Anteprima. Operatori nello spazio di Hilbert. C. Operatori compatti

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Roberta Cenci
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1 Anteprima Operatori nello spazio di Hilbert C. Operatori compatti

2 Prima parte Ideali di Schatten

3 Operatori compatti : proprietà generali. Richiamo : La palla unitaria di H è compatta per la topologia debole. Theorema e definizione : T B(H) è compatto se soddisfa una di queste tante proprietà equivalenti : (i) T è limite uniforme di operatori di rango finito. (ii) T manda le parti limitate di H su delle parti relativamente compatte di H. (iii) T è continuo di H, con la sua topologia debole, in H con la topologia uniforme. K(H) è un ideale bilatero autoaggiunto chiuso di B(H).

4 Diagonalizzazione dei operatori compatti Theorema. Se T è compatto e normale, a) Ogni valore spettrale non nullo è un autovalore, e il corrispondente autospazio è di dimensione finita. b) L insieme degli autovalori non nulli, se infinito, amette 0 come unico punto di accumulazione. c) T è diagonalizzabile in una base orthonormale : Un altro modo di dire : T ξ = n λ n < ε n, ξ > ε n, ε n b.o. T = n λ np n con dim(p n ) < + e λ n 0.

5 Valori singolari : il caso positivo. Se T K(H) + e non di rango finito, i autovalori non nulli, che sono > 0, possono essere ordinati nell ordine decrescente, con ripetizione secondo la moltiplicità Definizione. µ 0 µ 1 µ n con µ n 0. µ n = µ n (T ) è l ennesimo valore singolare di T. Osservare che µ 0 (T ) = T. Osservare che T ξ = n µ n < ε n, ξ > ε n con (ε n ) un sistema ortonormale (una base se T è injettivo).

6 Valori singolari : il caso generale. Definition. Per T K(H), si nota µ n (T ) l ennesimo valore singolare di T. Cioè µ n (T ) = µ n ( T ). Abbiamo ancora µ 0 (T ) = T e T ξ = n µ n(t ) < η n, ξ > ε n con (e n ), (η n ) due sistemi ortonormali. Proprietà (cf. A.C. Ch4. 2) 1. µ n (T ) = inf T (1 p), p proiezione di rango n. 2. µ n (T ) = inf T S, S operatore di rango n. µ n (T 2 ) µ n (T 1 ) T 2 T µ n+m (T 1 + T 2 ) µ n (T 1 ) + µ n (T 2 ). 4. µ n+m (T 1 T 2 ) µ n (T 1 )µ m (T 2 ). 5. µ n (at ) a B(H) µ n (T ) e µ n (Ta) µ n (T ) a B(H).

7 La traccia canonica su K(H) Definizione e prime proprietà 1. Per T B(H) +, la somme n < ε n, T ε n > non dipende delle scelta di une base ortonormale (ε n ). Questa somma è la traccia di T, notata Tr(T ). 2. Se T è compatto, Tr(T ) = n=0 µ n(t ). 3. Per S in B(H), Tr(SS ) = Tr(S S). 4. Per u B(H) unitario, Tr(u Tu) = Tr(T ). 5. Per 0 S T, Tr(S) Tr(T ). 6. Se T non è compatto, Tr(T ) = +.

8 La traccia canonica su K(H) Prova di 1. e 3. Si sceglie S B(H) e (ε n ), (η n ) due b.o. Si fa il conto < ε n,s Sε n >= Sε n 2 = < η m, Se n > 2 n n n m = < η m, Se n > 2 = < S η m, ε n > 2 m n m n = S η m 2 = < η m, SS η m >. m m Applicandolo a S = S = T 1/2 per T 0, si ottiene 1. Poi, si ottiene 3. Per 2., prendere una base di diagonalizzazione di T. Per 6., si nota che, se T non è compatto, allora per qualche δ > 0, χ [δ, ) (T ) è di rango infinito, e dunque Tr(χ [δ, ) (T )) = +. Poi Tr(T ) Tr(χ [δ, ) (T )T ) δtr(χ [δ, ) (T )) = +.

9 L ideale degli operatori dihilbert-schmidt. Definition. Proposizione. L 2 (H) = {S K(H) Tr(S S) < + } = {S K(H) n µ n(s) 2 < + }. 1. L 2 (H) è un ideale auto-aggiunto di B(H). 2. È un spazio di Hilbert per la norma S HS = S L 2 = Tr(S S) 1/2. Prova di 1. Si scrive (T S) (T S) 0, di cui T S + S T S S + T T, poi (S + T ) (S + T ) 2(S S + T T ). L 2 è stabile per la somma, quindi un spazio vettoriale. È autoaggiunto perche Tr(SS ) = Tr(S S). È un ideale a sinistra perche, se a B(H), S a as a 2 S S, Tr(S a as) a 2 Tr(S S), quindi as L 2 (H). Poi (Sa) = a S L 2 Sa L 2.

10 Disuguaglianza di Cauchy-Schwartz. Proposizione. Per S, T L 2 (H), la serie n < ε n, T Sε n > è assolutamente convergente e la sua somma, notata Tr(T S), non dipende della scelta della b.o. (ε n )). Essa soddisfa Tr(T S) Tr(T T ) 1/2 Tr(S S) 1/2 oppure < T, S > L 2 T L 2 S L 2. Prova. n < ε n, T Sε n > n T ε n Sε n ( n T ε n 2) 1/2( n Sε n 2) 1/2. Proposizione : sullo spazio degli operatori H.S. La mappa che, a ζ = j η j ξ j H H associa T ζ L 2 (H) T ζ (ξ) = j < η j, ζ > ξ j si estende in un isomorfismo isometrico di spazi di Hilbert tra H H e L 2 (H).

11 L ideale L 1 (H) degli operatori di classe traccia. lemma 1. Per T K(H), i due sono equivalenti : (i) Tr( T ) < +. (ii) S 1, S 2 L 2 (H), T = S 1 S 2. Prova : Se T = u T e T = S 1 S 2 L 2 (H) 2, allora Tr( T ) = Tr(u S 1 S 2 ) con u S 1, S 2 L 2 (H). Quindi, la serie n < ε n, T ε n > è assolutamente convergente. Conversamente, se Tr( T ) < +, allora T = u T 1/2 T 1/2 con T 1/2, u T 1/2 L 2. Lemma 2. Se Tr( T ) < +, la serie < ε n, T ε n > è ass. cv. la sua somma non dipende della scelta di una base ortonormale (ε n ). Abbiamo Tr(T ) Tr( T ).

12 L ideale L 1 (H) degli operatori di classe traccia. Definizione. L 1 (H) = {T K(H) Tr( T ) < + } = {T K(H) n µ n(t ) < + } = {T = S 1 S 2 S 1, S 2 L 2 (H) }. Proposizione. 1. L 1 (H) è un ideale bilatero autoaggiunto di B(H). 2. È completo per la norma T L1 = Tr( T ). Osservazione : Tr(aT ) = Tr(au T ) = Tr( T 1/2 au T 1/2 ) Tr( T ) 1/2 Tr( T 1/2 u a au T 1/2 ) 1/2 a Tr( T ).

13 L ideale L 1 (H) degli operatori di classe traccia. Abbiamo visto Tr(aT ) a Tr( T ) = a B(H) T L 1. In particolare, Tr(T ) = Tr(u T ) Tr( T ). Poi Ossia Tr( T 1 + T 2 ) = Tr(v (T 1 + T 2 )) Tr(v T 1 ) + Tr(v T 2 ) Tr( T 1 ) + Tr( T 2 ). T 1 + T 2 L 1 T 1 L 1 + T 2 L 1.

14 Ideali di Schatten Definizione. Per p [1, ), si definisce L p (H) = {T K(H) Tr( T p ) < + } Disuguaglianza di Minkowski Proposizione. = {T K(H) n µ n(t ) p < + }. Tr( T 1 + T 2 p ) 1/p Tr( T 1 p ) 1/p + Tr( T 2 p ) 1/p. 1. Per p [1, ), L p (H) è un ideale bilatero chiuso. 2. T L p = Tr( T p ) 1/p è una norma su L p (H), per la quale L p (H) è completo. 3. Per T L p (H), a B(H) abbiamo T L p = T L p at L p a B(H) T L p.

15 Disuguaglianza di Hölder e dualità. p e p sono due esponenti coniugati : 1 p + 1 p = 1, p > 1. Disuguaglianza di Hölder Tr(ST ) S L p T L p, S Lp (H) T L p (H). Dualità. Per p e p come sopra, la mappa L p (H) T ω T L p (H), ω T (S) = Tr(TS) è un isomorfismo isometrico tra spazi di Banach. Più rapidamente Il duale di L p (H) è L p (H). In particolare, per p 1, L p (H) è reflessivo.

16 Il duale di L 1 (H). Proposizione 1. La mappa che, a S L 1 (H) associa ω S K(H) ω S (T ) = Tr(ST ), T K(H) è un isomorfismo isometrico tra L 1 (H) e K(H). Proposizione 2. La mappa che, a a B(H) associa ψ a L 1 (H) ψ a (S) = Tr(aS) è un isomorfismo isometrico tra B(H) e L 1 (H). Più rapidamente : K(H) = L 1 (H) L 1 (H) = B(H).

17 Il duale di L 1 (H). Analogia : l p (N) = l p (N), p 1 ; ma l 0 (N) = l 1 (N), l 1 (N) = l (N). l (N) =? Un mostro? pieno di cose inaspettate, sorprendenti, orribili ou paradossali... Duale di L (X, m)? di B(H)? Mostruoso? Sorprendente?

18 Applicazione alle algebre di von Neumann. B(H) è un duale topologia -debole σ(b(h), L 1 (H)). La palla unitaria di B(H) è -debolmente compatta. Proposizione. Sulla palla unitaria di B(H), la topologia -debole (o topologia σ ) coincida colla topologia delle convergenza simplice debole Proposizione. a i a sse ξ, η H, < η, a i ξ > < η, aξ >. Sia M B(H) una sotto- -algebra σ -chiusa di B(H). Allora M = ( L 1 (H)/M ). Filosofia. Un algebra di von Neumann, quanto spazio di Banach, è un duale. Appare come il duale del suo preduale M = L 1 (H)/M = { forme σ -continue su M }.

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