni ai terminali e delle correnti. I transistor pnp laterali potrebbero essere descritti da una composizione di modelli HICUM/L2 ma di solito si pensa sia più adatto un sottocircuito che consista di tre semplici modelli di trasporto (ad es. HICUM/0). Fig. 2.4/1: (a) Circuito equivalente a grande-segnale HICUM/Level2. La capacità di BC esterna consiste di una capacità di svuotamento ed una di polarizzazione indipendente (e.g., ossido) col rapporto C BCX /C BCX aggiustato riguardo alla corretta modellazione del comportamento ad alta frequenza. (b) Rete Termale usata per il calcolo di auto- riscaldamento. 27