Programma del corso di Analisi Funzionale, 2011/12

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1 Programma del corso di Analisi Funzionale, 2011/12 Claudia Pinzari Assioma della scelta: Insiemi parzialmente ordinati, principio del buon ordinamento, assioma della scelta di Zermelo, Lemma di Zorn e loro equivalenza (senza dimostrazione) Richiami di topologia generale: Spazio topologico, base e sottobase per una topologia, successioni generalizzate, chiusura di un insieme e caratterizzazione della chiusura per successioni, assiomi di separazione di Hausdorff e normalita. Topologia iniziale (o debole o generata) Primo assioma di numerabilita Ricoprimento aperto di uno spazio topologico, compattezza e sua equivalenza mediante ricoprimenti aperti ed esistenza di punti limite di successioni generalizzate. Minimalita della topologia di spazio compatto tra topologie di Hausdorff. Teorema di Tychonov (sd). Normalita degli spazi compatti di Hausdorff. Lemma di Urysohn. Algebra reale delle funzioni continue su un compatto. Teorema di Stone-Weierstrass reale e complesso. Esempi: teorema di densita dei polinomi di Weierstrass, densita delle combinazioni lineari delle esponenziali exp(inx) nelle funzioni continue e periodiche. Spazio localmente compatto, compattificazione ad un punto, estensione del teorema di Stone-Weierstrass a spazi localmente compatti, densita delle funzioni continue a supporto compatto. Spazi metrici: Topologia indotta dalla distanza, validita del primo assioma di numerabilita, dell assioma di separazione di Hausdorff, della normalita, equivalenza tra la separabilita e l esistenza di una base numerabile, continuita della funzione distanza. Separabilita di C(X). Completezza, funzioni uniformemente continue tra spazi metrici, isometrie, estensione di funzioni uniformemente continue densamente definite. Teorema del completamento di uno spazio metrico. Unicita del completamento. Esempi: Completezza delle funzioni reali o complesse su un intervallo, non completezza dello stesso spazio nella metrica integrale. Teorema della categoria di Baire. Applicazione: esitenza di funzioni continue in [0,1] non derivabili in alcun punto (cenni). Spazi metrici compatti e loro separabilita. Totale limitatezza. Equivalenza per spazi metrici tra: 1) la compattezza, 2) la compattezza mediante successioni ordinarie e 3) la completezza e la totale limitatezza. Esempio di spazio topologico compatto non sequenzialmente compatto. Prodotto numerabile dell intervallo [0,1] 1

2 2 (cubo di Tychonov) e metrizzabilita della topologia prodotto. Metrizzabilita degli spazi topologici normali a base numerabile (s.d.), esempio degli spazi compatti di Hausdorff a base numerabile. Teorema di Heine-Cantor. Teorema di Ascoli-Arzela (sd). Spazi di Banach: Spazio normato, spazio di Banach, algebra di Banach, equivalenza della completezza mediante serie assolutamente convergenti, esempi: R n, C(K), con K compatto, C 0 (X) con X localmente compatto, fuzioni continue e limitate su uno spazio topologico, spazi di successioni l p (N), l, c 0, spazi L p (Ω), L (Ω) con Ω aperto o chiuso di R n. Completezza degli spazi L p. Densita delle funzioni continue con p finito. Densita dei polinomi in L p ([0, 1]), delle funzioni continue a supporto compatto in L p (R). Relazione tra il confronto tra topologie di spazio normato e confronto tra norme. Separabilita di l p e non separabilita di l. Operatori lineari e limitati tra spazi normati e definizioni equivalenti, norma di un operatore. Completamento di uno spazio normato. Estensione di un operatore lineare e limitato al completamento. Operatori di moltiplicazione. Completezza ed unicita della norma a meno di equivalenza degli spazi di dimensione finita. Completezza di B(X, Y ) se Y e di Banach. Algebra di Banach. Esempio: B(X), con X di Banach, e C(K). Spazio di Banach duale di uno spazio normato. Operatori lineari aperti. Teorema dell applicazione aperta. Limitatezza dell inverso di un operatore limitato tra spazi di Banach. Non confrontabilita tra due norme di Banach. Spazio di Banach quoziente. Passaggio al quoziente di un operatore. Realizzazione degli spazi di Banach separabili. Teorema del grafico chiuso. Principio dell uniforme limitatezza. Limitatezza di un operatore ottenuto come limite puntuale di una successione generalizzata puntualmente limitata di operatori limitati. Controesempio della serie di Fourier ed esistenza di funzioni continue periodiche con serie di Fourier non uniformemente convergente (cenni). Cenni al teorema di Carleson. Spazi seminormati (o localmente convessi): Teorema di Hahn-Banach, properieta del duale di uno spazio di Banach di separare i punti dai sottospazi chiusi. Immersione canonica di uno spazio normato nel biduale. Riflessivita. Riflessivita degli spazi l p e L p per 1 < p <. Duale di l 1 e L 1. Non riflessivita di questi spazi. Duali di sottospazi e di quozienti. Aggiunto di un operatore tra spazi di Banach. Invarianza della norma dell aggiunto. Spazi vettoriali topologigi localmente convessi (definizione geometrica), funzionale di Minkowski definito da un convesso, caratterizzazione (spazi seminormati). Topologia definita da una famiglia di seminorme. Topologia di Schwarz su C ([a, b]). Topologia dello spazio S(R). Esempi di funzionali continui su essi (distribuzioni e distribuzioni temperate). Sistemi induttivi. Limite induttivo stretto. Spazio D(Ω) Spazi di Fre chet. Confronto tra topologie di spazi seminormati. Funzionali limitati su spazi seminormati. Spazi vettoriali in dualita, duali degli spazi L p, seminorme definite dalla dualita e rappresentazione dei funzionali lineari e continui. Topologia debole di uno spazio normato o seminormato. Topologia debole del duale. Invarianza dei funzionali continui per la topologia debole e quella

3 3 iniziale in uno spazio seminormato. Metrizzabilita. Separazione dei punti dai convessi chiusi mediante funzionali continui (forma geometrica del teorema di Hahn-Banach). Teorema del bipolare. Caso speciale dei sottospazi vettoriali. Teorema di compattezza di Alaoglu. Metrizzabilita debole del disco unitario di uno spazio di Banach. Densita debole nel biduale. Varie caratterizzazioni della riflessivita. Completezza debole di uno spazio di Banach riflessivo. Metrizzabilita debole del disco unitario. Teoremi di Krein-Smulian (sd), Eberlein-Smulian (sd). Faccia convessa di un convesso. Punto estremale. Teorema di Krein-Milman. Misure di Borel regolari e finite su uno spazio topologico compatto K. Funzioni boreliane. Teorema di Riesz sulla rappresentazione dei funzionali positivi delle funzioni continue a supporto compatto su spazio localmente compatto (s.d.). Funzionali limitati. Algebra di Banach delle misure complesse limitate. Stati e loro caratterizzazione. Compattezza del convesso chiuso degli stati su C(K) nella topologia debole. Misure di Dirac. Approssimazione debole di una misura di Dirac con funzioni in L 1 ([0, 1]). Caratterizzazione degli stati estremali di C(K). Misure ergodiche. Caratterizzazione delle misure ergodiche (sd). Teorema di punto fisso di Markov-Kakutani, di Schauder-Tychonov, Ryll Nardzewski (sd). Cenni ad applicazioni dei teoremi di punto fisso: Gruppi topologici, gruppi localmente compatti, misura di Haar, derivazione della misura di Haar per gruppi compatti. Esistenza della misura di Haar nel caso generale (s.d.). Spazio di Hilbert: Base ortonormale, diseguaglianza di Bessel, identita di Parseval, esempi classici in L 2 ([0, 2π]). Coefficienti di Fourier di una funzione in L 2 ([0, 2π]). Ortonormalizzione di Gram-Schmidt. Esempi: polinomi di Legendre, Hermite, Laguerre (esercizi assegnati). Lemma di Riemann-Lebesgue. Invarianza della cardinalita di una base ortonormale e dimensione Hilbertiana. Identita del parallelogramma. Minimizzazione della distanza di un punto da un convesso chiuso. Teorema della proiezione ortogonale su un convesso chiuso. Teorema di rappresentazione di Riesz dei funzionali limitati. Isometria antilineare di uno spazio di Hilbert col suo duale. Riflessivita di uno spazio di Hilbert. Topologia debole di uno spazio di Hilbert e compattezza debole del suo disco unitario. Trasformata di Fourier sul cerchio. Operatori su spazi di Hilbert: Aggiunto di un operatore e proprieta C della norma. C algebra. Operatori normali, autoaggiunti, positivi, isometrie, unitari, proiezioni ortogonali, isometrie parziali. La serie di Fourier come operatore unitario. Radice quadrata di un operatore positivo, modulo di un operatore. Isometrie parziali. Decomposizione polare di un operatore. Varie caratterizzazioni dell invertibilita di un operatore imitato. Forme sesquilineari. Invertibilita di operatori positivi. Teorema di Lax-Milgram. Operatori integrali. Spettro e insieme risolvente di un operatore limitato su uno spazio di Banach. Spettro puntuale, continuo e residuo. Raggio spettrale. Maggiorazione del raggio spettrale con la norma. Serie di Neumann. Equivalenza della analiticita forte e debole di una funzione definita su un aperto connesso del piano complesso a valori in uno spazio di Banach. Funzione risolvente.chiusura dello spettro. Analiticita

4 4 della funzione risolvente sull insieme risolvente. Non trivialita dello spettro. Calcolo del raggio spettrale. Caso speciale degli operatori normali su spazio di Hilbert: coincidenza del raggio spettrale con la norma dell operatore. Spettro di operatori autoaggiunti, positivi, unitari. Ortogonalita di autovettori con autovalori distinti per operatori autoaggiunti. Trivialita dello spettro residuo di un operatore autoaggiunto. Lo shift unilatero come esempio di operatore con spettro puntuale vuoto. Un operatore ed il suo trasposto (aggiunto) hanno lo stesso spettro (spettro coniugato). Operatori compatti tra spazi di Banach. L inverso di un operatore compatto iniettivo in dim infinita non e mai continuo. Spazio di Banach K(X,Y) degli operatori compatti. Ideale bilatero chiuso K(X). Operatori di rango finito. Gli operatori compatti trasformano successioni convergenti debolmente in successioni convergenti in norma. Esempi: operatori di rango finito, operatori nucleari, operatori integrali con nucleo continuo, operatori di Hilbert-Schmidt integrali con nucleo L 2. Teorema di Schauder sulla compattezza dell aggiunto. Teoria di Riesz- Schauder su spazio di Banach. Numerabilita e ordinabilita dello spettro. Operatori di Volterra come esempio di operatori compatti su spazio di Hilbert con spettro puntuale vuoto (cenni). Approssimabilita degli operatori compatti su spazio di Hilbert con operatori di rango finito. Applicazione: Sistemi di Sturm- Liouville, funzione di Green. (cenni). Teorema spettrale per operatori compatti autoaggiunti. Spettro dell operatore di moltiplicazione L 2 ([0, 1]). Calcolo funzionale continuo per operatori limitati autoaggiunti. Teorema spettrale per operatori con vettore ciclico. Estensione al caso generico. Topologia forte e debole degli operatori. Algebra di von Neumann. Teorema di densita di von Neumann (s.d.) Calcolo funzionale boreliano. Operatori autoaggiunti con vettore ciclico. Misura spettrale associata ad un vettore nello spazio di Hilbert. Teorema dello Spectral mapping. Rappresentazione degli operatori autoaggiunti su spazio di Hilbert senza molteplicita. Algebre di Banach con identita, aggiunta dell identita, algebra L ( G) di un gruppo localmente compatto, prodotto di convoluzione, commutativita se G e commutativo, Ideali bilatero chiuso, algebra di Banach quoziente. Teorema di estensione di Tietze. Teorema di Mazur. Algebre di Banach commutative con identita. Spettro dell algebra. Limitatezza degli elementi dello spettro. Relazione con lo spettro di suoi elementi. Trasformata di Gelfand. Teorema di Gelfand- Naimark. Caso delle C algebre. Estensione alle algebre di Banach prive di identita. Spettro di L ( G) con G abeliano. Caratteri del gruppo. Trasformata di Fourier (cenni). Dualita di Pontryagin (sd). Spettro di un elemento autoaggiunto di una C algebra. Dipendenza dello spettro dall algebra. Componente connessa dell infinito. Aggiungere l identita ad una C algebra. Calcolo funzionale continuo per un elemento normale di una C algebra. Punti isolati dello spettro. Conseguenze del teorema di Gelfand-Naimark: continuita automatica degli omomorfismi tra C algebre, isometria di quelli iniettivi, chiusura dell immagine. Algebra di Banach delle funzioni continue analitiche continue fin

5 5 sul bordo. Calcolo funzionale analitico nelle algebre di Banach (sd). Teorema spettrale per un operatore normale: Misura spettrale a valori proiezioni, Integrale di Riemann-Stiltjes, omomorfismo associato dell algebra delle funzioni misurabili limitate. Misure spettrali complesse associate. Calcolo funzionale boreliano associato ad una rappresentazione dell algebra delle funzioni continue. Misura spettrale associata. Teorema spettrale per operatori normali. Vettori ciclici. Rappresentazione degli operatori normali senza molteplicita. Cenni al caso generale. Parte di programma senza prove: Operatori densamente definiti, chiusi, estensioni, chiudibilita, chiusura di un operatore, aggiunto, operatori simmetrici. caratterizzazione della chiudibilita, esempi con gli operatodi di derivazione, spettro, risolvente, funzione risolvente, analiticita, operatori simmetrici e autoaggiunti, e loro spettro. Caratterizzazione della autoaggiunzione. Estensioni simmetriche massimali. Sottospazi e indici di difetto. Caratterizzazione della esistenza delle estensioni autoaggiunte.