+ : V V V, (v,w) v +w. ½µ. (u+v)+w = u+(v +w), u,v,w V. µ. v +w = w +v, v,w V. µ. v V ( v) V Ø Ð v +( v) = o µ. α(u+v) = αu+αv, α Ê, v,w V.

Transcript

1 ÔÔÙÒØ Ð Ö Ä Ò Ö Ô Ö Ð ÓÖ Ó Å Ø Ñ Ø Ð ÓÒØ ÒÙÓ Ú ÖÑ ÆÓÚ Ñ Ö ¾¼½

2 ÁÒ ¼º½ ÁÒØÖÓ ÙÞ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º¾ ËÔ Þ Î ØØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º¾º½ ÐÙÒ ÑÔ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼º¾º¾ ËÓØØÓ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º ¼º ÔÔÐ Þ ÓÒ Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ ¼º º½ ÍÒ ÑÔ Ó ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ñ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ ¼º º¾ ÇÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¼º º ÆÙÐ Ó ÁÑÑ Ò ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º Á ÓÑÓÖ Ñ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÒÚ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼ ¼º Ë Ø Ñ Ä Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º º½ Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º º¾ Å ØÓ Ó Ö ÓÐÙØ ÚÓ Ù º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¼ ¼º º Ë Ø Ñ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Þ ÓÒ Ò Ò ÒÓ Ò Ø º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¼º½ ÁÒØÖÓ ÙÞ ÓÒ ÉÙ Ø ÔÔÙÒØ ÓÒÓ Ö ØØ Ô Ö Ð Ô ÖØ Ð Ö Ä Ò Ö Ö Ð Ø Ú Ð ÓÖ Ó Á Ø ØÙÞ ÓÒ Å Ø Ñ Ø Ð ÓÖ Ó Ð ÙÖ ØÖ ÒÒ Ð Ò ÁÒ ÓÖÑ Ø ÅÙ Ð º ÓÒÓ Ö ØØ ÓÒ Ð³ ÒØ Ò¹ Þ ÓÒ ÓÖÒ Ö ÐÐ ÓÒÓ ÒÞ Ð Ö ÙÐг Ö ÓÑ ÒØÓ ÕÙ Ð ÐÙÒ Ò Þ ÓÒ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÙÒ ÑÔÐ Ö ÙÐØ Ø ÒÓÒ ÐÙÒ ÑÔ ÐÐ Ø º Ä ØÖ ØØ Þ ÓÒ ÕÙ ÚÓÐØ ÒÓÒ ÒØ Ò Ò ÐÙÒ ÑÓ Ó Ö Ù Ø Ú º È Ö ÙÒ Ò Ð Ô Óѹ ÔÐ Ø ÕÙ Ø Ö ÓÑ ÒØ Ö Ñ Ò Ð Ö Ø ØÓ ÕÙ Ð ½ Ô Ö ÐÓ ØÙ Ó Ú ØØÓÖ Ò Ê n ÐÐ Ñ ØÖ Ø Ñ Ð Ò Ö ¾ Ô Ö ÙÒ ØÖ ØØ Þ ÓÒ Ô ØÖ ØØ ÓÖÑ Ð Ð Ö ÓÑ ÒØ Ø ÓÖ º ½

3 ¼º¾ ËÔ Þ Î ØØÓÖ Ð ÁÒ ÕÙ Ø Þ ÓÒ ÒØÖÓ ÙÓÒÓ Ð ÓÒ ØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ð Ú Ö ÒÓÞ ÓÒ Ó ¹ Ó Ø º ÉÙ Ø ÓÒ ØØ Ú ÖÖ ÒÒÓ ÔÖ Ñ ØÖ ØØ Ø Ò Ñ Ò Ö ÓÑ Ø Ö ÓÖÓ Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ Ð Ö ÐÙÒ ÑÔÐ Ö ÙÐØ Ø Ò Ù ØÓ ÔÖÓ Ö ÐÐ Ù ÓÒ ÐÙÒ Ð ÑÔ Ô Ö Ð Ú ÒØ Ò Ñ Ø Ñ Ø º Ò Þ ÓÒ ¼º¾º½º Ë V ÙÒ Ò Ñ ÑÙÒ ØÓ ÐÐ Ù ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º º ËÓÑÑ Ú ØØÓÖ + : V V V, (v,w) v +w. ½µ º ÈÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö : Ê V V, (α,v) α v αv. ¾µ Ä Ø ÖÒ (V,+, ) ØØ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ö Ð µ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ó ÒÓ Ù ÒØ ÓÑ º º½º Ó Ø Ú Ø ÐÐ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ º¾º ÓÑÑÙØ Ø Ú Ø ÐÐ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ º º Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÓÑÑ Ú ØØÓÖ (u+v)+w = u+(v +w), u,v,w V. µ v +w = w +v, v,w V. µ o V Ø Ð v+o = v, v V µ ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ o Ò Ö ÑÔÖ Ø Ð Ð Ñ ÒØÓ Ò ØØÓ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓµº º º Ð Ñ ÒØÓ ÒÚ Ö Ó Ô Ö Ð ÓÑÑ Ú ØØÓÖ v V ( v) V Ø Ð v +( v) = o µ г Ð Ñ ÒØÓ v Ö Ñ ØÓ ÓÔÔÓ ØÓ vµº º º ØÖ ÙØ Ú Ø ÐÐ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ α(u+v) = αu+αv, α Ê, v,w V. µ º º ØÖ ÙØ Ú Ø ÐÐ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ð Ö º º ÓÑÔ Ø Ð Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö (α+β)v = αv +βv, α,β Ê, v V. µ α(βv) = (αβ)v, α,β Ê, v V. µ º º Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ð Ð Ñ ÒØ V ÓÒÓ ØØ Ú ØØÓÖ º 1 Ê Ø Ð 1v = v, v V. ½¼µ ¾

4 Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º½º ËÔ Ó Ò Ð Ù ØÓ ÓÒ ÙÒ Ô ÓÐÓ Ù Ó Ð Ò Ù Ó Ö V ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÓØØÓ ÒØ Ò Ò Ó Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ó Ó Ø ÕÙ Ò Ó Ö Ö Ð ÐÓÖÓ Ò Þ ÓÒ º Ä ÑÑ ¼º¾º½º Ð ÓÑ º½¹ º ÐÐ º ¼º¾º½ Ô ÖÑ ØØÓÒÓ ÑÓ ØÖ Ö Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º ½µ Ë ÒÓ 0 Ê ÐÓ Þ ÖÓ Ð Ö o V Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓº ÐÐÓÖ ¾µ ÁÐ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ o V ÙÒ Óº 0v = o, v V αo = o, α Ê. ½½µ µ È Ö Ó Ò v V г ÒÚ Ö Ó ( v) V ÙÒ Ó Ó ( v) = ( 1)v v. ½¾µ ¼º¾º½ Ð Ô Þ Ê n ÐÙÒ ÑÔ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ³ ÒÓØÓ Ð³ Ò Ñ ÒÙÑ Ö Ö Ð Ê( Ê 1 ) ÔÙ Ö Ñ Ó Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÙÒ ÚÓ ÓÒ ÙÒ Ö ØØ Ô Þ Ó 1¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÙÐÐ ÕÙ Ð ÒÓ Ø ÙÒ ÓÖ Ò ÙÒ ÓÖ ÒØ Þ ÓÒ ÙÒ ÙÒ Ø Ñ ÙÖ º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð Ò Ñ ÔÖÓ ÓØØÓ Ê 2 Ê Ê Ê 3 Ê Ê Ê ÔÓ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ö ÒØ Ø ÓÒ Ð Ô ÒÓ ÙÐ Ó Π Ô Þ Ó 2¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ ÓÒ ÐÓ Ô Þ Ó ÙÐ Ó Σ Ô Þ Ó 3¹ Ñ Ò ÓÒ Ð µ º È Ò Ò Ö Ð ØÓ n Æ ÓÒ Ö Ð³ Ò Ñ ÔÖÓ ÓØØÓ Ù Ð Ñ ÒØ ÓÒÓ Ð n¹ùôð ÓÖ Ò Ø Ê n := Ê... Ê }{{}, ½ µ n ÚÓÐØ (x 1,...,x n ), ÓÒ x i Ê i = 1,...,n. ½ µ ÓÑ Ò n=1,2,3 Ø Ø ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ Ô Ö Ó Ò n Æ Ð³ Ò Ñ Ê n ÔÙ Ö Ñ Ó Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÙÒ ÚÓ ÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó n¹ Ñ Ò ÓÒ Ð Ù ÔÙÒØ Ø ÙÒ ÓÖ Ò ÓÒÓ ÒØ Ø ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø x 1,...,x n º Ò Þ ÓÒ ¼º¾º¾º Ë Ò ÓÒÓ Ú ØØÓÖ Ò Ê n Ð n¹ùôð Ú ÖØ Ð x 1 º x n, ÓÒ x i Ê i = 1,...,n, ½ µ Ô Ö Ó Ò i=1,...,n Ð ÓÓÖ Ò Ø x i ØØ ÓÑÔÓÒ ÒØ i¹ Ñ Ð Ú ØØÓÖ º Æ Ð Ù ØÓ Ú ØØÓÖ Ö ÒÒÓ ÑÔÖ Ò Ø ÓÒ ÐÐ Ð ØØ Ö Ñ ÒÙ ÓÐ Ò Ö ØØÓ ÑÔ Ó Ü, Ý, Þ,...µ Ð Ö Ð Ø Ú ÓÓÖ Ò Ø ÓÒ Ð Ø Ð ØØ Ö ÒÓÒ Ò Ö ØØÓ ÑÔ Óx i,y i,z i,...µº

5 Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ë Ü ÙÒ Ú ØØÓÖ Ò Ê n Ú Ð ½ µµº ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð Ü T = (x 1,...,x n ). ÁÐ ØÖ ÔÓ ØÓ Ü Ð n¹ùôð ½ µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º¾º ËÔ Ó Ú ØØÓÖ ÐÓÖÓ ØÖ ÔÓ Ø Ò Ø Ò ÕÙ Ø ÔÔÙÒØ ÓÒÓ Ö Ô ØØ ¹ Ú Ñ ÒØ ÒÓÑ Ò Ø Ú ØØÓÖ ÓÐÓÒÒ Ú ØØÓÖ Ö º ÑÔ Ó ¼º¾º½º Ä Ù ÒØ Ö ØØÙÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ú ØØÓÖ Ò Ê 3 4 Ü = 2, 0 ½ µ Ð Ù ÓÒ ÓÑÔÓÒ ÒØ x 2 = 2 º ÁÐ ØÖ ÔÓ ØÓ Ü Ü T = ( ). ½ µ Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ù Ú ØØÓÖ Ü, Ý Ò Ê n ÓÒÓ Ù Ù Ð Ö Ú Ü = ݵ Ð Ö Ô ØØ Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ù Ù Ð ÙÒ ÙÒ ½µ Ü = Ý x i = y i, i = 1,...,n. ½ µ Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ë ÓÒÓ Ð Ù ÒØ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù Ú ØØÓÖ Ò Ê n º º ËÓÑÑ Ú ØØÓÖ ¾µ + : Ê n Ê n Ê n, (Ü, Ý) Ü+Ý, ¾¼µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØØÓÖ ÓÑÑ Þ=Ü+Ý ÓÒÓ Ø ÐÐ ÓÑÑ ÐÐ Ö Ô ØØ Ú ÓÑÔÓÒ ÒØ Ú ØØÓÖ Ü, Ý º ÈÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö z i = x i +y i, i=1,...,n. ¾½µ : Ê Ê n Ê n, (α, Ü) α Ü, ¾¾µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØØÓÖ Ö ÙÐØ ÒØ Þ = α Ü ÓÒÓ Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ò ÓÐ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØØÓÖ Ü Ô Ö ÐÓ Ð Ö α z i = αx i, i = 1,...,n. ¾ µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º º È Ö n = 1,2,3 ÔÓ Ð Ö ÙÒ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ô ÒØÙ Ø Ú ÐÐ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ ÐÐ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ú ØØÓÖ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö º ÑÔ Ó Ð ÓÑÑ Ù Ú ØØÓÖ ÔÙ Ö ÓØØ ÒÙØ Ô Ö Ñ ÞÞÓ ÐÐ Ö ÓÐ Ð Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ ÐÐ Ö ÓÐ ÔÙÒØ ¹Ó µ Ñ ÒØÖ Ð ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ú ØØÓÖ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö ÓÖÖ ÔÓÒ ÙÒ Ð Ø Þ ÓÒ Ó ÙÒ ÓÒØÖ Þ ÓÒ µ ÐÐ ÐÙÒ ÞÞ Ð Ú ØØÓÖ ÓÒ Ö ØÓº Ø Ð ÔÖÓÔÓ ØÓ Ú ¾ Ô º½ ¹½ º ½ Ö Ñ ÒØ ÒÓÒ Ò Ó Ô ÖÐ Ö ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ Ù Ù Ð ÒÞ Ô Ö Ú ØØÓÖ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ô Þ Ú Ö ÑÔ Ó Ü Ê 2, Ý Ê 3 Ü Ý. ¾ ƺ º Ä ÓÑÑ Ú ØØÓÖ Ò Ø ÓÐÓ Ô Ö Ú ØØÓÖ Ò ÐÐÓ Ø Ó Ô Þ Ó Ê n º ÆÓÒ ÔÓ ÓÒÓ ÓÑÑ Ö Ú ØØÓÖ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ô Þ Ú Ö ÑÔ Ó ÒÓÒ Ò Ø Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ü+Ý Ô Ö Ü Ê 2 Ý Ê 3 µº

6 Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º ÁÐ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ¼ Ê n Ð Ú ØØÓÖ ÓÒ ØÙØØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÙÐÐ 0 ¼ º. 0 Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º º ÁÐ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ¼ Ê n ÒÓÒ ÓÒ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ Þ ÖÓ Ð Ö 0 Ê µº ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º¾º½º Ë ÒÓ + : Ê n Ê n Ê n : Ê Ê n Ê n Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ò Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ¾¼µ ¾¾µ ÐÐÓÖ Ð Ø ÖÒ (Ê n,+, ) ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ Ú Ð Ò Þ ÓÒ ¼º¾º µ o ¼ Ê n ; гÓÔÔÓ ØÓ ÙÒ Ú ØØÓÖ Ü Ê d Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê n Ò ØÓ ØÖ Ñ Ø Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÐÓ Ð Ö 1 Ê ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ Ü := ( 1) Ü. Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÒÓ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÐÓ Ô Þ Ó Ò Ð Ê 0 {¼} ÐÓ Ô Þ Ó Ê 1 Ê Ò Õ٠سÙÐØ ÑÓ Ó ÒÓÐØÖ Ð ÓÑÑ Ú ØØÓÖ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ó Ò ÓÒÓ ÓÒ Ð ÓÖ Ò Ö ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ò Ø Ò Ê º ¾ µ ¾ µ ¾ µ ÑÔ Ó ¼º¾º¾º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ú ØØÓÖ Ü, Ý Ê 3 Ò Ø ÓÑ 2 7 Ü = 0, Ý = Ä ÓÑÑ Ü+Ý Ü+Ý = ÁÐ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö 6 Ü 6 Ü = ( 2)+7 3 = ( 4) = = 6 ( 2) Ä ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö µ 3 Ü+a Ý Ü+a Ý = 3 0 +a 3 = 1 4 ijÓÔÔÓ ØÓ Ü Ü = ( 1) = + = a 7a 6 3a = 3a. 4a 3 4a ¾ µ ¾ µ ¾ µ ¼µ ½µ Á Ù Ó Ò ÓÒÓ ÓÐÓ Ò Ð Ó Ò Ù n=1º Ë Ú Ð Ò Þ ÓÒ ¼º¾º Ò Ð Ù ØÓ Ô Ö Ð Ò Þ ÓÒ ÓÖÑ Ð ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö º

7 ÐØÖ ÑÔ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÑÔ Ó ¼º¾º º Æ Ðг Ñ ØÓ ÐÐ ÓÑ ØÖ ÙÐ Ò Ð Ô ÒÓ Ó Ò ÐÐÓ Ô Þ Óµ ÓÒ Ö Ð³ Ò Ñ Ñ ÒØ ÓÖ ÒØ Ø Ú Ð Ö Ð³ Ò Ñ ÐÐ ÔÓÖÞ ÓÒ Ö ØØ Ð Ñ Ø Ø Ù ÔÙÒØ ÕÙ Ð ÙÒÓ ØØÓ Ó ÙÒÓ ØØÓ Ø Ø º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ò Ñ ÔÙ ÓÒ Ö Ö Ð Ö Ð Þ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒÞ ÒØ Ñ ÒØ ÓÖ ÒØ Ø ÒÓ Ð Ø ÓÔÔÓ Ø ÙÒÓ Ø Ó Ô Ö ÐÐ ÐÓ Ö ÑÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ Ù Ñ ÒØ ÓÖ ÒØ Ø ÓÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÔÓ ÓÒÓ Ö ÓÚÖ ÔÔÓ Ø Ô Ö Ñ ÞÞÓ ØÖ Ð Þ ÓÒ Ö ÒÞ ÖÓØ Þ ÓÒ µº Ë ÓÒ Ö Ð³ Ò Ñ ÐÐ Ð ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ó ÓØØ ÒÙØ V := { v v = Ð ÕÙ Ú Ð ÒÞ Ñ ÒØ Ù Ù Ð ÐÙÒ ÞÞ ÑÓ ÙÐÓµ Ö Þ ÓÒ Ú Ö Ó } ; ¾µ ÕÙ ØÓ Ò Ñ ÔÙ Ö ÑÙÒ ØÓ ÐгÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ + : ( v, w) v + w Ò Ø ÐÐ Ö ÓÐ Ð ØÖ Ò ÓÐÓ Ú Ð ÙÖ µ ÐгÓÔ Ö Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö : (α, v) α v Ò Ø ÓÑ Ð Ð Ø Þ ÓÒ v Ô Ö ÙÒ ØØÓÖ α Ú Ð ÙÖ µº Ë Ú Ö ÐÑ ÒØ Ð Ø ÖÒ (V,+, ) Ó Ø ØÙ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ØÓ ÐÐ Ð ÕÙ Ú Ð ÒÞ ØÙØØ Ñ ÒØ ÓÖ ÒØ Ø ÐÙÒ ÞÞ ÒÙÐÐ º ÑÔ Ó ¼º¾º º Ë ÓÒ Ö Ð³ Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ó ÕÙ Ð µ ÓÒ Ó ÒØ Ö Ð P[Ê] := {α 0 +α 1 x+...+α m 1 x m 1 +α m x m α 0,...,α m Ê, m Æ}. µ Ë ÒÓ+ π π Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÓÐ ÒÓÑ ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò Ø Ò Ð ÑÓ Ó Ö ØØÓ Ù ØÓ ØÖ Ñ Ø ÙÒ Þ ÓÒ Ù Ó ÒØ Ö Ó ØÓº Ë ÒÓα Ê ÙÒÓ Ð Ö p,q ÙÒ ÓÔÔ ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ö Óm,n Æ ÓÒ m < n µ p(x) := α 0 +α 1 x+...+α m x m, q(x) := β 0 +β 1 x+...+β n x n ; µ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÓÑÑ p+ π q P[Ê] Ö Ó nµ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö α α π p P[Ê] Ö Ó mµ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò Ø ÓÑ (p+ π q)(x) := (α 0 +β 0 )+(α 1 +β 1 )x+...+(α m +β m )x m +β m+1 x m β n x n, µ (α π p)(x) := (α α 0 )+(α α 1 )x+...+(α α m )x m. Ë ÒÓØ ØÖ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ µ µ Ñ ÓÐ + Ò ÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð Ù Ù Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ò Êº Ë Ú Ö ÐÑ ÒØ Ð Ø ÖÒ (P[Ê],+ π, π) ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó o(x) = 0+0x+0x x m m Æ. µ ÑÔ Ó ¼º¾º º Ë X ÙÒ Ò Ñ (V,+ V, V) ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÑÔ Ó Ê n µº ij Ò Ñ F(X,V) ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ X V ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÑÙÒ ØÓ ÐÐ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º º ËÓÑÑ ÔÙÒØÙ Ð Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð µ + F : F(X,V) F(X,V) F(X,V), (f,g) f + F g, µ (f + F g)(x) = f(x)+ V g(x) Ò V, x X. µ Ä ÐØ m < n Ð ØÙØØÓ Ö ØÖ Ö ÖÚ ÓÐÓ Ö Ð º

8 º ÈÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð F : Ê F(X,V) F(X,V), (α,f) α F f, ¼µ (α F f)(x) = α V f(x) Ò V, x X. ½µ ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð³ Ð Ñ ÒØÓ Ò ÙØÖÓ Ô Ö Ð ÓÑÑ ÔÙÒØÙ Ð Ó Ô Ö Ð ÓÑÑ Ú ØØÓÖ µ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ O Ó Ò x X Ó Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ o V O : X V, x O(x) = o. ¾µ ¼º¾º¾ ËÓØØÓ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Æ Ð Ù ØÓ ÓÒ Ö ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð (V,+, ) Ô Ö Ö Ú Ø Ö Ò ØÓ ÓÐÓ ÓÒ V º Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ë W V ÙÒ ÓØØÓ Ò Ñ V º Ë W ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù ÒØ º º W Ù Ó Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ò V v +w W, v,w W ; µ º W Ù Ó Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò V αv W, α Ê, v W ; µ º ÁÐ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ V ÔÔ ÖØ Ò W o W. µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º º ÁÐ ÓÒ ØØÓ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ð³ Ò ÐÓ Ó Ò ÐÐ Ø ÓÖ Ð Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÐÐ ÒÓÞ ÓÒ ÓØØÓ Ò Ñ Ò ÐÐ Ø ÓÖ Ð Ò Ñ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ù ÚÓÐØ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÑÔ Ó ¼º¾º º Ë ÓÒ Ö ÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð (Ê n,+, ) Ò Ð ÞÞ ØÓ Ò ÔÖ ÒÞ º ÁÐ ÓØØÓ Ò¹ Ñ W 0 Ê n Ú ØØÓÖ ÓÒ Ð ÔÖ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÙÐÐ W 0 := {Ü Ê n x 1 = 0} µ ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÁÒ ØØ Ú Ö ÐÑ ÒØ ÙÓ Ð Ñ ÒØ Ó ÒÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º ÑÔ Ó ¼º¾º º È Ö Ó Ò m Æ ØÓ Ð³ Ò Ñ ÔÓÐ ÒÓÑ Ö Ó Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ù Ð m P m [Ê] := {α 0 +α 1 x+...+α n 1 x n 1 +α n x n α 0,...,α m Ê, n Æ, n m}, µ ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÐÐÓ Ô Þ Ó (P[Ê],+ π, π) Ö ØØÓ Ò Ðг ÑÔ Ó ¼º¾º º Ë ÓÒ Ö ÓÖ ÙÒ Ñ Ð m Ú ØØÓÖ Ò V {v 1,...,v m }, m Æ. µ

9 Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ë α 1,...,α m Ê ÙÒ Ñ Ð Ð Ö º ÁÐ Ú ØØÓÖ ØÓ Ðг ÔÖ ÓÒ m α i v i = α 1 v α m v m V µ i=1 ØØÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ú ØØÓÖ v 1,...,v m ÓÒ Ó ÒØ α 1,...,α m º Ò Þ ÓÒ ¼º¾º º Ë ÓØØÓ Ô Þ Ó Ò Ö ØÓ ÐÐ Ñ Ð {v 1,...,v m } г Ò Ñ ØÙØØ Ð ÔÓ Ð ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö { m } v 1,...,v m := α i v i αi Ê i = 1,...,m. ¼µ Á Ú ØØÓÖ v 1,...,v m ÓÒÓ ØØ Ò Ö ØÓÖ Ð ÓØØÓ Ô Þ Ó v 1,...,v m º Ä ÑÑ ¼º¾º¾º ÁÐ ÓØØÓ Ô Þ Ó v 1,...,v m ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V º i=1 Ò Þ ÓÒ ¼º¾º½¼º Á Ú ØØÓÖ v 1,...,v m ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ù Êµ Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ÔÙ Ö ÓØØ ÒÙØÓ ÓÑ ÐÓÖÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÒ Ó ÒØ ÒÓÒ ØÙØØ ÒÙÐÐ Ó α 1,...,α m Ê ÒÓÒ ØÙØØ ÒÙÐÐ Ø Ð m α i v i = o. Á Ú ØØÓÖ v 1,...,v m ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ù Êµ ÒÓÒ ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò Ò¹ Ø Ó Ð³ÙÒ ÐÓÖÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ù Ù Ð Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ÕÙ ÐÐ ÓÒ ØÙØØ Ó ÒØ ÒÙÐÐ m α i v i = o α i = 0, i = 1,...,m. ¾µ i=1 Ä ÑÑ ¼º¾º º Î Ð ÓÒÓ Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º ½µ Ë Ú ØØÓÖ v 1,...,v m 1 ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ ÒÓ Ø Ð Ò Ú ØØÓÖ v 1,...,v m 1,v m ÓØØ ÒÙØ ÙÒ Ò Ó Ð Ú ØØÓÖ v m º ¾µ Ë Ú ØØÓÖ v 1,...,v m ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ ÒÓ Ø Ð Ò Ú ØØÓÖ v 1,...,v m 1 ÓØØ ÒÙØ Ö ÑÙÓÚ Ò Ó Ð Ú ØØÓÖ v m º i=1 ½µ ÑÔ Ó ¼º¾º º Ë ÓÒ Ö ÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð (Ê 3,+, ) Ò Ó Ú ØØÓÖ 2 Ü := 1, 4 Ý := 2, 3 Þ := 3/ µ ÐÐÓÖ Ú ØØÓÖ Ü, Ý ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØÖ Ú ØØÓÖ Ü, Þ ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò ¹ Ô Ò ÒØ º ÁÒ ØØ ÙÒ Ô ÖØ Ü+( 1) Ý = = 0 = ¼. µ Ðг ÐØÖ Ô ÖØ ÓÒ Ö ÙÒ Ò Ö ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ü Þ ÓÒ Ó ÒØ α,β Ê ÑÔÓÒ ÕÙ Ø Ù Ù Ð Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ

10 ÚÖ ÐÐÓÖ 0 0 = ¼ =. 2α+3β α Ü+βÞ = 1α+ 3 β ; 2 0 3α+5β 2α+3β = 0 1α+ 3 β = 0 2 3α+5β = 0 µ µ ÉÙ ØÓ Ø Ñ ÔÙ Ö Ö ÓÐØÓ Ô Ö Ó Ø ØÙÞ ÓÒ µ ÓØØ Ò Ò Ó ÓÑ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ α = 0, β = 0, µ Ð ÕÙ Ð ÑÓ ØÖ Ð³ÙÒ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ú ØØÓÖ Ü, Þ Ô ÖÑ ØØ ÓØØ Ò Ö Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ÕÙ ÐÐ ÓÒ ÒØÖ Ñ Ó ÒØ ÒÙÐÐ º ÕÙ Ú Ð Ö Ú ØØÓÖ Ü, Þ ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º È Ö Ð ÔÙÒØÓ ½µ Ò Ð Ä ÑÑ ¼º¾º ÔÙ ÒÓÐØÖ ÓÒÐÙ Ö Ò Ú ØØÓÖ Ü, Ý, Þ ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ º ÑÔ Ó ¼º¾º º È Ö Ó Ò m Æ ØÓ ÓÒ Ö Ð Ñ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ {p 0,p 1,...,p m } Ò Ø ÓÑ p i (x) = x i Ô Ö i = 0,1,...,m. µ ³ Ú ÒØ ÔÓÐ ÒÓÑ {p 0,p 1,...,p m } Ó Ò Ø ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÒÓÐØÖ Ú Ö ÐÑ ÒØ ÕÙ Ø Ò Ö ÒÓ Ð ÓØØÓ Ô Þ Ó P m [Ê] Ù Ó Ò Ðг ÑÔ Ó ¼º¾º Ó P m [Ê] = p 0,...,p m. µ Ò Þ ÓÒ ¼º¾º½½º Á Ú ØØÓÖ v 1,...,v m V ÓÒÓ ØØ ÙÒ V º ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ º Ð ÓØØÓ Ô Þ Ó v 1,...,v m Ò Ö ØÓ Ó Ò ÓÒ ÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V Ó Ó Ò Ú ØØÓÖ v V ÔÙ Ö Ö ØØÓ ÓÑ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ú ØØÓÖ v 1,...,v m º ÑÔ Ó ¼º¾º½¼º Ë ÓÒ Ö ÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð (Ê n,+, )º Ä Ñ Ð Ú ØØÓÖ =, 2 =... n = º, ¼µ º º ÙÒ º È Ö Ð³ ÑÔÓÖØ ÒÞ ÕÙ Ø Ö ÓÔÖ Ú Ò ØØÖ Ù ØÓ Ð ÒÓÑ Ô Ó ÒÓÒ º Ë Ú Ð Þ ÓÒ ¼º Ô Ö ÐØÖ Ñ ØÓ Ö ÓÐÙØ Ú º

11 ÑÔ Ó ¼º¾º½½º Ë ÓÒ Ö ÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð (Ê 3,+, )º Ä Ñ Ð Ú ØØÓÖ 2 1 = 2, 3 2 = 3, 0 3 = 0, ½µ ÙÒ Ú Ö ÕÙ ÐÐ ÒÓÒ ÒØÖÓ ÓØØ Ò Ðг ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ µº Ò Þ ÓÒ ¼º¾º½¾º Ä Ñ Ò ÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V Ð ÒÙÑ ÖÓ Ú ØØÓÖ ÓÑÔÓÒ ÓÒÓ ÙÒ Ù ÕÙ ÐÙÒÕÙ º Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º¾º º Ð ÑÔ ¼º¾º½¼ ¼º¾º½½ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ö Ñ ÒØ Ò Ò Ö Ð ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÑÑ ØØ Ô Ø ÒØ º Ë ÔÙ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ØÙØØ Ð ÔÓ Ð ÙÒ ØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÒÒÓ ÐÓ Ø Ó ÒÙÑ ÖÓ Ð Ñ ÒØ º ÉÙ Ò Ð Ò Þ ÓÒ ¼º¾º½¾ Ñ Ò ÓÒ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ò ÔÓ Ø Ò Ð Ò Ó Ò Ô Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ Ö Ø º ¼º ÔÔÐ Þ ÓÒ Ä Ò Ö ÁÒ ÕÙ Ø Þ ÓÒ ÒØÖÓ ÙÓÒÓ Ð ÓÒ ØØÓ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ØÖ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð Ð Ú Ö ÒÓÞ ÓÒ Ó Ó Ø º Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÙÒ ÔÖ Ñ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÑ Ø Ö ÓÖÓ Ù Ö Ð Ù ÓÒ ÐÙÒ Ð ÑÔ Ô Ö Ð Ú ÒØ Ò Ñ Ø Ñ Ø º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ù Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð Ö Ð µ Ò Ö µ (V,+, ) (V,+, ). ¾µ Ò Þ ÓÒ ¼º º½º ÍÒ Ñ ÔÔ ØÖ Ð Ò Ñ V V L : V V, v L(v) Lv. µ ØØ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ó Ù ÒØ ÓÑ µº º½º ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ L(u+v) = Lu+ Lv Ò V, u,v V. µ º¾º ÓÑÔ Ø Ð Ø ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö L(α v) = α Lv Ò V, α Ê, v V. µ Ë Ò Ö ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ L(V,V ) г Ò Ñ ØÙØØ Ð ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö V Ò V L(V,V ) = {L : V V L ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö }. µ ÁÒ Ò Ö Ð Ð Ô Þ V V ÓÒÓ Ú Ö Ò Ð Ú ÐÐÓ Ò Ñ Ø Ó Ô Ö Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ù Ò Ø ÓÒÓ ÐÓÖÓ ÚÓÐØ Ú Ö º Ð ÓÑ Ù ÒØ Ú Ò ÓÒÓ Ô Ó Ö ÙÒØ Ò Ó Ð Ñ ÔÔ L Ö Ô ØØ ÓÔÔÙÖ ÔÖ ÖÚ µ Ð ØÖÙØØÙÖ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ú Ð Ö Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö º ½¼

12 Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º½º Ë ÒÓØ Ò ØÖ ÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ µ µ ÓÑÔ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú ¹ Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ + ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V Ñ ÒØÖ ØÖ ÐÐ Ø Ù Ù Ð ÒÞ ÓÑÔ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ + ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V º ÉÙ Ø Ø ÒÞ ÓÒ Ú ÖÖ ÓØØÓ ÒØ Ò Ð Ù ØÓ Ô Ö ÑÔÐ Ø ÒÓØ Þ ÓÒ ÙØ Ð ÞÞ Ö ÒÒÓ Ñ ÓÐ +, Ô Ö Ò Ö Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ú ØØÓÖ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö Ò ÕÙ Ð Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º ÄÓ Ô Þ Ó Ò Ù Ø Ð ÚÓÖ Ò Ó Ö Ò ØÓ Ð Ð Ñ ÒØ ÓÑÔ Ö Ö ÒÒÓ Ò ÐÐ ÔÖ ÓÒ º Ð ÓÑ º½ ¹ º¾ ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º º½ Ô ÖÑ ØØÓÒÓ ÑÓ ØÖ Ö Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º Ä ÑÑ ¼º º½º Ë L L(V,V ) ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º ½µ L Ñ ÔÔ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ð Ò Ó ( m ) m L α i v i = α i Lv i, α 1,...,α m Ê, v 1,...,v m V. µ i=1 i=1 ¾µ L Ñ ÔÔ Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ o V Ò Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ o V Ò Ð Ò Ó Lo = o. µ ÑÔ Ó ¼º º½º Ë V ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º Ù Ô ÖØ ÓÐ Ö Ø Ô ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö V V ÓÒÓ Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÒØ id : V V, v idv := v v V, µ г ÔÔÐ Þ ÓÒ ÒÙÐÐ o Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V µ O : V V, v Ov := o v V. ¼µ ¼º º½ ÍÒ ÑÔ Ó ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ñ ØÖ Æ Ð Ù ØÓ Ò Ö ÒÒÓ ÓÒ m,n,p,... ÒÙÑ Ö Ò ØÙÖ Ð ÒÓÒ ÒÙÐÐ m,n,p,... Æ. ½µ Ò Þ ÓÒ ¼º º¾º ÍÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (m,n) µ Ö Ð µ ÙÒ Ø ÐÐ m n ÒÙÑ Ö Ö Ð a ij Ê i=1,...,m j=1,...,nµ ÔÓ Ø Ù m Ö n ÓÐÓÒÒ Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n º º º º ºº º. ¾µ a m1 a m2 a m3 a mn Æ Ð Ù ØÓ Ò Ö ÒÒÓ ÑÔÖ Ð Ñ ØÖ ÓÒ ÐÐ Ð ØØ Ö Ñ Ù ÓÐ ÑÔ ÓA,B,C,...µº È Ö Ó Ò i=1,...,m j=1,...,n Ð ÒÙÑ ÖÓ a ij ØØÓ Ð Ñ ÒØÓ ij ÐÐ Ñ ØÖ ÒØ Ò Ò Ó ÓÚÚ Ñ ÒØ Ð³ Ð Ñ ÒØÓ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÐÐ i¹ Ñ Ö ÐÐ j¹ Ñ ÓÐÓÒÒ º Ë Ò Ñ ØÖ Ø ÔÓ (m,n) ÓÔÔÙÖ Ñ ØÖ m Ô Ö nº ½½

13 ÑÔ Ó ¼º º¾º Ä Ù ÒØ Ö ØØÙÖ Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (2,3) A = ( ) µ 2 Ö ( ) ( ), µ 3 ÓÐÓÒÒ ( 1 7 ) ( 2 3 ) ( 5 2 ). µ ij Ð Ñ ÒØÓ 13 ÐÐ Ñ ØÖ A a 13 = 5. µ Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë Ò Ö ÓÒ M(m,n) г Ò Ñ ØÙØØ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (m,n) M(m,n) := {A A ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (m,n) Ö Ð }. µ Æ Ð Ù ØÓ Ô Ö Ö A ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (m,n) Ö Ú Ö ÑÔÐ Ñ ÒØ A M(m,n)º Ì Ô Ô ÖØ ÓÐ Ö Ñ ØÖ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º¾º Á Ú ØØÓÖ Ò Ê n ÓÒÓ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (n,1) Ó ÓÒÓ Ð Ñ ÒØ M(n,1)º Ò ÐÓ Ñ ÒØ ÐÓÖÓ ØÖ ÔÓ Ø ÓÒÓ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (1,n) Ó ÓÒÓ Ð Ñ ÒØ M(1,n)º Ò Þ ÓÒ ¼º º º ÍÒ Ñ ØÖ A ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ò n ÐÓ Ø Ó ÒÙÑ ÖÓ n Ö ÓÐÓÒÒ º Ë Ò Ö ÓÒ M(n) г Ò Ñ ØÙØØ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ò nº Ä ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) г Ò Ñ Ð Ð Ñ ÒØ {a ii } i=1,...,n º Ò Þ ÓÒ ¼º º º È ÖØ ÓÐ Ö Ø Ô Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÒÓ Ù ÒØ º ½µ ÍÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) ØÖ Ò ÓÐ Ö ÙÔ Ö ÓÖ Ò Ö ÓÖ µ ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÓØØÓ ÓÔÖ µ Ð ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð ÒÙÐÐ Ó a ij = 0, i>j(i<j), i,j=1,...,n. µ ¾µ ÍÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) ÓÒ Ð Ð ÙÒ Ð Ñ ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ ÐÐ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ó a ij = 0, i j, i,j=1,...,n. µ µ Ä Ñ ØÖ ÒÙÐÐ ¼ n M(n) Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÒ ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÒÙÐÐ ¼ n = º º º ºº º ¼µ ½¾

14 µ Ä Ñ ØÖ ÒØ Ø ½ n M(n) Ð Ñ ØÖ ÓÒ Ð ÓÒ ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÙÐÐ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð Ù Ù Ð ½ n = º º º ºº º. ½µ ÑÔ Ó ¼º º º ÍÒ ÑÔ Ó Ñ ØÖ ØÖ Ò ÓÐ Ö ÙÔ Ö ÓÖ A = 0 1 7, ¾µ Ñ ÒØÖ ÙÒÓ Ñ ØÖ ÓÒ Ð A = ( ) 3 0. µ 0 2 ÒØÖ Ñ ÓÒÓ ÓÚÚ Ñ ÒØ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò M(3) M(2)º ÅÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë A = (a ij ) M(m,n) ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (m,n) Ü Ê n ÙÒ Ú ØØÓÖ º Ë Ò Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ò ØÖ Ü Ô Ö A ÓÑ Ð Ú ØØÓÖ A Ü Ê m Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ (A Ü) i := n a ij x j ÓÖ i = 1,...,m. µ j=1 ÑÔ Ó ¼º º º Ë ÒÓ A M(,) Ü Ê a Ð Ñ ØÖ Ð Ú ØØÓÖ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò Ø ÓÑ ( ) A =, Ü = 0. µ ÁÐ Ú ØØÓÖ Ö ÙÐØ ÒØ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ü Ô Ö A Ò ØÖ Ð Ú ØØÓÖ A Ü Ê 2 ØÓ ( ) 2 ( ) ( ) A Ü = ( 2) 0+( 5) ( 3) 17 = =. µ ( 7) ( 2) ( 3) 8 3 Î Ð Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º º½º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð Ê m Ê n º ÐÐÓÖ ØÙØØ ÓÐ Ð ÔÔÐ ¹ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ê n Ê m ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ð ÓÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ò ØÖ Ô Ö Ñ ØÖ Ò M(m,n)º È ÔÖ Ñ ÒØ º Ô Ö Ó Ò ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(Ê n, Ê m ) Ø ÙÒ Ñ ØÖ A L M(m,n) Ø Ð L Ü = A L Ü Ò Ê m, Ü Ê n ; µ ½

15 º Ô Ö Ó Ò Ñ ØÖ A M(m,n) Ø ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L A L(Ê n, Ê m ) Ø Ð A Ü = L A Ü Ò Ê m, Ü Ê n. µ ÁÒ ÒØÖ Ñ Ð ÔÖ ÓÒ A Ü A L Ü ÓÒÓ ÒØ Ò Ö ÓÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ò ØÖ ØÖ Ð Ñ ØÖ A,A L M(m,n) Ü M(n,0)( Ê n )º Ë ÔÙ ÐÐÓÖ ÓÒÐÙ Ö Ø ÙÒ Þ ÓÒ L(Ê n, Ê m ) M(m,n), L A L. µ ÑÔ Ó ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ù Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð Ê 2 Ê 3 º ÐÐÓÖ Ð Ñ ÔÔ x 1 ( ) P 3 : Ê 3 Ê 2, Ü = x 2 x1 P 3 Ü = x x 2 3 ¼µ ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ØØ ÔÖÓ Þ ÓÒ ÔÙ Ö Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÓÑ Ð Ñ ÔÔ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ò ØÖ Ô Ö Ð Ñ ØÖ È 3 M(2,3) Ò Ø ÓÑ ( ) È 3 :=. ½µ ÁÒ ØØ Ð³ Þ ÓÒ ÐÐ Ñ ÔÔ P 3 Ù ÙÒ ÕÙ Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 ÔÙ Ö Ö ØØ ÓÑ ( ) x ( ) P 3 Ü = È 3 Ü = x x1 =, ¾µ x x 2 3 ÓÚ È 3 Ü Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ØÖ Ð Ñ ØÖ È 3 M(2,3) Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 ( M(3,0))º ¼º º¾ ÇÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ù ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L,M L(V,V ) ÓÒÓ Ù Ù Ð Ö Ú L = Mµ Ð ÓÒÓ ÐÐÓ Ø Ó ÑÓ Ó Ù ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ô ÖØ ÒÞ Ó Lv = M v Ò V, v V. µ Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë Ò ÓÒÓ Ð Ù ÒØ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º ½¼ µ º ËÓÑÑ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ½½ µ + L : L(V,V ) L(V,V ) L(V,V ), (L,M) L+ L M, µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð³ Þ ÓÒ Ðг ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑÑ L+ L M Ø (L+ L M)v = Lv+M v Ò V, v V. µ ½¼ Ë Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÒÓ Ò ÓØØ ÐÐ Ò ÐÓ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÖÖ ÚÓ V º ½½ ƺ º ÓÑ Ö Ó ÖÚ ØÓ Ô Ö Ð ÓÑÑ ØÖ Ú ØØÓÖ Ð ÓÑÑ Ñ ØÖ Ò Ð ÓÑÑ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò Ø ÓÐÓ Ô Ö ÔÔÐ Þ ÓÒ Ò ÐÐÓ Ø Ó Ô Þ Ó L(V,V )º ½

16 º ÅÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö L : R L(V,V ) L(V,V ), (α,l) α L L, µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð³ Þ ÓÒ Ðг ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ö ÙÐØ ÒØ α L L Ø (α L L)v = α (Lv) Ò V, v V. µ Ä ÑÑ ¼º º¾º Ä Ø ÖÒ (L(V,V ),+ L, L) ÓÚ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÕÙ ÐÐ Ò Ø Ò ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ µ µ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º Ë ÑÓ ØÖ ÐÑ ÒØ Ð Ñ ÔÔ ÓØØ ÒÙØ ÓÑ ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ù ÚÓÐØ ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º Ô ÖÑ ØØ Ö Ð Ù ÒØ Ò Þ ÓÒ º Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë ÒÓ U,V,W ØÖ Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð º Ä ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ñ ÔÔ : L(U,V) L(V,W) L(U,W), (L,M) M L, µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð³ Þ ÓÒ Ðг ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ö ÙÐØ ÒØ M L Ø (M L)v = M(Lv) Ò W, v V. µ ÇÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ Ñ ØÖ Ò Þ ÓÒ ¼º º½¼º Ù Ñ ØÖ A,B M(m,n) ÓÒÓ Ù Ù Ð Ö Ú A = Bµ ½¾ µ ÐÓÖÓ Ð Ñ ÒØ ÓÒÓ Ù Ù Ð ÔÓ Þ ÓÒ Ô Ö ÔÓ Þ ÓÒ a ij = b ij, i=1,...,m, j=1,...,n. ½¼¼µ Ò Þ ÓÒ ¼º º½½º Ë Ò ÓÒÓ Ð Ù ÒØ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ØÖ Ñ ØÖ º º ËÓÑÑ Ñ ØÖ ½ µ + : M(m,n) M(m,n) M(m,n), (A,B) A+B, ½¼½µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ÓÑÑ C = A + B ÓÒÓ Ø ÐÐ ÓÑÑ Ö Ô ØØ Ú Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ A,B c ij = a ij +b ij, i=1,...,m, j=1,...,n. ½¼¾µ ½¾ ÓÑ Ô Ö Ú ØØÓÖ Ò Ê n ÒÓÒ Ò Ó Ò Ö ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ Ù Ù Ð ÒÞ ØÖ Ñ ØÖ ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ô Þ Ú Ö ÑÔ Ó A M(2,3), B M(5,2) A B. ½ ƺ º ÓÑ Ö Ó ÖÚ ØÓ Ô Ö Ð ÓÑÑ ØÖ Ú ØØÓÖ Ò Ð ÓÑÑ Ñ ØÖ Ò Ø ÓÐÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò ÐÐÓ Ø Ó Ô Þ Ó M(m,n)º ÆÓÒ ÔÓ ÓÒÓ ÓÑÑ Ö Ñ ØÖ ÓÖ Ò Ú Ö Ó ÑÔ Ó ÒÓÒ Ò Ø Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ A+B Ô Ö A M(2,3) B M(7,4)µº ½

17 º ÈÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö : R M(m,n) M(m,n), (α,a) αa, ½¼ µ Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Ö ÙÐØ ÒØ C = αa ÓÒÓ Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ò ÓÐ Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ A Ô Ö ÐÓ Ð Ö α c ij = αa ij, i=1,...,m, j=1,...,n. ½¼ µ Ä ÑÑ ¼º º º Ä Ø ÖÒ (M(m,n),+, ) Ò Ù Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÕÙ ÐÐ Ò Ø Ò ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ½¼½µ ½¼ µ ÙÒÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð º Ò Þ ÓÒ ¼º º½¾º Ë A M(m,n)º ijÓÔÔÓ Ø A Ð Ñ ØÖ A M(m,n) Ò Ø ÓÑ A := ( 1) A. ½¼ µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º º Ë ÓÒ Ö Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÙÒ ÚÓ ÒØÖÓ ÓØØ Ò ÐÐ ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º º½ L(Ê n, Ê m ) M(m,n), L A L. Ë ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö Ù ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L,L L(Ê n, Ê m ) ÓÒÓ Ù Ù Ð Ò Ð Ò Ó ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º º ÓÐÓ Ð Ñ ØÖ A L,A L M(m,n) Ó Ø ÓÒÓ Ù Ù Ð Ò Ð Ò Ó ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º º½¼º Ë Ñ ÐÑ ÒØ ÑÓ ØÖ Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÖÚ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ò Ð Ò Ó L+ L L A L +A L, α L L α L Ô Ö Ó Ò L,L L α Ê. ½¼ µ ÑÔ Ó ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ñ ØÖ A,B M(2,3) Ò Ø ÓÑ ( ) ( ) A =, B =. ½¼ µ Ä ÓÑÑ A+B ( ) ( ) A+B = + = ( ) ( 7+( 7) 2+( 1) = = ÁÐ ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö 8A ( ) A = ( 8) = ( ) ( 5) = = 8 ( 1) ( ). ). ½¼ µ ½¼ µ Ä Ñ ØÖ ÓÔÔÓ Ø A A = ( 1) ( ) = ( ) ½½¼µ ½

18 ÁÒ ÐÙÒ ÔÙ Ò Ò Ö ÙÒ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ ØÖ Ñ ØÖ ÓÑ Ù º Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º Ë Ò Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ½ µ : M(m,n) M(n,p) M(m,p), (A,B) A B AB, ½½½µ Ò ÑÓ Ó Ø Ð Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓØØÓ C = A B ÒÓ Ø ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ n c ij = a ik b kj, i=1,...,m, j=1,...,p. ½½¾µ j=1 Ä ÑÑ ¼º º º ij Ò Ñ M(m,n) ÑÙÒ ØÓ ÐÐ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ Ñ ØÖ ½¼½µ ÔÖÓ¹ ÓØØÓ ØÖ Ñ ØÖ ½½½µ ÙÒ Ò ÐÐÓº Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð Ê m Ê n Ê p Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ ÙÒ ÚÓ Ú Ð ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º º½µ L(Ê m, Ê n ) M(n,m), L(Ê n, Ê p ) M(p,n), L(Ê m, Ê p ) M(p,m). ½½ µ Ë ÒÓ L L(Ê m, Ê n ) M L(Ê n, Ê p ) Ù ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÐÐ ÕÙ Ð ØÖ Ñ Ø Ð ÔÖ Ñ Ù Þ ÓÒ Ò Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½½ µ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ó Ø Ð Ñ ØÖ A L M(n,m) A M M(p,n)º Ë ÔÙ ÓÒ Ö Ö Ð ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÕÙ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ M L L(Ê m, Ê p ) ÑÓ ØÖ Ö Ð Ñ ØÖ Ó Ø ÕÙ Ø ÔÔÐ Þ ÓÒ ØÖ Ñ Ø Ð³ÙÐØ Ñ Þ ÓÒ Ò ½½ µ Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ñ ØÖ A L,A M A M L = A M A L M(p,m). ½½ µ ÉÙ Ò ÒØ Ò Ó Ð ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ØÖ Ô Þ Ê n n Ƶ ÓÒ ÐÐ Ñ ØÖ Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÔÓ Þ ÓÒ Ø Ð ÔÔÐ Þ ÓÒ Ú Ö ÒØ Ø ÓÒ Ð³ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ ØÖ Ð Ñ ØÖ Ó Ø º ÑÔ Ó ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ñ ØÖ A M(2,3) B M(3,4) Ò Ø ÓÑ Ù ( ) A =, B = Ä Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓØØÓ A B M(2,4) ÐÓÐ Ø ÓÑ Ù ( ) A B = = = ½½ µ 0 1+( 3) ( 8) ( 2)+( 3) ( 3) ( 6) ( 4)+( 3) = 4 1+( 6) ( 8) ( 2)+( 6) ( 6) ( 6) ( 4)+( 6) ( ) =. ½½ µ Ë ÒÓØ Ú Ú Ö ÒÓÒ ÔÙ Ò Ö Ð ÔÖÓ ÓØØÓ B A Ô Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ B Ú Ö Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Aº ½ ƺ º Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÔÖ Ø ØØ ÒÞ ÓÒ Ð ØØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ò ØÓ ÓÐÓ ØÖ Ñ ØÖ Ø Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ ÐÐ ÔÖ Ñ Ù Ù Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö ÐÐ ÓÒ º ½

19 ÑÔ Ó ¼º º º ÍÒ ÐØÖÓ ÑÔ Ó Ö ÑÓÐØÓ ÙØ Ð ÕÙ Ò Ó Ô ÖÐ Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ô Ö ÙÒ Ú ØØÓÖ ÒØ Ò Ò Ó Õ٠سÙÐØ ÑÓ ÓÑ Ñ ØÖ Ò M(n,1)º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ñ ØÖ A M(2,3) Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 ( M(3,1)) Ê 2 ( M(2,1)) Ò Ø ÓÑ Ù ( ) x ( ) A =, Ü = x , =. ½½ µ 2 x 3 ÐÐÓÖ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ A Ü M(2,0)( Ê 2 ) ØÓ Ðг ÔÖ ÓÒ Ù ÒØ ( ) x ( ) ( ) A Ü = x x1 1x = 2 +1x 3 2x1 x = 2 +x 3 3x x 1 +0x 2 +2x 3 3x 1 +2x 3 3. ½½ µ È Ö Ò Ó ÓÒ Ö Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ A Ü = Ò Ê 2, ½½ µ ÕÙ Ú Ð Ô Ö Ú ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º¾º Ù Ù Ð ÒÞ ØÖ Ú ØØÓÖ Ò Ê 2 Ð Ø Ñ Ò Ù ÕÙ Þ ÓÒ ØÖ ÒÓ Ò Ø { 2x1 x 2 +x 3 = 0 3x 1 +0x 2 +2x 3 = 2. ½¾¼µ Ä ÑÑ ¼º º º ÁÐ ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ½½½µ Ó Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Øº º Ó Ø Ú Ø A (B C) = (A B) C, A M(m,n), B M(n,p), C M(p,q). ½¾½µ º ØÖ ÙØ Ú Ø Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ñ ØÖ A (B +C) = A B +A C, A M(m,n), B,C M(n,p). ½¾¾µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º º Ë Ò ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ò ÒÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ½½½µ Ñ Ð Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ö Ò Ö ÐØ Ù Ø Ò ÙÓÒÓ Ô Ö ÐØÖ ÑÓØ Ú º ÑÔ Ó Ô Ö Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ÕÙ ÒØÓ Ù º º ÆÓÒ ÓÑÑÙØ Ø ÚÓ Ò Ð Ò Ó A B B A. ½¾ µ ÍÒÓ Ù ÔÖÓ ÓØØ ÔÓØÖ Ö ØØÙÖ ÒÓÒ Ö Ò ØÓ Ú Ð³ ÑÔ Ó ¼º º µº º ÆÓÒ Ú Ð Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÒÒÙÐÐ Ñ ÒØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ò Ð Ò Ó ½ µ A B = A C A ¼ n B = C. ½¾ µ ½ ÈÓ ØÓ D := B C ÕÙ Ú Ð Ö A D = ¼ n A ¼ n D = ¼ n. ½

20 ÑÔ Ó ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ù Ñ ØÖ A M(m,n) B M(n,m) ÓÒ m,n Æ m nº ÐÐÓÖ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ A B ÙÒ Ñ ØÖ Ò M(m,m) Ñ ÒØÖ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ B A ÙÒ Ñ ØÖ Ò M(n,n) Ö Ñ ÒØ Ô Ö m n Ð Ô Þ M(m,m) M(n,n) ÓÒÓ Ú Ö Ò ÕÙ ÒØÓ Ó Ø ØÙ Ø Ñ ØÖ ÓÖ Ò Ö ÒØ µ ÕÙ Ò ÔÖÓ ÓØØ A B B A ÓÒÓ ÐÓÖÓ ÚÓÐØ Ñ ØÖ Ú Ö º Ë ÓÒ Ö ÒÓ ÓÖ Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A,B,C M(2) ( ) ( A =, B = ). ½¾ µ Á ÔÖÓ ÓØØ A B, B A M(2) ÓÒÓ ÒØÖ Ñ Ò Ø ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ø ÐÐ ÔÖ ÓÒ ( ) ( ) A B =, B A =. ½¾ µ ÉÙ Ø Ö ÙÐØ Ø ÑÓ ØÖ ÒÓ Ö Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ÒÓÒ ÓÑÑÙØ Ø ÚÓ ÒÓÒ Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÒÒÙÐÐ Ñ ÒØÓº ÁÒ ØØ A B B A A B = ¼ 2 ÓÒ A,B ¼ 2. ½¾ µ Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º Ë Ò Ð ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ Ñ ØÖ ÓÑ Ð Ñ ÔÔ T : M(m,n) M(n,m), A A T, ½¾ µ Ø Ð Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ØÖ ÔÓ Ø A T ÒÓ Ø ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ a T ij = a ji, i=1,...,m, j=1,...,n. ½¾ µ Ä ÑÑ ¼º º º Ä ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ Ñ ØÖ ½¾ µ Ó Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ù ÒØ º ½µ ÁÒÚÓÐÙØ Ú Ø (A T ) T = A, A M(m,n). ½ ¼µ ¾µ ØÖ ÙØ Ú Ø Ö Ô ØØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ñ ØÖ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ô Ö ÙÒÓ Ð Ö (A+B) T = A T +B T (αa) T = αa T, A,B M(m,n), α Ê. ½ ½µ µ ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ ½ µ (A B) T = B T A T, A M(m,n), B M(n,p). ½ ¾µ ÑÔ Ó ¼º º½¼º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ A M(2,3) Ò Ø ÓÑ ( ) A =. ½ µ Ä Ñ ØÖ ØÖ ÔÓ Ø A 7 1 A T = ½ µ ½ È Ò Ò Ö Ð Ô Ö Ó Ò Ñ Ð A 1,...,A k Ô Ö Ù Ò ØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ A 1... A k Ú Ð (A 1 A 2... A k ) T = A T k... AT 2 AT 1, Ó Ð ØÖ ÔÓ Ø ÐÐ Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓØØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÐÐ Ñ ØÖ ØÖ ÔÓ Ø º ½

21 Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º ÍÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) ÑÑ ØÖ A T = A. ½ µ ÍÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) ÒØ ÑÑ ØÖ A T = A. ½ µ ¼º º ÆÙÐ Ó ÁÑÑ Ò ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º Á ÓÑÓÖ Ñ ÔÔÐ Þ ÓÒ ÒÚ Ö Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º Ë L L(V,V ) ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º Ë ÒÒÓ Ð Ù ÒØ Ò Þ ÓÒ º ½µ ÁÐ ÒÙÐ Ó Ó ÖÒ Ðµ L Ð ÓØØÓ Ò Ñ Ã ÖL V Ò ØÓ ÓÑ Ã ÖL := {v V Lv = o Ò V }, ½ µ ÓÚ Ò ÓÒ o Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V º ¾µ ij ÑÑ Ò L Ð ÓØØÓ Ò Ñ ÁÑL V Ò ØÓ ÓÑ ÁÑL := {w V v V Ø Ð w = Lv Ò V }. ½ µ ÑÔ Ó ¼º º½½º Ë ÓÒ Ö Ð³ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(Ê 3, Ê 2 ) Ù Ó Ø ØÖ Ñ Ø Ð Þ ÓÒ µ Ð Ñ ØÖ ( ) A L =. ½ µ È Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÒÙÐ Ó Ã ÖL ÚÓÒÓ ØÖÓÚ Ö Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 Ø Ð LÜ = A L Ü = ¼ Ò Ê 2 Ó ( ) 0 = ¼ =. ( ) x ( ) A 0 L Ü = x x1 +5x = 2 +3x 3. ½ ¼µ 4x x 1 2x 3 3 ÕÙ Ú Ð Ö ÓÐÚ Ö Ð Ø Ñ Ð Ò Ö { x1 +5x 2 +3x 3 = 0 4x 1 2x 3 = 0. ½ ½µ Ë ØÖÓÚ Ð³ Ò Ñ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ x 1 = x, x 2 = x, x 3 = 2x, x Ê, ½ ¾µ Ô Ö Ã ÖL = Ü Ê3 Ü = x x 2x, x Ê. ½ µ Ä ÑÑ ¼º º º Ë L L(V,V ) ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö º ÐÐÓÖ Ú Ð ÓÒÓ Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º ½µ ÁÐ ÒÙÐ Ó Ã ÖL ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V º ¾¼

22 ¾µ ij ÑÑ Ò ÁÑL ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V º Ä ÑÑ ¼º º º ÍÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(V,V ) Ò ØØ Ú ÓÐÓ Ð ÙÓ ÒÙÐ Ó Ã ÖL Ó Ø ØÙ ØÓ Ð ÓÐÓ Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ o V L Ò ØØ Ú Ã ÖL = {o}. Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º ÍÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(V,V ) ØØ ÒÚ ÖØ Ð Ø ÙÒ ÓÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö M L(V,V) Ø Ð M L = id V L M = id V. Ë M г ÒÚ Ö L Ò Ò Ø ÓÒ L 1 º Ä ÑÑ ¼º º º ÍÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(V,V ) Ò ÙÒ Ñ ÔÔ ÙÒ ÚÓ Ó Ò ØØ Ú ÙÖ ØØ Ú µ ØÖ Ð Ò Ñ V V Ò ÒÚ ÖØ Ð ½ µº Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º ÍÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö L L(V,V ) ÙÒ ÚÓ ÕÙ Ò ÒÚ ÖØ Ð µ ØØ ÓÑÓÖ ÑÓ ØÖ Ð Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð V V º Ë Ð Ô Þ V V ÓÒÓ ÓÑÓÖ º Ë Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð º ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º º¾º Ç Ò Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð V Ñ Ò ÓÒ Ò Ø n Æ ÓÑÓÖ Ó ÐÐÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð Ê n Ó Ø ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓ ØÖ Ù Ô Þ ½ µº Å ØÖ ÕÙ Ö Ø Ä ÑÑ ¼º º½¼º Ë A M(n) ÙÒ ÕÙ Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø º ÐÐÓÖ Ú Ð ÓÒÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ ½ µ A ½ n = ½ n A = A Ò M(n), A ¼ n = ¼ n A = ¼ n Ò M(n). Ò Þ ÓÒ ¼º º½ º Ë Ò Ð ØÖ ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÑ Ð Ñ ÔÔ n ÌÖ : M(n) Ê, A ÌÖA := a ii, A Ó Ð ÓÑÑ ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÙÐÐ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð º ÑÔ Ó ¼º º½¾º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(4) Ò Ø ÓÑ A = Ä ØÖ A Ø Ðг ÔÖ ÓÒ ÌÖA = 7+4+( 6)+0 = 5. i=1 ½ ¼µ ½ Ë ÒÓØ Ð³ ÒÙÒ ØÓ ÒÓÒ Ò Ð Ð ÙÒ ÚÓ Ø L Ö ÒØ Ð³ Ø ÒÞ ÙÒ Ñ ÔÔ ÒÚ Ö L 1 Ù Ô Ö ÒÓÒ Ö ÒØ Ø Ð Ð Ò Ö Ø ÒÚ ÙÖ Ø Ð Ð ÑÑ ÒÙÒ ØÓº ½ ÁÒ Ö ÐØ Ò ØÓÒÓ Ò Ò Ø Ø Ð ÓÑÓÖ Ñ Ô ÔÖ Ñ ÒØ Ò Ø ÙÒÓ Ô Ö Ó Ò ÐØ Ò V º ½ ÉÙ Ø Ö Ð Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ Ô Ö ¼ n ½ n ÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ØØ Ñ ØÖ ÒÙÐÐ Ñ ØÖ ÒØ º ¾½

23 Ä ÑÑ ¼º º½½º Ä ØÖ Ó Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Øº ½µ Ð Ø ÌÖ(A B) = ÌÖ(B A), A,B M(n). ½ ½µ ¾µ ÁÒÚ Ö ÒÞ Ô Ö ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ ÌÖA T = ÌÖA, A M(n). ½ ¾µ Ò Þ ÓÒ ¼º º¾¼º Ë A M(n) ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø º Ë Ò Ö ÓÒ A ij Ð ÓØØÓÑ ØÖ A ÓØØ ÒÙØ Ò ÐÐ Ò Ó Ð i¹ Ñ Ö Ð j¹ Ñ ÓÐÓÒÒ º Ò Þ ÓÒ ¼º º¾½º ÁÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ð Ñ ÔÔ Ò Ø Ò ÙØØ Ú Ñ ÒØ ÓÑ Ù º det : M(n) Ê, A deta, ½ µ º È Ö n=1 Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ A = (a) M(1)( Ê) deta := a. º È Ö n>1 Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÙÒ Ñ ØÖ A M(n) ØÓ ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ä ÔÐ n deta := ( 1) j+1 a 1j deta 1j = a 11 deta 11 a 12 deta ( 1) n+1 deta 1n. j=1 Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º º Ë A M(2) Ð ÐÓÐÓ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ A Ö Ù deta := a 11 a 22 a 12 a 21. Ë A M(3) Ð ÐÓÐÓ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ A Ö Ù ( ) ( ) a22 a deta := a 11 det 23 a21 a a a 32 a 12 det a 31 a 33 ( ) a21 a +a 13 det 22 a 31 a 32, ÓÚ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ò 2 Ö Ø ÒØ ÓÒÓ ÐÓÐ Ø ÓÒ Ó Ð º ÑÔ Ó ¼º º½ º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(3) Ò Ø ÓÑ A = ÁÐ ÙÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ deta = ( 2)det ( ) ( ) ( ) det +6det = = ( 2) (3 0 8 ( 1)) 4 ( )+6 (0 ( 1) 3 5) = 54. ¾¾

24 Ä ÑÑ ¼º º½¾º ÁÐ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ó Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÖ Ø Ð ÕÙ Ð ÔÓ ÓÒÓ Ö ÙÐØ Ö ÙØ Ð Ò Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÔÐ ØÓ ÐÐÓ Ø Óº Ë ÒÓ A,B M(n) Ù Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø º ½µ ÁÒÚ Ö ÒÞ Ô Ö ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ deta T = deta. ½ ¼µ ¾µ Ë Ñ Ó Ö ÓÐÓÒÒ º Ë Ã Ð Ñ ØÖ ÓØØ ÒÙØ A ÔÓ Ø Ò Ó ÙÒ Ö Ó ÙÒ ÓÐÓÒÒ µ p ÔÓ Þ ÓÒ º ÐÐÓÖ Ú Ð detã = ( 1)p deta. ½ ½µ ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ã Ð Ñ ØÖ ÓØØ ÒÙØ A Ñ Ò Ó ØÖ ÐÓÖÓ Ù Ö Ó Ù ÓÐÓÒÒ µ ÐÐÓÖ detã = deta. ½ ¾µ µ Ô Ò ÒÞ Ð Ò Ö Ö Ó ÓÐÓÒÒ º Ë Ð Ö Ó Ð ÓÐÓÒÒ µ A ÒØ ÓÑ Ú ØØÓÖ Ò Ê n ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ÐÐÓÖ deta = 0. ½ µ µ ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ Ì ÓÖ Ñ Ò Øµ det(a B) = deta detb. µ Ë A M(n) ÙÒ Ñ ØÖ ØÖ Ò ÓÐ Ö ÙÔ Ö ÓÖ Ó Ò Ö ÓÖ µ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö A ÓÒ Ð Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ð Ð Ñ ÒØ ÙÐÐ ÓÒ Ð ÔÖ Ò Ô Ð deta = a 11 a a nn. ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ô Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ÒØ det ½ n = 1. Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º º ÁÐ Ö ÙÐØ ØÓ µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½¾ ÓÖÒ ÙÒ ÙÓÒ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ô Ò ÒÞ Ó Ò Ô Ò ÒÞ Ð Ò Ö ÙÒ Ñ Ð n Ú ØØÓÖ Ü 1,..., Ü n Ê n º ³ Ù ÒØ ÓÒ Ö Ö Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø X M(n) ÓØØ ÒÙØ Ò Ò Ó Ú ØØÓÖ Ü 1,...,Ü n x 1 1 x x n 1 x 1 2 x x n 2 X := º º º ºº º, x 1 n x 2 n... x n n ÐÓÐ ÖÒ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ º ÐÐÓÖ Ú ØØÓÖ Ü 1,..., Ü n ÓÒÓ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ ÕÙ Ò Ó Ø ØÙ ÓÒÓ ÙÒ Ê n µ ÓÐÓ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ X ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ Ü 1,..., Ü n Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ detx 0. ¾

25 Ò Þ ÓÒ ¼º º¾¾º ÍÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(n) ØØ ÒÚ ÖØ Ð Ø ÙÒ ÓÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø M M(n) Ø Ð A M = M A = ½ n Ò M(n). Ä Ñ ØÖ M ØØ Ð³ ÒÚ Ö Aº ÁÐ ÓØØÓ Ò Ñ ÐÐ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ò n Ó Ø ØÙ ØÓ Ðг Ò Ñ ØÙØØ Ñ ØÖ ÒÚ Ö¹ Ø Ð ØØÓ ÖÙÔÔÓ Ò Ö Ð Ð Ò Ö ¾¼ µ Ò ØÓ ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ GL(n) := {A M(n) A ÒÚ ÖØ Ð } M(n). ½ ¼µ Ä ÑÑ ¼º º½ º Î Ð ÓÒÓ Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º ½µ Ë A M(n)º Ä Ñ ØÖ ÒÚ Ö A Ø ÙÒ ÓÑÙÒ Ñ ÒØ Ò Ø ÓÒ Ð Ñ ÓÐÓ A 1 A A 1 = A 1 A = ½ n. ½ ½µ ¾µ Ë A M(n)º ÐÐÓÖ A ÒÚ ÖØ Ð ÓÐÓ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ A ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ A GL(n) A 1 M(n) deta 0. ½ ¾µ ÁÒ Ø Ð Ó Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ó µ GL(n) ÙÒ ÓØØÓ Ô Þ Ó Ú ØØÓÖ Ð M(n)º det(a 1 ) = 1, A GL(n). ½ µ deta µ Ä Ñ ØÖ ÒØ ÒÚ ÖØ Ð Ó Ò ÓÒ Ð Ù ÒÚ Ö ½ n GL(n) ½ 1 n = ½ n. µ Ë ÒÓ A,B GL(n)º ÐÐÓÖ Ð Ñ ØÖ ÔÖÓ ÓØØÓ A B M(n) Ò ³ ÒÚ ÖØ Ð Ú Ð Ð Ù ÒØ Ö Ð Þ ÓÒ A B GL(n), (A B) 1 = B 1 A 1. µ Ë A GL(n)º ÐÐÓÖ Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 Ò ÒÚ ÖØ Ð Ð Ù ÒÚ Ö A A 1 GL(n) (A 1 ) 1 = A, A GL(n). ÈÖÓÔÓ Þ ÓÒ ¼º º º Ë L L(Ê n, Ê n ) ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ê n Ò A L M(n) Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ó Ø Ô Ö Ñ ÞÞÓ ÐÐ Þ ÓÒ µº ÐÐÓÖ L ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓ ÓÐÓ A L ÙÒ Ñ ØÖ ÒÚ ÖØ Ð º ÁÐ ÔÙÒØÓ ¾µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½ ÑÔÐ ÐÐÓÖ L ÙÒ ÓÑÓÖ ÑÓ A L ÒÚ ÖØ Ð deta L 0. ¾¼ Ë ÔÙ Ò ØØ ÑÓ ØÖ Ö ÐÓ Ô Þ Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ ÖØ Ð ÑÙÒ ØÓ ÐгÓÔ Ö Þ ÓÒ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ñ ØÖ ÙÒ ÖÙÔÔÓº ¾

26 Å ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ ÒÚ Ö Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø Ë A GL(n) ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÒÚ ÖØ Ð º ØÓÒÓ Ú Ö Ñ ØÓ Ô Ö ÐÓÐ Ö Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 ÙÒÓ ÕÙ Ø Ñ ØÓ ÙÒ Ù ÑÔÐ Ú Ö ÒØ Ö ÙØ Ð ÞÞ Ø Ò Ð Ù ØÓ ÓÑ Ø Ò Ö ÓÐÙØ Ú Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ó ØØÓ Ñ ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö º ÉÙ ØÓ ÓÒ Ø Ò Ù ÒØ Ô º ½º Ë Ú Ö Ð Ñ ØÖ A ÒÚ ÖØ Ð ÐÓÐ Ò Ó Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ Ú Ö Ò Ó deta 0. ¾º Ë Ó ØÖÙ Ð Ñ ØÖ (A ½ n ) M(n,2n) Ó Ø Ò Ó ØÖ ÐÐ Ñ ØÖ A M(n) Ð Ñ ØÖ ÒØ ½ n M(n) a 11 a a 1n a 21 a a 2n (A ½ n ) = º º º ºº º º º º ºº º. ½ ¼µ a n1 a n2... a nn º Ë Ö Ö ÙÖÖ Ð Ñ ØÖ (A ½ n ) Ò ÐÐ ÓÖÑ (½ n C) ÓÒ C M(n) Ó c 11 c c 1n c 21 c c 2n (A ½ n ) (½ n C) = º º º ºº º º º º ºº º, c n1 c n2... c nn ½ ½µ Ô Ö Ñ ÞÞÓ ÐÐ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º Ñ Ó Ù Ö º ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ö Ô Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð Ú Ö Ó Þ ÖÓ º ÓÑÑ ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐÓ Ö Ð µ ÙÒ³ ÐØÖ Ö º º Ä Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 Ø ÐÐ Ñ ØÖ C M(n) ÓØØ ÒÙØ ØÖ ÐÐ Ð Ò Ô Ö Þ ÓÒ Ú ÖØ Ð A 1 = C. ½ ¾µ ÑÔ Ó ¼º º½ º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A M(2) Ò Ø ÓÑ ( ) 3 2 A =. ½ µ 1 1 ½º ÁÐ ÙÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ØÓ Ðг ÔÖ ÓÒ deta = 3 1 ( 2) ( 1) = 1 0. ¾º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ (A ½ 2 ) M(2,4) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø Ò Ó ØÖ ÐÐ Ñ ØÖ A Ð Ñ ØÖ ÒØ ½ 2 ( ) (A ½ 2 ) = ¾

27 º Ë ÓÒ Ö Ð ÕÙ ÒÞ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º º Ë ÑÓÐØ ÔÐ Ð ÓÒ Ö Ô Ö 3º º Ë ÓÑÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ ÓÒ Ö º º Ë ÓÑÑ Ð ÓÒ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 2 ÐÐ ÔÖ Ñ Ö º Úº Ë ÑÓÐØ ÔÐ Ð ÔÖ Ñ Ö Ô Ö 1/3º ( ) ( ) ( ) i ii ( ) ( ) iii iv iii º Ä Ñ ØÖ ÒÚ Ö ¾½ µ A 1 = ( ) Ê Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ Ø Þ ÓÒ ÒØÖÓ Ù Ò Ó Ð ÓÒ ØØÓ Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ Ð ÒÓÞ ÓÒ Ó Ó Ø ÕÙ Ø Ö ÒÒÓ ÙØ Ð ÞÞ Ø Ò ÐÐ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ô Ö ÙØ Ö Ð Ö ÓÐÚ Ð Ø Ø Ñ Ð Ò Ö º Ò Þ ÓÒ ¼º º¾ º Ë A M(m,n) ÙÒ Ñ ØÖ º Ë B M(p,q) ÓÒ p m q n ÙÒ ÓØØÓÑ ØÖ A ÔÙ Ö ÓØØ ÒÙØ A Ð Ñ Ò Ò Ó m p Ö n q ÓÐÓÒÒ º ÑÔ Ó ¼º º½ º Ë ÓÒ Ö ÒÓ Ð Ñ ØÖ A M(4,3) B M(2,2) Ò Ø ÓÑ ( ) A = , B = ÐÐÓÖ B Ð ÓØØÓÑ ØÖ A ÓØØ ÒÙØ Ð Ñ Ò Ò Ó Ð Ø ÖÞ Ö Ð ÔÖ Ñ Ð Ø ÖÞ ÓÐÓÒÒ º Ò Þ ÓÒ ¼º º¾ º ÁÐ Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ A M(m,n) Ò ØÓ ÓÑ Ù Ö A := Ñ ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ Ö A Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ. Ä ÑÑ ¼º º½ º ÁÐ Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ Ó Ù ÒØ Ö ÙÐØ Ø º ½µ ÕÙ Ú Ð Ð Ñ ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ö A = Ñ ÑÓ ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ A Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ. ½ ¼µ ¾µ ÁÒÚ Ö ÒÞ Ô Ö ØÖ ÔÓ Þ ÓÒ Ö (A T ) = Ö A, A M(m,n). ½ ½µ ¾½ ÓÑ Ú Ö ÔÓ ÓÒÓ ÐÓÐ Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÔÖÓ ÓØØ A A 1 A 1 A Ú Ö Ö A A 1 = A 1 A = ½ 2. ¾

28 µ ÆÓÒ ÔÙ ÙÑ Ö Ú ÐÓÖ ÙÔ Ö ÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ó Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ ÐÐ Ñ ØÖ Ö A min{m, n}, A M(m,n). ½ ¾µ µ ÓÑÔÓ Þ ÓÒ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ Ö (A B) min{ö A, Ö B}, A M(m,n), B M(n,p). ½ µ Î Ð Ð Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÖÒ ÙÒ Ö ØØ Ö ÞÞ Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ ÙØ Ð Ð Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ º Ä ÑÑ ¼º º½ º ÁÐ Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ A M(m,n) ÕÙ Ú Ð ÐгÓÖ Ò ÐÐ Ô Ö Ò ÓØØÓÑ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÒÚ ÖØ Ð ¾¾ µ Ö A = max{n Æ B M(n) ÓØØÓÑ ØÖ A ÓÒ detb 0}. ÑÔ Ó ¼º º½ º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ A M(3,4) Ò Ø ÓÑ A = Ä ÓØØÓÑ ØÖ ÕÙ Ö Ø A ÓÖ Ò Ñ ÑÓ ÓÖ Ò 3µ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ ÓØØ ÒÙØ A Ð Ñ Ò Ò Ó ÙÒ ÓÐÓÒÒ ÕÙ Ð ÑÔ Ó Ð Ñ Ò Ò Ó Ð ÔÖ Ñ ÓÐÓÒÒ A ÓØØ Ò Ð ÓØØÓÑ ØÖ B = M(3) Ð Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ detb := 4 det ( ) = ( 1) = ( ) ( ) det +1 det = ÈÓ ÕÙ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ Ð ÓØØÓÑ ØÖ B M(3) ÒÚ ÖØ Ð ÔÙ ÐÐÓÖ ÓÒÐÙ Ö Ö A = 3. ÑÔ Ó ¼º º½ º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ A M(2,3) Ò Ø ÓÑ ( ) A = Ä ÓØØÓÑ ØÖ ÕÙ Ö Ø A ÓÖ Ò Ñ ÑÓ ÓÖ Ò 2µ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ ÓØØ ÒÙØ A Ð Ñ Ò Ò Ó ÙÒ ÓÐÓÒÒ ÕÙ Ð ) ) ) B 1 = ( , B 2 = ( , B 3 = ( , ¾¼¼µ ¾¾ Ó Ô Ö Ð ÔÙÒØÓ ¾µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½ ÐÐ Ô Ö Ò ÓØØÓÑ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÓº ¾

29 Ù Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÓÐ ÒÓ ÐÑ ÒØ ÓØØ Ò Ò Ó detb 1 = detb 2 = detb 3 = 0. ¾¼½µ È Ö ØÓ ØÙØØ Ð ÓØØÓÑ ØÖ ÓÖ Ò 2 ÒÒÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÒÙÐÐÓ ÕÙ Ò ÒÓÒ ÓÒÓ ÒÚ ÖØ Ð µ Ö A < 2. ¾¼¾µ ³ ÐØÖ Ô ÖØ ØÓÒÓ ÓØØÓÑ ØÖ ÓÖ Ò 1 Ó ÓÑÔÓÒ ÒØ µ A ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÕÙ Ò ÒÚ ÖØ Ð Ô Ö ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ö A = 1. ¾¼ µ ¼º Ë Ø Ñ Ä Ò Ö Ä Ø ÓÖ Ð Ô Þ Ú ØØÓÖ Ð ÐÐ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÐÓÐÓ Ñ ØÖ Ð Ò Ð ÞÞ Ø ÒÓÖ Ó Ø ØÙ Ð Ð Ò Ù Ó ÓÖÖ ØØÓ Ô Ö ÐÓ ØÙ Ó Ð Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ñ Ð Ò Ö Ú ÖÖ ÒÒÓ ÓÒ Ö Ø Ò ÕÙ Ø Þ ÓÒ º Ò Þ ÓÒ ¼º º½º Ë ÒÓ m,n ƺ ÍÒ Ø Ñ m ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ØØÓ Ò Ø Ñ Ð Ò Ö µ Ò ÐÐ n ÒÓ Ò Ø x 1,...,x n ÙÒ ÔÖ ÓÒ ÐÐ ÓÖÑ a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 +a 22 x a 2n x n = b 2 º a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m, ¾¼ µ Ò Ù ÙÔÔÓÒ ÓÒÓ ÒÓØ ÒÙÑ Ö Ö Ð a ij,b i Ê Ô Ö Ó Ò i=1,...,m j=1,...,nº ÍÒ Ø Ñ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ó Ó ÒØ b 1,...,b m ÓÒÓ ØÙØØ ÒÙÐÐ º Ò Þ ÓÒ ¼º º¾º Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö m ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø º Ë ÒÒÓ Ð Ò Þ ÓÒ Ù ÒØ º ½µ ÍÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ð Ø Ñ ÙÒ ÕÙ Ð n¹ùôð ÒÙÑ Ö Ó Ø ØÙ Ø ÐÐ ÒÓ Ò Ø Ó ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ ØÙØØ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø Ñ º ¾µ ÁÐ Ø Ñ Ö ÓÐÙ Ð ÑÑ ØØ ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ø Ð Ó Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø Ñ ÓÒÓ ÓÑÔ Ø Ð º ÁÐ Ø Ñ ÒÚ ÒÓÒ Ö ÓÐÙ Ð Ó ÑÔÓ Ð µ ÒÓÒ Ø Ò Ò ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ º µ ÁÐ Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ö ÓÐÙ Ð ÑÑ ØØ ÙÒ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ º µ ÁÐ Ø Ñ Ò Ø ÖÑ Ò ØÓ Ö ÓÐÙ Ð ÑÑ ØØ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ º µ Ù Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒÓ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÑÑ ØØÓÒÓ Ð Ø ÓÐÙÞ ÓÒ º ¾

30 ¼º º½ Ê ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ð Æ Ðг ÑÔ Ó ¼º º Ú ØÓ ÔÓ Ð Ö Ö Ú Ö ÙÒ Ø Ñ 2 ÕÙ Þ ÓÒ Ò 3 ÒÓ Ò Ø ÓÑ Ù Ù Ð ÒÞ ØÖ Ú ØØÓÖ Ò Ê 2 ÙÒÓ ÕÙ Ð ØÓ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒ Ñ ØÖ Ò M(2,3) Ô Ö ÙÒ Ú ØØÓÖ Ð Ú ØØÓÖ ÐÐ ÒÓ Ò Ø µ Ò Ê 3 º È Ò Ò Ö Ð ÖÓ ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö m ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ò n ÒÓ Ò Ø ÓÑ ÕÙ ÐÐÓ Ò Õº ¾¼ µ ÔÙ Ö Ö Ö ØØÓ Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÓÑ A Ü =, ¾¼ µ Ò Ù A M(m,n) Ü Ê n Ê m ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ØØ Ñ ØÖ Ó ÒØ Ú ØØÓÖ ÐÐ ÒÓ Ò Ø Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ ÕÙ Ø ÓÒÓ Ò Ø ÓÑ Ù a 11 a 12 a 13 a 1n x 1 a 21 a 22 a 23 a 2n A = º º º º ºº º, Ü = x 2 º, = a m1 a m2 a m3 a mn x n b 1 b 2 º b m. ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑÓ Ò Ó ÑÑ ØØ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ð ¾¼ µ Ò Ù ¼ Ê m Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓº A Ü = ¼, ¾¼ µ Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë Ö Ü Ê n ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ Ú Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ¾¼ µ ¾ µº Ò Þ ÓÒ ¼º º º Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÓÑ Ò ¾¼ µº Ä Ñ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ Ð Ñ ØÖ (A ) M(m,n+1) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø Ò Ó Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ M(m,0)( Ê m ) ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(m,n) a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 (A ) := º º º º ºº º º. ¾¼ µ a m1 a m2 a m3 a mn b m Ë Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö Ó Ø ØÙ ØÓ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ó Ô Ò ÒØ µ Ð Ö ÐÐ Ñ ØÖ Ó Ó Ø ÐÓ ÓÒÓº Ä ÑÑ ¼º º½º ÍÒ Ø Ñ Ð Ò Ö m ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø ÑÑ ØØ ÑÔÖ ÓÑ ÓÐÙ¹ Þ ÓÒ Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ Ü = ¼ Ê n. ¾¼ µ Ì ÓÖ Ñ ¼º º½º Ì ÓÖ Ñ ÊÓÙ ¹ Ô ÐÐ µ ÍÒ Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ¹ ØÖ Ð ÓÑ Ò Ðг Õº ¾¼ µ Ö ÓÐÙ Ð ÓÐÓ Ð Ö Ò Ó ÐÐ Ñ ØÖ Ó Ó Ø (A ) M(m,n+1) Ù Ù Ð Ð Ö Ò Ó ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(m,n) A Ü = Ö ÓÐÙ Ð Ö (A ) = Ö A = r Æ. ¾½¼µ ¾ ÕÙ Ú Ð Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê n Ó Ø ØÙ ÓÒÓ ÙÒ n¹ùôð Ó Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ó ÕÙ Ø ÓÒÓ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ò Ó Ð ÔÙÒØÓ ½µ ÐÐ Ò Þ ÓÒ ¼º º¾º ¾

31 ÁÒÓÐØÖ ¾ µ º r=n Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó ÑÑ ØØ ÙÒ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞ ÓÒ º r<n Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ Ò Ø ÖÑ Ò ØÓ Ó ÑÑ ØØ n r ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ð Ò Ó ØÓÒÓ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ò ÒØ n r Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÒØ º Ä ÑÑ ¼º º¾º Ç Ò Ø Ñ Ð Ò Ö ÕÙ Ú Ð ÒØ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ó ÓØØ ÒÙØÓ Ø Ò Ò Ó ÓÐÓ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ Ò Ò Ó Ð ÐØÖ ÕÙ Þ ÓÒ º Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º½º È Ö Ú Ð Ä ÑÑ ¼º º¾ ÙÒ ÕÙ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö m ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø Ö ÓÐÙ Ð ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ø Ñ r ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø ÓÒ r = Ö A ÓØØ ÒÙØÓ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ô ÖØ ÒÞ Ð Ñ Ò Ò Ó m r ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò ÖÑ ÒØ Ô Ò ÒØ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ô ÖØ ÒÞ º ¼º º¾ Å ØÓ Ó Ö ÓÐÙØ ÚÓ Ù Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö Ö ÓÐÙ Ð m ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø ÓÑ Ò ¾¼ µ ÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ð ÓÑ Ò ¾¼ µº ÈÓ ÙÑ Ð Ø Ñ Ö ÓÐÙ Ð Ð Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(m,n) Ð Ñ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ (A ) M(m,n+1) Ó ÒÓ Ö A = Ö (A ) = r n. ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ø Ò Ù ÒØ Ô º ½º Ë Ú Ö Ô Ö Ñ ÞÞÓ Ð Ø ÓÖ Ñ ÊÓÙ ¹ Ô ÐÐ Ð Ø Ñ Ö ÓÐÙ Ð º ¾½½µ ¾º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ (A ) M(m,n+1) a 11 a 12 a 13 a 1n b 1 a 21 a 22 a 23 a 2n b 2 (A ) := º º º º ºº º º. a m1 a m2 a m3 a mn b m ¾½¾µ º Ë Ö Ö ÙÖÖ Ð Ñ ØÖ Ó Ø (A ) ÙÒ Ñ ØÖ ÐÐ ÓÖÑ Ù ÒØ Ò Ù D r,n r M(r,n r) ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ð O a,b ÙÒ Ñ ØÖ ÓÖ Ò (a,b) ÓÒ ØÙØØ Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ ÒÙÐÐ Ê r ÙÒ Ú ØØÓÖ ÕÙ Ð ¼ Ê m r Ð Ú ØØÓÖ ÒÙÐÐÓ ( ) ½ r D r,n r ¾½ µ O m r,r O m r,n r ¼ Ô Ö Ñ ÞÞÓ ÐÐ Ù ÒØ ÓÔ Ö Þ ÓÒ º Ñ Ó Ù Ö º ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ö Ô Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð Ú Ö Ó Þ ÖÓ º ÓÑÑ ÙÒ Ö ÓÒ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐÓ ÙÒ³ ÐØÖ Ö º ¾ Ë Ö ÓÖ Ô Ö Ð ÔÙÒØÓ µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½ Ð Ö Ò Ó ÙÒ Ñ ØÖ ÒÓÒ ÔÙ Ö Ñ ÓÖ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÒÙÑ ÖÓ ÓÐÓÒÒ Ô Ö Ö A = r n. ¼

32 º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ ÓÒÓ Ú ØØÓÖ Ü Ê n Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑ Ù º Ð ÙÐØ Ñ m r ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ô Ö Ñ ØÖ Ò Ô Ò ÒØ Ö ØÖ Ö x r+1,...,x m Ê º Ð ÔÖ Ñ r ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ò Ø ÓÑ n x i = c i d ij x j, i=1,...,r. ¾½ µ j=m+1 Ç ÖÚ Þ ÓÒ ¼º º¾º Ä ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ ¾ Ð Ñ ØÓ Ó Ö ÓÐÙØ ÚÓ Ù ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÒØ ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÙÐ Ø Ñ Ð Ò Ö Ô ÖØ ÒÞ º º Ë Ñ Ó Ù ÕÙ Þ ÓÒ Ò Ð Ø Ñ Ð Ò Ö º º ÅÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð Ú Ö Ó Þ ÖÓ ØÖ Ò ØÖ Ðг٠٠РÙÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö º º ËÓÑÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò ÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÒ ÙÒ ÑÙÐØ ÔÐÓ Ö Ð µ ÙÒ³ ÐØÖ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö º ÑÔ Ó ¼º º½º Ë ÓÒ Ö Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ØÖ ÕÙ Þ ÓÒ Ò ÕÙ ØØÖÓ ÒÓ Ò Ø x 2 +5x 3 +2x 4 = 5 x 1 +x 2 +3x 3 +3x 4 = 1. ¾½ µ x 1 2x 2 2x 4 = 2 ÉÙ ØÓ Ø Ñ ÔÙ Ö Ö Ö ØØÓ Ò ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÓÑ A Ü =, ÓÒ A = , Ü = x 1 x 2 x 3 x 4, = ¾½ µ ½º Ë Ú Ö ÐÑ ÒØ Ö A = Ö (A ) = 3, ¾½ µ Ô Ö Ð Ø Ñ Ö ÓÐÙ Ð ÑÑ ØØ 1 ÓÐÙÞ ÓÒ º ¾º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ (A ) M(3,5) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø Ò Ó Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ Ê 3 ( M(3,0)) ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(3,4) (A ) := ¾½ µ º Ë ÓÒ Ö Ð ÕÙ ÒÞ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º º Ë Ñ ÒÓ Ð ÔÖ Ñ Ð ÓÒ Ö º º Ë ÓÑÑ ÐÐ Ø ÖÞ Ö Ð ÔÖ Ñ º º Ë ÓÑÑ ÐÐ Ø ÖÞ Ö Ð ÓÒ ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 1 º Úº Ë ÑÓÐØ ÔÐ Ð Ø ÖÞ Ö Ô Ö 1/2 Ð ÓÒ Ö Ô Ö 1 º ½

33 Úº Ë ÓÑÑ ÐÐ ÓÒ Ö Ð Ø ÖÞ ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 5 º Ú º Ë ÓÑÑ ÐÐ ÔÖ Ñ Ö Ð Ø ÖÞ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 3 Ð ÓÒ Ö ÑÓÐØ ¹ ÔÐ Ø Ô Ö 1 º i ii iii v iv / / /2 1 vi / /2 1. v º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ú ØØÓÖ Ü Ê 4 Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑ Ù º º ijÙÐØ Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ü ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ö ØÖ Ö Ó x 4 ʺ º Ä ÔÖ Ñ 3 ÓÑÔÓÒ ÒØ Ü ÓÒÓ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ò Ø ÓÑ iii ¾½ µ x 1 = 2 x 4, x 2 = 1 2 x 4, x 3 = x 4. ¾¾¼µ È Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ø Ú ØØÓÖ Ü Ê 4 ÐÐ ÓÖÑ 2 x 4 Ü = 1x x, x 4 Ê. ¾¾½µ 2 4 x 4 ¼º º Ë Ø Ñ Ð Ò Ö Ò ÕÙ Þ ÓÒ Ò Ò ÒÓ Ò Ø Ë ÓÒ Ö ÙÒ Ø Ñ Ð Ò Ö n ÕÙ Þ ÓÒ Ò n ÒÓ Ò Ø Ø Ð Ð Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(n) Ó Ó Ø ÙÒ Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø ÓÖ Ò n ÒÚ ÖØ Ð A GL(n). ¾¾¾µ È Ö Ð ÔÙÒØÓ ¾µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½ ÐÐÓÖ ÙÒ Ø Ñ Ð Ù Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ Ñ ØÖ Ð A Ü = ÓÒ deta 0. ¾¾ µ ÁÐ Ø ÓÖ Ñ ÊÓÙ ¹ Ô ÐÐ Ô ÖÑ ØØ ÑÓ ØÖ Ö ÐÑ ÒØ Ð Ù ÒØ ÓÖÓÐÐ Ö Óº ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¼º º½º ÍÒ Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑ ÕÙ ÐÐÓ Ò Õº ¾¾ µ Ø ÖÑ Ò ØÓº Æ Ð Ó Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÑ ÕÙ ÐÐÓ Ò Õº ¾¾ µ ØÓÒÓ Ú Ö Ñ ØÓ Ö ÓÐÙØ Ú º ÍÒÓ ÕÙ Ø Ð Ñ ØÓ Ó Ù Ú Ð Ó Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö ÕÙ Ð µ Ò Ð ÞÞ ØÓ ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ º ÐØÖ Ñ ØÓ Ú Ð ÓÐÓ Ô Ö Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ ¾¾ µ ÓÒÓ Ð Ñ ØÓ Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ð Ñ ØÓ Ó Ö Ñ Ö Ú ÖÖ ÒÒÓ ÓÖ Ù º ¾

34 ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ö ÓÐÙØ ÚÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö ½º Ë Ø Ð Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ ¾¾ µ Ú Ö Ò Ó Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ deta 0. ¾¾ µ ¾º Ë ÐÓÐ Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 GL(n) ¾ µ ÑÔ Ó ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ò Ð ÞÞ ØÓ Ò ÔÖ ÒÞ º º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÓØØ ÒÙØ ÑÓÐØ ÔÐ Ò Ó Ò ØÖ Ô Ö Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 GL(n) Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ Ê n ( M(n,1)) ¾ µ Ü = A 1. ¾¾ µ ¾ ij Ø ÒÞ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 GL(n) Ö ÒØ Ø Ð ØØÓ Ð Ñ ØÖ Ó ÒØ ÒÚ ÖØ Ð A GL(n) Ú Ð ÔÙÒØÓ µ Ð Ä ÑÑ ¼º º½ µº ¾ Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ ÑÔÐ º Ë ÔÖÓ Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ º º Ë ÑÓÐØ ÔÐ ÒÓ Ò ØÖ Ð ÔÖ ÓÒ Ù ÒØÖ Ñ Ð Ø Ðг٠٠РÒÞ Ò Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ¾¾ µ Ô Ö Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 ÓØØ Ò Ò Ó º ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ö ÓÖ A 1 (A Ü) = A 1. ¾¾ µ A 1 (A Ü) = (A 1 A) Ü, A 1 A = ½ n, ½ n Ü = Ü, ¾¾ µ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö Ð³ Ó Ø Ú Ø Ð ÔÖÓ ÓØØÓ Ñ ØÖ Ô Ö Ð Ò Þ ÓÒ Ñ ØÖ ÒÚ Ö Ô Ö Ð Ò Þ ÓÒ Ñ ØÖ ÒØ º ÉÙ Ò Ö Ô ØÓÐ Ò Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ¾¾ µ Ô ÖÑ ØØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ü ÓÑ Ü = A 1. ¾¾ µ

35 ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ö ÓÐÙØ ÚÓ Ö Ñ Ö ½º Ë Ø Ð Ð Ø Ñ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ ¾¾ µ Ú Ö Ò Ó Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ deta 0. ¾¾ µ ¾º È Ö Ó Ò i=1,...,n Ó ØÖÙ Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A i M(n) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø ØÙ Ò Ó Ò ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(n) Ð ÓÐÓÒÒ i¹ Ñ ÓÒ Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ Ê n ( M(n,1)) a a 1i 1 b 1 a 1i+1... a 1n a a 2i 1 b 2 a 2i+1... a 2n A i := º º º º º... º. ¾ ¼µ a n1... a ni 1 b n a ni+1... a nn º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ Ø Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê n Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑ Ù x i = deta i deta, i=1,...,n. ¾ ½µ ÍÒ ÑÔ Ó ÑÔ Ó ¼º º¾º Ë ÓÒ Ö Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ØÖ ÕÙ Þ ÓÒ Ò ØÖ ÒÓ Ò Ø x 1 +4x 2 +6x 3 = 4 x 1 x 2 2x 3 = 2 x 1 +2x 2 +3x 3 = 3 ¾ ¾µ ÁÒ ÓÖÑ Ñ ØÖ Ð ÕÙ ØÓ Ø Ñ Ð Ò Ö ÔÙ Ö Ö Ö ØØÓ ÓÑ x 1 A Ü =, ÓÒ A = 1 1 2, Ü = x 2, = x 3 Ë ÐÓÐ Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ ØÖÓÚ ¾ µ deta = 1 0, ¾ µ Ô Ö Ô Ö Ð ÓÖÓÐÐ Ö Ó ¼º º½ Ð Ø Ñ Ø ÖÑ Ò ØÓ ÔÙ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÙÒ µ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ö Ñ ÞÞÓ ÙÒÓ Ñ ØÓ ÒØÖÓ ÓØØ ÔÖ ÒØ Ñ ÒØ º Å ØÓ Ó Ù º ½º Ë ÓÒ Ö Ð Ñ ØÖ Ó Ø Ð Ø Ñ (A ) M(3,4) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø Ò Ó Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ M(3,0)( Ê 3 ) ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(3,3) (A ) := ¾ µ

36 ¾º Ë ÓÒ Ö Ð ÕÙ ÒÞ ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ù ÒØ º º Ë Ñ ÒÓ Ð ÔÖ Ñ Ð ÓÒ Ö º º Ë ÓÑÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ø ÖÞ Ö º º Ë Ñ ÒÓ Ð ÓÒ Ð Ø ÖÞ Ö º Úº Ë ÓÑÑ Ð ÓÒ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 3 ÐÐ Ø ÖÞ Ö º Úº Ë ÓÑÑ Ð Ø ÖÞ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 1 ÐÐ ÓÒ Ö º Ú º Ë ÓÑÑ ÒÓ Ð Ø ÖÞ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 2 Ð ÓÒ Ö ÐÐ ÔÖ Ñ Ö º i ii ii iv iii v º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 Ò ØÓ ÓÑ 2 Ü = 2. 1 iv vi ¾ µ ¾ µ Å ØÓ Ó ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö º ½º Ë Ú Ö ØÓ Ú Ð³ Õº ¾ µµ Ð Ñ ØÖ Ó ÒØ ÒÚ ÖØ Ð º ¾º Ë Ø ÖÑ Ò Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 GL(3) ÓÒ Ð Ñ ØÓ Ó Ù Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ Ñ ØÖ ÒÚ Ö ÔÖÓ Ò Ó ÓÒ Ù ÒØ Ô º º Ë Ñ ÒÓ Ð ÔÖ Ñ Ð ÓÒ Ö º º Ë ÓÑÑ Ð ÔÖ Ñ Ö ÐÐ ÓÒ ÐÐ Ø ÖÞ Ö º º Ë Ñ ÒÓ Ð ÓÒ Ð Ø ÖÞ Ö º Úº Ë ÓÑÑ Ð ÓÒ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 3 ÐÐ Ø ÖÞ Ö º Úº Ë ÓÑÑ Ð Ø ÖÞ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 1 ÐÐ ÓÒ Ö º Ú º Ë ÓÑÑ ÒÓ Ð Ø ÖÞ Ö ÑÓÐØ ÔÐ Ø Ô Ö 2 Ð ÓÒ Ö ÐÐ ÔÖ Ñ Ö º

37 i i ii iii v iii iv v vi È Ö Ð³ ÒÚ Ö ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A 1 = ¾ µ ¾ µ ¾º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÓØØ ÒÙØ ÑÓÐØ ÔÐ Ò Ó Ò ØÖ Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ Ê 3 ( M(3,1)) Ô Ö Ð Ñ ØÖ ÒÚ Ö A 1 GL(3) Ü = A 1 = = = ( 2)+( 2) 3 ( 1) 4+3 ( 2) ( 2) ( 2)+( 3) 3 = ¾ ¼µ Å ØÓ Ó Ö Ñ Öº ½º Ë Ú Ö ØÓ Ú Ð³ Õº ¾ µµ Ð Ñ ØÖ Ó ÒØ ÒÚ ÖØ Ð º ¾º È Ö Ó Ò i=1,2,3 Ó ØÖÙ Ð Ñ ØÖ ÕÙ Ö Ø A i M(3) ÓØØ ÒÙØ Ó Ø ØÙ Ò Ó Ò ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ A M(3) Ð ÓÐÓÒÒ i¹ Ñ ÓÒ Ð Ú ØØÓÖ Ø ÖÑ Ò ÒÓØ Ê 3 º Ë ÒÒÓ Ó Ð Ñ ØÖ A 1 := 2 1 2, A 2 := 1 2 2, A 1 := 1 1 2, ¾ ½µ Ù Ö Ô ØØ Ú Ø ÖÑ Ò ÒØ ÓÒÓ deta 1 = 2, deta 2 = 2, deta 3 = 1. ¾ ¾µ º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø Ñ Ð Ò Ö ÓÒ Ö ØÓ Ø Ð Ú ØØÓÖ Ü Ê 3 Ð Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ ÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø ÓÑ Ù x 1 = deta 1 deta = 2 = 2, ¾ µ 1

38 È Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ x 2 = deta 2 deta = 2 1 = 2, x 3 = deta 3 deta = 1 1 = 1. 2 Ü = 2. 1 ¾ µ ¾ µ ¾ µ

39 Ð Ó Ö ½ º Ù ÖÖ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ö Ð ÓÐÐ Ø ÓÖ Ò Ö ½ µº ¾ ˺ Ä Ò Ð Ö Ä Ò Ö ÓÐÐ Ø ÓÖ Ò Ö ¾¼¼ µº ØØÔ»» ÒºÛ ÓÓ ºÓÖ»Û»Ä Ò Ö Ð Ö º