a 0 a 1 a 2 a 3... a n...

Transcript

1

2 ¾ ÁÐ ÓÒ ØØÓ Ð Ñ Ø ¾º½ Ä Ù ÓÒ º Ë Ù ÓÒ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ f Ð Ù ÓÑ Ò Ó Ð³ Ò Ñ IN ÒÙÑ Ö Ò ØÙÖ Ð º ÓÐ ØÓ Ú ÐÓÖ f(n) ÙÒ Ù ÓÒ Ú Ò ÓÒÓ Ò Ø ÓÒ a 0 a 1 a 2 a 3... a n... ÙÒÓ ÕÙ Ø ØØÓ Ø ÖÑ Ò ÐÐ Ù ÓÒ a n ÒÚ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó Ó n ÑÓµº ÓÒ Ù Ó ÒÓØ Þ ÓÒ ÒØ Ö ÓÑÙÒ Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ Ó Ð Ð fµ ÓÒ Ð Ù ÑÑ Ò {a n n IN}º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÒØ Ö Ö ÑÓ ÐÐ Ù ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Ð Ó ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ø Ò IN Ú ÐÓÖ Ò IRº ÇÐØÖ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ð f ÔÐ Ø Ò Ù Ó Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó a n Ö ØØ Ñ ÒØ ÔÖ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ Ðг Ò n ÙÒ Ù ÓÒ ÔÙ Ö Ò Ø Ò ÑÓ Ó Ö ÓÖ ÚÓ Ó Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ µ ÓÚÚ ÖÓ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÖÑ Ò a n Ò ÙÒÞ ÓÒ ÐÙÒ Ó ØÙØØ Ø ÖÑ Ò ÐÓ ÔÖ ÓÒÓ Ö Ô ØØÓ ÐгÓÖ Ò Ñ ÒØÓ Ø ÖÑ Ò ØÓ Ð Ò Ò Ø Ð Ó Ð Ù ÓÒ Ö Ö ØØ ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ Ð Ø ÔÓ a n = Φ(a 0,a 1,...,a n 1 ), ÓÚ a 0,a 1,...,a n 1 ÓÒÓ Ò Ø Á Ú ÐÓÖ a 0,a 1,...,a n 1 ÖÚÓÒÓ ÒÒ Ö Ð ÔÖÓ Ó Ö ÓÖ ÚÓ Ò Ö ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒÓ ØØ Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð º ËÓÒÓ Ù ÓÒ ÔÐ Ø ÑÔ Óµ a n = 1/ n a n = sin(1/n) a n = n 2 /(1 n 3 ) º ÁÒ ÕÙ Ø Ð Ú ÐÓÖ ÙÒØÓ ÐÐ Ù ÓÒ Ô Ö ÙÒ ÖØ ÐØ n n ÐÓÐ Ð ÑÑ Ø Ñ ÒØ ÒÞ Ò Ø Ò Ú Ù Ö Ú ÐÓÖ ÔÖ ÒØ Ó a n 1,a n 2,...,a 2,a 1 µº

3 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ËÓÒÓ ÒÚ Ù ÓÒ Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ Ð Ù ÒØ µa n+2 = a n+1 + a n ÓÒ a 1 a 2 Ò Ø º ÉÙ Ø Ù ÓÒ ÒÓØ Ò Ð ØØ Ö ØÙÖ ÓÑ Ù ÓÒ ÓÒ ½ ÙÒ ÒÓÖÑ ÑÔÓÖØ ÒÞ ÔÔÐ Ø Ú ÑÔ Ó Ò ÓÐÓ ÓÒÓÑ Ö Ø ØØÙÖ ºººµ Ù Ù ÒÓÒ ÔÓ Ð ÐÙÒ Ö ÕÙ º È Ö ÓÒÚ Ò Ö Ò ÐÓ ØÙ ÒØ ÔÙ ÔÖÓ¹ Ú Ö Ø Ö ÓÒ Ù ÙÒ ÕÙ Ð ÑÓØÓÖ Ö Ö Û ØÓÒÓ Ñ Ð Ô Ò Ö Ú Ø ÒØ µ Ø Ö ØØ Ñ ÒØ Ó Ò Ö Ø¹ Ø Ñ ÒØ ÕÙ Ø Ù ÓÒ º Ë ÓÒ Ð Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ú Ø Ö Ð Ô ¹ Ò ØØÔ»» ØºÛ Ô ºÓÖ»Û»ËÙ ÓÒ ÓÒ º ÉÙ Ð Ñ Ø ÑÓ Ò Ð Ö ÒÙÑ Ö ÓÒ Ó ÖÚ ÒÓ Ò ÐÐ ÔÓ¹ Þ ÓÒ ÐÐ Ó Ð ÐÙÒ Ó ÐÓ Ø ÐÓ ÐÙÒ Ô ÒØ Ò ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ô Ö Ð Ð Æ ÙØ ÐÙ Ú ÙÖ ¾º µ Ò ÕÙ ÐÐ ÓÖ Ö ÓÐ ¾ Ú ÙÖ ¾º µº ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ Ó Ø Ò ÑÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ð ÙÐØ Ö ÓÖ Ù ÓÒ b n = a n+1 ¾º½µ a n Ö Ú Ð Ø Ó Ö Ø ÒÙÑ Ö ÓÒ º ÓÑ Ú ÐÐ Ø ÐÐ ¾º½ ÙÒ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ø ÒÞ Ö ÓÐ Ö Ñ Ö Ø Ò ¹ Ö ÙÒ Ú ÐÓÖ ÔÖ Óº ÁÒ ØØ ÔÙ ÔÖÓÚ Ö Ø Ð ÒÙÑ ÖÓ ØØ Þ ÓÒ ÙÖ Ó Ö ÔÔÓÖØÓ ÙÖ Óµ Ú Ð (1+ 5)/ ÙÒ ØÓÖ ÑÓÐØÓ Ô ÒØ ÕÙ ÐÐ ÒÙÑ Ö ÓÒ º ÄÓ Ö ØÖÓÚ ÙØ Ð ÞÞ ØÓ Ò Ö Ø ØØÙÖ Ò ÐÐ Ô ØØÙÖ Ö Ò Ñ ÒØ Ð Ò ÐÐ ÑÙ Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ó Ñ ÒÙ ØØ Ú Ö Ó Ø ÔÓ º ÁÒ Ø ÑÔ ÑÓÐØÓ Ö ÒØ ÒØÓÖÒÓ Ð ½ ¼µ Ð Ñ Ø ¹ Ñ Ø Ó Ò Ð Êº È ÒÖÓ ÓÔ ÖØÓ ÙÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÖÑ ÑÑ ØÖ 1 ÓÒ Ð ÓÔÖ ÒÒÓÑ Ä ÓÒ Ö Ó È ½½ ¼ º ¹ ½¾ ¼µº г ÙØÓÖ Ð Ä Ö ½¾¼¾µ ÙÒ³ÓÔ Ö Ñ Ð Ö Ò ÐÐ ØÓÖ Ó ÒØ Ð Ò ÐÐ Õ٠Рг ÙØÓÖ ÒØÖÓ Ù Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ö Ò Ó¹ Ö Ð ÐÓÖÓ Ù Ó Ô Ö Ö ÓÒØÓ º 2 ÍÒ Ô Þ ÓÒ Ô ÔÔÖÓ ÓÒ Ø Ð ÑÓ ÐÐÓ Ö Ø Ñ Ö ÓÐ ØÓ Ù ÒÙÑ Ö ÓÒ ØÖÓÚ Ò Ðг Öغ Å Æ ÝÐÓÖ ØØÔ»»ÛÛÛº º ÛÛÙº Ù» ÑÒ ÝÐÓÖ»Ò ÝÐÓÖ¹ ºÔ º 3 Ö ÒÓØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ö ÓÑ Ñ Ó ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ó ÓÑ ÕÙ Ð ÒÙÑ ÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ x Ø Ð 1 : x = x : (x + 1)º ÍÒ ÐØÖÓ ÑÓ Ó ÒØÖÓ ÙÖÐÓ Ô Ö Ú ÓÑ ØÖ Ú Ð ÙÖ ¾º½µº 4 ÍÒ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÙÖ Ó ÔÙ Ö Ú Ó Ò ÑÓ Ó Ð Þ ÓÒ ÙÖ Ó Ø ØÙ Ð ÙÒ ÕÙ Ö ØÓº ÁÐ Ö ØØ Ò ÓÐÓ Ö Ñ Ò ÙÒ ÙÖ ÙÖ Ð Ù ÐØ ÞÞ Ð Þ ÓÒ ÙÖ ÐÐ º Ë ÓÒØ ÒÙ ÑÓ Ú Ö Ð ÙÖ Ò ÕÙ Ö Ø Ó Ò Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÓØØ ÖÖ ÑÓ Ö ÙÒ Ö ØØ Ò ÓÐÓ ÙÖ Óº ÉÙ Ø Ú ÓÒ ÔÙ Ö Ò Ò Ø ÒÓ Ô ÖØ Ñ ÖÓ ÓÔ º Ä Ö Ð Þ ÓÒ ØÖ ÒÙÑ Ö ÓÒ Ð Ô Ö Ð ÐÓ Ö ØÑ Ö Ú Ð Ú ÒØ Ó ØÖÙ ÙÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ò Ù Ð Ð ØÓ Ó ÒÙÒÓ ÕÙ Ø ØÓ ÐÐ ÓÑÑ ÐÐ Ñ ÙÖ Ð Ø Ù ÔÖ ¹ ÒØ º Ë Ð ÔÓÒ ÑÓ ÓÑ Ò ÙÖ ØÖ ÑÓ ÙÒ ÖÓ Ö Ó Ú ÒØ Ô Ö Ö Ó Ð Ð ØÓ Ð ÕÙ Ö ØÓ Ð ÙÖ ÓØØ Ò ÙÒ Ô Ö Ð ÐÓ Ö ØÑ º Ä Ô Ö Ð ÐÓ Ö ØÑ Ö ØÖÓÚ Ò Ò ØÙÖ Ò ÐÐ ÓÒ Ð Ò ÐÐ Ó ÓÐ Ò Ð Ò ÙØ ¹ ÐÓ Ò ÐÐ ØÖÙØØÙÖ Ð Ó Ð Ð Æ º Ê ØÖÓÚ ÑÓ ÕÙ Ø Ô Ö Ð Ò ÐÐ Ñ Ö Ö Ø Ò Ö ÓÐ Ò ÐÐ Ô Ò Ô Ò º

4 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÓÑ ØÖ Ù Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÙÖ Ó Ò Ðг Ñ ØÓ ÙÓ ØÙ ÙÐÐ Ø ÐÐ Þ ÓÒ Ó Ö ÑÔ Ñ ÒØÓµ Ô Ö Ó ÐÐÓ Ô Þ Ó ÔÓÖØ ØÓ ÒÙÓÚ ÓÔ ÖØ ÙÐÐ ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ ¹Ö Ø ÐÐ º Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó Ù Ö Ô ÙÖ Ó Ó Ö Ù Ö Ó ÕÙ Ø Ö ÓÑ ÒØ ÓÒ ÙÐØ Ö ÒÙÑ ÖÓ Ø Ø Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÙÖ Ó ÓÐ Ò Ö Ø Ó Ò Ø Ò Ð Ò Ù Ò Ð µº Ì ÐÐ ¾º½º Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ Ø Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ù ÓÒ ¾º½µ n a n a n a n º º º < 10 8 ºº º º µa n+1 = (1/2)(a n +α/a n ) ÓÒ α ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓ Ò ØÓº ÉÙ Ø Ù ÓÒ ÒÓØ ÓÑ Ù ÓÒ ÖÓÒ Ò Ðг Ø Ñ Ö α Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ ÙÖ Ö ÓÖ Ú º Î ÒØ ÓÐ ÖÓÒ ÒÓÒ ÔÓØ Ú ÑÑ Ò Ö Ð Ù ÓÒ ÔÓÖØ Ð ÙÓ ÒÓÑ ØÖ ÓÖ Ò Ö Ñ ÒØ ÒØ ØØÙ ÐÑ ÒØ ÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ù ÑÔÐ ÐÓÐ ØÖ Ø ¹ Ð Ù ÐÓÐ ØÓÖ ÔÖÓ ÓÒ Ð º ÁÒ ØØ Ø ÒÓ ÔÓ Ñ Ø Ö Þ ÓÒ Ô Ö Ú Ö α ÓÒ ÙÒ ÖÖÓÖ Ñ Ò ÑÓº Ä Ø ÐÐ Ù ÑÓ ØÖ Ò ÐÐ ÔÖ ¹ 5 ÖÓÒ Ð Ò Ö Ñ ØÓ Ò ÖÓÒ Ð Ú Ó ÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ó Ò Ò ¹ Ö Ö Ó Ð Á ÓÐÓ º º Ë Ñ Ö ØÙØØ Ú ÔÖ Ñ ÓÙÔ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ðг ØÖ Þ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÒÓ Ø Ø ÐÓÒ º ØÖ ÔÖ Ñ ÙØ Ð ÞÞ Ö ÙÒ Ø Ñ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ ÔÓ Þ ÓÒ Ð Ú Ú ÒÓ Ð ÓÖ ØÓ ÙÒ ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô Ö Ð³ ØÖ Þ ÓÒ Ö ÕÙ Ö Ø Ô Ó Ú Ò ØØÖ Ù ØÓ Ñ Ø Ñ Ø ÔÓ Ø Ö ÓÖ ÓÑ Ö Ø ¾ ¹ º ºµ ÔÔÙÒØÓ ÖÓÒ º

5 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº Ñ ÓÐÓÒÒ Ð ÔÖ Ñ Ø Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ù ÓÒ Ò ÐÐ ÓÒ ÓÐÓÒÒ Ð³ ÖÖÓÖ Ö Ð Ø ÚÓ Ó Ð Ö ÒÞ Ö Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ø Ð Ô Ó i ÑÓ ÕÙ ÐÐÓ Ð Ô Ó (i 1) ÑÓµ ÐÐ ÕÙ ÖØ Ø Ö Þ ÓÒ ÓØØ Ò ÓÒÓ ½½ Ö Ñ Ð ØØ º Ì ÐÐ ¾º¾º Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ Ø Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ù ÓÒ ÖÓÒ ÔÔÐ ØÓ Ð ÐÓÐÓ 2º n a n a n a n µ a n+1 = ra n (1 a n ) ÓÒ r Ô Ö Ñ ØÖÓ ÔÓ Ø ÚÓ a 0 (0,1) Ò ØÓº ÉÙ Ø Ù ÓÒ ÒÓØ ÓÑ Ñ ÔÔ ÐÓ Ø Ò Ð Ø ÒØ Ø ÚÓ Ô Ö Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ÔÓÔÓÐ Þ ÓÒ Ò Ñ ÒØ ÓÒ Ö ÓÖ ÐÐ Ñ Ø Ø º ÁÐ Ô Ö Ñ ØÖÓ r Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ Ñ ÙÖ ÐÐ Ô Ø Ö ÔÖÓ ÙØØ Ú ÐÐ ÔÓÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÒ Ö Ø Ñ ÒØÖ a n ÓÑ ÔÓ Ð ÑÓ ØÖ Ö Ö ¹ Ø ÑÔÖ Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [0,1] r < 4µ Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ô Ö ÒØÙ Ð ÔÓÔÓÐ Þ ÓÒ Ð Ô Ó n ÑÓº ÁÐ ÑÓ ÐÐÓ ÙÔÔÓÒ Ð ÔÓÔÓÐ Þ ÓÒ ÓÐ Ø ÕÙ Ò ÒÓÒ ÓÑÔ Ø ÓÒ ÐØÖ ÔÓÔÓÐ Þ ÓÒ º ÁÐ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ a n Ð Ö Ö n Ô Ò ÐÐ ÐØ r Ú Ö Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ö ÒØ Ð ÐØ r Ó ÖÚ ÒÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØ ÑÔÐ Ú ÒØ ÒÓ Ú Ú Ô ÓÑÔÐ Ò Ö ÒÓ ÓØ Ñ ÒØ Ô Ö r ÑÓÐØÓ Ú ÒÓ Ú ÙÖ º½¼ Ô Ò ½ ¼ Ð Ô ØÓÐÓ µº Ò ÕÙ Ø Ù ÓÒ Ð Ô Ö ÐÐ ÔÖ ÒØ ÙÒ³ ÑÔÓÖØ ÒÞ Ô Ð ÑÔÐ Þ ÓÒ ÒØ ÑÓÐØÓ ÑÔ ÔÖÓ ÓÒ º Ä Ù ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ ÓÒÓ ÑÓÐØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓÒÓ ÙÒ ÖØÓ ÔÙÒØÓ Ú Ø Ð Ú Ö Ù ÓÒ Ù Ô Ó ØÖ Ñ Ñ ÒØ Ð ÒÓÒ ÑÔÓ Ð µ ÙÒ ÓÒÓ ÒÞ ÔÐ Ø º Ø Ô Ò Ö Ô Ö ÑÔ Ó ÒÓÒÓ Ø ÒØ Ð Ù ÔÔ Ö ÒØ ÑÔÐ Ø Ð ÓÖÑ ÔÐ Ø ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ Ö Ñ Ø ÓÒÓ ÙØ Ô Ö ÓÐ º ÉÙ ØÓ Ø ÔÓ Ù ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò Ò Ö ÓÐØ ØÙ Ó ÑÓÐØÓ Ñ ÓÖ Ö Ô ØØÓ ÕÙ ÐÐ Ð ÔÖ ÑÓ Ø ÔÓ 6 ÁÐ Ö ÔÔÓÖØÓ a n+1/a n Ô Ö Ö Ò Ú ÐÓÖ n ÔÔÖÓ Ñ Ð Ú ÐÓÖ ÐÐ Ð ¹ ÖÖ Ñ Þ ÓÒ ÙÖ ϕ = (1 + 5)/2 Ò ÒÓØ Ñ Ø Ñ Ø Ö µº Æ Ð ½ º Ò Ø ÑÓ ØÖ Ô ÒØÓ ÒÒ ÓÔÓ ÓÒ µ Ð Ø Ö¹ Ñ Ò Ò Ö Ó ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ ÔÙ Ö Ú Ö Ò ÐÐ ÓÖÑ ÔÐ Ø a n = ( ϕ n ( ϕ) n) / 5º

6 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÙÖ ¾º½º Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÙÖ Ó ÐÚÓ ÐÙÒ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÑÔÐ Ú Ð³ ÔÔ Ò ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓµ ÒÓÒ Ò ÓÙÔ Ö ÑÓº ÈÓ IR ÓÖ Ò ØÓ Ò Ó Ö Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó a n ÕÙ Ð Ô ÖØ ÓÐ Ö ÔÖÓÔÖ Ø Ö Ô ØØÓ ÐгÓÖ Ò Ñ ÒØÓ IRº ÍÒ Ù¹ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó a n ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ µ Ð Ñ Ø Ø Ð³ Ò Ñ {a n n IN} IR ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ µ Ð Ñ Ø ØÓ Ó Ø ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð M Ø Ð Ô Ö Ó Ò n IN Ö ÙÐØ a n M a n Mµº ÍÒ Ù ÓÒ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ñ Ø Ø Ð Ñ Ø Ø º ÍÒ Ù ÓÒ a n Ø Ð a n a n+1 (a n a n+1 ) n IN ÑÓÒÓØ Ò ÒÓÒ Ö ÒØ ÒÓÒ Ö ÒØ µ Ú Ð ÓÒÓ Ð Ù Ù Ð ÒÞ ØÖ ØØ a n ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ Ö ÒØ µº ÁÒ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓ Ö Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ö ÓÖÓ ÐÐ ÓÑ Ò ÕÙ Ð Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÙÒ Ù ÓÒ ÕÙ Ò Ó Ð³ Ò¹ n Ú ÒØ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò Ä ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ö ÑÓ ÓÑÙÒ Ñ ÒØ ÒÓØ ÓÑ Ð Ñ Ø Ó ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø µº

7 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ÙÖ ¾º¾º Ì ÚÓÐ ØØ ÐÓÒ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ ÐÐ Ö ÕÙ Ö Ø 2º Ä ¹ ÓÒ Ð ÑÓ ØÖ ÙÒ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ ÐÐ Ö ÕÙ Ö Ø ¾ Ù Ò Ó Ö ØØ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ð Ø Ñ ÒÙÑ Ö Þ ÓÒ Ò ¼ ÒØÖÓ ÓØØÓ ËÙÑ Ö Ö ÔÖ Ó ÐÓÒ µº ÁÒ ¼ Ð ÒÙÑ ÖÓ 2 ÙÒ Ô Ò ÓÒ ÐÐ Ñ Ø Ø Ö ÔÔÖ ÒØ Ø 1 : 24 : 51 : 10 : 7 : 46 :...º Ä Ù ÓÒÚ Ö ÓÒ Ò Ð Ø Ñ Ò ½¼ ÓÖÒ 1+24/60+51/ / º ¾º¾ Ä Ñ Ø ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ö Ö Ù ØÓ Ð Ð Ñ Ø ØÙØØ Ð ØØ ÙÒ ÓÒ ØØÓ ØÖ ØØÓ ÙÒ ÔÖÓ ÙÖ ÐÓÐÓ Ò ÔÖ Ð Ù ØÓ ÔÙ Ö Ñ Ò ÒÓÒ Ö µ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð º È Ö Ö ÙÒ Ò ØÓ ÔÖ Ó Ð ÓÒ ØØÓ Ð Ñ Ø ÓÓÖÖ ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ ÔÖ Ñ ØØ Ö Ð Ù ÒØ Ö ÑÓ ÙÒ Ù ÓÒ a n Ú Ö Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø P ÕÙ Ø Ú Ö Ø ÙÒ ÖØÓ a n ØÙØØ Ð a n ÓÒ n > nº ÑÔ Ó ¾º½º Ë a n = 1/ n P = a n Ñ ÒÓÖ 1/100 Ú ÒØ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ Ò Ð Ô ØÓÐÓ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ Ö µ a n Ö ÙÐØ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ º È ÖØ ÒØÓ 1/ n < 1/10 ÓÐÓ n > 10 2 º ÉÙ Ò a n = a 101 ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ a n ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ n > 101 Ú Ö ÒÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Pº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ò Ó ØØ Ò ÑÓ Ó Ò Ø ÚÓº

8 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ ÓÒ Ò Ð ÑÓÒ Ó Ò ØÙÖ Ð Ð Þ ÓÒ ØÖ Ú Ö Ð ÙÒ Æ ÙØ ÐÙ Ò ØÖ µ Ù Ð ØÖÙØØÙÖ ÐÐ Ô Ö Ð ÙÖ ØÖ µ Ó Ò ÚÚÓÐ Ñ ÒØÓ π/4 Ð Ö Ó Ðг ÖÓ Ô Ö Ð Ñ Ù Ò Ó Ð Ù ÓÒ ÓÒ º ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ ÓÒ Ò Ð ÑÓÒ Ó Ú Ø Ð º ij Ñ ÓÖÑ ÒÓ Ú Ú Ò Ð ÒØÖÓ Ð Ö ÓÐ Ô Ò ÓÒÓ Ú Ö Ó Ð³ Ø ÖÒÓ Ñ ÔÖ ÒØ º Ç Ò Ñ ÓÐÐÓ Ò ÙÒ Ø ÖÑ Ò Ø ÔÓ Þ ÓÒ ÓÖÑ ÙÒ Ò ÓÐÓ ÖÓØ Þ ÓÒ Ó Ø ÒØ Ö Ô ØØÓ Ð Ñ ÔÖ ÒØ º Ì Ð Ò ÓÐÓ Ö ½ ½ Ö ÒØ Ó Ô Ö Ð Ö ÔÔÓÖØÓ ÙÖ Óµ ÔÖÓ Ù ÐÓ Ñ Ô Ö Ð Ó ÖÚ ÑÓ Ò Ð ÓÖ º ÑÔ Ó ¾º¾º ÓÒ Ö ÑÓ a n = n 2 P = {a n a n < 100} Ú ÒØ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ Ò Ð Ô ØÓÐÓ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ ÔÓØ ÒÞ µ a n Ö ÙÐØ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ º È ÖØ ÒØÓ n 2 < 100 ÓÐÓ n < 10º ÉÙ Ò a n =

9 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ¼ a 11 ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ a n ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ n > 11 ÒÓÒ Ú Ö ÒÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Pº Ä ÔÖÓÔÖ Ø ÕÙ Ò ÒÓÒ Ó ØØ Ò ÑÓ Ó Ò Ø ÚÓº Ë ÒÚ ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Q = {a n a n > 100} Ö ÓÒ Ò Ó Ò ÑÓ Ó Ð ØÙØØÓ Ñ Ð Ù ÒÚ ØÙØØ Ð Ð Ñ ÒØ a n ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒ n > 10 Ú Ö ÒÓ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Qº ÁÒ ÕÙ ØÓ ÑÔ Ó ÒØ Ö ÒØ Ó ÖÚ Ö Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ÙÒ ÔÓ³ Ô Ò Ö Ð º ËÖ Ú ÑÓ Ð Ù ÔÖÓÔÖ Ø Ò Ð ÑÓ Ó Ù ÒØ P = {a n a n < M}, Q = {a n a n > M}, ÓÚ M ÔÙ Ö ÐØÓ ÓÑ ÚÙÓÐ ÔÙÖ ÔÓ Ø ÚÓº È Ö ÕÙ Ø Ô ÖØ ÓÐ Ö Ù ÓÒ µ ÒÓÒ Ñ ÔÓ Ð Ó Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø P ÕÙ Ð Ð ÐØ Ó¹ ÑÙÒÕÙ Ö Ò µ M Ð Ù ÓÒ ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ð Ñ Ø ØÓ (0,M)º µ ÑÔÖ ÔÓ Ð Ó Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø Q ÕÙ Ð Ð ÐØ ÓÑÙÒ¹ ÕÙ Ö Ò µ M Ð Ù ÓÒ ÒØÖ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ñ Ø ØÓ Ð Ø ÔÓ (M,+ )º ÁÒ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØÓÖÒÓ Ô ÖØÓµ ÓÑÔÐ ØÓ Ö Ó ε > 0 ÙÒ ÔÙÒØÓ x 0 IR Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ô ÖØÓ ÐÙÒ ÞÞ 2ε ÒØÖ ØÓ Ò x 0 IR Ó I(x 0,ε) = {x IR Ø Ð x x 0 < ε} = (x 0 ε,x o +ε) Ö ÑÓ ÔÓ ÍÒ Ù ÓÒ a n ÓÒÚ Ö ÒØ l IR ÔÖ Ó ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ô ÖØÓ ÒÓÒ ÚÙÓØÓ I(l,ε) l Ö Ó ε > 0 Ö ØÖ Ö Ó Ð Ù ÓÒ a n ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ I(l,ε) Ó ε > 0 n(ε) IN Ø Ð a n I(l,ε) n > n(ε). ÁÒ Ø Ð Ó l Ð Ñ Ø ÐÐ Ù ÓÒ a n Ö Ú l = lim n a n. Ë l = 0 Ð Ù ÓÒ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò Ò Ø Ñ º

10 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÑÔ Ó ¾º º ÁÒ ÐÐ ÔÖ ÒØ Ò Þ ÓÒ Ð Ñ Ø Ð Ù ÓÒ a n = 1/ n ÓÖÒ ÙÒ ÑÔ Ó ÑÑ ØÓ Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ l = 0º ÍÒ ÑÔ Ó Ò ÐÓ Ó ÓÒ Ö Ò Ó Ð Ù ÓÒ a n = 1/n Ò ³ ÓÒÚ Ö ÒØ 0µ ÓÔÔÙÖ Ô Ò Ò Ö Ð Ð Ù Ù ÓÒ a n (±) = l ± 1/n ÒØÖ Ñ ÓÒÚ Ö ÒØ lº Æ ÐÐ ÙÖ ¾º ¾º ÓÒÓ ÑÓ ØÖ Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ð Ù ÓÒ a n = 1/n a n = 2 1/nº ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò Ð ØØ Ð Ó Ô Ö Ð Ù ÓÒ a n = 2 1/n Ò Ø Ô Ö n 1µ ÓÒÚ Ö ÒØ l = 2º ÁÒ ØØ ÔÖ Ó ε > 0 Ö ÙÐØ a n 2 = 2 1/n 2 = 1/n = 1/n < ε ÔÓ 1/n < ε ÓÐÓ n > 1/ε Ð Ù ÓÒ Ö ÙÐØ Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÓÒØ ÒÙØ Ò Ðг ÒØÓÖÒÓ (2 ε,2+ε) ÓÒ Þ ÓÒ ÔÖ Ò Ö n Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ñ ÓÖ 1/εº ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ 1/n ÓÒÚ Ö 0 ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ØÖÓ ¼µº Ò Ø ÙÒ ÔÓ Ð ÐØ ε = 1/10µ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ÐÓÖ n(ε) = 10µº ÑÔ Ó ¾º º Ä Ù ÓÒ ( 1) n /(n 1/2) 2 ÓÒÚ Ö 0 ÔÔ ÖØ Ò ¹ Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÓÑÔÐ ØÓ ¼ Ú Ö ÙÖ ¾º µº ÄÓ ØÙ ÒØ ÔÖÓÚ Ú Ö Ö ÕÙ ØÓ ØØÓ Ù Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ º ÆÓÒ ØÙØØ Ð Ù ÓÒ ÓÒÓ ÓÒÚ Ö ÒØ º ÑÓ Ó ÖÚ ØÓ Ô Ò ÒÓÒ Ø ÐÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð l Ù Ø Ò Ð Ù ÓÒ a n = n 2 ØÓ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ó Ö Ð Ö Ø ÓÒ Ò Ö Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ Ø Ò ÒØÓÖÒ Ö ØÖ Ö Ð Ø ÔÓ (0,M) ÕÙ Ò

11 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ¾ ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ 2 1/n ÓÒÚ Ö 2 ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ò ØÖÓ ¾µº Ò Ø ÙÒ ÔÓ Ð ÐØ ε = 1/10µ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ÐÓÖ n(ε) = 10µº ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ ( 1) n /(n 1/2) 2 ÓÒÚ Ö 0 ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ú ¹ Ñ ÒØ ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÓÑÔÐ ØÓ ¼µº Ò Ø ÙÒ ÔÓ Ð ÐØ ε = 0.025µ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ú ÐÓÖ n(ε) = 8µº ØØÓ ÙÒ ÕÙ Ð ÚÓ Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð l = M/2 Ú Ö ÙÖ ¾º µº ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ù ÓÒ Ö ÙÐØ ÒÞ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ó Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð M > 0 ØÓ ØÓ Ð ÕÙ Þ ÓÒ n 2 > M Ö ÙÐØ Ó ØØ ÒÓÒ ÔÔ Ò Ð n > Mº ÉÙ ØÓ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ò Ù ÙÒ Ò Þ ÓÒ Ò Ö Ð º ÍÒ Ù ÓÒ a n Ú Ö + ÐÓ ÔÖ Ñ ÓÒ Ð Ö ØØÙÖ lim a n = +, n + Ö ÙÐØ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÓÖ Ó Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð M > 0 Ö ØÖ ¹ Ö Ñ ÒØ ÐØÓº È Ö Ò ÐÓ ÙÒ Ù ÓÒ a n Ö ÙÐØ Ò Ø Ú Ñ ÒØ

12 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ñ ÒÓÖ Ó Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð ØÓ ÐÐÓÖ Ð Ù ÓÒ a n Ú Ö ÐÓ ÔÖ Ñ ÓÒ Ð Ö ØØÙÖ lim n + a n =. ÑÔ Ó ¾º º Ä Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó a n = 2 n Ú Ö ÒØ ØÓ a n+1 > a n Ô Ö Ó Ò n Ö ÙÐØ ÐÐ Ñ Ø ØÓ Ð³ Ò Ñ {2 n n IN}º Ä Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ð a n = 1/2 n ÒÚ Ð Ñ Ø Ø Ò Ó 0 < 1/2 n 1 Ô Ö Ó Ò nµ Ö ÙÐØ Ò Ò Ø Ñ Ò ÕÙ ÒØÓ ØÓ ÓÑÙÒÕÙ ε > 0 Ø ÙÒ n IN Ø Ð Ô Ö Ó Ò n > n Ö ÙÐØ 2 n > 1/ε ÓÚÚ ÖÓ ε > 1/2 n º ÙÖ ¾º º Ä Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ð n 2 ÒÓÒ ÓÒÚ Ö Ú Ö ÔÓ ¹ Ø Ú Ñ ÒØ µº ÁÒ ØØ Ö ÙÐØ ÑÔ Ó Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ñ ÓÖ 400 Ô Ö n > 20º ÁÐ Ù ÒØ Ö ÙÐØ ØÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÑÔÓÖØ ÒÞ º Ì ÓÖ Ñ ÙÒ Ø Ð Ð Ñ Ø º Ë a n ÓÒÚ Ö l ÒÓÒ ÔÙ ÓÒÚ Ö Ö ÙÒ ÐØÖÓ Ð Ñ Ø l Ø ÒØÓ lº ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º Ë Ó l Ø ÒØÓ l ÓÚÖ Ö ÔÓ Ð ÓÑÙÒÕÙ Ô ÓÐÓ Ð Ó ε Ö Ò ÑÓ Ó Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ ÔÔ ÖØ Ò ÒÓ ÙÒ ÖØÓ n Ò ÔÓ ÕÙ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ µ ÒØÖ Ñ Ð ÒØÓÖÒ I l (ε) I l (ε)º ³ ÐØÖ Ô ÖØ Ð 0 < ε l l ÚÖ ÙÒ ÙÖ Ó ØÓ 2 I l (ε) I l (ε) = Ú ÙÖ ¾º µº ÉÙ Ò Ó ÙÒ Ù ÓÒ ÑÑ ØØ Ð Ñ Ø Ò ØÓ Ó Ò Ò ØÓµ Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ø Ô Ò Ò Ó ± ÓÑ Ó ÖÓ ÒÙÑ Ö µ ÓÑ ÙÒ ØØÖ ØØÓÖ Ú ÐÓÖ ÐÐ Ù ÓÒ º

13 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº I l (r) I l (r) l l l l ÙÖ ¾º º Á Ù ÒØÓÖÒ ÒÒÓ Ö Ó r Ñ ÒÓÖ ÐÐ Ñ Ø ÐÐ Ø ÒÞ Ö ÒØÖ a a Ð ÒØÓÖÒ Ø ÒÒÓ ÙÒÕÙ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÚÙÓØ º ÆÓÒ ÔÓ Ð Ð Ù ÓÒ ÔÔ ÖØ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÒØÖ Ñ º ÌÙØØ Ú ÔÓ ÓÒÓ ÐÑ ÒØ ÓÖÒ Ö ÑÔ Ù ÓÒ ÒÓÒ ÓÒÚ Ö¹ ÓÒÓ Ò Ú Ö ÓÒÓº Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ð Ø ÓÖ Ñ ÙÒ Ø Ù Ö Ð Ù ÓÒ ÒÓÒ ÓÒÚ Ö ÓÒÓ ÚÓÒÓ Ö Ò ÕÙ Ð ÑÓ Ó Ö ØØ Ö ÞÞ Ø ÐÐ Ø ÒÞ ÐÑ ÒÓ Ù Ú ÐÓÖ l l ÒÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ Ò Ø µ ÚÓй ÓÒÓ Ð ÖÙÓÐÓ ØØÖ ØØÓÖ Ô Ö Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ Ñ Ò ÙÒÓ Ù Ú ÐÓÖ Ö ÙÑ Ö Ð ÙÓ ÖÙÓÐÓ Ò ÑÓ Ó Ò Ø ÚÓ º ÕÙ Ø ÔÙ Ö ÙÒ ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ Ô Ö ÓÖÓ ÓÔ Ö Ø Ú º ÁÐ Ø ÓÖ ¹ Ñ ÙÒ Ø ÔÙ Ò ØØ Ö Ö ÓÖÑÙÐ ØÓ Ò ÐÐ ÓÖÑ Ù ÒØ ÓÖÒ ÙÒ Ö Ø Ö Ó ÒÓÒ Ø ÒÞ Ô Ö Ð Ð Ñ Ø ÙÒ Ù ÓÒ º Ø Ð ÓÔÓ Ò¹ ØÖÓ Ù ÑÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÑ ÒØ Ð ÓÒ ØØÓ ÓØØÓ Ù ÓÒ ØÖ ØØ Ó Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ ØÖ ØØ µ ÙÒ Ù ÓÒ ØÖ ØØ ÐÐ Ù ÓÒ a n Ó Ò Ù ÓÒ {a ϕ(n) } n IN ÓØØ ÒÙ¹ Ø Ô ÖØ Ö ÐÐ Ù ÓÒ a n Ð Þ ÓÒ Ò ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ³ÓÔÔÓÖØÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ò ØØ Ú ϕ : IN INº ËÙ Ø Ð Ù ÒØ ÑÔÓÖØ ÒØ Ø ÓÖ Ñ Ë a n ÓÒÚ Ö l ÐÐÓÖ Ó Ò ØÖ ØØ a ϕ(n) a n ÓÒÚ Ö Ð Ñ ÑÓ Ð Ñ Ø º ÕÙ Ø ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ù ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ó ÒÓÒ Ø ÒÞ Ð Ð Ñ Ø º Ë ÙÒ Ù ÓÒ a n ÔÓ Ù ØÖ ØØ ÓÒÚ Ö ÒØ Ù Ð Ñ Ø Ø ÒØ ÐÐÓÖ a n ÒÓÒ Ð Ñ Ø º Ä Ù ÓÒ ÔÖ Ú Ð Ñ Ø ÓÒÓ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º

14 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÑÔ Ó ¾º º Ä Ù ÓÒ a n = ( 1) n Ò Ø ÖÑ Ò Ø ØÓ Ð³ ØÖ ØØ a n = ( 1) 2n ÓÒÚ Ö 1 Ñ ÒØÖ Ð³ ØÖ ØØ a n = ( 1) 2n+1 ÓÒÚ Ö 1 Ú Ö ÙÖ ¾º½¼µº Ë ÔÙ ÑÓ ØÖ Ö ÐÑ ÒØ Ó Ò Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ñ Ø Ø º ij ÑÔ Ó Ù ÑÓ ØÖ Ð Ú Ú Ö Ð Ó Ò Ò Ö Ð ÑÔ Ó ¾º º Ä Ù ÓÒ a n = ( 1) n Ð Ñ Ø Ø Ð Ù ÑÑ Ò ÓÖÑ Ø ÓÐ Ú ÐÓÖ ±1µ ÒÞ Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ú Ö ÙÖ ¾º½¼µº ÙÖ ¾º½¼º Ä Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ð ( 1) n ÒÓÒ ÓÒÚ Ö ÔÙÖ Ò Ó Ð Ñ Ø Ø º Á ÙÓ Ø ÖÑ Ò ÙÑÓÒÓ ÐØ ÖÒ Ø Ú Ñ ÒØ Ú ÐÓÖ 1 1º ¾º ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ð Ñ Ø Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ú Ö Ù Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ Ó ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ð ÓÒÚ Ö ÒÞ ÐÐ ÐÓÖÓ ÓÑÑ Ó Ð ÐÓÖÓ ÔÖÓ ÓØØÓ ÑÔ Ó Ú Ò Ò ØÙÖ Ð

15 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº Ô Ò Ö a n l ÐÐÓÖ 1/a n 1/l ØÙØØ Ú ÙÒ Ñ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ô ØØÓ ÐÐ Ù ÔÔ Ö ÒØ ÓÚÚ Ø ÔÓØÖ Ö ÙÐØ Ö Ð ÐÓ ØÙ ÒØ ÔÖÓÚ Ö ÓÒ Ö ÙÐÐ Ù ÓÒ a n = ( 1) n /n ÓÒÚ Ö Þ ÖÓµº ÓÑ ÓÑÔÓÖØ Ò ÕÙ ØÓ Ó 1/a n ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ù Ö Ú Ð ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ð ÔÖÓ Ó Ð Ñ Ø º Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø Ò Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ ¹ Ö º Ë ÒÓ a n b n Ù Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ l a l b ÒÙÑ Ö Ö Ð Ò Ø µº ÐÐÓÖ ½µ ËÓÑÑ µ Ð Ù ÓÒ a n +b n ÓÒÚ Ö ÒØ Ð ÙÓ Ð Ñ Ø l a +l b ¾µ ÈÖÓ ÓØØÓµ Ð Ù ÓÒ a n b n ÓÒÚ Ö ÒØ Ð ÙÓ Ð Ñ Ø l a l b µ Ú ÓÒ µ b n 0 Ô Ö Ó Ò n l b 0 ÐÐÓÖ a n /b n ÓÒÚ Ö l a /l b µ Ú ÓÒ µ l a 0 l b = 0 b n 0 Ô Ö Ó Ò n Ñ b n ÒÓÒ Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÒÓ Ó Ø ÒØ ÐÐÓÖ a n /b n Ò Ø ÖÑ Ò Ø º ÁÐ Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ø Ò Ò Ð Ó Ò Ù l a Ó l b Ó ÒØÖ Ñ ÔÓ ÒÓ ÙÑ Ö Ú ÐÓÖ Ò Ò ØÓ Ó a n ÓÔÔÙÖ b n Ó ÒØÖ Ñ ÒÓ Ú Ö ÒØ º Ì ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø Ò Ò Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ º Ë ÒÓ a n b n Ù Ù ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Ð ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÐÐ ÕÙ Ð Ú Ö ÒØ Ð³ ÐØÖ ÓÒÚ Ö ÒØ Ó Ú Ö ÒØ º ÐÐÓÖ ½ µ ËÓÑÑ µ a n Ú Ö ± b n ÓÒÚ Ö l b IR ÓÔÔÙÖ ÒÓÒ ÓÒÚ Ö Ñ Ð Ñ Ø Ø µ Ð Ù ÓÒ a n + b n Ú Ö ÒØ Ô Ö Ð Ñ Ø ± ½ µ ËÓÑÑ µ a n Ú Ö ± b n Ú Ö ± Ð Ù ÓÒ a n +b n Ú Ö ÒØ Ô Ö Ð Ñ Ø ± ¾µ ÈÖÓ ÓØØÓµ a n ÓÒÚ Ö ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð l a 0 b n Ú Ö ± Ð Ù ÓÒ a n b n Ú Ö ÒØ Ô Ö Ð Ñ Ø ± l a > 0 Ñ ÒØÖ Ô Ö Ð Ñ Ø l a < 0 7 Æ Ð ÒÙÒ Ø ÙÓÒÓ Ñ ÓÐ ± Ò ÒÓ ÙÒ³ ÐØ ÖÒ Ø Ú ÑÔ Ó ± Ò + ÓÔÔÙÖ Ñ ÒØÖ Ò ÓÔÔÙÖ + º

16 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ µ Ú ÓÒ µ a n Ú Ö ± b n ÓÒ b n 0 Ô Ö Ó Ò nµ ÓÒÚ Ö l b IR ÐÐÓÖ µ a n /b n Ú Ö ± l b > 0 µa n /b n Ú Ö l b < 0 µ b n Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú l b = 0 ÐÐÓÖ a n /b n Ú Ö ± º Úµ b n Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ò Ø Ú l b = 0 ÐÐÓÖ a n /b n Ú Ö º µ Ú ÓÒ µ a n ÓÒÚ Ö l a IR b n Ú Ö ± ÐÐÓÖ a n /b n ÓÒÚ Ö 0º Ò ÚÚ ÖØ Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÒÓÒ Ð ØÓ ØÖ ØØ Ö + ÓÑ ÒÙÑ Ö º ÉÙ Ø Ò ØØ Ö ÔÔÖ ÒØ ÒÓ ÓÐÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ú Ö ÒØ ÙÒ Ù ÓÒ º ÌÙØØ Ú Ð Ø ÓÖ Ñ ÙÐÐ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø ÓÔ Ö Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒ ÒØ Ø Ò Ö Ô ÖÞ ÐÑ ÒØ Ð ÓÔ Ö Þ ÓÒ IR IR ÓÒ Ó ÐÓ Ñ ÓÖÑ Ð ÑÓ ØÖ ØÓ Ò ÐÐ Ø ÐÐ ¾º º Ì ÐÐ ¾º º Ê ÓÐ ÓÖÑ Ð ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ú ÓÒ Ò Ðг Ò Ñ IRº + +l a = l a + = + + = + Ô Ö Ó Ò l a IR +l a = l a = = Ô Ö Ó Ò l a IR + l a = + (+ ) = + Ô Ö Ó Ò l a > 0 + l a = + ( ) = Ô Ö Ó Ò l a < 0 l a /(± ) = 0 Ô Ö Ó Ò l a IR ± /l a = ± Ô Ö Ó Ò l a > 0 ± /l a = Ô Ö Ó Ò l a < 0 /l a = l a = 0 Á ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ø ÔÖ Ò ÓÒÓ Ð ÒÓÑ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ó Ò ÓÒ Ð ÑÓ Ö ÙÒØ Ô Ö ÓÑÓ Ø Ò ÐÐ Ø ÐÐ ¾º º

17 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº Ì ÐÐ ¾º º ÓÖÑ Ò ÓÒ Ô Ö ÓÑÑ ÔÖÓ ÓØØÓ Ú ÓÒ º l a l b ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÓÒ ± ÓÑÑ { 0 ± } { } ± Ú ÓÒ Ú ÓÒ ÔÖÓ ÓØØÓ ¾º ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ð Ñ Ø Ð ÔÓØ ÒÞ º ÙØ ÑÓ ÓÖ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ù ÔÓ Ð ÙÒ Ö Ò Ò Ö Ð Ö Ð Óѹ ÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ù ÓÒ Ð Ø ÔÓa bn n ÕÙ Ò Ó Ô Ò Ó a n l a b n l b Ò Ø Ó Ò Ò Ø µº ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø ÔÓØ ÒÞ º Ë ÒÓ a n ÙÒ Ù ÓÒ ÒÙ¹ Ñ Ö ÔÓ Ø Ú b n ÙÒ Ù ÓÒ ÕÙ Ð º ÐÐÓÖ a n l a b n l b Ò Ø Ó Ò Ò Ø µ Ö ÙÐØ (a n ) bn (l a ) l b ØÖ ÒÒ Ò Ò Ù (l a ) l b Ð Ø ÔÓ ÓÔÔÙÖ 1 ± º Ò ÓØØÓÐ Ò Ö ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ a bn n ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö Ó Ò n l a = 0 l b = + ÐÐÓÖ a bn n Ø Ò 0 ÓÚÚ ÖÓ Ð ÓÖÑ 0+ ÒÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø µº Ò ÐÓ Ñ ÒØ l a = 0 l b = ÐÐÓÖ ÔÙ ÓÒÐÙ Ö a bn n Ø Ò + º È Ö ÓÑÓ Ø ÑÓ Ö ÙÒØÓ Ò ÐÐ Ø ÐÐ ¾º ÓÑÔÐ Ø Ð Ø ÐÐ ¾º µ Ð ÓÖÑ Ò ÓÒ Ó Ø ÐÐ ÔÓØ ÒÞ º Ì ÐÐ ¾º º ÓÖÑ Ò ÓÒ Ô Ö Ð ÔÓØ ÒÞ º l a l b ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÓÖÑ Ò ÓÒ ÔÓØ ÒÞ l l b a µ 1 0 0

18 Ôº Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Á ÐÙ Ð Ø ÓÖ Ñ ÔÖ ÒØ ÔÓÖØ ÒÓ ÓÑÔÐ Ú Ñ ÒØ ØØ Ð ÒÙ¹ Ñ ÖÓ ÐÐ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Á Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Ø Ö Ð Ñ Ø ÓÔ ¹ Ö Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÒÓÒ ÓÒÓ ÓÒÐÙ Ú Ò Ð Ó ÐÐ ÓÖÑ Ò ÓÒ ÕÙ Ò Ú ÒÒÓ Ö ÓÐØ Ó Ô Ö Óº ÁÐ ÐÓÐÓ ÔÐ ØÓ ÙÒ Ð Ñ Ø ÔÖ ¹ ÒØ ÔÖ Ñ Ú Ø ÓÑ ÙÒ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÔÙ Ö ÐÙÓ Ó ÙÒ ÕÙ Ð ÐÐ Ù ÒØ Ú ÒØÙ Ð Ø Ð Ð Ñ Ø Ø Ò ØÓ Ø Ò Ò ØÓ ÒÓÒ Ø º Î ÑÓ ÙÒ ÑÔ Ó Ò ÔÖÓÔÓ ØÓº ÑÔ Ó ¾º º Ë a n = n b n = n Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Óa n b n ÐÙÓ Ó ÙÒ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓ º ÌÙØØ Ú Ó ÖÚ Ò Ó n n = n2 n n+ n = n 1 1+1/ n = n 1+1/ n 1 1+1/ n 1/ n 0 Ù Ù ØÓ n 1+1/ n +, 1 1+1/ n 1 ÕÙ Ò a n b n + º Ò ÐÓ Ñ ÒØ a n /b n b n /a n ÒÒÓ ÐÙÓ Ó ÙÒ ÓÖÑ Ð Ø ÔÓ Ñ Ú Ò Ó ÒÙÑ Ö ØÓÖ ÒÓÑ Ò ØÓÖ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ô Ö n Ò Ð ÔÖ ÑÓ Óµ Ô Ön Ò Ð ÓÒ Ó Óµ Ú Ù ØÓ a n /b n + b n /a n 0º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ò ÙÒ Ó Ò Ù ÙÒ ÓÖÑ Ò ÓÒ Ö ÓÐÚ Ò ÐÐ ÒÓÒ Ø ÒÞ Ð Ð Ñ Ø a n = n+( 1) n b n = n ÐÐÓÖ a n + ØÓ a n ÓÑÑ ÙÒ Ù ÓÒ Ð Ñ Ø Ø ÙÒ Ú Ö ÒØ µ Ñ ÒØÖ b n a n +b n ÓÒ Ù ÐÐ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Å a n +b n = ( 1) n ÔÔ ÑÓ Ö ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Æ ÔÖÓ Ñ Ù Ô Ö Ö Ú Ö ÑÓ Ò ÐгÓÖ Ò ÐÙÒ ØÖÙÑ ÒØ Ó Ö Ø Ö µ ÙØ Ð Ðг Ò Ð Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð Ñ Ø ÙÒ Ù ÓÒ Ù Ú Ñ ÒØ ÙÒ ÖÙÔÔÓ Ð Ñ Ø ÒÓØ ÚÓÐ Ð Ù Ú ÐÓÖ ØØ ÚÓ ÒÓÒ Ô Ö ÒÙÐÐ ÓÒØ ØÓ Ó ÒØÙ Ð ÔÖ ÓÖ Ø ÐÚÓÐØ ÔÖ ÒØ ÒÓ ÓÑ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º Á Ù ØØ Ö Ø Ö ÙÓ ÒÓ ÙÒ ÖÙÓÐÓ ÒÞ Ð Ò Ð ÐÓÐÓ Ø Ð Ð Ñ Ø º ¾º ÈÖÓÔÖ Ø Ð Ð Ñ Ø Ö Ø Ö ÓÒÚ Ö ÒÞ Ä ÑÔÐ Ø ÚÓÐÙØ µ Ð ÑÔ Ú Ø ÒÓÖ ÔÓØÖ ØÖ ÖÖ Ò Ò ÒÒÓº Ö Ö Ð ÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ù ÓÒ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ò Þ ÓÒ Ð Ñ Ø ÔÙ Ö ÙÐØ Ö ÑÓÐØÓ Ð ÓÖ Ó Ó ÒÓÒ Ö ØØÙÖ ÑÔÓ Ð µ ÕÙ Ò Ó Ð

19 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ½¼¼ ÙÒÞ ÓÒ Ò Ð Ð Ñ ÒØ ÐÐ Ù ÓÒ ÙÒ ÓÖÑ ÓÑÔÐ Ø º Ë Ô Ò Ô Ö ÑÔ Ó Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó ( a n = n n, a n = 1+ n) 1 n, Ñ Ð ÓÓÖÖ Ö ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ò ÓÚ Ò Ö ÕÙ Ð ÔÓ Ö Ð Ð Ñ Ø l ÒÞ Ö Ô Ö ÒÙÐÐ ÙÖ ÔÖ ÓÖ Ö Ð Ù Ø ÒÞ µ ÔÓ ÓÚÖ Ö ÓÐÚ Ö Ð Ù Ù Ð ÒÞ a n l < ε Ò ÐÐ ÓÖÑ n > n(ε) Ñ ÐÑ ÒØ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ Ò ÑÔÐ ÑÔ ÔÖ ÒØ º ÙÖÓ ÒÓÒ ÕÙ Ø Ð ØÖ Ô ÔÖÓ Ù º ÍÒ ØÖ ÙÖ Ñ ÒØ Ô ÖÙØØÙÓ ÕÙ ÐÐ Ò Ú Ù Ö Ö Ø Ö ¹ Ø ÒÞ Ò Ö Ð Ð Ú Ö ÓÒ ÒØ ÒÓ Ö ÙÒ Ø Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö Ú Ö Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ö Ð Ò Ó Ò ÓÒ Ó Ô ÒÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ Ò Ú Ù Þ ÓÒ ÒÙÑ Ö Ðг Ú ÒØÙ Ð Ð Ñ Ø Ò Ô Ó Ø ÔÓØÖ Ö Ø ÙÒ ÐÓÐ ØÓÖ µº Ä ÕÙ Ø ÓÒ ÐÐ ÓÒÚ Ö¹ ÒÞ ÓÚÚ Ñ ÒØ ÔÖ Ñ Ö ØÓ Ö ÙÖ Ó Ö Ö ÐÓÐ Ö Ð Ð Ñ Ø Ó ÖÐÓ Ú ÐÙØ Ö ÙÒ ÐÓÐ ØÓÖ µ ÕÙ ØÓ ÒÓÒ Ø ÍÒ ÔÖ Ñ ÓÒ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ò ÙÒ Ù ÓÒ ÓÒÚ Ö Ó Ú Ö Ð ÑÓÒÓØÓÒ º Ö Ø Ö Ó ÑÓÒÓØÓÒ º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ð Ù ÓÒ a n ÑÓÒÓØ Ò º ÐÐÓÖ Ð Ù ÓÒ a n Ó ÓÒÚ Ö Ó Ú Ö º Ë Ð Ù ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ø ÐÐÓÖ ÓÒÚ Ö º Ë Ò Ð ÑÓÒÓØÓÒ ÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ô Ö Ð ÓÒÚ Ö ÒÞ Ñ ÒÓÒ Ò Ö Ò ØØ a n ÙÒ Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò ØÙØØ ÔÓ Ø Ú ÓÒÚ Ö ÒØ Þ ÖÓ Ð Ù ÓÒ ( 1) n a n ÒÓÖ ÓÒÚ Ö ÒØ ÒÞ Ö ÑÓÒÓØÓÒ º ÍÒ ÐØÖÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ö Ø Ö Ó Ð Ù ÒØ Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓ Ô Ö Ð Ù ÓÒ º Ë ÒÓ a n b n {c n } n IN ØÖ Ù ÓÒ ÒÙÑ Ö Ö Ð Ø Ð ÐÐÓÖ a n b n c n n IN. lim a n = lim c n = l IR Ò Ö Ñ ÒØ lim b n = lº n + n + n + 8 Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ñ ÓÐÓ a n ØÙØØ Ð ØØ Ð Ú ÐÓÖ ÙÒØÓ ÙÒ ÖØ ÙÒÞ ÓÒ f Ù n IN Ô Ö Ö ÓÐÚ Ö Ð Ù Ù Ð ÒÞ a n l < ε Ö Ô ØØÓ n ÕÙ Ú Ð ÒÚ ÖØ Ö f ÓÔ Ö Þ ÓÒ ÙÖ Ñ ÒØ ÔÓ Ð f ÑÓÒÓØ Ò Ñ ØÙØس ÐØÖÓ Ð Ô Ö ÒÓ ÑÔÓ Ð Ò ÑÓ Ó ÔÐ ØÓ f ÒÓÒ ÓÖÑ Ù ÒØÑ ÒØ ÑÔÐ º ÁÒÓÐØÖ Ð Ð Ñ Ø ÔÙ Ø Ö Ò f Ó Ð Ù ÓÒ Ø ÒÓÒ ÑÓÒÓØ Ò º

20 Ôº ½¼½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ ÍÒ Ò Ð ÓÒ Ù ÒÞ Ð Ö Ø Ö Ó ÔÖ ÒØ Ð Ù ÒØ ÔÖÓÔÓ Þ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ò Ø Ñ a n Ô Ö ÙÒ Ù ÓÒ Ð Ñ Ø Ø b n ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ò Ø Ñ º ÁÐ Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓ ÑÓÐØÓ ÙØ Ð Ð Ù ÓÒ b n ÙÒ ÓÖÑ Ô ÖØ Ó¹ Ð ÖÑ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ñ Ö Ø Ñ ÖÐ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ò Ö ÓÖÑ ÒØ ÓÒ Ù Ù ÓÒ Ô ÑÔÐ ÓÒÚ Ö ÒØ ÐÐÓ Ø Ó Ð Ñ Ø º ÁÐ Ó Ø Ô Ó ÕÙ ÐÐÓ Ò Ù bn b n = ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò n Ö Ó p 1 ÓÚ b n ÙÒ ØÖÙØØÙÖ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ ÓÑÔÐ Ø Ñ { b n } n IN Ð Ñ Ø Ø º ÁÒ ØØ Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó 1 ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò n Ö Ó p 1 Ñ Ò Ø Ñ ÒØ Ò Ò Ø Ñ Ø ÔÖ Ò Ö n Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ô Ö¹ Ð Ö Þ ÓÒ Ú ÒØ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ô ÓÐ º ÁÒ ÐгÙÐØ ÑÓ Ö Ø Ö Ó Ú ØÓ Ò Ð Ù ÓÒ b n Ö ÙÐØ Ò Ò Ø Ñ º ¾º ÐÙÒ Ð Ñ Ø ÒÓØ ÚÓÐ º ÓÒÓ ÐÙÒ Ð Ñ Ø Ù ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ö ÙÐØ ÒÓ ØÖ ÑÓ ÙØÓ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ð Ñ Ø Ô ÓÑÔÐ º ÍÒÓ ÕÙ Ø Ð Ù ÒØ º ÁÐ ÙÓ Ú ÐÓÖ Ô Ò ÐÐ ÐØ aº lim n + an, ÓÒ a IR ¾º¾µ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º È Ö Ù Ö Ð ÐÓÐÓ Ò Ô Ò Ð Ð Ó ØØ Ù¹ Ù Ð ÒÞ ÖÒÓÙÐÐ Ù Ù Ð ÒÞ ÖÒÓÙÐÐ º È Ö Ó Ò ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð x 1 Ô Ö Ó Ò Ò ØÙÖ Ð n Ö ÙÐØ (1 + x) n 1 + nx. ¾º µ ÌÓÖÒ Ò Ó Ð Ð Ñ Ø ¾º¾µ Ø Ò Ù ÑÓ ÕÙ ØØÖÓ a > 1 a = 1 1 < a < 1 a 1º Ë a > 1 ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÖÒÓÙÐÐ Ö Ú a n 1 + n(a 1) 9 ÚÚ ÖØ ÑÓ ÐÓ ØÙ ÒØ Ò ÕÙ Ø Þ ÓÒ ÓÒÓ ÐÙÒ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ö Ñ ÒØ Ò Ø µ Ò ÙÒ ÔÖ Ñ Ð ØØÙÖ ÔÓ ÓÒÓ Ö ÓÑ º

21 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ½¼¾ ÕÙ Ò Ò Ó lim n(a 1) = + Ù n + lim n + an = +. Ë a = 1 ÐÐÓÖ a n = 1 Ô Ö Ó Ò n IN ÕÙ Ò lim n + an = 1. Ë a = 0 ÐÐÓÖ a n = 0 Ô Ö Ó Ò n IN ÕÙ Ò lim n + an = 0. Ë ÙÒÕÙ 1 < a < 1 ÓÒ a 0 Ö ÙÐØ 1/ a > 1 ÕÙ Ò Ô Ö ÕÙ ÒØÓ ÔÔ Ò Ú ØÓ 1 lim n + an = lim n + 1/ a n = 0. Ë ÔÓ a = 1 ÐÐÓÖ a n = ( 1) n ÔÔ ÑÓ Ö Ò Ø ÖÑ Ò Ø º È Ö a < 1 Ø Ó ÖÚ Ö ÓÒ Ö Ò Ó Ð³ ØÖ ØØ Ò Ô Ö a 2m = (a 2 ) m ÕÙ Ø Ú Ö + Ò ÕÙ ÒØÓ a 2 > 1µ Ñ ÒØÖ ÓÒ Ö Ò Ó Ð³ ØÖ ØØ Ò Ô Ö a 2m+1 = a(a 2 ) m ÕÙ Ø Ú Ö Ô ÖØ ÒØÓ Ð Ù ÓÒ Ô ÖØ ÒÞ Ö ÙÐØ Ò Ø ÖÑ Ò Ø º ÁÒ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ Ò ÐÐ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÔÙ ÓÒÐÙ Ö Ò Ó + a > 1, 1 a = 1, lim n + an = ¾º µ 0 a < 1, ÒÓÒ Ø a 1. Î ÑÓ ÙÒ ÐØÖÓ ÑÔ Óº ÈÖÓÚ ÑÓ lim n + n a = 1, a IR +. ¾º µ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º Ë a > 1 Ö ÙÐØ n a 1 ÕÙ Ò b n = n a 1 ÔÓ Ø ÚÓº ÐÐÓÖ Ô Ö Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÖÒÓÙÐÐ a = (1 + b n) n 1 + nb n ÓÚÚ ÖÓ 0 b n a 1 n ÕÙ Ò Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓ ÓÒÐÙ b n 0 Ó a n 1º Ë a = 1 n a = 1 Ô Ö Ó Ò n IN ÙÒÕÙ an 1º Ë 0 < a < 1 Ö ÙÐØ 1/a > 1 ÙÒÕÙ n 1 a = ; n 1/a

22 Ôº ½¼ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ô Ö ÕÙ ÒØÓ ÔÔ Ò ÑÓ ØÖ ØÓ 1 1 ÕÙ Ò n 1/a n a 1. ¾º µ ÍÒ ÐØÖÓ ÑÔ Ó ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ù ÒØ sina n lim = 1, a n 0. ¾º µ n + a n ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º Ë Ö ÑÑ ÒØ Ò Ð Ö Ó ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ó Ð Ú ÐÓÖ Ò Ö ÒØ µ x ( π/2,π/2) ÙÒ Ò ÓÐÓ ÓÖÒ Ò Ò ÐгÙÒ Ø Ñ ÙÖ Ö Ô¹ ÔÖ ÒØ Ø Ð Ö Óµ Ð ÐÙÒ ÞÞ x Ðг ÖÓ Ö Ó Ú ÐгÓÖ Ò Ð ÔÙÒØÓ ÓÖ Ò Ø sinxº Ð ØØÓ Ð ÐÙÒ ÞÞ Ðг ÖÓ ÑÔÖ Ñ ÓÖ ÐгÓÖ Ò Ø Ð ÔÙÒØÓ Ù ÒØ Ù Ù Ð ÒÞ 0 sina n a n tana n = sinan cosa n, ¾º µ Ù ÒØ ÒØÓ Ù Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓµ lim an = 0 lim sinan = 0. n + n + ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÑÔ Ø Ð Øµ Ù Ò lim an = 0 lim cosan = 1. n + n + Ë ÒÓØ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð Ñ Ø Ð Ö ÔÔÓÖØÓ sina n/a n ÔÖ ÒØ Ô Ö a n 0 ÓÑ ÙÒ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓ ¼»¼º È Ö Ö ÓÐÚ ÖÐ Ú ÑÓ Ð ¾º µ Ô Ö sina n ÓÒ Ö Ò Ó Ö ÔÖÓ Ö Ú cosa n sinan a n È ÖØ ÒØÓ Ö ÔÔÐ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓµ 1. sina n lim = 1, ÓÒ a n 0. ¾º µ n a n Æ Ðг Ù Ö Ð Ð Ñ Ø ÒØ Ö ÒÓ ÓÐÓ Ú ÐÓÖ a n Ú Ò 0 Ö ÓÒ Ô Ö Ù ÔÓ ¹ ÑÓ Ð Ñ Ø Ö ÓÒ Ö Ö Ú ÐÓÖ a n ÔÔ ÖØ Ò ÒØ Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ( π/2,π/2)º È Ö Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ sinan ÒÓÒ Ò Ø ÚÓ Ò ØØ a n π 2 > an > 0 sinan > 0 sinan a n > 0,

23 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ½¼ È ÖØ ÒØÓ π 2 < an < 0 sinan = sin( an ) = sin an < 0 sinan a n > 0. a n 0 sinan a n = sinan a n 1 ÍÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÑÔ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ Ð Ù ÒØ ÑÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð x ÓÒ Ö ÑÓ Ð ( lim 1+ x n n = E(x). ¾º½¼µ n) (n> x) ÑÓ Ò ØÓ ÕÙ ØÓ Ð Ñ Ø ÓÒ E(x) Ô Ö ÓØØÓÐ Ò Ö Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð Ð Ñ Ø Ô Ò Ö Ð Ú ÐÓÖ ÐØÓ Ô Ö xº Ë ÒÓØ Ð ¾º½¼µ ÐÙÓ Ó ÙÒ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÔÓ 1 ÕÙ Ð Ð ÐØ x IRº Ì ÓÖ Ñ ¾º º ÁÐ Ð Ñ Ø ¾º½¼µ Ø Ò ØÓ Ô Ö Ó Ò x IRº È ÖØ ÒØÓ Ö Ø Ò Ø Ð ÙÒÞ ÓÒ ( E : x IR E(x) = lim 1+ x n ¾º½½µ n + n) ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ ÔÓÒ ÒÞ Ð Ò ØÙÖ Ð º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÔÓ Ð ÔÖÓÚ Ö Ð Ð Ñ Ø ¾º½¼µ Ø Ò ØÓ Ñ Ð ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ ÓÑÔÐ Ø ØÖÓÔÔÓ ÐÙÒ Ô Ö ØÖÓÚ Ö ÔÓ ØÓ Ò ÕÙ Ø Ð Þ ÓÒ º Ð Ñ Ø Ö ÑÓ ÙÒ ÔÖÓÚ ÑÔÐ Ø ÙÔÔÓÒ ÑÓ Ú Ö ÔÖÓÚ ØÓ ÓÑ Ò ØØ Ù µ Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó (1 + x/n) n Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö n > xµ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó (1 x/n) n Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ô Ö n > xµ ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ ÐÐÓÖ ÕÙ ÐÐ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó (1 x/n) n Ò Ø Ú Ñ ÒØ ÑÓÒÓØ Ò ¹ Ö ÒØ º Ç ÖÚ ÑÓ ÓÖ Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó (1 + x/n) n Ð Ñ Ø Ø Ô Ö Ó Ò x IR Ò ØØ x < 0 n < x = x 0 < (1+x/n) n < 1º Ò Ó ÔÓ ( 1 + x ) n ( 1 x ( ) n n = 1 n n) x2, n 2 0 < (1 x 2 /n 2 ) n < 1 n > x ÕÙ Ò ( 0 < 1 + n) x n ( < 1 n) x n, n > x 0. ¾º½¾µ

24 Ôº ½¼ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ê ÓÖ Ò Ó Ð Ñ Ñ ÖÓ Ô ØÖ ÐÐ ¾º½¾µ Ö ÒØ ÑÓ Ô Ö n > x x 0 Ð Ù ÒØ Ø Ñ ( 0 < 1 + n) x n ( < 1 x ) n0, n > n n 0 Ú Ð Ô Ö Ó Ò x ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ Ô Ö Ó Ò n Ø Ð n > n 0 > x º È Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÑÓÒÓØÓÒ Ð Ð Ñ Ø ¾º½¼µ Ø Ò ØÓº È Ö x = 0 Ð Ù ÓÒ Ø Ö Ù ÙÒ Ù ÓÒ Ó Ø ÒØ Ò Ù ØÙØØ Ø ÖÑ Ò ÒÒÓ Ú ÐÓÖ 1 ÕÙ Ò Ð ÙÓ Ð Ñ Ø ÔÖÓÔÖ Ó 1º Ë x = 1 ØÖÓÚ Ô Ö Ó Ò n IN (1+1/n) n < (1 1/6) < 3º ÁÒÓÐØÖ Ô Ö n 1 ÓØØ Ò ÑÓ (1+1/1) 1 = 2 < (1+1/n) n ÕÙ Ò E(1) ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÓÑÔÖ Ó Ò Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (2,3)º Á ÔÖ Ñ ½¼ Ú ÐÓÖ ÐÐ Ù ÓÒ ÓÒÓ Ù ÒØ 2., 2.25, , , , , , , , Ë ØÖ ØØ ØÙØØ Ú ÙÒ Ù ÓÒ ÓÒ ÙÒ Ö Ø ÑÓÐØÓ Ð ÒØ Ô Ö Ú Ö ÐÑ ÒÓ Ö Ñ Ð ØØ ÓÓÖÖ Ú ÐÙØ Ö Ð Ù ÓÒ Ô Ö ÙÒ n Ñ Ó¹ Ö 13590º ÁÒ Ø Ð Ó ÓÔÖ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ø ÓÒ ÕÙ ØØÖÓ Ö Ñ Ð ØØ µ º ÁÒ Ö ÐØ Ð Ú ÐÓÖ Ð Ñ Ø Ú ÖÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ ÖÖ Þ ÓÒ Ð ØÖ ¹ Ò ÒØ ÑÓ ÒÓÒØÖ ØÓ ØÖ ØØ Ð ÒÙÑ ÖÓ Æ Ô ÖÓ e Ó E(1) = eº ÁÒ ØØ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÑÓ Ñ ØÓ E(x) ÔÖÓÔÖ Ó Ð³ ÔÓÒ Ò¹ Þ Ð e ÔÓÒ ÒÞ Ð Ò ØÙÖ Ð µ Ó E(x) = exp e (x) Ò Ø Ò ÓÒ e x µº ÙÖ ¾º½½º Ä Ù ÓÒ Æ Ô ÖÓ (1+x/n) n Ô Ö x = 1 ÓÒÓ ÑÓ ØÖ Ø ÔÖ Ñ ¾¼ Ú ÐÓÖ Ð Ð Ñ Ø eº Ë ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó ÓØØ Ò Ö ÙÒ ÙÐØ ÑÓ Ð Ñ Ø ÒÓØ ÚÓÐ lim n + n nb = 1 b IR ¾º½ µ ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÁÒÓÑ Ò ÑÓ ÓÒ Ð³Ó ÖÚ Ö Ò Ø ÓÒ [x] Ð Ô ÖØ ÒØ Ö x ÓÚÚ ÖÓ Ð Ô Ö Ò ÒØ ÖÓ Ñ ÒÓÖ Ó Ù Ù Ð Ð ÒÙÑ ÖÓ Ö Ð x Ö ÙÐØ

25 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ½¼ n n [b] n n b n n [b]+1 ÙÒÕÙ Ô Ö Ð Ö Ø Ö Ó ÓÒ ÖÓÒØÓ Ù ÒØ Ò Ð ÞÞ Ö Ð Ð Ñ Ø ÓÒ b Zº Ë ÙÒÕÙ b Z Ö ÙÐØ n ( n ) 2b n b = n 1/2 ; Ñ Ô Ö Ð Ù Ù Ð ÒÞ ÖÒÓÙÐÐ ÔÓ ØÓ b n = n n 1/2 1 Ö ÙÐØ n = (1 + bn) n 1 + nb n ÓÚÚ ÖÓ n 1 0 b n. n n 1 ÈÓ 0 Ö ÙÐØ b n 0 Ó n n 1/2 1º ÙÒÕÙ Ô Ö b Z Ö ÙÐØ n n ( n ) 2b lim nb = lim n 1/2 = 1 n + n + ÕÙ Ò ÐÐ ¾º½ µ Ù Ð ¾º½ µº ¾º½ µ È Ö Ò Ö Ö ÔÓÖØ ÑÓ Ù Ö ÙÐØ Ø Ö Ú Ð ÒÓ Ð Ö ÓÐ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð Ò ØÙÖ Ð ÐÓÐÓ Ð Ñ Ø Ù ÓÒ º ÁÐ ÔÖ ÑÓ ÕÙ Ø Ö ÙÐØ Ø ÕÙ ÓÚÚ Óº Ì ÓÖ Ñ ÐÐ Ô ÖÑ Ò ÒÞ Ð ÒÓº Ë Ð Ð Ñ Ø ÔÓ Ø ÚÓ Ò Ø ÚÓµ ÐÐÓÖ Ò Ø Ú Ñ ÒØ a n > 0 a n < 0µº lim n + a n = l ÉÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ ÔÙ ÒÙÒ Ö Ò ÑÓ Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ ÓÑ Ù Ì ÓÖ Ñ ÐÐ Ô ÖÑ Ò ÒÞ Ð ÒÓ ÓÖÑ ÐØ ÖÒ Ø Ú µº Ë Ð Ù ÓÒ ÒÙÑ Ö ÔÓ Ø Ú Ò Ø Ú µ a n Ð Ñ Ø Ò ØÓ l ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ l 0 l 0µº ÁÐ ÓÒ Ó ÑÓÐØÓ Ñ ÒÓ ÓÚÚ Óµ ÓÖÒ Ò ÐÙÒ ÙÒ Ö Ô Ó ØÖÙÑ ÒØÓ Ô Ö Ö Ö Ð ÓÒÚ Ö ÒÞ ÙÒ Ù ÓÒ ÔÖ ÒØ Ò ÐÐ ÓÖÑ 0/0 ÓÔÔÙÖ / º ÁÒ ØØ Ò Ö ÐÑ ÒØ Ò ÕÙ Ø ÔÓ Ð Ö Ð Ò ØÙÖ ÐÐ ÓÖÑ Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÓÒ ÖÓÒØ Ò Ó Ð Ú ÐÓ Ø ÓÒ Ù ÒÙÑ Ö ØÓÖ ÒÓÑ Ò ØÓÖ ÓÒÚ Ö ÓÒÓ Ó Ú Ö ÓÒÓº Ö Ø Ö Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓº Ø ÙÒ Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ø Ú a n+1 {a n } n IN lim Ø Ñ ÒÓÖ 1 ÐÐÓÖ {a n } n IN Ò Ò Ø Ñ º n + a n ¾º ÇÖ Ò Ú Ö Ò Ò ØÓ Ó Ò Ò Ø ÑÓ ÅÓ ØÖ ÑÓ ÙÒ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ð Ö Ø Ö Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ Ù ÓÒ ÓÖÑ Ø Ö ÔÔÓÖØ Ö Ð Ù ÒØ Ù ÓÒ

26 Ôº ½¼ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ n α, b n, n!, n n, ÓÚ α > 0 b > 1 ÓÒÓ Ò Ø º Ä Ô ÒÙÐØ Ñ Ù ÓÒ Ñ ØØÓÖ Ð n Ò Ø Ö ÓÖ Ú Ñ ÒØ ÓÑ Ù ÁÐ ØØÓÖ Ð nº { 0! = 1! = 1, n! = n(n 1)!, Ô Ö n 2 Ç ÖÚ ÑÓ ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ð ÕÙ ØØÖÓ Ù ÓÒ Ù Ñ ÒÞ ÓÒ Ø ÓÒÓ ØÙØØ Ú Ö ÒØ + º ÌÙØØ Ú Ø Ò ÙÓÒÓ Ô Ö Ð Ú Ö Ú ÐÓ Ø ÓÒ Ù ÕÙ ØÓ Ú Ö Ò Ò Ö Ð Ø Ù Ù ÓÒ a n,b n ÒØÖ Ñ Ú Ö ÒØ ± Ð Ù ÓÒ a n Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ö ÓÖ b n Ô Ö n a n lim = 0 n b n ÍÒ Ò Þ ÓÒ Ò ÐÓ Ú Ð Ò Ð Ó Ò Ù Ù Ù ÓÒ a n,b n ÓÒÓ Ò¹ ØÖ Ñ Ò Ò Ø Ñ Ð Ù ÓÒ a n Ò Ò Ø Ñ ÓÖ Ò ÙÔ Ö ÓÖ b n Ô Ö n a n lim = 0 n b n ÔÖ Ñ Ó ÑÓ ØÖ ÑÓ Ð ÕÙ ØØÖÓ Ù ÓÒ Ù ÓÒ Ö Ø ÓÒÓ Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø ÐÐ Ú ÐÓ Ø ÓÒ Ù Ú Ö ÓÒÓ Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ö ÒØ Ó ÙÒ Ò Ò Ø ÓÖ Ò Ò Ö ÓÖ ÕÙ ÐÐ Ù Ú º È ÔÖ Ñ ÒØ Á Ö ÔÔÓÖØ H n,k n,l n Ò Ø Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ ÓÑ H n = nα b n, K n = bn n!, L n = n! n n, ÓÒÓ ØÙØØ Ò Ò Ø Ñ º È ÖØ ÒØÓ Ð ÕÙ ØØÖÓ Ù ÓÒ n α, b n, n!, n n, ÓÒÓ Ò Ò Ø ÙÒ ÓÖ Ò Ò Ö ÓÖ ÐÐ Ù Ú º Ò ÐÓ Ñ ÒØ Ð ÕÙ ØØÖÓ Ù ÓÒ n n, 1 n!, b n, n α, ÓÒÓ Ò Ò Ø Ñ ÙÒ ÓÖ Ò ÙÔ Ö ÓÖ ÐÐ Ù Ú º ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ

27 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ôº ½¼ H n = nα b n Ú ÒØ Ñ ÒØ ÐÙÓ Ó ÙÒ ÓÖÑ Ð Ø ÔÓ / º ÔÔÐ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ H n+1 (n + 1) α /b n+1 lim = lim = 1 lim n + H n n + n α /b n b (1 + n + 1/n)α = 1 b < 1. È ÖØ ÒØÓ H n 0º ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ K n = bn n! ÔÔÐ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ K n+1 lim = lim n + K n n + È ÖØ ÒØÓ Ò K n 0º ÓÒ Ö ÑÓ Ò Ò Ð Ö ÔÔÓÖØÓ b n+1 n! (n + 1)!b = a lim 1 n n + n + 1 = 0. L n = n! n n ÔÔÐ Ò Ó Ð Ö Ø Ö Ó Ð Ö ÔÔÓÖØÓ L n+1 lim = lim n + L n n + (n + 1)!n n 1 = lim = 1/e < 1. n!(n + 1) n+1 n + (1 + 1/n) n È ÖØ ÒØÓ Ò L n 0º Ä ÓÒÐÙ ÓÒ Ô Ö Ð Ù ÓÒ Ö ÔÖÓ ÓÒÓ ØÙØØ Ò Ò Ø Ñ ÓÚÚ ÙÐÐ ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓº ÉÙ ØÓ Ö ÙÐØ ØÓ ÔÙ Ö ÓÑÔÐ Ø ØÓ ÓÒ Ö Ò Ó Ò Ð Ù ÓÒ lognº ÔÓ Ð ÔÖÓÚ Ö Ñ Ò Ø Ò ÑÓµ logn lim n + n α = 0 ¾º½ µ ÓÚÚ ÖÓ Ð ÐÓ Ö ØÑÓ Ú Ö Ô Ð ÒØ Ñ ÒØ ÐÐ ÔÓØ ÒÞ n α Ò Ô Ò Ò¹ Ø Ñ ÒØ ÐÐ ÐØ α > 0º Ë Ò Ð ÑÓ ÐØÖ Ù Ð Ñ Ø ÒÓØ ÚÓÐ Ö ÔÓÖØ ÑÓ ÒÞ ÑÓ ØÖ ÖÐ º

28 Ôº ½¼ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ¾ Ë a n ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ò Ø Ñ º ÐÐÓÖ e an 1 lim = 1. ¾º½ µ n + a n Ë a n ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ò Ø Ñ º ÐÐÓÖ 1 cosa n lim n + a 2 = 1 n 2. ¾º½ µ

29 ÒÒ ÙÐÐ Ö ÓÒÓ ÙÒ Ô Ó Ù ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ ÑÔÓÖØ ÒØ Ò Ú Ö ÓÒØ Ø ÔÔÐ Ø Ú Ù ÕÙ Ö ÑÓ ÕÙ Ð ÒÒÓº ÁÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ ÓÒÓ ÒØÖ Ñ ÙÒ Ø ÔÓ ÑÓÐØÓ Ô Ð Ð ÔÖÓ Ó Ö ÓÖ ÚÓ Ø ÖÑ Ò Ð Ø ÖÑ Ò n ÑÓ ÐÐ Ù ÓÒ Ò Ö ÑÓ ÓÒ s n Ð Ù ÒØ s n = n a i, i=1 ÓÚ a i Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó ÙÒ Ù ÓÒ ÒÓØ º Ä Ù ÓÒ s n Ú ÒØ Ñ ÒØ Ò Ø ÙÒ ÔÖÓ Ó Ö ÓÖ ÚÓ Ò ØØ Ð Ò Þ ÓÒ s n ÕÙ Ú Ð ÐÐ Ù ÒØ s n = s n 1 +a n, Ó s n Ø ÖÑ Ò ØÓ s n 1 Ô Ö Ó ØÖÙ Ö ØÙØØ Ð Ù ÓÒ ÓÓÖÖ Ó¹ ÒÓ Ö ÔÖ ÓÖ Ð Ù ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ò Ö Óa i Ò Ò Ö Ò Ø Ò ÑÓ Ó ÔÐ ØÓµº Ø ÙÒ Ø ÓÖ Ò Ö Ð Ô Ö ÕÙ ØÓ Ø ÔÓ Ù ÓÒ Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ ÒÓØ Ò ÓÑ Ö µ Ñ ÒØ Ð ÕÙ Ð Ö ÔÓ Ð Ù Ø Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ ÑÓÐØ ÓÒ ØØ Ò ÕÙ Ø Ð Þ ÓÒ Ú Ò ÓÒÓ Ó¹ ÐÓ ÓÖ Ø Ó Ñ ÒÞ ÓÒ Ø Ð Ú ÐÐÓ ÙÔ Ö Ð ÒÞ ØÖÓÔÔ Ô Þ ÓÒ Ø ÔÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö µº ÓÑ ÑÓ ÒÒ ØÓ Ô Ò ÙÖÖ Ô Ö ÙÒ Ù ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ö ÓÖÖ ÒÞ Ð ÓÖÑ ÔÐ Ø ÕÙ ÐÐ ÑÔÐ Ø ÑÔÖ Ö Ù ÓÒÓ ÔÓ Ñ ÕÙ Ø Ö Ö ØÓ ÔÓ Ø ÚÓº Ä Ø ØÙ Þ ÓÒ Ú ¹ Ö Ò Ô Ö ÕÙ ÐÐ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ù ÓÒ Ö ÓÖÖ ÒØ ÓÒÓ Ð Ö º ÉÙ ÚÓ Ð ÑÓ ÑÓ ØÖ Ö Ù Ò ÕÙ Ð Ø ØÓ ÔÓ Ð º

30 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½¼ Ä Ö Ù ÉÙ Ð Ø ÑÔÓ ÙÒ Ñ ØÖÓ ÙÓÐ Ð Ñ ÒØ Ö ÔÖÓÔÓ ÙÓ ÖÖ ÕÙ Ø µ ÐÙÒÒ Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÐÐ Ô Ö ÒÞ Ø Ò ÖÐ ÓÙÔ Ø Ø ÒÞ Ø ÑÔÓµ ØÖÓÚ Ö Ð ÓÑÑ ÔÖ Ñ ½¼¼ ÒÙÑ Ö Ò ØÙÖ Ð ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ Ð Ñ ØÖÓ Ú Ø ÖÑ Ò Ö Ð Ø ÖÑ Ò n ÑÓ ÐÐ Ù ÓÒ s n Ò Ù a i = iº ÁÒ ØØ Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó Ö Ú s n = s n 1 +n = s n 2 +(n 1)+n = s n 3 +(n 2)+(n 1)+n =... = (n 2)+(n 1)+n := n i. Å ÒØÖ ÙÓ ÓÑÔ Ò ÒÒ Ú ÒÓ Ù Ò Ó Ð ÔÖÓ Ñ ÒØÓ Ô ÓÚÚ Ó Ñ Ñ ÒÓ ÓÒÓÑ Ó Ò Ø ÖÑ Ò Ø ÑÔÓ Ø µ ÓÑÑ Ò Ó Ò ÓÖ Ò Ö ¹ ÒØ = = = 10 ºµ ÙÒÓ Ð ÐÙÒÒ Ö ÓÐ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÙÒ Ô Ó Ñ ÒÙØ ÓÖÒ Ò Ó ÒÓÒ ÓÐÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ø Ñ Ò Ð ÓÖÑ ÔÐ Ø s n ÕÙ Ò ÓÒ ÒØ Ú ÓØØ Ò Ö ÑÑ Ø ¹ Ñ ÒØ Ñ ÒØ ÙÒ ÓÐ ÑÓÐØ ÔÐ Þ ÓÒ ÙÒ Ú ÓÒ Ô Ö ¾µ Ð Ö ÔÓ Ø Ö Ø ÕÙ ÐÙÒÕÙ Ó Ð Ú ÐÓÖ nº ÓÑ Ô Ø ÑÓÐØÓ Ô Ó Ò ÐÐ Ò¹ Ú Ø Þ ÓÒ ÒØ Ð Ù Ó Ò ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ù ÐØÖ ÐÐ ÓÒÓ Ô Ò ÐÐ Ô Ø Ú Ö Ð Ñ ÑÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÙÒ ÒÙÓ¹ Ú Ñ ÒÓ ÓÒØ Ø µ ÔÖÓ Ô ØØ Ú º ÉÙ ØÓ ÕÙ Ð Ö ÞÞ ÒÓº Ä Ù Ò Ð µ ÒØÙ Þ ÓÒ ÔÙ Ö Ú Ö ÓÑ Ù ÔÓÒ Ò Ó ÔÖ Ñ n Ò ØÙÖ Ð Ù Ù Ð ÓÚÖ ÔÔÓ Ø Ð ÔÖ Ñ Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ Ð ÓÒ Ò ÓÖ Ò Ö ÒØ s n = (n 1) + n s n = n + (n 1) ÓÑÑ Ò Ó Ò ÓÐÓÒÒ 2s n = n(n+1) Ù Ð ÓÐÙÞ ÓÒ i=1 n i = n 2 (n+1). i=1 º½µ È Ö n = 100 Ù ØÓ s 100 = 5050º ÉÙ Ø ØÓÖ ÚÓÐ Ò ÐÐ ÖÑ Ò Ù ÓÐ Ð Ö ÞÞ ÒÓ Ú Ú ÔÓÓ Ô ØØ ÒÒ Ñ Ú Ã ÖÐ

31 Ôº ½½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ö Ö Ù ½ Ó Ö ÓÖ ØÓ ÓÑ ÙÒÓ Ô Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø ØÙØØ Ø ÑÔ Ñ ÕÙ Ð Ñ ØÖÓ ÒÓÒ ÔÓØ Ú Ô ÖÐÓµº ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó Ó ÖÚ Ò Ó n Ö ÒØ ÐÐ ÓÖÑ ÔÐ Ø Ù Ù ØÓ lim n + i=1 n i = +. i=1 i ÓÚÚ Ñ ÒØ ÑÓÒÓØ Ò Ä Ö ÓÑ ØÖ ÓÑ Ò Ð Ó ÔÖ ÒØ Ô Ö Ô Ö Ñ Ð Ó Ð Ö Ù ÚÓ Ð ÑÓ ÓÙÔ Ö ÓÖ Ú Ð Ð Ô Ò Ö ÓÒØ Ö ÙÒ ØÓÖ º ÁÐ ÓÒ ØØÓ Ù ÓÒ Ö Ð Ø Ú Ñ ÒØ ÑÓ ÖÒÓ ÓÖØ Ñ ÒØ ÓÐÐ ØÓ ÐÐ Ò Ø Ð ÐÓÐÓ Ò Ò Ø Ñ Ð Ò Ð ÎÁÁ Á ÓÐÓº ÉÙ ÐÐÓ Ö ÒÚ ÑÓÐØÓ Ô ÒØ Ó Ö Ð Ô Ö Ó Ó Ð Ó Ú Ú ÒÓ ÔÖ Ó Ò ÓÒ Ö Þ ÓÒ Ð ÔÓ Ð Ø ÓÑÑ Ö Ò Ò Ø ÚÓÐØ ÕÙ ÒØ Ø Ò Ø º Ö ¹ Ñ ¾ Ð ÙØ Ð ÞÞ Ô Ö Ð ÐÓÐÓ Ðг Ö Ð Ñ ÒØÓ Ô Ö ÓÐ Ò ÒÓÒ Ú Ú ÔÓ ØÓ Ð³ ØØ ÒÞ ÓÒ Ù ÐÙÒ Ô Ö Ó Ò Ú ÒÓ ÙÒ Ù Ó ÒÚÓÐØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ò Ò Ø Ò º ÉÙ Ø Ô Ö Ó Ù ÔÖÓÔÓÖÖ ÑÓ Ô Ö Ð Ù Ú Ð Ø ØØ Ð Ô ÑÓ Ó ÕÙ ÐÐÓ Ð¹ Ð ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ µ ÒÒÓ ÚÙØÓ ÙÒ ÖÙÓÐÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ò ÐÐÓ Ú ÐÙÔÔÓ Ð Ô Ò ÖÓ ÒØ Ó ÓÖÒ Ò Ó ÐÓ Ø ÑÓÐÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ ÓÑÔÖ Ò ÓÒ Ð ÓÒ ØØÓ Ò Ò ØÓº È Ö ÓÑ Ò Ö Ô Ö ÓÑ ÔÓ Ö Ô Ö ÓÐÓ Ó ÙÒ ÔÔÖÓ Ó ÙÔ Ö ¹ Ð Ø Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÖÚ ÑÓ ÓÒ ÒÓÒ ÐÐ Ô ÖØ Ø ÒÞ 100 Ñ ØÖ Ð ØÖ Ù Ö Ó Ð Ø ÖØ ÖÙ Ø ÒÞ 50 Ñ ØÖ ÐÐ ÙÒÕÙ Ö Ú Ò ÒØ Ò ÐÐ ÓÖ µ Ú ÓÑÙÒÕÙ ÙÒ Ö ÔÖ Ñ ÓÚ ØÖÓÚ Ú Ò Þ ÐÑ ÒØ Ð Ø ÖØ ÖÙ Ú Ó Ô ÖÓÖÖ Ö Ñ Ø ÐÐ Ø ÒÞ ÐÓ Ô Ö Ð ØÖ Ù Ö Óµ Ö ÙÒ ÖØÓ Ø ÑÔÓ Ò ØÓ Ò Ð ÕÙ Ð ØÙØØ ¹ Ú Ð Ø ÖØ ÖÙ ÒÓÒ Ö Ñ Ø ÑÑÓ Ð º ÙÒÕÙ ÐÐ Ú ÓÑÙÒÕÙ Ô Ö Ú Ò Ö µ ÐÑ ÒÓ Ö ÙÒ Ö Ð Ø ÖØ ÖÙ Ó ÔÔ Ö ÒØ Ñ ÒØ ÑÔÓ Ð Ó ÖÚ Ò Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓ Ò Ù ÐÐ ÓÖÖ ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ x 1 ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ ÕÙ ÐÐ Ù Ú x 2 ÕÙ Ø ÚÙØÓ ÔÓ Þ ÓÒ ÐÓ Ø Ó ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓ Ô Ö ÔÓ Ø Ö Ò ÙÒ ÒÙÓÚ ÔÓ Þ ÓÒ x 3 Ô Ú Ò¹ Þ Ø ÑÔÖ Ô Ú Ò Ð ØÖ Ù Ö Óµº ÎÓÐ Ò Ó ÓÖÑ Ð ÞÞ Ö Ð ÕÙ Ø ÓÒ Ò 1 ½ ¹½ 2 Ö Ñ Ë Ö Ù ¾ º º ¾½¾ º ºµº 3 ÁÐ Ñ ØÓ Ó ÒØÖÓ ÓØØÓ Ö Ñ ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ Ñ ØÓ Ó Ù Ø ÓÒ ÙÒ ÖÙÓÐÓ ÒØÖ Ð Ò ÐÐ Ø ÓÖ Ðг ÒØ Ö Ð º ÚÖ ÑÓ ÑÓ Ó ÔÔÖÓ ÓÒ Ö ÕÙ Ø Ø Ò Ò Ð Ô ØÓÐÓ ØÓ Ð ÒØ Ö Ð º 4 ÒÓÒ Ð Î ÓÐÓ º º

32 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½¾ Ð Ò Ù Ó Ñ Ø Ñ Ø Ó ÔÓ ÑÓ ÔÖÓ Ö Ò ÕÙ ØÓ ÑÓ Ó Ò ÑÓ ÓÒ x i Ð ÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ ÐÙÒ Ó Ð Ô ÖÓÖ Ó ÓÒ x i+1 ÕÙ ÐÐ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ ÓÒ t i г ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓ Ò Ö Ó ÐÐ Ô Ö ÔÓ Ø Ö x i 1 x i Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ Ó Ò ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ Ò Ö Ó ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ Ô Ö ÔÓ Ø Ö x i x i+1 Ñ ÒØÖ Ð³ Ò i ÓØÓ Ö Ð ØÙ Þ ÓÒ Ò Ö ÔÙ ÙÑ Ö ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ ÒØ ÖÓ Ñ ÓÖ Ó Ù Ù Ð 1º Ë ÙÔÔÓÒ ÑÓ Ô Ö ÑÔÐ ¹ Ø ÐÐ Ð Ø ÖØ ÖÙ ÑÙÓÚ ÒÓ ÑÓØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ó ÒÓÒ Ð Ö ØÓµ ÓÒ Ú ÐÓ Ø Ó Ø ÒØ v A Ð ÔÖ ÑÓ v T Ð ÓÒ Ô ÖÚ Ò ÑÓ Ð Ù ÒØ Ñ Ô Ö Ò Þ ÓÒ x 1 > x 0 > 0 ÑÔ Ó x 1 = 2x 0 µ t 1 v A = x 1 x 0, t 1 v T = x 2 x 1 t 2 v A = x 2 x 1, t 2 v T = x 3 x 2 Ó Ú º ÁÒ Ò Ö Ð Ð³n Ñ ÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ Ö ØØ ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ x n = x n 1 +t n 1 v T, (n 2) Ñ ÒØÖ Ð (n 1) Ñ ÔÓ Þ ÓÒ ÐÐ Ö ØØ ÒÚ x n 1 = x n 2 +t n 1 v A, (n 2). ij ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓ t n 1 ÙÖ ÒØ Ð ÕÙ Ð ÐÐ ÔÓ Ø x n 2 x n 1 ÐÓ Ø Ó Ò Ù Ð Ø ÖØ ÖÙ ÔÓ Ø x n 1 x n º ÈÓ ÑÓ Ð Ñ Ò Ö t n 1 Ö Ð Ù Ö Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ØÖÓÚ ÑÓ x n x n 1 = v T v A (x n 1 x n 2 ); ÔÖÓ Ò Ó Ö ØÖÓ Ó ÓÒ n Ô Ö n 1µ x n x n 1 = v T (x n 1 x n 2 ) v A ( ) 2 vt = (x n 2 x n 3) =... = v A ( vt v A ) n 1 (x 1 x 0 ). Ë ÒÓØ Ð³ÙÐØ ÑÓ Ñ Ñ ÖÓ Ò ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ð Ò Þ Ð ÐÐ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ µ ØÖ ØØ Ñ ÒØ ÔÓ Ø ÚÓ Ô Ö ÕÙ ÐÙÒÕÙ Ú ÐÓÖ Ò ØÓ n ÕÙ Ò x n > x n 1 ØÖ ØØ Ñ ÒØ µ ÓÑÙÒÕÙ Ö Ò ÔÖ Ò nº È ÖØ ÒØÓ ÐÐ ÑÔÖ ÐÐ Ô ÐÐ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ Ë Ó ÖÚ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ù ÓÒ x n ÑÓÒÓØ Ò Ö ÒØ x n > x n 1 Ô Ö Ó Ò n Ò ØÓµº ÆÓÒ ÖÓ ÒÚ ÙÔ Ö ÓÖÑ ÒØ Ð Ñ Ø Ø Ó Ð Ö Ö n x n Ø Ò ÙÒ ØÖ Ù Ö Ó ÔÓ ØÓ Ø ÒÞ Ò Ø ÓÔÔÙÖ ÒÓº ÐØÖ ØØ ÒØÓ ÒÓÒ ÖÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ð Ò Ò Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø ÑÔÓ t i º ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ Ù Ù ØÓ

33 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ n i=1 t i = 1 v A n i=1 (x i x i 1 ) = x 1 x 0 v A n ( vt v i=1 A ) i 1 ; ÕÙ Ò Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÑÑ Ò Ò Ø + i=1 t i Ô Ò ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ ÓÑÑ + i=1 (v T/v A ) n 1 º È Ö Ð ÓÒÐÙ ÓÒ ÒÓÒ Ô Ö Ó Ð ÐÐ ÒÓÒ Ö ÙÒ Ñ Ð Ø ÖØ ÖÙ µ ÓÓÖÖ ÕÙ Ø ÓÑÑ Ò Ò Ø Ø ÖÑ Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ø º ÈÓ ØÓ a = v T /v A Ð ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓ Ø ÒÓÒ ÕÙ Ú Ð ÕÙ Ò Ô Ò Ò Ö Ð Ö ÙÒ Ö ÔÓ Ø Ð Ù ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ a IR + Ð Ù ÓÒ ) n n 1 a (= i 1 a i i=1 i=0 º¾µ Ð Ñ Ø Ò ØÓ Î Ö ÑÓ Ö ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ Ð Ö ÔÓ Ø ÑÓÐØÓ ÑÔÐ Ñ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÓÑ Ô Ö Ð Ö Ù Ø Ð ÖÓ Ø ÒÞ Ú Ö Ô Ö ÔÓ Ð ÓÖÒ Ö Ð ÓÖÑ ÔÐ Ø Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ö Ó ÐÐ Ö º Ç ÖÚ ÑÓ Ò Ó Ò Ó ØÙØØ ÓÑ Ò Ö ÒÓÒ µ Ú Ú ÒÓ Ô ØÓ ÒÞ ÔÓØ ÖÐÓ ØÙØØ Ú Ù Ø Ö µ Ð ÓÑÑ Ò Ø a = v T /v A Ñ ÒÓÖ 1 Ó ÐÐ Ô Ú ÐÓ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ º 5 Á ÑÓ Ô Ö Ó ÓÖÑÙÐ Ø ÒÓÒ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ Ð Ô Ú ÐÓ Ð Ø ÖØ ÖÙ Ú Ò Ô Ó Ö ÓÖ ØÓ ÓÑ ÑÔ Ó ÒØ Ø ØÖ Ö ÓÒ Ô Ö ÒÞ Ò Ö ÐÑ ÒØ ÔÖÓÚÓ Ô ÓÖÖ ÖÓÒ ÙÒ Ú ÖÓ ÒØ Ö ÒØ Óº ÁÒ Ö ÐØ Ô Ö Ó ÒÓÒ Ò Ö ÖÓ Ò Ö Ø Ò Ð ÓÒØ ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ðг Ö ÖÓÒØ ØÓ È ÖÑ Ò Ð ÐÐ Ù ÙÓÐ Ù ÒÓÒ Ù Ð Ñ ÑÓ ÐÐ ÚÓº ij ÙÒØÓ ÑÑÙØ Ð Ø Ðг Ö Ø Ð ÙÓÐ Ò ÓÔÔÓ Þ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÓÒØ ÒÙÓ Ú Ò Ö Ð ÓÒØ ÑÔÓÖ Ò Ó Ö Ð ØÓ ¹ Ó ÑÔÓÒ Ú Ð³ ÒÞ ÑÓØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø ØÓ ÓÑ Ú Ò Ö Ðг Ö µ Ø Ð ÓÔÓ ÒÓÒ ÒÚ ÒØ ÙÒ Ñ ØÓ Ó Ö ØÓØ Ð ÓÒ Ö Ð³ Ò Þ Ó ÐÐ Ð ØØ Ó ÔÓØÖ ÑÑÓ Ñ Ð Ö ÙÒ Ö ÙØ Ó ÙÖ ÙÑ µ ÓÒ Ø Ò Ð¹ г ÙÑ Ö Ð Ø ÓÒ ÙØ Ö Ò Ð ÙÖÒ ØÙØØ Ð ÓÒ Ù ÒÞ ÐÓ Ð Ò ÑÓ ØÖ Ö Ð ÐÓÖÓ ÓÒØÖ ØÓÖ Ø Ô Ö ÓÒÐÙ Ö Ð³ ÙÖ Ø ÐÐ Ø º ÁÐ ÔÙÒØÓ Ô ÖØ ÒÞ ÒÓÒ Ð Ð ÓÒ ØØÓ Ö Ò ÞÞ Ö Ú Þ ÓÒ Ô Ø ÓÖ ÓÒØÖ Ö Ó Ó Ò ÑÔÓ Ø Þ ÓÒ ØÓÑ Ø ÒÓÒ Ö Ø Ò Ú Ó Ò Ö Ò ÞÞ ÔÙÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐ ÔÓØ Ö Ù Ú Ò Ô ÖØ ÕÙ ØÓ Ù Ú Ó Ò Ö Ò ÞÞ Ö ÙÐØ Ú Ú Ð Ò Ò Ò Ø Ô ÖØ º Ó ÙÒ Ö Ö Ð ÙÒ Ö ¹ ÓÒØÖÓ ÙÒ Ö Ð Ó ÕÙ Ø Ô ÖÓÖÖ Ö ÔÖ Ñ Ñ Ø Ô ÖÓÖ Ó ÔÓ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÔÓ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø Ó Ú ÒØ Ðг Ò Ò ØÓ ÓÒ Ð Ö ÙÐØ ØÓ Ð Ö ÚÖ ÑÔÖ ÙÒ ØÖ ØØÓ Ô ÖÓÖ Ó ÓÑÔ Ö Ô Ö Ö ÙÒ Ö Ð Ö Ð Ó ÕÙ Ò ÓÒÐÙ Ú ÒÓÒ ÒÓÒ ÐÓ Ö ÙÒ Ö Ñ º ÐÐÓ Ø Ó ÑÓ Ó Ð Ø ÖØ ÖÙ ÙÒ Ð ÖÓ Ú ÒØ Ó Ù ÐÐ Ô Ú ÐÓ Ò ÕÙ Ø ÑÓÐØÓ Ô Ú ÐÓ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ ÒÓÒ Ð Ö ÙÒ Ö Ñ Ò ÕÙ ÒØÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ Ò Ù ÐÐ ÚÖ Ô ÖÓÖ Ó Ð ØÖ ØØÓ Ú ÒØ Ó ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ ÕÙ Ø ÚÖ

34 Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ôº ½ Ä ÓÖÑ ÔÐ Ø ÐÐ Ö ÓÑ ØÖ ÓØØ Ò Ù ØÓ Ó ÖÚ Ò Ó ÑÓй Ø ÔÐ Ò Ó Ð º¾µ Ô Ö a ÓØØÖ Ò Ó Ð Ö ÙÐØ ØÓ ÐÐ º¾µ Ø ÓØØ Ò s n as n = 1 a n Ù s n = 1 an 1 a. È ÖØ ÒØÓ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð Ð Ñ Ø ÒÓØ ÚÓÐ ¾º µ + n=0 a n = lim n + s n = 1 1 a 0 < a < 1 + a > 1. º µ ÆÓØ ÑÓ ÓÖ Ð Ù ÓÒ n k=1 t k ÒØ ÖÚ Ò Ò Ð Ô Ö Ó Ó ¹ ÒÓÒ ÙÒ Ö ÓÑ ØÖ Ö ÓÒ v T /v A º Ë ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ó Ù¹ Ø Ö ÓÑÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð ØØÓ ÔÔ Ö ÒØ Ñ ÒØ ÓÚÚ Ó ÐÐ ÓÖÖ Ô Ú ÐÓ Ñ ÒØ ÐÐ Ø ÖØ ÖÙ Ð Ö ÙÒ Ö Ò ÙÒ Ø ÑÔÓ Ò ØÓ Ò ØØ v T < v A + k=1 t k = 1 + (x n 1 x n 2 ) = 1 (x 1 x 0 ) v A v A k=1 + ( ) n 1 vt k=1 v A = x 1 x 0 v A + ( vt k=0 v A ) n = x 1 x 0 v A 1 1 v T /v A = x 1 x 0 v A v T < + Ë ÒÓØ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ x 1 x 0 v A v T Ô ÖÓÖ Ó ÙÒ Ô ÓÐ ÑÓ ØÖ ØØÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ö ÙÒ ÒÙÓÚÓ Ú ÒØ Ó Ù ÐÐ Ö ÔÖÓÔÓÒ Ò Ó ÙÒ ØÙ Þ ÓÒ Ò ÐÓ ÕÙ ÐÐ Ô ÖØ ÒÞ º ÒØÖ Ñ Ð ÓÒÐÙ ÓÒ Ö ØØ ÓÒÓ Ð ÓÖÒÓ ³Ó ÐÑ ÒØ ÓÒ ÙØ Ð ÓÒ Ö ÓÑ ÒØ ÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ô ÖÓÖÖ Ò Ó Ñ Ø ÙÒ ØÖ ØØÓ ÔÓ Ð Ñ Ø ÐÐ Ñ Ø ÐÐÓ Ø Ó ØÖ ØØÓ Ó Ú ÒØ Ò Ò Ø ÚÓÐØ Ô ÖÓÖÖ Ð³ ÒØ ÖÓ ØÖ ØØÓ ØÓ ÓÑ Ú Ö Ö Ö Ú Ø ÙØ Ð ÞÞ Ö Ð ÓÖÑÙÐ º µ ÓÒ a = 1/2µ + n=1 1 2 n = 1. ÒÓÒ Ú ØÙØØ Ú ØØÖ Ù Ø Ð³ÓÖ Ò Ð Ø Ú Ö Ù ØÓ Ô Ö ÔÖ ÑÓ Ö ÓÑ Ò¹ Ø Ò ØÙÖ Ñ Ø Ñ Ø Ô Ö ÙÒ Ô ÙÐ Þ ÓÒ Ó ÑÔÓÖØ ÒØ ÙÐг Ö ÙÐ ÑÓØÓ ÐÑ ÒÓ Ô Ö Ð ÑÓØÓ ØÖÓÚ Ö ÙÒ ÕÙ ÓÑÔÐ Ø ÓÖÑÙÐ Þ ÓÒ ÓÐÓ ÓÒ Ð³ ÚÚ ÒØÓ Ð ÐÓÐÓ Ö ÒÞ Ð º

35 Ôº ½ Ó ÊÓ Ó Ä Þ ÓÒ Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ Ñ ÙÖ Ð Ö ÔÔÓÖØÓ Ö Ð Ø Ó Ò Þ Ð Ö ÐÐ Ð Ø ÖØ ÖÙ Ð ÐÓÖÓ Ö ÒÞ Ú ÐÓ Øº È ÖØ ÒØÓ ÒØ ÖÔÖ Ø Ð ÓÑ Ð³ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓ Ò Ö Ó Ð ÓÒØ ØØÓ Ö Ù ÓÒØ Ò ÒØ ÓÚÚ Ñ ÒØ Ò ØÓ ÓÐÓ v A > v T º