v(t) = s (t). s (t) = 2gs(t). s (t) = gt, s(t) = 1 2 gt2,

Transcript

1 ½¼ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÓÖ Ò Ö ½¼º½ ÑÔ ØÓÖ ÅÓÐØ ÒÓÑ Ò ÒØ Ö Ó Ñ Ó ÓÐÓ Ó ÓÐÓ Ó ÓÒÓÑ Ó º ÔÓ ÓÒÓ Ö ÑÓ ÐÐ Ø ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ó Ô ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÔÖ ÑÓÒÓ Ò Ö ÐÑ ÒØ ÔÖ Ò Ô Ð Ò Ó Ö Ð Ú Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ö Ò Þ¹ Þ Ö ØØ Ö Ø Ð ÒÓÑ ÒÓ Ó ØØÓ ØÙ Ó ÐÓ Ø ØÓ ÓÔÔÓÖØÙÒ ÓÖ ÒØ º Ä Ö Ò ÞÞ ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ¹ Ö ÒÞ Ð µ ÔÙ Ö Ð Ö Ú ØØÓÖ Ð Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ Ö Ô ØØÓ Ù ØØ Ö Ò ÞÞ Ú Ö Ò Ö ÐÑ ÒØ Ñ ÒÓÒ ÑÔÖ µ Ð Ø ÑÔÓº Ä ÙØ Ö Ú Ð Ô Ö Ñ ÒØ ÓÒ ÓØØ Ð Ð Ó Ò Ðг Ñ ØÓ ÐÐ Ð Ö ÚÓÒÓ Ð ÙØ Ö Ú Ö Ù Ö ÒÓ Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð Ð ÔÖ Ñ ÐÓ Ô Þ Ó Ô Ö¹ ÓÖ Ó s Ò ÙÒÞ ÓÒ Ð Ø ÑÔÓ t ÙÖ ÒØ Ð Ð Ö ÙØ Ð Ö Ú º Ð Ð Ó ÙÑ t = 0 Ð Ö Ú ØÖÓÚ ÙÒ³ ÐØ ÞÞ ÔÖ Ø º Ë Ð Ò Ó Ð Ö Ö Ñ ÒØÓ Ô Þ Ð ÓÒ ÓÖ Ò Ò ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ð Ö Ú ÓÖ ÒØ ØÓ Ú Ö Ó Ð Óµ s(0) = 0 Ú Ò Ó ÙÒØÓ Ð Ö Ú Ô ÖØ ÓÒ Ú ÐÓ Ø ÒÙÐÐ Ö Ò v(0) = 0º Ð Ô Ö Ñ ÒØ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ò Ð ÚÙÓØÓµ Ð Ð Ñ Ö s v ÒÓÒ Ð Ò Ö Ó Ð Ø ÔÓ v(t) = κs(t)µ Ò Ð Ø ÔÓ v(t) = 2gs(t), ½¼º½µ ÓÚ g Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ô Ó Ô Ó Ó Ð Ô Ó Ô Ö ÙÒ Ø Ñ µº ³ ÐØÖ Ô ÖØ Ð Ú ÐÓ Ø Ô Ö Ò Þ ÓÒ Ð Ö Ú Ø s Ö Ô ØØÓ Ð Ø ÑÔÓ ÓÚÚ ÖÓ

2 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¼ v(t) = s (t). ½¼º¾µ ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÒØ ÐÐÓÖ Ð Ù ÒØ ÙÖÖ Ð Ð s = s(t) Ô Ò Ó Ù Ø Ð Ù ÒØ Ð Ñ Ø ÒØ Ò Ó Ö s Ð Ù Ö Ú Ø s s (t) = 2gs(t). ½¼º µ ÁÒ Ú Ö Ø Ð Ð Ó ÓÔÖ Ð Ð Ð ÑÓØÓ ÙÒ ÓÖÑ Ñ ÒØ Ð Ö ØÓ ÓÚÚ ÖÓ v Ó s µ Ô Ò Ð Ò ÖÑ ÒØ Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ð Ð s (t) = gt, ½¼º µ ÐÐ ÕÙ Ð Ù Ù ØÓ Ò ÑÓ Ó ÔÐ ØÓ Ð Ô Ò ÒÞ s t s(t) = 1 2 gt2, ½¼º µ Ä Ù Ð ½¼º µ ½¼º µ ÓÒÓ Ñ ÒØ Ð Ø Ó Ø Ò ØØ Ð Ñ Ò Ö t Ö Ð ½¼º µ Ð ½¼º µ Ô Ö Ö ØÖÓÚ Ö Ð ½¼º µº ÌÙØØ Ú Ð ½¼º µ Ø Ò Ñ ÒØ Ô Ð ÐÐ ½¼º µº ÁÒ ØØ Ò ÐÐ ½¼º µ s (t) ÒÓØ ÔÐ ¹ Ø Ñ ÒØ ÓÑ ÙÒÞ ÓÒ t Ñ ÒØÖ Ò ÐÐ ½¼º µ Ø Ð Ô Ò ÒÞ ÒÓÒ ØØÓ ÔÐ Ø ÕÙ Ò ÒÓÒ ÔÓ Ð ÒØ Ö ÖÐ Ö ØØ Ñ ÒØ º Ä ½¼º µ ÙÒ ÑÔ Ó ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÓÑ Ö Ú Ð ØØÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÔÖ Ñ ÙÒ Ð Ñ Ø ÒØ Ò Ó Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ù Ö Ú Ø Ð³ ÒÓ Ò Ø Ø Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ø º Ê ÓÐÚ Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ ØÖÓÚ Ö s(t) Ö ØØ Ñ ÒØ Ô ÖØ Ö ÐÐ ½¼º µ ÒÓÒ ÓÑÙÒÕÙ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ Ð Ñ ÖØÓ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ðг ÔÓ Ð Ð Óµ ÔÓ ÑÓ Ò ØØ Ö Ö Ú Ö Ð ½¼º µ Ò ÐÐ ÓÖÑ s s = 2g ½¼º µ Ò Ó (2 s) = s s ½¼º µ

3 Ôº ¾ ½ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÑÓ (2 s) = 2g ½¼º µ Ù 2 s = C +t 2g ½¼º µ Ú Ò Ó ÙÔÔÓ ØÓ s(0) = 0 ØÖÓÚ s = t g/2 ÓÚÚ ÖÓ Ð ½¼º µ ÓÖÒ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º Ä ÓÒ Ð Æ ÛØÓÒ Ä³ ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ Ò Ö ÐØ ÙÒ Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö ÐÐ ÓÒ Ð Æ ÛØÓÒ ÓÚ ÖÒ Ð Ò Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð º ÓÒ ÕÙ ØÓ Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÙÒ Ø Ñ Ó Ð Ù ØÖÙØØÙÖ Ó Ø ØÙÞ ÓÒ ÓÒÓ ÔÖ Ñ Ð ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ó Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú m ØØ Ñ Ð ÔÙÒØÓ Ð Ù ÓÑ ØÖ Ô Þ Ð ÔÙ Ö Ø Ò Ö Ò Ò Ù ÒØ ÙÐÐ ÑÓ Ð Ø ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø Ñ Ø Óº Ä Ö Ò ÞÞ Ö Ú ÐÓ Ø ØÓ Ð Ø Ñ Ð Ù ÔÓ Þ ÓÒ Ô Þ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÙÒ Ú ØØÓÖ u(t) Ò ÙÒ ØÓ Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒØÓ ÐÐÓ Ô Þ Ó ØÖ Ñ Ò ÓÒ Ð º Ä ÓÖ ÒØ Ð ÑÓØÓ Ð ÑÔÓ ÓÖÞ Ò Ù ÚÓÐÚ Ð Ø Ñ Óº Ä Ð Ð Ò Ó ÔÔÙÒØÓ Ð ÓÒ Ð Æ ÛØÓÒ Ð Õ٠Рг Ð Ö Þ ÓÒ Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð P ÔÖ Ð Ú ØØÓÖ a = d2 dt 2u = d dt v, ÓÚ v = du ÒÓØ Ð Ú ÐÓ Ø ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ò Ó Ò Ø ÒØ ÐÐ ÓÖÞ dt f ÒØ Ù P Ð Ó Ø ÒØ ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ø ÔÔÙÒØÓ Ð Ó Ø ÒØ m > 0 ÒØÖÓ ÓØØ ÓÔÖ ÕÙ Ò Ð Ð Æ ÛØÓÒ Ù Ù ÐÑ ÒØ Ö ØØ Ò ÐÐ ÓÖÑ ma = f. ½¼º½¼µ Ä Ð ÓÖÞ f Ô Ò Ò Ö ÐÑ ÒØ t ÐÐ ÔÓ Þ ÓÒ Ø ÒØ Ò u(t) Ð ÔÙÒØÓ P ÐÐ Ù Ú ÐÓ Ø v(t) Ö Ò ØØÓ Ð ½¼º½¼µ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÔÖ Ñ Ð Ð Ñ Ø ÒØ Ò Ó Ö Ð ÔÓ Þ ÓÒ P(t) Ð ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð Ð Ù Ú ÐÓ Ø P (t) = v Ð Ù Ð Ö Þ ÓÒ P (t) = a Ò ÐÐ ÕÙ Ð P(t) Ð ÙÒÞ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð µ ÒÓ Ò Ø

4 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¾ ( m d2 u dt 2 = f u, du ) dt,t. ½¼º½½µ Ë ÒÓØ ÙÒ ÚÓÐØ Ø ÖÑ Ò Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ P(t) ÐÐ ½¼º½½µ ÓÖÒ Ú Ö Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÒ Ø ÔÓ ÓÑ ØÖ Ó Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ ØÖ ØØÓÖ Ð ÔÙÒØÓ P Ô ÖÓÖÖ Ò ÐÐÓ Ô Þ Ó Ó ÙÒ Ø ÔÓ Ò Ñ Ø Ó Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ð Ð ÓÖ Ö ÓÒ Ù ÕÙ Ø ØÖ ØØÓÖ Ú Ò Ô ÖÓÖ º ÑÓ Ó Ö Ó ÔÐ ØÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÐÐ Ò Ñ Ð Ñ Ò¹ Ø Ö Ø Ð Ö Ð ØÖ ØØÓÖ Ô Þ Ð P Ø Ð ½¼º½¼µ ÙÔÔÓ Ø ÒÓØ Ð Ð f (u, ddt ) u,t º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ù ÑÔ ÔÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ ÕÙ ØÓ Ø ÔÓº ÑÔ Ó ½¼º½º ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð P ÓÐÐ ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓP ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ ÑÓÐÐ Ð Ø Ð Ó ÔÖ Ú Ô Ó Ò Ò Ø Ñ ÒØ Ø Ò Ð Ó ÓÑÔÖ Ñ Ð ÒÞ Ò Ú Ò ÒÓ ÐØ Ö Ø Ð Ö ØØ Ö Ø Ð Ø Ø µ ÔÓÒ Ò Ó Ô Ö ÑÔÐ Ø Ð ÔÙÒØÓ Ó P Ò ÐгÓÖ Ò Ð Ø Ñ Ö Ö Ñ ÒØÓ Ð ÓÖÞ f ÒØ Ù P Ö Ú f(u) = hu Ð ÀÓÓ µ, ½¼º½¾µ ÓÚ u = P O u = P O Ú Ö ÙÖ ½¼º½µ h > 0 ÙÒ Ó Ø ÒØ ØØ Ð Ø µ Ñ ÙÖ Ð ÔÓØ ÒÞ ØØÖ ØØ Ú ÐÐ ÑÓÐÐ Ô Ö Ø Ø Ò ÓÒ º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ð Æ ÛØÓÒ Ö Ú u = h m u ÑÔ Ó ½¼º¾º Ë Ð ÑÓØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð P ÚÚ Ò Ò ÙÒ Ñ ÞÞÓ Ú ¹ Ó Ó ÑÔ Ó Ò ÙÒ Ð ÕÙ Ó Ó Ò ÙÒ Ø ÒÞ Ò Óµ Ð Ð ÓÖÞ Ô Ò ÐÐ Ú ÐÓ Ø Ø ÒØ Ò P º ÁÒ ÙÒ ÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ú ÐÓ Ø Ð Ô Ò ÒÞ f v ÔÙ Ö Ø Ò Ö Ð Ò Ö Ð Ð ÓÖÞ Ö Ú f(v) = µv, ½¼º½ µ ÓÚ Ð Ó ÒØ µ > 0 ÙÒ Ó Ø ÒØ ØØ Ó ÒØ Ú Ó Ø ¹ Ö ØØ Ö Ø Ð Ñ ÞÞÓ Ò Ù ÚÚ Ò Ð ÑÓØÓ P º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó Ð Ð Æ ÛØÓÒ Ö Ú u = µ m u

5 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ u P f z P x O y u ÙÖ ½¼º½º ÈÙÒØÓ P Ó ØØÓ ÙÒ ÓÖÞ Ð Ø Ð ÐÓ ØØÖ Ò P ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ÓØØÓØ Ò ÒØ ÍÒ ÙÐØ Ö ÓÖ ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÒÞ Ð Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò ØÙÖ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ ¹ Ö ÒÞ Ð Ð Ù ÒØ ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ f(x) ÙÔÔÓÖÖ ÑÓ Ö Ú ¹ Ð B = (x 0,f(x 0 )) ÙÒ ÔÙÒØÓ ÙÐ ÙÓ Ö Óº ÓÒ Ö ÑÓ ÔÓ ÙÐг x Ð ÔÙÒØÓ T x T Ò Ø ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ x T = x 0 f(x 0) f (x 0 ) ½¼º½ µ ÁÐ ÔÙÒØÓ T ÙÐг ÐÐ ÒØ Ð³ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ö Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö ¹ Ó f Ò B г ÐÐ Ø Óº ÈÓÒ Ó ÓÖ x 0 x T = 1/k =Ó Ø ÒØ ÓÚ Ð ÒÓ k ØÓ ÔÖ ÓÖ ÔÓ Ø ÚÓ x 0 > x T Ò Ø ÚÓ Ò Ó ÓÒØÖ Ö Óµº ÁÐ ÒÓ ØÖÓ ÓÔÓ ÕÙ ÐÐÓ Ö Ö ØÙØØ Ð ÔÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ f Ô Ö Ð ÕÙ Ð Ú Ö Ò Ó x Ð Ö ÔÔÓÖØÓ f/f Ö Ñ Ò Ó Ø ÒØ Ù Ù Ð Ð Ú ÐÓÖ 1/k ØÓº Ç ÖÚ ÑÓ Ù ØÓ Ú Ö ÙÒ ÚÓÐØ x 0 > x T ÕÙ Ø ØÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ ÔÓØÖ Ñ Ö ÒÞ Ð Ø Ò ÒØ Ð Ö Ó Ú ÒØ Ú ÖØ Ð Ø ÖÑ Ò Ò Ó ÕÙ Ò ÙÒ Ò ÓÐ Ö Ø ÐÐ Ö Ú Ø º Ë Ð ÑÓ Ô Ö ÑÔ Ó k > 0 ÐÐÓÖ f (x) f(x) = k ½¼º½ µ

6 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ 0 x T x 0 ÙÖ ½¼º¾º ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ÓØØÓØ Ò ÒØ ÔÙ Ô Ò Ö ÓÑ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ò Ðг ÒÓ Ò Ø f(x)º ÁÒØ Ö Ò Ó Ð ½¼º½ µ ØÖÓÚ log f = kx+c ½¼º½ µ Ù f = e C e kx ½¼º½ µ Ì Ð f ÒÓÒ Ñ ÒÙÐÐ ÕÙ Ò Ó ÑÔÖ ÔÓ Ø Ú Ó ÑÔÖ Ò Ø Ú º Ç ÖÚ Ò Ó f(0) = e C ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ú Ö ½¼º½ µ Ò ÐÐ ÓÖÑ f(x) = f(0)e kx ½¼º½ µ Ò ÑÓ Ó Ð ÒÓ f Ø ÖÑ Ò ØÓ ÐÐ ÐØ f(0)º Ì Ð Ð ÖØ ÐØ ÑÓ ØÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ Ô Ö Ó Ò ÐØ f(0)º ½¼º¾ Ì ÖÑ ÒÓÐÓ ÁÒ Ò Ö Ð ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ö ÙÒ Ö Ð Þ ÓÒ Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø u ÐÙÒ ÐÐ Ù Ö Ú Ø ÒÓ ÙÒ ÓÖ Ò Ò ØÓ nº È ÖØ ÒØÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÚÖ ÙÒ ÓÖÑ Ò Ö Ð Ð Ø ÔÓ

7 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ F(u,u,u,...,u (n),t) = 0. ½¼º½ µ Ä ÔÖ ÒÞ Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ t Ò ÐÐ ½¼º½ µ Ø Ò ÓÒØÓ ÐÐ ÔÓ Ð Ø Ð Ð Ñ F Ö u Ð Ù Ö Ú Ø ÔÓ Ô Ò Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÐÐ Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ tº ÑÔ Ó u +u +t 2 u = 0 ÑÓ ØÖ ÙÒ Ô Ò ÒÞ ÔÐ Ø F t Ñ ÒØÖ Ò Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º¾¼µ Ø Ð Ô Ò ÒÞ ÔÐ Ø ÒØ º u +u 2 = 0 ½¼º¾½µ ÑÔÓÖØ ÒØ Ó ÖÚ Ö Ò ÐÐÓ Ö Ú Ö Ð ½¼º½ µ ÙÑ Ø Ø Ñ ÒØ u Ð Ù Ö Ú Ø ÓÒÓ ØÙØØ Ú ÐÙØ Ø Ò Ð Ñ ÑÓ ÔÙÒØÓ t ÕÙ Ò t Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ú Ö Ð Ø ÑÔÓ ÓÑ ÓÚ ÒØ Ô Ø F Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ð Ñ Ø ÒØ Ò Ó Ö u Ð Ù Ö Ú Ø º Ë t ÒÓÒ ÔÔ Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð Ù ØØÓ Ð Ñ Ö u Ð Ù Ö Ú Ø Ö Ø ÑÔÖ ÐÓ Ø Óº ijÓÖ Ò ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ô Ö Ò Þ ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ ÐÐ Ñ Ñ Ö Ú Ø ÓÑÔ Ö Ò ÐÐ ½¼º½ µº Ä ÓÖÑ ½¼º½ µ ØÖÓÔÔÓ Ò Ö Ð Ô Ö ÒÓ ØÖ ÓÔ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒØ Ö ÔÔÐ Ø ÚÓ ÔÖ ÒØ ÒÓ Ò Ö ÐÑ ÒØ Ò ÓÖÑ ÒÓÖÑ Ð ÓÚÚ ÖÓ Ö ÓÐØ Ó Ö ÓÐÚ Ð µ Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ö Ú Ø ÓÖ Ò Ñ ÑÓº ÚÙÓÐ Ö ³ÓÖ Ò Ú ÒØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÓÐÓ ÕÙ Þ ÓÒ ÔÖ ÒØ ÒÓ Ó ÔÓ ÓÒÓ Ö Ö Ú Ö Ñ ÒØ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ô µ Ò ÐÐ ÓÖÑ Ù ÒØ ØØ ÔÔÙÒØÓ ÒÓÖÑ Ð µ u (n) = F(u,u,u,...,u (n 1),t). ½¼º¾¾µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º½º ÑÓ ÓØØÓÐ Ò ØÓ Ò ÐÐÓ Ö Ú Ö Ð ½¼º½ µ ÙÑ u Ð Ù Ö Ú Ø ÓÒÓ ØÙØØ Ú ÐÙØ Ø Ò Ð Ñ ÑÓ Ø ÒØ tº ËÓÒÓ ØÙØØ Ú ÔÓ Ð ÐØÖ Ø Ô ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ò Ù u Ð Ù Ö Ú Ø ÒØ ÖÚ Ò ÓÒÓ Ò ÐÐ ½¼º½ µ ÓÒÓ Ú ÐÙØ Ø Ò Ø ÒØ Ø ÒØ Ö ÐÓÖÓ Ø Ð ÑÔ Ó ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø ÔÓ u (t)+u (t)+u(t τ) = 0, Ú Ò ØØ ÓÒ Ö Ø Ö Ó º ÁÒ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÓÒ Ö Ø Ö Ó Ð Ú ÐÓÖ u Ð Ø ÑÔÓ t ÔÙ Ô Ò Ö ÑÔ Ó Ð Ú ÐÓÖ u Ð Ø ÑÔÓ t τ ÓÚ τ ÙÒ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ø ÑÔÓÖ Ð Ò ØÓº ÉÙ Ø Ô ÖØ ÓÐ Ö ØÖÙØØÙÖ

8 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ô Ò Ð ØØÓ Ð³ Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÐÐÓ Ø ØÓ u Ð Ø ÑÔÓ t Ú Ò ØÖ Ñ Ð Ñ Ò ÑÓ Ð ÐÓ Ø ØÓ u ÓÒ ÕÙ ÐÐÓ u ÓÐÓ ÓÔÓ ØÖ ÓÖ Ó ÙÒ ÖØÓ Ø ÑÔÓº ÍÒ ÙÐØ Ö ÓÖ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÓÒØÖ Ò ÐÐ ÔÔÐ Þ ÓÒ Ó Ø ØÙ Ø ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø ÔÓ u (t)+u (t)+ t t 0 u(s) ds = 0, ØØ ÒØ ÖÓ Ö ÒÞ Ð µ Ò Ù Ð Ú ÐÓÖ Ø ÒØ Ò Ó ÐÐ Ö Ú Ø ÐÐ ÙÒ¹ Þ ÓÒ ÒÓ Ò Ø Ô Ò ØÙØØ Ð ØÓÖ u ÒÓ Ðг Ø ÒØ tº ÉÙ ØÓ Ø ÔÓ ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒØÖ Ò ÕÙ ÒÓÑ Ò Ò Ù Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ó ÖÚ Ø ÙÒ ØÓ Ø ÒØ Ô Ò ÒÓÒ ÓÐÓ Ú ÐÓÖ Ø ÒØ Ò ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø Ñ Ò ÕÙ ÐÐ ÔÖ ÒØ ØØÖ Ú Ö Ó ÙÒ Ñ Ò ÑÓ ØØÓ Ñ ÑÓÖ º ÍÒ ÙÐØ Ö ÓÖ Ð Ú ÐÐÓ ÓÐØ Ò ÕÙ Ò Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø Ô Ò Ô Ú Ö Ð Ò Ô Ò ÒØ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó Ò Ñ ØÖ Ù Ò ÙÒ Ó Ô ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð Ù ÑÓ ØÓ ÙÒ Ö Ô ÑÓ ÒÒÓ Ò Ð Ô ØÓÐÓ ÔÖ ÒØ µ Ø Ð ÑÔ Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÐÐ ÔÖÓÔ Þ ÓÒ ÓÒ Ó 2 ( u 2 ) t 2 = u c2 x u y u z 2 ÓÚ c ÒÓØ Ð Ú ÐÓ Ø ÔÖÓÔ Þ ÓÒ ÐгÓÒ u(x,y,x,t) Ð Ò ØÓ ÑÔ ÞÞ ÐгÓÒ ÓÔÔÙÖ ÕÙ ÐÐ ÐÐ Ù ÓÒ Ð ÐÓÖ ( u 2 ) t = u κ2 x u y u z 2 ÓÚ κ ÒÓØ Ð Ù Ú Ø Ø ÖÑ ÓÖ u(x,y,x,t) Ð Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ð Ñ ÞÞÓº Ò Ò ÕÙ Ø Ø Ô ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÓ ÒÓÖÑ Ñ¹ ÔÓÖØ ÒÞ ÔÔÐ Ø Ú Ð ÐÓÖÓ ØÖ ØØ Þ ÓÒ Ô Ö Ð Ö Ð Ø ÚÓ Ð Ú ÐÐÓ ÓÐØ ÙÐ Ð Ñ Ø ÕÙ ØÓ Ø ØÓº ÑÓ ÓÖ Ò ÑÓ Ó ÔÖ Ó Ö ÓÖÓ Ó Ð Ò ØÓ ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ½¼º½ µº Ø Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð u (n) = F(u,u,u,...,u (n 1),t), ½¼º¾ µ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ u : t A IR, ÙÒ Ù ÓÐÙÞ ÓÒ u Ö ÙÐØ n ÚÓÐØ Ö ÒÞ Ð Ò A IR Ó Ø ØÙ Ø Ò ÐÐ ½¼º¾ µ Ð Ú Ö Ó Ò Ø ÒØ tº ij ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º¾ µ Ð Ò Ö F Ð ÓÖÑ Ù ÒØ

9 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ F(u,u,u,...,u (n 1),t) = b(t)+a 0 (t)u+a 1 (t)u + +a n 1 (t)u (n 1). ½¼º¾ µ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ F Ò Ò Ö Ö ØÓ Ú Ö ÓÔÔÓÖØÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Ö ÓÐ Ö Ø Ò Ð Ö Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ú ÙÓÒ Ò º ÍÒ Ö Ø Ñ Ò Ñ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø F Ö Ô ØØÓ ØÙØØ Ð Ù Ú Ö Ð º ÑÔ Ó Ò Ð Ó ÐÐ ½¼º¾ µ Ð ÓÒØ ÒÙ Ø Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ú Ö Ð u u º Ö ÒØ Ø ÐÐ Ð Ò Ö Ø Ñ Ó ÒØ Ô Ò ÓÒÓ t Ò Ö Ó ØØÓ I Ð Ô Ö Ò ÓØØÓ Ò Ñ IR Ò Ù ÓÒÓ Ò Ø ÑÙÐØ Ò Ñ ÒØ Ð ÙÒÞ ÓÒ a 0,...,a n 1 b Ø Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò ÓÒØ ÒÙ Ò Iº ÌÓÖÒ Ö ÑÓ Ù ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ò Ù ØÓº ÑÔ Ó ½¼º º Æ Ð Ó ÐÐ ½¼º¾¼µ Ö ÙÐØ I IR Ñ Ô Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ò Ö u = 1 t u+(logt)u +sint, ½¼º¾ µ г Ò Ñ I Ó Ò ÓÒ Ð Ñ Ö ØØ (0,+ )º Ë F ÒÓÒ Ô Ò ÔÐ Ø Ñ ÒØ t г ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÙØÓÒÓ¹ Ñ º Æ Ð Ó Ð Ò Ö Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ a 0,a 1,...,a n 1,b Ö ÙÓÒÓ ÐÐ Ó Ø ÒØ º ÁÒ Ò ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÙØÓÒÓÑ Ó Ò ÓÐÙÞ ÓÒ u(t) = u e =Ó Ø ÒØ º È ÖØ ÒØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ Ô Ö Ð ÕÙ Ð Ö ÙÐØ F(u e,0,0,...,0) = 0 ½¼º¾ µ Ú ÒÒÓ ÕÙ Ò Ö Ö Ø Ö Ð Þ Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ F(u,0,0,...,0)º Ë ÒÓØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ò Ð Ô ÒÓ t,u Ö ØØ Ô Ö ÐÐ Ð Ðг tº ÑÔ Ó ½¼º º ij ÕÙ Þ ÓÒ u = u(1 u) ÔÓ Ù ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Ðг ÒÒÙÐÐ Ö Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÓÒÓ u(t) = 1 u(t) = 0º

10 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ÑÔ Ó ½¼º º ij ÕÙ Þ ÓÒ u = sinu Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ u k (t) = kπ k Zµº ½¼º Ê ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ä Ø ÖÑ Ò Þ ÓÒ ÔÐ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ Ø ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ò ÕÙ Ð Ñ ÙÖ Ñ Ö Ò Ð Ò Ðг ÒØ Ö Ø ÓÖ º Ä Ö ÓÒ Ø Ð Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÐ Ø Ö ÙÐØ ÔÓ Ð ÓÒ ÔÓÓ ÓÖÞÓ ÓÐÓ Ô Ö Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ó ÒÓÒ Ð Ò Ö Ñ ÕÙ Ø ÙÐØ Ñ ÓÐÓ ØÖÙØØÙÖ Ô ÖØ ÓÐ Ö º Ô ØØÓ ÕÙ Ø ÔÔ Ö ÒØ Ð Ñ Ø Þ ÓÒ ÐÓ ØÙ Ó ÐÐ ÓÐÙÞ Ó¹ Ò ÕÙ Ò Ó ØÓÒÓµ Ù Ù ÐÑ ÒØ ÔÓ Ð ØØÖ Ú Ö Ó ÔÓØ ÒØ Ñ ØÓ Ø ÔÓ ÕÙ Ð Ø Ø ÚÓ Ù Ö ÑÓ Ô ÖØ ÕÙ ØÓ Ô ØÓÐÓº ÓÑÙÒÕÙ ÙØ Ð ÑÔ Ö Ö Ö ÓÐÚ Ö Ù Ø Ô Ù Ñ ÒÞ ÓÒ Ø ÓÑ Ò Ò Ó ÕÙ ÐÐ Ð Ò Ö º ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ä ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ô ÑÔÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ ÕÙ ÐÐ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ò IRº ÓÒ Ö ÑÓ Ò ØØ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ u = a(t)u+b(t), ½¼º¾ µ ÓÚ a b ÓÒÓ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ Ð Ñ Ø Ø Ù ÙÒ ÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ I IRº Ø ÐÐÓÖ ÑÓÐØ ÔÐ Ö Ñ Ó Ñ Ñ Ö ÐÐ ½¼º¾ µ Ô Ö exp( A(t)) ÓÚ A ÙÒ ÕÙ ÐÙÒÕÙ ÔÖ Ñ Ø Ú a Ô Ö ÙÖÖ Ù ØÓ (exp[ A(t)]u) = b(t)exp[ A(t)]. ½¼º¾ µ ÈÓ ÑÓ ÐÐÓÖ ÒØ Ö Ö Ù ÙÒ ÕÙ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐÓ (t 0,t) I ÓØØ Ò ÑÓ ( t ) u(t) = exp[a(t)] C + exp[ A(s)]b(s) ds, ½¼º¾ µ t 0 ÓÚ C ÙÒ Ó Ø ÒØ Ö ØÖ Ö º ÑÑ ØÓ Ú Ö Ð Ð ÔÓ ØÓ A ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú Ö ÒØ Ð³ÙÒ ÐØ Ö Þ ÓÒ Ò ÐÐ ½¼º¾ µ Ö Ù Ö Ð Ú ÐÓÖ ÐÐ Ó Ø ÒØ Cº

11 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÑÔ Ó ½¼º º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð u = u. ½¼º ¼µ Ë ÒÓØ Ð ½¼º ¼µ г ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÐÐ ÓØØÓØ Ò¹ ÒØ ÓÒ k = 1º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÓÒ ÖÓÒØ Ò Ó ÓÒ Ð ½¼º¾ µ Ú F : u U IR u ÕÙ Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÙØÓÒÓ¹ Ñ ÒÓÐØÖ Ó ÖÚ Ò Ó (Ce t ) = Ce t Ô Ö Ó Ò t IR Ô Ö Ó Ò ÐØ ÐÐ Ó Ø ÒØ C IR Ò Ù Ø ÙÒ³ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ½¼º ¼µ ØÙØØ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ u(t) = Ce t ½¼º ½µ ÓÚ C IR ØÓØ ÐÑ ÒØ Ö ØÖ Ö º ÐÐ ½¼º ½µ Ô ÖÚ Ò ÓÚÚ Ñ ÒØ Ò ÔÔÐ Ò Ó Ô ÕÙ Ñ ÒØ Ð ÓÖÑÙÐ Ö ÓÐÙØ Ú ½¼º¾ µº Ë Ó ÖÚ Ò Ø Ð Ñ Ð ÒÐÙ Ò Ð³ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ÁÒ ØØ F(u) = 0 ÓÐÓ u = 0 ÕÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÓØØ Ò ÐÐ ½¼º ½µ Ð Ò Ó C = 0º Ä ÙÖ ½¼º ÑÓ ØÖ ÐÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ú Ö Ö ÐÐ ÐØ ÐÐ Ó Ø ÒØ Cº 0 ÙÖ ½¼º º ËÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ¼µ Ð Ú Ö Ö ÐÐ Ó Ø ÒØ º Ú ÒÞ Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u(t) = 0 0

12 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¼ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º¾º Ä ÙÖ ½¼º ÑÓ ØÖ ÙÒ Ô ØØÓ Ð ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ Ð¹ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ö Ô ØØÓ ÐÐ Ú Ö Ð t ÚÖ ÑÓ ÑÓ Ó Ö ØÖÓÚ Ö Ò Ò Ð ÑÔ ÙÓÒÓº Ë F ÒÓÒ Ô Ò ÔÐ Ø Ñ ÒØ t Ò ÔÙ ØÙ Ö Ð ÒÓ Ö Ô ØØÓ u ÕÙ Ò Ú Ö ÑÑ Ø Ñ Ò¹ Ø Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ ÙÐÐ Ö Ú Ø uº Æ Ð Ó Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ¼µ u ÐÓ Ø Ó ÒÓ u ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÚÓÒÓ Ö Ö Ö Ô ØØÓ t Ð ÓÚ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ö Ö Ð ÓÚ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ø Ú º Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º º ÍÒ ÓÒ Ó Ô ØØÓ Ð³ ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ Ñ ØØ Ò ÐÙ Ö ØÖÓÚ Ö ÑÓ ÑÔÖ Ò Ò Ù ØÓ Ð ØØÓ ØÓÒÓ Ò Ò Ø Ö ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒÓ Ô Ò ÒØ ÐÐ ÐØ Ð Ú ÐÓÖ ÐÐ Ó Ø ÒØ C Ö Ø Ð Ó Ø ÒØ ÕÙ Ò ÙÒÓ Ô Ó Ö Óµ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ö Ð Ö Ó Ô Ô Ö ÙÒ Ò ÔÖ Ó ÔÙÒØÓ (t 0,u(t 0 )) Ð Ô ÒÓ t,u ÐØÓ ÙÒ ØØÓ ÔÙÒØÓ Ø ÙÒ ÙÒ Ó Ö Ó Ô ÒØ Ô Ö ÕÙ Ð ÔÙÒØÓº ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ Ò ÐÐ Ö ÓÒ Ð Ô ÒÓ t,u ÓÚ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ò Ø Ñ Ö ÑÔÓ Ð Ó ÖÚ Ö Ù Ö ÓÒ ÐÑ ÒÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ò ÓÑÙÒ º ÁÐ Ú Ö Ö Ó Ñ ÒÓ ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø Ô Ò ÓÔÔÓÖØÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø Fº É٠سÙÐØ ÑÓ Ô ØØÓ ÒØÖ Ð Ò ÐÐ Ø ÓÖ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ØÓÖÒ Ö ÑÓ ÓÔÖ Ò ØØ Ð Ó Ò ÐÐ Þ ÓÒ ½¼º ½¼º º ÑÔ Ó ½¼º º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ u = u t 2 ; ½¼º ¾µ ÓÒ ÖÓÒØ Ò Ó ÓÒ Ð ½¼º¾ µ Ú F : (u,t) U IR 2 u t 2 ÕÙ Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ñ ÒÓÒ ÙØÓÒÓÑ º Ò Ó Ñ ÒÓ ÙÒ Ó Ø ÒØ Ø Ú µ A(t) = t Ð ÓÖÑÙÐ ½¼º¾ µ ÓÖÒ ) u(t) = e (C t s 2 e s ds = Ce t +2+2t+t 2. ÆÓØ ÑÓ Ð ÔÓ ØÓ A(t) = t Ð A(t) = t+k ) u(t) = e (C t+k s 2 e s K ds = e K s ( 2+2s+s 2) = Ce K+t +2+2t+t 2 = C 1 e t +2+2t+t 2, ÓÚ C 1 = Ce K º È Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÒ Ö Ø ÒÓÒ Ò Ó ÙØÓÒÓÑ ÒÓÒ Ò Ó Ö Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö º

13 Ôº ¾ ½ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ 0 ÙÖ ½¼º º ËÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ¾µ Ð Ú Ö Ö ÐÐ Ó Ø ÒØ º Ë ÒÓØ ÒÓÒ ØÓÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö 0 ÑÔ Ó ½¼º º ÁÒ Ò Ö Ò Ò Ð Ó Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÙÒ¹ Þ ÓÒ a b ÒÓÒ ÓÒÓ Ó Ø ÒØ Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÔÐ Ø Ñ ÒØ ÙÒ¹ Þ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö µ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö ÓÑÔÐ Ø º ÑÔ Ó Ô Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ u = tu+1 ½¼º µ ÑÓ { u(t) = e t2 /2 C + } e s2 /2 ds, ÓÚ Ð³ ÒØ Ö Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÒÓÒ ÔÖ Ñ Ð Ñ ÒØ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÔÓ ÑÓ ØÖ Ö + e s2 ds = π. Ò Ó Ô Ö ÓÑÓ Ø Ð ØÖ Ñ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÔÓ ÑÓ Ò Ö Ú Ö t 0 e s2 /2 ds = ( ) π t 2 Ö 2 ÓÚ Ö ÒÓØ Ð ÙÒÞ ÓÒ ØØ Ð ÖÖÓÖ Ó Ù µ ÂÓ ÒÒ ÖÐ Ö Ö Ù ½ ½ µº

14 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¾ 0 ÙÖ ½¼º º ËÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º µ Ð Ú Ö Ö ÐÐ Ó Ø ÒØ º Ë ÒÓØ ÒÓÒ ØÓÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö 0 ½¼º ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÓÒ ÙÒ ÐØÖÓ Ñ ØÓ Ó Ä ÓÖÑÙÐ Ö ÓÐÙØ Ú ½¼º¾ µ Ô Ö Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÔÙ ÓØØ Ò Ö Ò ÓÒ ÙÒ³ ÐØÖ ÔÖÓ ÙÖ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð Ú Ö ÓÒ ÓÑÓ Ò ÐÐ ½¼º¾ µ u = a(t)u, ½¼º µ Ó ÓÒ Ø ÖÑ Ò ÒÓØÓ b(t) ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐÓº Ë A(t) ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú a(t) ÑÑ ØÓ Ú Ö Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ u(t) = Cexp[A(t)] ÓÒ C Ó Ø ÒØ Ö ØÖ Ö ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ½¼º µº ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ö Ú Ò Ó u(t) = C(t)exp[A(t)] ½¼º µ Ô Ò Ò Ó C(t) ÓÑ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÒÚ Ò Ò¹ Ø Ñ ÒØ µ ÒÓÒ Ö Ö ÓÐÚ Ö Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º¾ µ ÓÒ b(t) ÒÓÒ

15 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐÓº ÕÙ ØÓ ÓÔÓ Ó Ø ØÙ ÑÓ Ð ½¼º µ Ò ÐÐ ½¼º¾ µ Ö ÙÐØ C (t)exp[a(t)]+a(t)c(t)exp[a(t)] = a(t)c(t)exp[a(t)]+b(t) ÕÙ Ò Ô Ö Ð Ó ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ú Ö C (t) = b(t)exp[ A(t)] Ó C(t) = b(t) exp[ A(t)] + K ÓÚ K Ð ÓÐ Ø Ó Ø ÒØ Ö ØÖ Ö º È ÖØ ÒØÓ ÓÒ ÕÙ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÖÖ Ú ÐÐ ÓÖÑÙÐ Ö ÓÐÙØ Ú ( ) u(t) = exp[a(t)] b(t) exp[ A(t)] + K ½¼º µ Ô ÖØ Ð ÒÓÑ ÐÐ Ó Ø ÒØ ÒÓÒ Ö ÐÐ ½¼º¾ µº ½¼º ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö Ú Ö Ð Ô Ö Ð Ë F(u,t) ÒÓÒ Ð ÓÖÑ a(t)u+b(t) Ó ÕÙ ÐÐ ÙÒ Ö ØØ Ò Ð Ô ÒÓ ÐÐ Ú Ö Ð u,f ÑÓ Ò ÔÖ ÒÞ ÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò u = F(u,t) ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð Ó ÓÒÓ Ò Ò Ö ÑÓÐØÓ Ô ÓÑÔÐ Ø º Þ ÓÒ Ð Ó Ò Ù F ÔÖ ÒØ Ò ÐÐ ÓÖÑ ÙÒ ÔÖÓ ÓØØÓ ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ ÓÐ u Ô Ö ÙÒ ÙÒÞ ÓÒ ÐÐ ÓÐ t ÓÚÚ ÖÓ u = g(t)h(u). ½¼º µ Ò Ð ÕÙ Ð Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ØØ Ú Ö Ð Ô Ö Ø Ó Ô Ö Ð µº ÁÐ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Ö ÓÐÚ ÖÐ Ð Ù ÒØ º ÁÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ ÓÓÖÖ Ö ÕÙ Ð ÔÓØ ÙÐ ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÐÐ ½¼º µ ½º g(t) ÓÒØ ÒÙ Ù ÙÒ ÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ J Ðг Ö Ð ¾º h(u) ÓÒØ ÒÙ Ù ÙÒ ÖØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐÓ K Ðг Ö Ð Ð Þ Ö ÕÙ Ø ÓÒÓ ÓÐ Ø ½ º ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ñ Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ h Ø Ò Ù Ò Ó Ð Ù ÒØ Ù ÔÓ ¹ Ð Ø 1 Ó ÒÓÒ ÓÒÓ ÔÙÒØ ÙÑÙÐ Þ ÓÒ ÐØÖ Þ Ö º

16 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ µ Ð ÙÒÞ ÓÒ h ÐÑ ÒÓ ÙÒÓ Þ ÖÓ ÓÐ ØÓ u e Ò Ð ÙÓ Ò Ñ ÓÒØ ÒÙ Ø K µ Ð ÙÒÞ ÓÒ h ÔÖ Ú Þ Ö Ò K ÕÙ Ò ÒÓ Ò Ø ÖÑ Ò ØÓµ Æ Ð Ó µ u e ÙÒÓ Þ ÖÓ ÓÐ ØÓ hº ÐÐÓÖ Ð ½¼º µ ÑÑ ØØ ÓÚÚ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ó Ø ÒØ u(t) = u e º Ó Ò Þ ÖÓ ÓÐ ØÓ ÓÖÖ ÔÓÒ ÕÙ Ò ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º µº ÁÒ Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú Ö Ö Ó Ñ ÒÓ Ð ÖÓ Ø ÒÞ µ Ò Ðг Ò Ñ K ÔÖ Ú ØÓ Ð Ú ÒØÙ Ð Þ Ö hµ Ö Ø ÒÓ Ò Ú Ù Ø ÓØØÓ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ò Ù Ô Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÐÐ Ô ÖÑ Ò ÒÞ Ð ÒÓ ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÓÒØ ÒÙ µ h ÙÒ ÒÓ ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò ØÓº ÉÙ ØÓ ØØÓ ÓÖÒ ÙÒ³Ó ÖÚ Þ ÓÒ Ñ¹ Ñ Ø K i ÙÒÓ ÕÙ Ø ÓØØÓ ÒØ ÖÚ ÐРг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º µ Ò ÙØÓÒÓÑ Ó g(t) = 1µ ÐÐÓÖ u ÐÓ Ø Ó ÒÓ h Ò K i ÕÙ Ò ÔÓ Ð Ø Ð Ö ÔÖ ÓÖ Ó ÒÞ ÓÚ Ö Ô Ö ÓÖÞ Ö ÓÐÚ Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð µ г Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ô ØØÓ t h > 0 h < 0µ Ð ÓÐÙ¹ Þ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u ÓÚÖ Ò Ö Ñ ÒØ Ö Ö ÒØ Ö ÒØ µº ÁÒ ÓÒÐÙ ÓÒ ÒÓÒ ØÓÒÓ Þ Ö ÓÐ Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ð Ø ÔÓ u = h(u) ÚÖ ÒÒÓ ØÙØØ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ h > 0 ÓÔÔÙÖ ØÙØØ ÑÓÒÓØÓÒ Ö ÒØ h < 0º ÕÙ Ò ÓÑÙÒÕÙ ÙØ Ð Ñ Ò Ö Ð Ö Ó h(u) Ô Ö Ú Ö Ò Þ ÓÒ Ñ Ñ ÙÐ ÓÑÔÓÖØ Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø ÔÓ u = h(u) ÒÓÖ ÔÖ Ñ Ö ÓÐÚ ÖÐ º Æ Ðг Ò Ñ K i Ð ÙÒÞ ÓÒ h ÒÓÒ Ñ ÒÙÐРг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º µ Ó¹ ÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ø Þ ÓÒ Ö ØÖÓÚ ÒÓ ÓÒ Ð ÔÖÓ ÙÖ Ù ÒØ Ú Ð ½¼º µ Ô Ö h ÒØ Ö ÒÓ Ñ Ó Ñ Ñ Ö Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÙÐØ ÒØ ÓÔÓ Ú Ö Ù ØÓ Ò Ðг ÒØ Ö Ð ÔÖ ÑÓ Ñ Ñ ÖÓ Ð Ñ Ñ ÒØÓ Ú Ö Ð u(t) = wº Ë ÙÒÕÙ u (t) d w h[u(t)] d t = h(w) = C + g(t) t. ½¼º µ ØØ G(w) ÙÒ ÔÖ Ñ Ø Ú ¾ 1/h(w) ÓØØ Ò G(w) = C + g(t) t. ½¼º µ 2 Ä ÓÒØ ÒÙ Ø h Ö ÒØ Ð³ Ø ÒÞ G ÓÚÚ Ñ ÒØ ÔÙÒØ ØÖ Ñ Ð ÒØ ÖÚ ÐÐ K i Ø ÖÑ Ò ÒÓ ÐÐ Ò ÓÐ Ö Ø 1/h(u) ÔÓØÖ ÖÓ ÒÓÒ Ö ÒØ Ö Ð Ñ Ò ÕÙ Ø ÒÓÒ Ø ÑÓ ÐÓÐ Ò Ó ÒÓÖ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ò Ð ÔÖ Ñ Ø Ú G(u) ÓÒÓ ÒØ Ò Ð Ò Ó Ðг ÒØ Ö Ð Ò Ò ØÓ Ó ÓÑ Ñ Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Ð Ù Ö Ú Ø Ó Ò ÓÒ 1/h(u)º

17 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ë ÒÓØ G ÙÖ Ñ ÒØ ÒÚ ÖØ Ð ÐÑ ÒÓ Ô ÞÞ µ ØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ w Ö ØØ ÐÐ ½¼º µ ÔÔ ÖØ Ò ÓÒÓ Ô Ö ÔÓØ µ Ð ÓÑ Ò Ó Ò Ù 1/h 0º ÐÐÓÖ Ò Ó ÑÔÖ Ô Ö ÔÓØ µ ÓÒØ ÒÙ Ð ÙÒÞ ÓÒ h Ñ ÒØ Ò ÒÓ Ò ØÓ Ö Ù Þ Ö ÓÐ Ø ÓÒ ÙØ Ú ÕÙ Ò G ÒÓÒ Ñ ÒÓ Ö Ù ÕÙ Ð Ø Ð Þ Ö º ÉÙ Ò G ÑÔÖ ØÖ ØØ Ñ ÒØ ÑÓÒÓØÓÒ ÕÙ Ò ÒÚ ÖØ Ð µ Ö Ù Þ Ö ÓÒ ÙØ Ú hº ÁÒ Ò Ø Ú ÓÐØÖ ÐÐ Ú ÒØÙ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ð Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ Ñ Ð ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ ) u(t) = G (C 1 + g(t) t. ½¼º ¼µ Ä Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ø Ö Ò Ò Ö ÑÔÐ Ø G ÒÓÒ Ð Ñ ÒØ ÖÑ ÒØ ÔÖ Ñ Ð ÕÙ Ò Ó ÔÙÖ Ò ÓÐÓ Ð Ù ÒÚ Ö G 1 ÒÓÒ ÖÐÓº f u u 1 u 2 ÙÖ ½¼º º Ë Ð ÙÒÞ ÓÒ f ÔÓ Þ Ö ÕÙ Ø Ø ÖÑ Ò ÒÓ ÐØÖ ØØ ÒØ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ú Ö Ð Ô Ö Ø ½¼º µ ÑÔ Ó ½¼º º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÙØÓÒÓÑ µ u = u 2. ½¼º ½µ ij ÕÙ Þ ÓÒ Ú Ö Ð Ô Ö Ø ÓÒ g(t) = 1 h(u) = u 2 º Ä ÙÒÞ ÓÒ u(t) = 0 Ô Ö Ó Ò t гÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö º Ä ÐØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ ØÖÓÚ ÒÓ

18 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ÒØ Ö Ò Ó Ù ØÖÓÚ Ù ØÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ du u 2 = dt 1/u = t+c. ÙÒÕÙ Ó Ò ÙÒÞ ÓÒ u(t) = 1/(t+C) ÓÒ t C ÓÒ C IR Ö ¹ ØÖ Ö ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ½µ ÓÑ Ð Ú Ö Ö Ò Ö ØØ Ñ ÒØ µº Ë ÒÓØ u(t) 0 Ö ÓÐÚ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ñ ÒÓÒ Ö ÒØÖ Ô Ö ÐÙÒ Ú ÐÓÖ C Ö ÕÙ ÐÐ Ð Ø ÔÓ ÔÖ ÒØ º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ Ò Ø ÓÐÓ t C Ñ ÒØÖ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ Ò Ø Ô Ö Ó Ò t IRº Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÒÓÒÓ ØÙØØ ÔÓ Ø Ú Ä ÙÖ ½¼º ÑÓ ØÖ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ú Ö Ö ÐÐ ÐØ ÐÐ Ó Ø ÒØ Cº 0 ÙÖ ½¼º º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ½µº ÈÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ Ð ÒÓ h Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ u º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó h > 0 Ô Ö Ó Ò u 0 ÓÒ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÓÒÓ ÑÔÖ Ö ÒØ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º º ÈÖÓÚ ÑÓ Ú ÒÞ Ö ÙÒ Ô ÓÐÙÞ ÓÒ Ð¹ г ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ½µ Ò Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ (t 0,u(t 0 )) Ð Ö Ó ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ º Ö Ñ ÒØ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ò Ö u(t 0 ) = 0 Ô Ö u(t) = 1/(t+C)

19 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÒÓÒ ÔÙ Ñ Ö ÒÙÐÐ Ñ ÕÙ Ð ÐØÖÓ Ú ÐÓÖ Ú Ò º ÁÒ ÑÓÐÓ ÓÒ u 0 0 г ÕÙ Þ ÓÒ u 0 = 1/(t 0 +C) ÓÖÒ Ð Ú ÐÓÖ ÐÐ Ó Ø ÒØ Ö ØÖ ¹ Ö C = t 0 1/u 0 º ÁÒ ÕÙ ØÓ ÑÔ Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÙØÓÒÓÑ Ð Ú Ö Ð t ÒÓÒ ÔÔ Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ º ÉÙ Ò Ð t ÔÙ Ö Ö Ð Ø Ò ÑÓ Ó t 0 Ú Ò Ö ÔÓ Þ ÓÒ ØÓ Ò ÐгÓÖ Ò º ÐÐÓÖ C = 1/u 0 ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ô Ö (0,u(0)) u(t) = u 0 1 u 0 t Ò ÓÐ Ö Ô Ö t = 1/u 0 º Ä ÙÖ ½¼º ÑÓ ØÖ Ö Ñ ÒØ u 0 < 0 Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ô Ö Ó Ò 1/u 0 < t Ø Ò ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u(t) 0 Ô Ö t + Ø Ò Ô Ö t (1/u 0 ) + Ñ ÒØÖ u 0 > 0 Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ô Ö Ó Ò t < 1/u 0 Ø Ò ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u(t) 0 Ô Ö t Ø Ò + Ô Ö t (1/u 0 ) º ÉÙ ØÓ Ò Ö Ò ÓÐ Ö Ø ÓÒÓ Ö ÕÙ ÒØ ÓÒ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð Ñ Ø ÒÓ ÕÙ Ò Ð ÑÔÓ Ø ÒÞ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ º Æ ÐÐ Þ ÓÒ ½¼º Ö Ñ Ò Ö ÑÓ ÕÙ ØÓ Ô ØØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ú Ø Ò Ö Ð º ÑÔ Ó ½¼º½¼º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÙØÓÒÓÑ µ u = u ( u 2 1 ). ½¼º ¾µ ij ÕÙ Þ ÓÒ Ú Ö Ð Ô Ö Ø ÓÒ g(t) = 1 h(u) = u 2 º ØÓÒÓ ØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u 1 (t) = 0, u 2 (t) = 1, u 3 (t) = +1. Ä ÐØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ ØÖÓÚ ÒÓ ÒØ Ö Ò Ó du u(u 2 1) = dt Ù ØÖÓÚ Ù ØÓ Ð Ö Ð Þ ÓÒ 1 2 log u 2 1 log u = t+c ÔÓ ÑÓ Ö Ö Ú Ö Ô ÑÔÐ Ñ ÒØ Ò ÐÐ ÓÖÑ log u 2 1 u 2 Ù Ö Ú ÓÒ ÑÔÐ Ô = 2t+C

20 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ 1 1 u 2 = Ce 2t ÓÚ C = e C Ö Ñ Ò Ö ØÖ Ö ÔÙÖ ÔÓ Ø Ú º Ø Ò Ù Ò Ó Ù ÒØ ÖÚ ÐÐ Ú ÐÓÖ ÐÐ u ÓØØ Ò 1 1 Ce 2t, u > 1 u(t) = 1 1+ Ce 2t, u < 1, u 0 ½¼º µ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÓÑ Ò Ðг ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ ÔÓ ÑÓ ÔÓ Þ ÓÒ Ö t 0 Ò ÐгÓÖ Ò ÔÖÓÚ Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÖÑ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ô Ö Ð ÔÙÒØÓ (0,u 0 ) 1 1 C, u 0 > 1 u 0 = 1 1+ C, u 0 < 1, u 0 ÕÙ Ò Ö ÓÐÚ Ò Ó Ö Ô ØØÓ C 1 1 u 0, u 0 > 1 C = 1 u 0 1, u 0 < 1, u 0 ÉÙ Ò Ó Ø ØÙ Ò Ó Ò ÐÐ ½¼º µ ÓØØ Ò ÑÓ u(t) = u 0 u 0 +(1 u 0 )e2t, u 0 Ä ÙÖ ½¼º ÑÓ ØÖ Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ú Ö Ö ÐÐ Ó Ø ÒØ Ö¹ ØÖ Ö º Ë ÒÓØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ö ÒØ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓµ ÕÙ Ò Ó u 0 > 1 Ô ÖØ ÒØÓ Ô Ö u 0 > 1 ÒÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÒØ Ô Ö u 0 < 1 ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÒØ º ÉÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ò ÓÒÓ Ú ÒØ Ö Ò ÓÐ Ö Ô Ö t { (1/2)log(1/ C) } = {(1/2)log( u0 / 1 u 0 )} º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ò¹ Ú Ö ÒØ Ò Ú ÐÓÖ ÓÐÙØÓµ ÕÙ Ò Ó u 0 < 1 ÓÒÓ Ò Ø Ô Ö Ó Ò Ú ÐÓÖ t Ô ÖØ ÒØÓ Ô Ö 0 < u 0 < 1 ÒÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÒØ Ñ ÒØÖ Ô Ö 1 < u 0 < 0 ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÒØ º ÉÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ò ÓÒÓ ÒØÓØ Ñ ÒØ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u(t) 0 Ô Ö t + ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö

21 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ u = 1 Ô Ö t º ÁÐ ÓÒ ÖÓÒØÓ Ö Ð Ù ÙÖ ½¼º ½¼º ÑÓ ØÖ Ð Ô Ö ØØ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ Ö Ð ÒÓ h г Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ º ÙÖ ½¼º º Ä ÙÒÞ ÓÒ h Ðг ÑÔ Ó ½¼º½¼º Ë ÒÓØ h < 0 Ô Ö u < 1 Ô Ö 0 < u < 1 Ñ ÒØÖ h > 0 Ô Ö 1 < u < 0 Ô Ö u > 1º ÈÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ¾µ ÙØÓÒÓÑ Ð ÒÓ h Ø ÖÑ Ò Ð ÒÓ u ÙÖ ½¼º º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ¾µº ij Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ¹ Ø Þ ÓÒ Ö Ò ÓÖ Ó ÓÐ ÒÓ h

22 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¼ ÑÔ Ó ½¼º½½º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÙØÓÒÓÑ µ u = sinu u. ij ÕÙ Þ ÓÒ Ú Ö Ð Ô Ö Ø ÓÒ g(t) = 1 h(u) = (sinu)/uº ØÓÒÓ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u k (t) = kπº Ä ÙÒÞ ÓÒ G ÔÖ Ñ Ø Ú 1/h(u) ÒÓÒ Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð Ñ ÒØ ÖÑ ÒØ ÔÖ Ñ Ð º Ä Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ñ Ò Ò ÓÖÑ ÑÔÐ Ø Ó ÑÓ Ò Ö Ñ ÒØ ÒØ Ö Ö Ö ¹ Ñ Ò Ò Ó Ö Ù Þ Ö h(u)º Æ Ðг ÒØ ÖÚ ÐÐÓ Ô ÖØÓ ( π,π) Ö ÙÐØ h(u) > 0 ÔÓ ÑÓ ÒØ Ö Ö ÑÔ Ó Ö 0 u(t) ( π,π) u(t) 0 w dw = t+c sinw ÆÓÒ ÔÓÒ Ò Ó ÙÒ ÓÖÑ ÔÐ Ø Ô Ö Ð ÔÖ Ñ Ø Ú Ð Ð Ñ Ð ÓÖ Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÔÓ Ð ÐÐ Ñ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÒ ÓÑ ÕÙ ØÓ Ð Ò Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÙ ØÖÓÚ Ö Ô Ö Ú ÒÙÑ Ö ÓÔÓ Ú Ö ÐØÓ ØÓ ÙÒ Ú ÐÓÖ ÐÐ Ó Ø ÒØ Ö ØÖ Ö Ô Ö ÑÔ Ó Ö Ò Ó u(0) = u 0 Ð ÓÖÒ u0 w sinw dw = C ÕÙ Ò 0 u(t) u 0 w dw = t. sinw ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ Ú Ö Ö t Ù ÙÒ Ò Ñ Ö ØÓ Ú ÐÓÖ 0 = t 0 < t 1 < t 2 <... < t n = T ÒÓÒ Ò Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ø ÒÞ Ø µ Ö ÓÐÚ Ô Ö Ó Ò k [1,n] г ÕÙ Þ ÓÒ uk w sinw dw = t k. ½¼º ¼µ u 0 Ò Ðг ÒÓ Ò Ø u k ÓÒ ÙÒÓ Ú Ö Ñ ØÓ ÒÙÑ Ö ÔÓÒ Ð ÔÙ ÑÔ Ó ÔÔÖÓ Ñ Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒØ Ö Ò ÓÒ Ð ÙÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò ÖÖ Ø ØÓ ÙÒ ÖØÓ ÓÖ Ò ÐØÓ Ò ÙÒÞ ÓÒ Ð Ö Ó ÔÖ ÓÒ ¹ Ö Ø µº ÉÙ Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÒ ÒØ Ó ØÖÙ Ö Ô Ö ÔÙÒØ Ð ÙÒÞ ÓÒ u(t) Ú Ð u 0 Ô Ö t = 0 Ð Ö ÔÔÖ ÒØ Þ ÓÒ ÔÔÖÓ Ñ Ø Ö u : t k [0,T] u k.

23 Ôº ¾ ½ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Π Π ÙÖ ½¼º½¼º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ú Ö Ö ÐÐ Ó Ø ÒØ Cº ËÓÒÓ Ú ÒÞ Ø Ù ÐÐ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö 0 ½¼º Ä Ó Ø ÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÉÙ Ð Ð Ò ØÓ ÐÐ Ó Ø ÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÔÔ Ö Ò ØÙØØ Ð ÑÔ ÔÔ Ò Ú Ø ÑÓ Ú ØÓ Ö Ú ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò ÐÐ ÓÖÑ u(t,c) Ñ ØØ Ò Ó Ò Ú ÒÞ Ð Ô Ò ÒÞ Ô Ö Ñ ØÖ ÐÐ Ó Ø ÒØ Cµ Ö Ð Þ ÓÒ Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÓÖÖ Ð Ö ÙÒ ÔÙÒØÓ (t 0,u 0 ) Ò Ð Ô ÒÓ t,u ÑÔÓÖÖ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ö Ô Ö Ø Ð ÔÙÒØÓº Ä ÐØ ÐÐ ÓÔÔ (t 0,u 0 ) ÒÓÒ Ó ØØ Ô ÖØ ÓÐ Ö Ö ØÖ Þ ÓÒ ÐÚÓ ÙÒ Ú ÔÔ ÖØ Ò Ö Ðг Ò Ñ ÓÒØ ÒÙ Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ Fº Ë Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÙØÓÒÓÑ ÔÓ ÑÓ ÑÔÖ ÒØ Ö t 0 ÓÐ Ú ÐÓÖ t = 0º ÁÒ Ó Ò Ó Ò Ò ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ò Ðг ÒÓ Ò Ø C Ð Ø ÔÓ u(t 0,C) = u 0 ½¼º ½µ ÓÚ u 0 Ð Ú ÐÓÖ ÐØÓ Ô Ö u Ò t = t 0 º Ð ØÙØØÓ Ò ØÙÖ Ð Ö ÕÙ Ø ÕÙ Þ ÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ò ÓÒ ÙÒ ÕÙ Ø ÙÒ º Ë Ó Ó Ò ØØ ÚÖ ÑÑÓ ÙÒ ÑÔÐ ÔÖÓ ÙÖ Ò Ö Ð Ô Ö Ð Þ ÓÒ Ö Ô ÖØ ÓÐ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÞ ÙÒ³ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ º Ä Ö ÔÓ Ø ÒØÖ Ñ Ð ÓÑ Ò Ø ÒÞ ÙÒ Øµ ÒÓÒ Ò Ò Ö Ð Ô Ö ÒÙÐÐ ÓÒØ Ø Ö ÒØÖ Ò ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ô ÑÔ ÓÑ Ú Ö ÑÓ Ò Ð

24 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¾ ÔÖÓ ÑÓ Ô Ö Ö Óº ÁÒ ÔÖ ÒÞ ÑÓ Ù ØÓ Ð Ø ÖÑ Ò ÓÖÑ ÐÑ ÒØ Ô Ö Ð ÔÖÓ ÙÖ Ò Ø ÔÓØÖ ÒÓÒ Ö ÓÖÖ ØØ ÔÖ ÓÖ Ò ØØ ÔÓØÖ Ù Ö Ð Ñ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø Ò ÑÓ Ó Ù Ø ÚÓ ÙÒ³ÙÒ Ð Ð Ø ÔÓ u(t,c) ÕÙ Ò Ò Ò Ð Ó Ò Ù Ð ½¼º ½µ Ó ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ö ÓÐÚ Ð ÒÓÒ ØØÓ ØØÓ Ò Ó C Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ð Ø ÔÓ ½¼º ½µ ÔÓ Ø ÖÑ Ò Ö u(t) Ò ÑÓ Ó ÙÒ ÚÓÓ ÓÑ Ú Ö ÑÓ Ò ØØ Ð Ó Ò Ð ÑÔ ½¼º½¾ ½¼º½ Ù Ú º ÓÑÙÒÕÙ Ò Ú Ø Ò ÔÖ ÒÞ Ð Ö ÔÓ Ø Ö ÙÐØ Ø ÑÔÖ ÖÑ ¹ Ø Ú ÑÔ Ó Ò ÐÐ ½¼º ½µ Ö ÑÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ð u(0) = 1 ÑÔ Óµ ØÖÓÚ 1 = Ce 0 ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ø ÕÙ ÐÐ ÓÒ C = 1º Æ Ð Ó Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ½µ ÑÔÓÒ Ò Ó ÑÔ Ó u(0) = 2 ÓØØ Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ 2 = 1 C ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ø u(t) = (t 1/2) 1. ½¼º Ö ØØ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Ó ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÒÓÖ ÑÓ Ú ØÓ ÑÔ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÖÓÒØ ØÓ Ò ¹ Ô ÑÔÐ ÔÓ Ð Ñ ØÓ Ö ÓÐÙÞ ÓÒ º ³ ÐØÖ Ô ÖØ ÔÓ Ñ Ö Ñ Ò Ó Ø ÔÓ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÓÖÖ Ö Ñ ØÓ Ó Ú Ò Ò ØÙÖ Ð Ö Ø ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÑÔÖ ÔÓÒ Ð ÕÙ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÓ ÓÚÖ ÑÓ Ö Ö Ò Ú Ù Ö Ñ ÒØ ÕÙ Ð Ø Ò Ô Ó Ñ ÒÓ ÓÑÔÐ Ø º ÁÒÓÐØÖ ÑÓ Ú ØÓ Ò ÕÙ Ò Ó ØÖÓÚ ØÓ ÙÒ Ñ ØÓ Ó ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ ØÓ ÔÖÓ Ù ÙÒ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ ÒØ ÓÒÓ Ð ÐØ ÐÐ Ó Ø ÒØ ÔÖÓ Ù ØØÖ Ú Ö Ó Ð ÔÖÓ Ó ÒØ Ö Þ ÓÒ º ÌÙØØ Ú ÓÑ ÑÓ Ô Ö ÐØÖÓ ÒÒ ØÓ ÐÐ Ò Ð Ô Ö Ö Ó ÔÖ ¹ ÒØ ÒÓÒ ØØÓ ÓÚÚ Ó Ø ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ ÕÙ Ð Ø ÒÓ ÑÔÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ö Ò Ú Ù ÖÒ ÙÒ ÙÒ ÓÐ ÑÔÐ Ñ ÒØ ¹ Ò Ó Ò ÕÙ Ð ÑÓ Ó Ð Ó Ø ÒØ ÒØ Ö Þ ÓÒ ÑÔÓÒ Ò Ó Ð Ö Ó ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ô Ó Ô Ö ÙÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÔÙÒØÓ Ð Ô ÒÓ t,uº ÉÙ ØÓ ÔÖÓ Ð ¹ Ñ Ò ØØ ÒÓÒ Ò Ð º È Ö Ô ÖÒ Ð³ ÑÔÓÖØ ÒÞ Ö Ñ Ò ÑÓ Ð ÑÔ ÒØÖÓ ÙØØ Ú ÐÐ ÐÙ ÐÐ Ò ØÙÖ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ÁÐ ØØÓ ÑÔÓÖØ ÒØ Ð ÐÐ ÒÓ ÔÖ Ò Ø ÖÑ Ò ÕÙ Þ Ó¹ Ò Ö ÒÞ Ð Ð Ö Ó Ú ØØÓÖ Ð µ Ð ÓÒ ÖÓÒØÓ Ö Ð ÑÓ ÐÐÓ Ø ÓÖ Ó

25 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ г Ô Ö ÒÞ Ö Ð³ Ò Ú Ù Þ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÔÓÒ ÒÙÑ ÖÓ ÓÒ Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖ Ø ÐÓ Ó º ÑÔ Ó ÐÑ ¹ ÒÓ Ô Ö ÒÓÑ Ò Ø ÔÓ Ñ ÖÓ ÓÔ Ó Ó Ó ÒÚÓÐ ÓÒÓ Ð Ô Þ Ð Ñ ÓÖ ÕÙ ÐÐ ØÓÑ µ ÒÓÒ ÒÓ Ö ØØ Ö Ø ÒØÖ Ò Ù Ð Ø Ö Ð Ö Ô ØØ Ú Ð Ð ÓÚ ÖÒ ÒÓ ¹ ÒÓ Ö ØØ Ö Ø ÖÑ Ò Ø Óº ÓÒ ÒØ Ò Ô Ö Ø ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ÙÒÓ Ô Ö Ñ ÒØ ØÓÖ ÚÓ Ð Ó ÖÚ Ö Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ ÔÖ Ú Ø ÐÐ Ð Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ÐØ µ ÒÓÒ Ú ÒÓØ Ö ÐÙÒ Ö ÒÞ Ö Ð Ö Ô Ø Þ ÓÒ Ù Ú ÐÐÓ Ø Ó Ô Ö Ñ ÒØÓº ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ Ô Ö ÕÙ ÐÐÓ Ô Ö Ñ ÒØ ØÓÖ Ð³ ÚÓÐÙÞ ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ú Ö ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ø Ô Ö Ð³ Ô Ö Ñ ÒØÓº Ò ØØ Ð ØÙØØÓ Ú ÒØ ÙÒ Ð ÒÓÒ Ö ÔÓÒ Ø Ð Ö ÕÙ ØÓ Ñ Ò ÑÓ Ö Ð ØÙØØÓ ÒÙØ Ð º ÈÙÖ¹ ØÖÓÔÔÓ Ð³ÙÒ Ø ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÔÙÖ Ò ÓÒ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð µ ÒÓÒ ÓÑ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ù ÑÔ ÙÓÒÓ ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ Ø º ÑÔ Ó ½¼º½¾º ij ÕÙ Þ ÓÒ u = u 1/3 ½¼º ¾µ ÑÑ ØØ Ò ØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ú Ö ÒÓ ØÙØØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(0) = 0º ÓÔÓ Ú Ö Ó ÖÚ ØÓ F(u) = u 1/3 Ù ØÓ u(t) = 0 Ô Ö Ó Ò t ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ØÖÓÚ ÒÓ ÔÓ Ð ÐØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÐ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð du u 1/3 = t+c, ÓÚÚ ÖÓ 2 3 u2/3 (t) = t+c Ù ÑÔÓÒ Ò Ó Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ÓØØ Ò C = 0 ÕÙ Ò u(t) = (3/2)t 3/2 ÐÙÓ Ó Ù ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ø ÓÐÓ Ô Ö t 0 ÙÒ Ò Ø Ú Ð³ ÐØÖ ÔÓ Ø Ú º Ð ÔÙÒØÓ (0,0) ÓÒÓ ÐÐÓÖ Ð Ù ÒØ ØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ö t 0 u 1 (t) 0, u 2 (t) = ( ) 3/2 ( ) 3/2 2t 2t, u 3 (t) =. 3 3 Ä ÙÖ ½¼º½½ ÑÓ ØÖ Ð ØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ð ÔÙÒØÓ (0,0) Ò Ð Ô ÒÓ t,uº

26 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ 4 u u 1 u 2 u t ÙÖ ½¼º½½º ÆÓÒ ÙÒ Ø ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼º ¾ г ÕÙ Þ ÓÒ ØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ú Ö ÒÓ ØÙØØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(0) = 0 ÑÔ Ó ½¼º½ º ÓÚÙØÓ È ÒÓ ÙÒÓ Ô Ð Ø ÒØ ÑÔ ÒÓÒ ÙÒ Ø Ô Ö ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ij ÕÙ Þ ÓÒ u = 2 u 1/2 ½¼º µ ÑÑ ØØ Ò ØØ ÙÒ³ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ú Ö ÒÓ ØÙØØ Ð Ñ Ñ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(t 0 ) = 0 ÓÚ t 0 IR ÔÖ ØÓº È Ö Ú Ö ÕÙ ØÓ ØØÓ ÓÑ Ò ÓÒ Ð³Ó ÖÚ Ö Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø ¹ Þ ÓÒ Ö u(t) = 0 Ô Ö Ó Ò t ÔÓ ÓÐ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð Ö ÒÓ ÕÙ ÐÐ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö º ÌÙØØ Ú ÕÙ ØÓ ÓÒ Ó Ô Ó Ö ÕÙ Ð ØØ ÒÞ ÓÒ Ò Ô Ö Ô ØØÓ Ðг ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ º ÁÒ ØØ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ u = 2 u 1/2 ÓÒØ Ò Ò Ó Ø µ ÙÒ³ Ò ÓÖÑ Þ ÓÒ Þ ÓÒ Ð Ù Ú Ø ÒÙØÓ ÓÒØÓ Ò Ð ÑÓÑ ÒØÓ Ò Ù ÔÔÐ Ð Ñ ØÓ Óº Î ÒØ ÒØÓ Ó ÖÚ ØÓ Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ¹ ÖÓ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÑÔÖ ÔÓ Ø ÚÓ Ó ÒÙÐÐÓ Ô Ö Ù Ð Ú ÒØÙ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÚÓÒÓ Ö ÒÓÒ Ö ÒØ º Ë Ú Ú Ö ÙÖ ÙÒ ÚÓÐØ ØØÙ Ø Ð³ ÒØ Ö Þ ÓÒ Ð Þ ÓÒ Ö ÓÐÓ ÕÙ ÐÐ Ö Ô ØØ ÒÓ Ð Ù ØØ ÓÒ Þ ÓÒ º È ÖØ ÒØÓ ÓÐØÖ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö u(t) = 0 tµ Ð ÔÖÓ ÙÖ ÒØ ¹ Ö Þ ÓÒ Ú ÒÞ Ð Ù ÒØ ÓÔÔ Ñ Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓÒ ØÙØØ Ò ¹

27 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ö Ñ ÒØ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ø µº ÁÒ ØØ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ø ÕÙ Ú Ð Ù Ø ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÙÒ Ú Ð ÕÙ Ò Ó u > 0 г ÐØÖ ÕÙ Ò Ó u < 0 u = 2 u, u > 0 u = 2 u 1/2 u = 2 u, u < 0 Ù ÓØØ Ò u(t) = (t+c) 2, u > 0 u(t) = (t+c) 2, u < 0 Ë ÒÓØ Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ Ð Ú ÐÓÖ C u(t) = (t+c) 2 ÒÓÒ Ö ¹ ÒØ ÓÐÓ t C Ñ ÒØÖ u(t) = (t + C) 2 ÒÓÒ Ö ÒØ ÓÐÓ t < Cº Ë Ò Ù Ð Ò Ö ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ð ÓÖÑ (t+c) 2, t > C u(t) = (t+c) 2, t < C ÉÙ Ò Ó t = C ØÙØØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ ØÓ Ø ÔÓ ÓÒÓ ÒÙÐÐ ÒØ Ö ÒÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ò Ð ÔÙÒØÓ ( C,0)º Î Ò ÕÙ Ò Ú ÓÐ Ø Ð³ÙÒ Ø Ò Ó Ò ÒØÓÖÒÓ ÔÙÒØ ÙÐг u = 0 Ú Ð ÙÖ ½¼º½¾µº Ë Ð ½¼º ¾µ Ó Ð ½¼º µ ÑÓ ÐÐ ÖÓ ÙÒ ÕÙ Ð ÒÓÑ ÒÓÐÓ ÙÒ Ó ÖÚ ØÓÖ Ð Ô Ö Ð Ö Ò ÞÞ u Ðг Ø ÒØ Ò Þ Ð t = 0 ÔÖÓÔÖ Ó Ð Ú ÐÓÖ 0 Ö Ò Ö Ú Ñ Ö ÞÞÓ Ò Ó ÖÚ Ö ÐÑ ÒØ ÙÒ ÓÐ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ð Ð Ö Ø Ö Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ô Ö Ô Ö Ð ÐØÖ Ú ÒÓ Ú ÒØÙ ÐÑ ÒØ ÖØ Ø Ö Ô Ø Ò Ó Ð³ Ô Ö Ñ ÒØÓ ÙÒ ÒÙÑ ÖÓ Ö ØÖ Ö Ó ÚÓÐØ ÓÒ Ð Ø ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ö Ó ÖÚ Ö Ó Ñ ÒÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ó ÖÚ Ø Ð ÔÖ Ñ ÚÓÐØ ÓÔÔÙÖ ÙÒ ÕÙ Ð ÐÐ ÐØÖ º Ò Ð³ Ø ÒÞ ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ ÙÒ ÔÖÓÔÖ Ø ÓÒØ Ø Ô Ö ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ÑÔ Ó ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ø ÔÓ (u ) 2 +e u = 0,

28 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ÙÖ ½¼º½¾º ÁÐ Ô ØØ Ò È ÒÓ Ð ÙÖ ÑÓ ØÖ ÐÙÒ ÐÐ Ò Ò Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ½¼º µ Ú Ö ÒØ ØÙØØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(t 0) = 0º Ä ÙÖÚ Ò ÖÓ Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ u 1 Ð ÐØÖ Ò Ø ÓÒ u 2 ÒØ Ö ÒÓ u 1 Ô Ö t = Cº ÉÙ Ø ÙÖ ÒÓØ ÓÑ Ô ØØ Ò È ÒÓ (u ) 2 +u 2 +1 = 0 Ñ Ð ÒÓÒ ÓÒÓ Ñ Ó ØØ ÙÒÞ ÓÒ u Ö Ð º Ë ÒÙÓÚ Ñ ÒØ ÙÒ ÐÐ Ù ØØ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ó ÔÖ ÑÓ ÐÐÓ ÕÙ Ð ÒÓ¹ Ñ ÒÓ Ó Ð³ Ñ Ö ÞÞÓ Ð Ö Ö ØÓÖ Ö ÒÓÖ Ô Ö Ú ØÙØØ Ð ØØ ÚÖ ÑÑÓ ÒÓÖ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ ÒÙØ Ð º Ë ÑÔÖ Ø Ð ÔÖÓÔÓ ØÓ ÒÓØ Ð Ù ÒØ ÙÐØ Ö ÓÖ ÑÔ Ó ÙÔÔÓÒ ÑÓ ÚÓÐ Ö ØÖÓÚ Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð u = F(t), Ô Ö t = t 0 ÙÑ Ú ÐÓÖ u(t 0 ) = u 0 ÔÖ ØÓº Ë F ÙÒ ÓÒØ ÒÙ Ø ÔÖ Ñ Ô Ò t = t 0 ÕÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÒÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ ÓÑÔÐ ØÓ ÓÒØ Ò ÒØ t 0 º ÁÒ ØØ Ð Ú ÒØÙ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ö ÖÓ Ð Ò Ò Ø ÔÖ Ñ Ø Ú F Ñ Ø Ð ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÓÒ ØÓÒÓ Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ t 0 ØÓ Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ð ÐÓÐÓ ÒØ Ö Ð Ú Ö Ð Ô ØÓÐÓ Ô Ò ½ ¾µ Ö Ð ÓÒØ ÒÙ Ø F Ò Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒØ Ö Ð F(s) ds Ö ÙÐØ t 0 Ö Ú Ð ÓÒ Ö Ú Ø Ò t Ù Ù Ð F(t)º ÉÙ Ø ÑÔ ÑÓ ØÖ ÒÓ ÑÓ Ó ÒÓ Ö Ø Ö Ò Ö Ð ¹ ÒÓ ÓØØÓ ÕÙ Ð ÔÓØ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÑÑ ØØ ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ö Ô Ö Ö Ò ÖÐ ÙÒ º t

29 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ½¼º Ø ÒÞ ÙÒ Ø Ç ÖÚ ÑÓ ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ Ó Ò ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ö ÓÖ Ò n ÕÙ Ú Ð ÒØ ÙÒ Ø Ñ n ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ö Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÕÙ Ò ÙÒ Ò ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð Ò ³ ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò º Ä ÔÖÓ ÙÖ Ô Ö ÑÓ ØÖ Ö ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø ÑÓÐØÓ ÑÔÐ Ð ÐÐÙ ØÖ ÑÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÑ ÒØ ÓÒ ÙÒ Ô Ó ÑÔ º ÑÔ Ó ½¼º½ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð Ò Ö u = u +u Ò Ðг ÒÓ Ò Ø u ÓÔ Ö ÑÓ Ð Ù ÒØ Ñ Ó Ú Ö Ð w 1 = u, w 2 = u Ç ÖÚ ÑÓ ÒÒ ÒÞ ØÙØØÓ ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð Ù ÒÙÓÚ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø w 1,w 2 ÓÓÖÖ Ö ÒÒÓ Ù ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð º ÍÒ ÕÙ Ø ÕÙ Þ ÓÒ ÓØØ Ò Ù ØÓ ÐÐ Ó ÖÚ Ò Ó w 1 = w 2. Ä ÓÒ ÕÙ Þ ÓÒ ÓØØ Ò ÒÚ Ó Ø ØÙ Ò Ó Ð Ò ÐÐ w 2 = w 2 +w 1. ½¼º ¼µ ÁÐ Ø Ñ ¹ ½¼º ¼µ ÓÖÑ ØÓ Ù ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ò ÐÐ ÒÓ Ò Ø w 1,w 2 ÕÙ Ú Ð Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÖ Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ò ÐгÙÒ ÒÓ Ò Ø uº Ë ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð ÒÓ Ò Ø w = (w 1,w 2 ) Ð Ø Ñ ¹ ½¼º ¼µ Ö Ö Ú Ò ÓÖÑ Ú ØØÓÖ Ð Ò ÐÐ ÓÖÑ Ù ÒØ w = F(w) ÓÚ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð F ÓÑÔÓÒ ÒØ (w 2,w 2 +w 1 )º ÑÔ Ó ½¼º½ º ÍÒ Ô Ò ÓÐÓ ÑÔÐ ÙÒ Ø Ñ Ñ Ò Ó Ó Ø ØÙ ØÓ ÙÒ ÔÙÒØÓ Ñ Ø Ö Ð P Ñ m Ó Ô Ó Ñ ÒØ ÙÒ³ Ø Ö Ñ ØÖ ÙÖ Ð ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Oº ÁÐ ÔÙÒØÓ Ð ÖÓ Ó ÐÐ Ö Ò ÙÒ Ô ÒÓ Ú ÖØ Ð ÙÔÔÓ ØÓ Óº Ä Ù ÔÓ Þ ÓÒ ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ò Ú Ù Ø Ð Ú ¹ ÐÓÖ ϑ(t) Ðг Ò ÓÐÓ ÓÖÑ ØÓ Ð Ú ØØÓÖ P O ÓÒ Ð³ Ú ÖØ Ð z Ô ÒØ Ô Ö O Ú Ö ÙÖ ½¼º½ µº ØØ l Ð ÐÙÒ ÞÞ P O g г ÒØ Ò Ø Ðг Ð Ö Þ ÓÒ Ö Ú Ø Ò ÒÞ ØØÖ Ø ÕÙ Ð Ø ÔÓ ÐÓ ØÙ Ó

30 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ Ð ÑÓØÓ Ð Ô Ò ÓÐÓ Ñ ÒØ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Æ ÛØÓÒ ÕÙ Ú Ð Ö ÓÐÚ Ö Ð Ò ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö ϑ = g l sinϑ. ½¼º ½µ ÈÓÒ Ò Ó u 1 = ϑ, u 2 = ϑ, Ó ÖÚ Ò Ó Ø Ð Ò Þ ÓÒ ÑÔÐ u 1 = u 2 Ð ½¼º ½µ Ö Ö Ú u 1 = u 2, ½¼º ¾µ u 2 = g l sinu 1, Ô ÖØ ÒØÓ ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð ÒÓ Ò Ø u = (u 1,u 2 ) г ¹ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð ÑÓØÓ Ö Ú Ò ÓÖÑ Ú ØØÓÖ Ð Ò ÐÐ ÓÖÑ ÕÙ Ú Ð ÒØ u = F(u) ( ÓÚ Ð ÙÒÞ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð F ÓÑÔÓÒ ÒØ u 2, g ) l sinu 1 º Å ØØ ÑÓ ÓÖ Ò ÓÒ Þ ÓÒ Ô Ò Ö Ð ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ Ò Ö ÕÙ ¹ Þ ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ò n w (n) = f(w,w,w,...,w (n 1),t) ÒØÖÓ Ù ÑÓ Ð Ú ØØÓÖ u = (u 1,...,u n ) ÔÓÒ Ò Ó Ô Ö Ò Þ ÓÒ u 1 = w, u 2 = w, u n = w (n 1). ½¼º µ ÐÐ n Ñ ÐÐ Ù u n = w(n) ÕÙ Ò Ð ½¼º µ ÔÙ Ö Ö Ö ØØ Ò ÐÐ ÓÖÑ u n = f(u 1,u 2,...,u n,t). Ð Ð Ñ Ö Ð ÓÑÔÓÒ ÒØ u Ö ÔÔÖ ÒØ ØÓ ÐÐ n 1 Ö Ð Þ ÓÒ u 1 = u 2, u 2 = u 3, º u n 1 = u n,

31 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ú ÒÒÓ Ö ÓÐØ Ò Ñ ÐÐ º Ä ÓÖÑ ÒÓ ÙÒ Ø Ñ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö ØÙØØ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò º Ì Ð Ø Ñ Ô Ö Ó ØÖÙÞ ÓÒ ÕÙ Ú Ð ÒØ ÐÐ Ò ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ò n ÔÙ Ò Ö ÔÔÖ ¹ ÒØ Ö ÓÑ ÙÒ Ò ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ú ØØÓÖ Ð Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ö Ú u = F(u,t), ÓÚ F(u,t) (u 2,...,u n,f(u 1,...,u n,t))º O ϑ P mg ÙÖ ½¼º½ º ÁÐ Ô Ò ÓÐÓ ÑÔÐ ÓÒ Ö ÑÓ ÐÐÓÖ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ú ØØÓÖ Ð Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò u = f(u,t) ÔÓÒ ÑÓ Ð Ù ÒØ ÈÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð Ù Ýµ ÓØØÓ ÕÙ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ô Ö f Ð ÑÑ ØØ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ u Ú Ö ÒØ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(t 0 ) = u 0, ÓÚ (t 0,u 0 ) ÙÒ ÓÔÔ ÔÖ Ò Ø È Ö ÔÖ Ö Ñ Ð Ó Ð Ó ÙÔÔÓÒ ÑÓ f Ò Ø Ù ÙÒ Ö ÓÒ D I IR n+1 ÓÒ D IR n I IR Ô ÖØ Ò Ö Ô ØØ Ú Ô Þ µº

32 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¼ Ì ÓÖ Ñ Ø ÒÞ ÙÒ Ø ÐÓ Ð Ù Ýµº Ë f(u,t) Ò Ø ÓÒØ ÒÙ Ò Ðг Ô ÖØÓ D I IR n+1 Ð Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð f Ö Ô ØØÓ u Ú Ö ÒÓ Ð ÓÒ Þ ÓÒ f i M, i,j, t I u j Ô Ö ÙÒ³ÓÔÔÓÖØÙÒ Ó Ø ÒØ ÔÓ Ø Ú M Ù Ó Ò Ò Ñ Ù Ó Ð Ñ Ø ØÓ D Dº ÐÐÓÖ Ô Ö Ó Ò ÔÙÒØÓ (u 0,t 0 ) D I Ø ÙÒ ÒØÓÖÒÓ Ð Ø ÔÓ R = {(u,t) u u 0 k, t t 0 T} D I ½¼º ¼µ ÐÐÓ Ô Þ Ó IR n+1 Ò Ð ÕÙ Ð Ò Ø ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ u Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð Ó Ù Ý µ { u = f(u,t), ½¼º ½µ u(t 0 ) = u 0. Ì Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ó Ó Ò ÐØÖ ÓÐÙÞ ÓÒ ½¼º ½µ Ó Ò ÓÒ u ÙÐÐ Ö ÓÒ Rº f u 0 t 0 u P u(t) t R ÙÖ ½¼º½ º ÁÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ ÓÑ ØÖ Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÞ ÙÒ Ø Ù Ý Ð³ ÒØÓÖÒÓ R ÕÙ ÐÐÓ Ò Ù Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÒØ Ô Ö P ÓÓÖ Ò Ø (u 0,t 0) Ø ÙÒ ÑÔÓÖØ ÒØ ÓØØÓÐ Ò Ö Ð Ø ÓÖ Ñ ÓÖÒ ÓÐÓ ÓÒ Þ ÓÒ Ù ÒØ Ô ÖØ ÒØÓ ÔÓ ÓÒÓ Ö ÕÙ Þ ÓÒ Ô Ö Ð ÕÙ Ð Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼º ½µ ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ú Ö ÙÒ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÞ f Ú Ö Ð ÔÖÓÔÖ Ø

33 Ôº ¾ ½ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ö Ø ÓÒØ ÒÙ Ø Ò t Ð Ñ Ø Ø ÞÞ ÐÐ Ö Ú Ø Ô ÖÞ Ð Ö Ô ØØÓ uµº Î ÑÓ ÕÙ Ù ØÓ ÐÙÒ ÑÔ ÐÐÙ ØÖ ÒÓ ÕÙ Ø ÔÓ Ð Øº ÑÔ Ó ½¼º½ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ { u = βu 2 (β 0), u(0) = u 0. ½¼º ¾µ Ä ÙÒÞ ÓÒ f(u) = βu 2 ÒÓÒ Ð Ö Ú Ø Ö Ô ØØÓ u Ð Ñ Ø Ø Ò Ó Ò ÒØÓÖÒÓ ÓÒØ Ò Ð³ÓÖ Ò u = 0 ÒÞ ÒÓÒ Ú Ò ÑÑ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÒÓ¹ ÒÓ Ø ÒØ Ð Ð ØØÓÖ ÔÙ Ú Ö Ö Ù Ò Ó Ð Ñ ØÓ Ó Ô Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð ÓÔÔÙÖ Ô Ö Ú Ö ØØ Ð ÙÒÞ ÓÒ u(t) = ( u βt) 1/3 Ö ÓÐÚ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼º ¾µº ÉÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ø ÙÒ µ Ô Ö Ó Ò tº Ë ÒÓØ Ô Ö Ð ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ ÐÐ ÔÖ Ñ ÐÐ ½¼º ¾µ ÒÓÒ Ò ØÓ Ô Ö u = 0º È ÖØ ÒØÓ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ò Ö ÙÒ ØÓ Ò Þ Ð Ð Ø ÔÓ u(0) = 0 Ö Ò Ö Ò Þ ÐÑ ÒØ Ò ÓÐ Ö Ð u º ÑÔ Ó ½¼º½ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ { u = βu 1 (β 0), u(0) = u 0. ½¼º µ Ò Ò ÕÙ ØÓ Óf(u) = βu 1 ÒÓÒ Ú Ö Ð ÔÓØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ý Ò ÒØÓÖÒ ÓÒØ Ò ÒØ Ð³ÓÖ Ò u = 0º Ë ÒÓØ ÒÓÐØÖ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ò Ô ÖØ ÓÐ Ö Ò Ö Ð ØÓ u 0 = 0 β 0º ÁÒ Ø Ð Ó Ò ØØ Ö ÙÐØ Ö u (0) = + º ÌÙØØ Ú u 0 0 Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ½¼º µ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÔÖÓ ÚÓÐÑ ÒØ ÓÐ Ñ ØÓ Ó Ô Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ú Ö Ð µ u(t) = u βt u 2. 0 Ë β > 0 ÕÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ Ø ÓÐÓ Ô Ö t > u2 0 ÒÚ β < 0 2β Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø ÓÐÓ Ô Ö t < u2 0 2β º

34 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¾ ÍÒ ÐØÖÓ Ô ØØÓ Ð Ø ÓÖ Ñ ½¼º ÓØØÓÐ Ò Ö ÔÐ Ø Ñ ÒØ Ð³ Ø ÒÞ ÙÒ Ø ÔÖ Ú Ø ÒÒÓ Ö ØØ Ö ÐÓ Ð Ú ÒÞ Ø Ð ØØÓ Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ø ÒÞ ÙÒ Ø Ö ÒØ Ø ÓÐÓ Ò ÙÒ ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ÒØÓÖÒÓ R Ð ÔÙÒØÓ Ò Þ Ð Ù Ò ÓÒ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÔÙ ÔÐÓ Ö ÓÔÓ ÙÒ Ø ÑÔÓ Ò ØÓ Ó lim u = + µ ÓÔÔÙÖ Ô Ö Ö Ð Ö ØØ Ö Ø ÙÒ Ø t t u u 0 Ú ÒØ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò º ÑÓ Ú ØÓ ÚÓÐØ Ð ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÒÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ ¹ ØÓÒÓ ÓÐÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ Ò Ð Ò Ó Ú ÒØ ÒÓ Ò ÓÐ Ö Ð ØÖ Ñ ÙÒ ÒØ Ú ÐÐÓ Ò ØÓº ÁÐ ÔÖÓ ÑÓ Ø ÓÖ Ñ Ö ÒØ ÒÚ Ð³ Ø ÒÞ ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÐ º Ø ÒÞ ÙÒ Ø ÐÓ Ð º Ë f(u,t) Ð Ò Ö Ò u ÓÚÚ ÖÓ Ø ÙÒ Ñ ØÖ A(t) Ø ÔÓ n n ÙÒ Ú ØØÓÖ b(t) Ø Ð f(u,t) = A(t)u+b(t); ÐÐÓÖ A(t) b(t) ÓÒÓ ÓÒØ ÒÙ Ò I Ø ÙÒ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ½¼º ½µº ÉÙ Ø ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ø Ô Ö Ó Ò t I Ú Ö Ú Ð Ö Ô ØØÓ t ÓÒ Ö Ú Ø ÐÑ ÒÓ ÓÒØ ÒÙ º ÁÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö I Ð Ñ Ø ØÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò ³ Ð Ñ Ø Ø º ÁÒ Ò Ö Ð ØÓ a = u(t 0 ) t 0 Iµ Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ µ Ô Ö Ñ Ò¹ Ø Ð Ô ÖØ ÒØÓ ÒÓÒ ÔÓ Ð ÑÔ Ó Ò Ù Ö Ô Ø Þ ÓÒ ÓÒ ÙØ Ú ÐÐÓ Ø Ó Ô Ö Ñ ÒØÓ Ò ÖÐÓ ÓÒ ÔÖ ÓÒ ÓÐÙØ º ³ ÐØÖ Ô ÖØ Ð ÓÐ ØÓ Ö Ö ØÓÖ ÚÓÐ Ñ ØØ Ö ÐÐ ÔÖÓÚ Ð³ ØØ Ò Ð Ø ÙÒ Ð Ð Ø ÔÓ u = f(u,t) ØØÖ Ú Ö Ó ÔÖÓÚ Ö Ô ØÙØ ÙØ Ð ÞÞ ÒÓ ÑÔÖ Ð Ñ ¹ Ñ ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ö Ø Ö ÐÕÙ ÒØÓ Ô ÖÔÐ Ó Ò ÓÖÖ ÔÓÒ ÒÞ Ù Ø Ò Þ Ð a 1 a 2 Ù Ù Ð Ð ÔÙÒØÓ Ú Ø Ô Ö Ñ ÒØ Ð Ó Ø Ð a 1 a 2 Ò Ö ÓÖ Ðг ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ µ Ñ ÔÓ ÐÑ ÒØ Ú Ö ØÓ Ð³ ÖÖÓÖ Ñ ÙÖ ÒÓÒ ÔÙ Ö Ö Ó Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ô ÓÐÓµ Ó ÖÚ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ù ÓÐÙÞ ÓÒ u(t;a1), u(t;a2), Ö ÐÑ ÒØ Ö ÒØ Ò Ð Ò Ó Ð ÙÒÞ ÓÒ u(t;a 1 ) u(t;a 2 ) ÔÙ ÙÑ Ö Ú ÐÓÖ Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ Ö Ò º ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ù ÓÖÒ Ò ÐÐ Ø ÔÓØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÞ ÙÒ Ø ÙÒ Ø Ñ Ðг Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ Ò Ð Ø ÑÔÓº 3 Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð Ô Ò ÓÚÚ Ñ ÒØ ÐÐ ÐØ Ð ØÓ Ò Þ Ð u 0 = u(t 0) Ú ÒÞ Ö ÑÓ ÕÙ Ø Ô Ò ÒÞ Ò ØÙØØ ÓÑ Ð³ ØØÙ Ð µ Ò Ù ÓÒØÖ Ù ÐÐ Ö ÞÞ Ðг ÔÓ Þ ÓÒ º

35 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ô Ò ÒÞ ÓÒØ ÒÙ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ò Þ Ð º Ë ÒÓ u(t;a 1 ) u(t;a 2 ) Ù ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ u = f(u,t) ÓÖÖ ÔÓÒ¹ ÒØ Ö Ô ØØ Ú Ñ ÒØ Ø Ò Þ Ð u(t 0 ) = a 1 u(t 0 ) = a 2 f Ú Ö Ð ÔÓØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ø ÒÞ ÙÒ Ø ÐÓ Ð Ô Ò ¾ ¼µ ÐÐÓÖ Ú Ð Ð ÔÖÓÔÖ Ø u(t;a 1 ) u(t;a 2 ) a 1 a 2 e L t t0, ÓÚ L > 0 ÙÒ Ó Ø ÒØ ÓÔÔÓÖØÙÒ µ Ô Ö ØÙØØ t Ô Ö Ù ÒØÖ Ñ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ØÓÒÓº Ë ÒÓØ Ð Ö ÒØ ÔÔÙÒØÓ Ô Ö a 2 a 1 Ò u(t,a 2 ) u(t,a 1 ) Ò Ô Ò ÒØ Ñ ÒØ tº ÌÙØØ Ú Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ô Ö ÙÒ ÒØ Ö¹ Ú ÐÐÓ Ø ÑÔÓ Ù ÒØ Ñ ÒØ Ö Ò Ð ØØÓÖ e L t t0 ÔÙ ÙÑ Ö Ú ÐÓÖ Ø Ð u(t,a 1 ) u(t,a 2 ) Ú Ö ÓÖ Ò Ö Ò ÞÞ Ô Ö Ò a 1 a 2 ÔÙÖ ÓÒØ ÒÙ Ò Ó Ö Ø Ö Ú Ð Ð º ÆÓÒ ÐÙ Ó ÕÙ Ò ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Þ ÐÑ ÒØ ÑÓÐØÓ Ú ¹ Ò ÐÐÓÒØ Ò ÒÓ ÑÙØÙ Ñ ÒØ Ø ÒÞ ÑÓÐØÓ Ö Ò Ð Ø Ñ ÔÖ ÐÐ ØÙØØ Ú Ð³ ØØ ÚÓ ÑÓÐØÓ ÒÓÒ Ó Ø ØÙ Ð ÓÒ Ö¹ ØÖ Ö Ñ ÒØ º ÉÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓ ÓÒ ÑÔÐ Þ ÓÒ Ò Ô Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒÓÒ ÔÓ Ð ÔÔÖÓ ÓÒ ÖÐÓ ÙÐØ Ö ÓÖÑ ÒØ Ò ÕÙ Ø º Ò Ö ÐÑ ÒØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ô Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÑÔ Ó Ó Ø ÒØ Ô Ö Ñ ÒØ Ð µ ÒØ ÖÚ Ò ÓÒÓ Ò ÐÐ Ð fº Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó Ò ØÙÖ Ð Ö ÙÒ³ Ú ÒØÙ Ð ÐØ Ö Þ ÓÒ Ð Ú ÐÓÖ ÕÙ Ø Ô Ö Ñ ØÖ ÕÙ Ò fµ Ó Ñ ÒÓ Ò Ñ ÙÖ Ò Ù ÒÞ ÙÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ º ÁÒ ØØ ÔÓØÖ Ô Ø Ö ÑÔ Ó f Ú Ö Ð ÔÓØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ý Ñ ÕÙ Ø ÔÖÓÔÖ Ø ÒÓÒ Ú Ð Ô Ô Ö Ð Ð f ÓØØ Ò f ÐØ Ö Ò ÓÒ Ò ÕÙ Ð ÑÓ Ó Ò Ô ÓÐÓµ Ô Ö Ñ ØÖ º Ë Ú Ò ÔÖÓÔÓ ØÓ Ð³ ÑÔ Ó ½¼º½ Ù Ò Ù Ô Ö0 < α < 1 Ð f ÒÓÒ ÒÓÒ Ð Ö Ú Ø Ö Ô ØØÓ u Ð Ñ Ø Ø Ù ÒØ ÖÚ ÐÐ ÓÒØ Ò ÓÒÓ Ð³ÓÖ Ò Ñ ÐÓ Ú ÒØ α = 1º ÖÓ α ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ô Ö Ñ ÒØ Ð ÔÓØÖ Ö ÙÐØ Ö Ð Ö ÓÒÓ Ö Ó ØØ Ñ ÒØ Ù Ù Ð Ó Ð ÖÑ ÒØ Ñ ÒÓÖ 1º ÑÔ Ó ½¼º½ º Ë f(u,t) = u α 1+t 2

36 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ÓÒ α > 0 0 < α < 1 Ð f Ð Ö Ú Ø Ö Ô ØØÓ u Ð Ñ Ø Ø Ù Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ [a,+ ) ÓÒ a > 0 ÓÔÔÙÖ (,b] ÓÒ b < 0º Ì Ð ÔÖÓÔÖ Ø Ú Ò Ñ ÒÓ Ù Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ ÓÒØ Ò ÒØ Ð³ÓÖ Ò ØÓ f u = α u α 1 1+t 2 ÒÓÒ Ñ ÒØ Ò Ð Ñ Ø Ø Ô Ö u 0º Ë ÒÚ α 1 Ð f Ö Ú Ø f u Ð Ñ Ø Ø Ù ØÙØØÓ IR 2 º Ò ÕÙ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ô ØØ Ð Ø ÓÑÔÐ ÒÓÒ ÕÙ ÔÓ Ð Ò Ö ÓÐØÖ º ÓÒÐÙ ÑÓ ÕÙ ØÓ Ô Ö Ö Ó Ó ÖÚ Ò Ó ÕÙ Ò Ó Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ ¹ Ð Ú ØØÓÖ Ð u = f(u,t) ÕÙ Ú Ð ÙÒ Ò ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö ÓÖ Ò n Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý { u = f(u,t), u(t 0 ) = a, ÕÙ Ú Ð Ð Ù ÒØ ÐØÖÓ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý u (n) = f(u,u,...,u (n 1),t), u(t 0 ) = a 1, u (t 0 ) = a 2, º u (n 1) (t 0 ) = a n, Óѳ Ð Ú Ö Ö ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð º È ÖØ ÒØÓ ÓÓÖÖ ¹ Ò Ö ÒÓÒ ÓÐÓ Ð Ú ÐÓÖ Ò Þ Ð ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø Ñ Ò ÕÙ ÐÐÓ ØÙØØ Ð Ù Ö Ú Ø ÒÓ ÐгÓÖ Ò n 1 ÒÐÙ Óº Æ Ð Ó ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ö Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÓÑ ÕÙ ÐÐ ÓÚ ÖÒ Ð ÑÓØÓ Ð Ô Ò ÓÐÓ Ñ¹ ÔÐ ÓÓÖÖ ÕÙ Ò Ò Ö Ð ÔÓ Þ ÓÒ Ò Þ Ð Ð Ú ÐÓ Ø Ò Þ Ð º ½¼º È ÖØÙÖ Þ ÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÒ Ö ÑÓ ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ð Ö ÙØÓÒÓÑ u = f(u)º ÑÓ ØØÓ Ó ÒØ Ò ÑÓ Ô Ö ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ f

37 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÐÑ ÒÓ ÙÒÓ Þ ÖÓ u e ÓÐ ØÓ Ö Ú Ø Ð Ñ Ø Ø Ò ÙÒ ÒØÓÖÒÓ U u e º ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ò Ò U ÒÓÒ ÒÓ ÐØÖ Ú ÒØÙ Ð Þ Ö fº ÓÒ Ö ÑÓ ÓÖ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý u = f(u), u(0) = u 0 ÓÚ u 0 U u 0 u e º ËÓØØÓ ÔÓØ ÓÔÔÓÖØÙÒ Ù f Ô Ö ÑÔ Ó f Ð Ñ Ø ¹ Ø µ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ØÓÒÓ ÐÓ ÐÑ ÒØ Ò Ð Ô Ö Ñ ØÖÓ t Ù Ù ÐÑ ÒØ ÓÒ Ò ØÓ Ø ÑÔÓ µº ËÙÔÔÓÒ ÑÓ Ø Ð ÔÓØ ÒÓ Ú ¹ Ö Ø ÑÓ ÐÐÓÖ Õ٠Рг ÚÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÚÚ Ñ ÒØ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö µ ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ð ØÓ u 0 ÕÙ Ò Ó t + º ÁÐ ØÓ u 0 ØØÓ Ò Ô ÖØÙÖ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÖÖ ¹ ÔÓÒ ÒØ Ð ØÓ u 0 ÒÚ ØØ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØÙÖ Ø º ËÓ Ø ÒÞ ÐÑ ÒØ Ø Ò ÙÓÒÓ Ù ÔÓ Ð Øº µ Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Ó u e Ø Ð ØØÖ ØØ Ú Ó ÓÑÙÒÕÙ Ð Ó Ð Ô ÖØÙÖ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u 0 ÔÙÖ Ù ÒØ Ñ ÒØ ÔÖÓ Ñ u e Ð ÓÐÙÞ Ó¹ Ò Ô ÖØÙÖ Ø Ø Ò ÒØÓØ Ñ ÒØ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ô ÔÖ Ñ ÒØ u e Ø Ð ØØÖ ØØ Ú Ô Ö Ó Ò ε > 0 Ø δ ε > 0 Ø Ð Ô Ö Ó Ò ÐØ ÙÒ Ô ÖØÙÖ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u 0 Ø Ð u 0 u e < δ ε Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ ÓÐÙÞ ÓÒ u(t,u 0 ) Ø Ð lim t + u(t,u 0 ) = u e µ Ä ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ Ð Ö Óu e Ò Ø Ð ÒÓÒ ÓÚÚ ÖÓ ÓÑÙÒÕÙ Ð ÙÒ ÒØÓÖÒÓ u e Ö Ó δ Ø ÑÔÖ ÐÑ ÒÓ ÙÒ Ô ÖØÙÖ ¹ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u 0 Ò Ø Ð ÒØÓÖÒÓ ÙÒ Ú ÐÓÖ ε > 0 ÙÒ Ø ÒØ t Ô Ö Ù Ö ÙÐØ u( t,u 0 ) u e > εº ÒØ Ö ÒØ Ó ÖÚ Ö Ò Ð Ó ÙÒ³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ð Ö ÙØÓÒÓÑ ÒÓÒ ÔÓ Ð Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ô Ö Ó¹ º ÚÙÓÐ Ö ÒÓÒ ÔÓ Ð Ó ÖÚ Ö Ð ÚÚ Ò Ñ ÒØÓ¹ ÐÐÓÒØ Ò Ñ ÒØÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ ÒÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö ÕÙ ÐÐ ³ ÕÙ Ð Ö Ó Ó Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Ò ÕÙ ÐÐ ÕÙ Ð Ö Ó ÓÔÔÙÖ Ò ÐÐÓÒØ Ò Ò Ø Ú Ñ ÒØ º ÐÙÒ Ð ÑÔ Ú Ø Ò ÔÖ ÒÞ Ú ÙÖ ½¼º ½¼º ½¼º ½¼º½¼µ ÑÓ ØÖ ÒÓ Ö Ñ ÒØ Ð Ö ØØ Ö Ö ÔÙÐ ÚÓ ÓÔÔÙÖ ØØÖ ØØ ÚÓ ÐÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ø Þ ÓÒ Ö Ô Ö ÐÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò º 4 Ä ÑÓ ØÖ Þ ÓÒ Ö ÙÒ Ø ÓÖ Ñ ÒÓÒ ÑÓ Ú ØÓ ÕÙ Ò ÒÓÒ ÔÔÖÓ ÓÒ Ö ÑÓ ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓº

38 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ½¼º½¼ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ó ÒØ Ó Ø ÒØ ÓÒ Ö Ö ÑÓ ÓÐÓ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ó¹ Ø ÒØ º È Ö ÕÙ ØÓ Ø ÔÓ ÕÙ Þ ÓÒ Ð Ø ÓÖ ÓÑÔÐ Ø Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ ÒÓØ Ò ÑÓ Ó ÔÐ ØÓº È Ö ØÙ Þ ÓÒ Ô Ò Ö Ð Ð ÔÖÓ ÙÖ ÒÙÑ Ö ÓÒÓ Ô Ó ÔÖ Ö Ö ÙÒ ÚÓÐØ ÖØ Ø Ô Ö Ú Ø ÓÖ Ð³ Ø ÒÞ ÓÐÙÞ ÓÒ Ö Ø Ö Ô Ö Ð Þ ÓÒ ÖÒ ÙÒ Ò ÑÓ Ó ÙÒ ÚÓÓº ij ÕÙ Þ ÓÒ ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð Ò Ö Ó ÒØ Ó Ø ÒØ ÔÙ ÑÔÖ Ñ ØØ Ö Ò ÐÐ ÓÖÑ u +au +bu = f(t) ÓÚ Ð ÙÒÞ ÓÒ f Ð Ó Ø ÒØ a,b ÓÒÓ Ò Ø º ÉÙ Ò Ó f ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐРг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò º Ä Ö Ö ÐÐ Ñ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÙØ Ð ÞÞ Ð Ù ÒØ ÓÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ f ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ ØÙØØ ÓÐ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ u om (t) = C 1 u 1 (t)+c 2 u 2 (t) ½¼º ¼µ ÓÚ µ = a 2 4b > 0 ÐÐÓÖ u 1 = e λ1t,u 2 (t) = e λ2t ÓÒ λ 1 = a+,λ 2 = a 2 2 ½¼º ½µ µ = a 2 4b = 0 ÐÐÓÖ u 1 = e λt,u 2 (t) = te λt ÓÒ λ = a 2 ½¼º ¾µ µ = a 2 4b < 0 ÐÐÓÖ u 1 = e αt cos(βt),u 2 (t) = e αt sin(βt) ÓÒ α = a 2, β = 2 ½¼º µ Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º º Ä Ø Ð Ø Ð Ú ÐÓÖ Ð Ö Ñ Ò ÒØ ÔÙ ¹ Ö Ù Ø Ø ÙÐÐ ÐÐ Ù ÒØ ÓÒ Ö Þ ÓÒ º ÈÖÓÚ ÑÓ Ö Ö

39 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ e λt ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÑÔÓÒ Ø Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÓØØ Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ( e λt ) +a ( e λt ) +b ( e λt ) = 0, t IR Ù ÚÓÐØ ÓÖÒ Ð Ù ÒØ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ØØ Ö Ø λ 2 +aλ+b = 0 È ÖØ ÒØÓ e λt ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓÐÓ λ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ö ØØ Ö Ø º Ë > 0 ØÓÒÓ Ù ÓÐÙÞ ÓÒ ÕÙ ØÓ Ø ÔÓ Ó µµº Ë Ú Ö ÐÑ ÒØ u 1 (t) = e λ1t u 1 (t) = e λ2t ÓÒÓ Ó¹ ÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÐÐÓÖ Ò ÙÒ ÕÙ Ð ÐÓÖÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ C 1 u 1 (t) + C 2 u 2 (t) ÒÓÖ ÓÐÙÞ ÓÒ º ÍÒ³ ÐØÖ ÔÓ Ð Ó¹ ÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò te λt ÑÔÓÒ ÕÙ Ø Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÒÞ ÓÒ Ö ÓÚ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ØÖÓÚ ÓÒ Ð Ô Ð Ö Ð Þ ÓÒ (λ 2 +aλ+b)t+(2λ+a) = 0, t IR Ð ÕÙ Ð Ö ÙÐØ Ó ØØ ÓÐÓ λ 2 +aλ+b = 0, 2λ+a = 0 ÉÙ Ø Ù Ö Ð Þ ÓÒ ÓÒÓ ÓÑÔ Ø Ð ÓÐÓ = 0º ÁÒ ÕÙ ØÓ Ó ÒÓÒ ÓÐÓ u 1 (t) = te λt ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò Ñ ÐÓ Ò u 2 (t) = e λt ÓÑ ÔÖ Ñ Ò ÙÒ ÕÙ Ð ÐÓÖÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ C 1 u 1 (t) + C 2 u 2 (t) ÒÓÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò º ÁÐ Ø ÖÞÓ Ó Ò Ð ÔÖÓÚ Ö ÓØØÓ ÕÙ Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÑÑ ØØ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø ÔÓ u 1 (t) = e αt cos(βt) ÓÔÔÙÖ u 2 (t) = e αt sin(βt)º ÁÒ ÒØÖ Ñ ØÖÓÚ ÕÙ Ø Ú ÒØÙ Ð Ø Ú Ö ÓÐÓ ÕÙ Ú Ð Ö Ú Ö α 2 β 2 +aα+b = 0, 2αβ +aβ = 0 α = a 2, a2 4b = 4β 2 ÓÚÚ ÖÓ Ò Ø ÚÓº ØØ Ñ ÒØ ÓÑ ÔÖ Ñ Ò ÙÒ ÕÙ Ð ÐÓÖÓ ÓÑ Ò Þ ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ø ÔÓ C 1 u 1 (t)+c 2 u 2 (t) ÒÓÖ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ ¹ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò º ÈÖÓÚ Ö ÒÚ ÕÙ ÐÐ ÑÓ Ò Ú Ù ØÓ ÙÖ Ó¹ ÒÓ ØÙØØ Ð ÔÓ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ó ÒØ Ó Ø ÒØ Ñ ÒØ Ô ÓÑÔÐ ØÓ Ò Ø Ò ÑÓº Ë ÒÚ f ÒÓÒ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐ ØÙØØ ÓÐ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ Ñ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ u om (t) Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò Ù Ú ÙÒØ ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö u (t) Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ ÓÑÓ Ò º ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ ØÙØØ ÓÐ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ ÓÖÑÙÐ

40 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ u nom (t) = u om (t)+u (t) ÓÙÔ Ö ÑÓ Ö ÙÒ ÑÓÑ ÒØÓ ÐÐ Ø Ò Ô Ö ÓÔÖ Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ Ó¹ Ð Ö u Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÒÓÒ ÓÑÓ Ò º Î ÒÓ ÔÖ Ð Ñ Ò ÖÑ ÒØ ÐÙÒ ÑÔ Ò Ù Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÓÐÚ Ö ÓÑÓ Ò º ÑÔ Ó ½¼º½ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÙØÓÒÓÑ µ u +ω 2 u = 0, ÓÚ ω ÙÒ Ô Ö Ñ ØÖÓ Ö Ð ÔÓ Ø ÚÓº ÁÒ Ø Ð Ó U IR 3 ØÙØØ Ð ÓÐÙÞ ÓÒ ÓÒÓ Ö ÔÔÖ ÒØ Ø ÐÐ Ñ Ð ÙÒÞ ÓÒ u(t) = C 1 sinωt+c 2 cosωt, t IR, ÓÒ C 1 C 2 Ó Ø ÒØ Ö Ð Ö ØÖ Ö º Ë Ú Ö Ù ØÓ u(t) = C 1 sinωt+c 2 cosωt, u (t) = C 1 ω cosωt C 2 ω sinωt, u (t) = C 1 ω 2 sinωt C 2 ω 2 cosωt, ÕÙ Ò (u,u,u ) IR 3 Ô Ö Ó Ò t IR ÒÓÐØÖ u (t) = C 1 ω 2 sinωt C 2 ω 2 cosωt = ω 2 u(t), t IR, Ô Ö Ó Ò C 1,C 2 IR Ð ÔÖÓÚ u ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ø º Ç ÖÚ Þ ÓÒ ½¼º º ij ÕÙ Þ ÓÒ ÔÖ Ò Ð ÒÓÑ Ð Ö ÒÞ Ð Ð ÑÓØÓ ÖÑÓÒ Ó ÙÒ ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÔÖ Ø Þ ÓÒ º Ë P(t) ÙÒ ÔÙÒØÓ ÓÓÖ Ò Ø (x(t),y(t)) ÑÙÓÚ Ù ÙÒ ÖÓÒ Ö ÒÞ ÒØÖÓ Ð³ÓÖ Ò Ö Ó Ö ØÖ Ö Ñ ÒØ ÔÖ ØÓ ÓÒ Ú ÐÓ Ø Ò ÓÐ Ö Ó Ø ÒØ Ô Ö ω ÐÐÓÖ x y Ö ÓÐÚÓÒÓ Ô Ö Ø Ñ ÒØ Ð ÓÚÚ ÖÓ Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ ÙÒ ÑÓØÓ ÖÓÐ Ö ÙÒ ÓÖÑ Ù Ð ÓÓÖ Ò Ø ÓÒÓ ÑÓØ ÖÑÓÒ º Ä Ó Ø ÒØ C 1,C 2 ÔÓ ÓÒÓ Ö Ö Ö ØØ Ò ÐÐ ÓÖÑ C 1 = Rsinϕ 0, C 2 = Rcosϕ 0, ÓÚ R > 0 ϕ 0 [0,2π)º Ó Ò Ó Ð ÔÖ Ñ ÐÐ Ö Ö Ú Ò ÐÐ ÓÖÑ

41 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ u(t) = Rcos(ωt+ϕ 0 ), Ð ÕÙ Ð Ú ÒÞ Ð Ò ØÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó ÐÐ Ó Ø ÒØ Ö ØÖ Ö R ϕ 0 Ð ÔÖ Ñ Ð Ö Ó ÐÐ ÖÓÒ Ö ÒÞ Ù Ù ÚÚ Ò Ð ÑÓØÓ P ØØ Ñ ÑÔ ÞÞ Ð ÑÓØÓ ÖÑÓÒ Óµ Ñ ÒØÖ ϕ 0 Ò Ú Ù Ð ÔÓ Þ ÓÒ Ò ÓÐ Ö P Ðг Ø ÒØ t = 0 ØØ Ò Þ Ð µº ÁÐ Ô Ö Ñ ØÖÓ ω ØØÓ ÔÙÐ Þ ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ö ÕÙ ÒÞ Ó ÐÐ Þ ÓÒ ν ÐÐ Ö Ð Þ ÓÒ ω = 2πνº y P R x 0 ϕ 0 R y P R ϕ 0 x 0 R ÙÖ ½¼º½ º Ë Ò ØÓ Ó ÓÑ ØÖ Ó Ð ÑÓØÓ ÖÑÓÒ Ó ÑÔ Ó ½¼º¾¼º ij ÑÔ Ó ÔÖ ÒØ Ö Ú Ð Ð ÐÐ Ó ÐÐ Þ ÓÒ ÙÒ ÓÖÔÓ ÒÓÒ Ó ØØÓ ØØÖ Ø Ð ÖÓ ÑÙÓÚ Ö ÐÙÒ Ó ÙÒ Ö ØØ ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð ØØÖ ØØÓ Ú Ö Ó ÙÒ ÔÙÒØÓ Ó Ø Ð Ö ØØ ÙÒ ÓÖÞ Ð Ø Ð º Ì Ð ÔÔ Ö Ò ØØ Ð ÔÖÓ Þ ÓÒ ÐÙÒ Ó Ð Ñ ØÖÓ Ð ÑÓØÓ ÖÓÐ Ö ÙÒ ÓÖÑ º ÄÓ Ø Ó ÑÓ ÐÐ ÒÓ Ó ÔÙ ÓÑÔÐ Ö Ð ÖÑ ÒØ ÙÒ Ò Ó ÙÒ Ö ¹ Ø ÒÞ Ú Ó ÕÙ Ð ÓØØ ÖÖ ÑÔ Ó Ð ÓÖÔÓ Ó ÑÑ Ö Ó Ò ÙÒ Ù Ó Ú Ó Óº Ú ÐÓ Ø Ð Ö Ø ÒÞ Ú Ó ÔÖÓÔÓÖÞ ÓÒ Ð Ð ÕÙ ¹ Ö ØÓ ÐÐ Ú ÐÓ Ø Ø ÒØ Ò u (t) ÓÚÚ ÖÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ Ö Ú Ö Ò ÐÐ ÓÖÑ mu = µ(u ) 2 hu ÓÚ µ Ö ÔÔÖ ÒØ Ð Ú Ó Ø Ò Ñ Ø Ð Ñ ÞÞÓ Ù Ó Ò Ù ÑÙÓÚ Ð ÓÖÔÓ h Ð ÑÓ ÙÐÓ ÓÙÒ ÐÐ ÑÓÐÐ ØØÖ Ð ÔÙÒØÓ Ñ m Ò ÐгÓÖ Ò O ÐÐ Ö ØØ ÙÔÔÓ Ø ÓÖ ÞÞÓÒØ Ð µº Ä ÔÖ ÒÞ Ð Ø ÖÑ Ò

42 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¼ ÕÙ Ö Ø Ó Ö Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÑÓØÓ Ø ÔÓ ÒÓÒ Ð Ò Ö Ð ØÖ ØØ Þ ÓÒ ÑÓÐØÓ Ô ÓÑÔÐ Ö Ô ØØÓ Ð Ñ Ø ÕÙ ØÓ ÓÖ Óº È ÖØ ÒØÓ Ð Ñ Ø Ö ÑÓ ÙÒ ÔÖÓ ÙÖ ÔÖ Ñ ÔÔÖÓ Ñ Þ ÓÒ º ÁÒ ÐØÖ Ô ÖÓÐ u ÒÓÒ Ó Ø ÑÓÐØÓ Ð Ú ÐÓÖ ÒÙÐÐÓ ÔÙ ÔÔÖÓ Ñ Ö Ó Ò Ø ÒØ (u ) 2 ÓÒ Ð ÙÓ Ú ÐÙÔÔÓ Å Ð ÙÖ Ò ÖÖ Ø ØÓ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò Ó 2u º Ú Ò Ó Ô Ö m г ÕÙ Þ ÓÒ ÙÑ Ð ÓÖÑ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓÑÔÐ Ø u + 2µ m u + h m u = 0 ÕÙ ØÓ ÔÙÒØÓ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó Ð ÓÖÑÙÐ Ò Ö Ð Ô Ö Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÓÑÓ Ò ÓÒÐÙ ÓÑ Ù Ë µ > hm ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ λ 1 = ( µ µ 2 hm)/m < λ 2 = ( µ+ µ 2 hm)/m < 0 ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ u(t) ÕÙ Ò Þ ÖÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ð ÔÓÒ ÒÞ Ð º Ë µ = hm ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ λ = µ/m Ð ÓÐÙÞ ÓÒ u(t) Þ ¹ ÖÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ð ÔÓÒ ÒÞ Ð Ñ Ô Ð ÒØ Ñ ÒØ Ö Ô ØØÓ Ð Ó ÔÖ ÒØ º Ë µ < hm ÐÐÓÖ Ö ÙÐØ α = µ/m β = µ 2 +hm/m Ð ÓÐÙÞ ÓÒ u(t) ÓÑÙÒÕÙ Þ ÖÓ Ò Ð Ø ÑÔÓ ÓÒ Ð ÔÓÒ ÒÞ Ð ÓÑ Ò ÔÖ ÒØ Ñ ÓÑÔ Ö ÒÞ ÔÖ Ñ Ò Ò Ø Ó ÐÐ Þ ÓÒ ÑÔ ÞÞ ÑÔÖ Ô Ô ÓÐ º Ä Ó Ø ÒØ C 1,C 2 ÔÔ ÓÒÓ Ò Ðг ÔÖ ÓÒ u om Ú Ò ÓÒÓ Ø ÖÑ Ò Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ Ñ Ù Ý Ð³ÙÒ Ö ÒÞ Ö Ô ØØÓ Ð Ó Ðг ÕÙ ¹ Þ ÓÒ Ð ÔÖ ÑÓ ÓÖ Ò ÓÒ Ø Ò Ð ØØÓ Ò Ó Ù Ð Ó Ø ÒØ ÓÓÖÖÓÒÓ Ù ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ÙÒ Ô Ö u ÙÒ Ô Ö u º ÁÐ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ý ÓÒ¹ Ø ÓÖ Ò Ð ØÖÓÚ Ö Ð³ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ Ó Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð u(t 0 ) = u 0, u (t 0 ) = u 1 ÁÐ Ø ÓÖ Ñ Ù Ý Ö ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÔ Ò ÔÓ ØÓ ÙÒ ÙÒ ÓÐ ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ó Ò ÒØ ÖÚ ÐÐÓ I Ò Ù f Ö ÙÐØ ÓÒØ ÒÙ º È Ö ÓÑÔÐ Ø Ö Ð ØÖ ØØ Þ ÓÒ ÐÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ð Ò Ö

43 Ôº ¾ ½ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ó ÒØ Ó Ø ÒØ Ö Ø Ö Ú Ö Ð ÔÖÓ ÙÖ Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö ÙÒ Ó¹ ÐÙÞ ÓÒ u ÕÙ Ò Ó f ØØÓ Ò Ø ÖÑ Ò ÒÓØÓ Ó Ø ÖÑ Ò ÓÖÞ ÒØ µ ÒÓÒ Ö ÙÐØ ÒØ Ñ ÒØ ÒÙÐÐÓº ÓÒÓ ØÙ Þ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ ÖÑ ÒØ ÑÔÐ Ò Ù Ð Ö ÔÓ Ø ÑÑ Ø º Î ÑÓÒ ÐÙÒ º µ f(t) = P n (t) ÓÚ P n (t) = n h=0 a ht h Ó f ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó nµº ÐÐÓÖ ÓÚÖ Ö Ö u Ò ÐÐ ÓÖÑ u = n h=0 A ht h Ó Ø ØÙ Ò Ó Ø Ð ÓÖÑ u ÔÖ ÑÓ Ñ Ñ ÖÓ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓØØ ÖÖ ÙÒ ÒØ Ø Ö Ù ÔÓÐ ÒÓÑ ÕÙ ÐÐÓ ÔÖ ÑÓ Ñ Ñ ÖÓ Ò Ù ÓÑÔ ÓÒÓ ÓÐÓ Ó ÒØ ÒÓ Ò Ø A h ÕÙ ÐÐÓ ÓÒ Ó Ñ Ñ ÖÓ Ò Ù ÔÔ ÓÒÓ ÓÐÓ Ó Ò¹ Ø ÒÓØ a h º ÁÐ ÔÖ Ò Ô Ó ÒØ Ø ÔÓÐ ÒÓÑ ÖÑ Ù ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ò ÓÒÓ ÓÐÓ Ó ÒØ ÑÓÒÓÑ t h Ú ÒØ Ø Ó Ö Ó ÓÒÓ ÒØ º ÁÑÔÓÒ Ò Ó Ø Ð ÓÒ Þ ÓÒ ÓØØ Ò ÙÒ Ø Ñ Ð Ö Ó n+1 ÕÙ Þ ÓÒ Ò ÐÐ n+1 ÒÓ Ò Ø A h º Ë Ú ÑÑ Ø Ñ ÒØ Ð Ø ÖÑ ¹ Ò ÒØ Ð Ø Ñ ÑÔÖ ÒÓÒ ÒÙÐÐÓ ÕÙ Ò Ð ÓÐÙÞ ÓÒ A 0,A 1,...,A n ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø µ f(t) = P n (t)e λt ÓÚ P n (t) = n h=0 a ht h Ó f ÙÒ ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ó nµ λ ÒÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ λ 2 +aλ+b = 0, Ó ÕÙ Ú Ð ÒØ Ñ ÒØ e λt ÒÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò µº ÐÐÓÖ ÓÚÖ Ö Ö u Ò ÐÐ ÓÖÑ u = e λt n h=0 A ht h ÔÖÓ Ö ÓÑ Ò ÔÖ ÒÞ º Ë ÔÖÓ¹ Ú ÐÑ ÒØ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó Ð Ø ÖÑ Ò Þ ÓÒ Ó ÒØ ÒÓ Ò Ø A h ÓØØ Ò Ö ÓÐÚ Ò Ó ÙÒ Ø Ñ Ö Ñ Öº µ f(t) = P n (t)cos(λt) ÓÔÔÙÖ f(t) = Q m (t)sin(λt) ÓÔÔÙÖ ÒÓÖ Ô Ò Ò Ö Ð f(t) = P n (t)cos(λt) + Q m (t)sin(λt) º Ë ÓÚÖ Ö Ö Ò Ó Ò Ó ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ð Ø ÔÓ u = sin(λt) s h=0 A ht h +cos(λt) s h=0 B ht h ÓÚ s Ð Ð Ñ ÓÖ Ö Ù ÒÙÑ Ö n mº È Ö Ð Ñ ØÓ Ó ÙÒÞ ÓÒ ÓÓÖÖ sin(λt) cos(λt) ÒÓÒ ÒÓ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò º ÓÔÔÓÖØÙÒÓ ÒÓØ Ö Ð Ó µ ÙÒ Ó Ô ÖØ ÓÐ Ö Ð µ ÕÙ Ò Ó λ = 0 ÕÙ Ò Ò ÕÙ ØÓ Ó ÓÓÖÖ λ = 0 ÒÓÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ðг ÕÙ Þ ÓÒ λ 2 +aλ+b = 0º Ë ÒÓØ Ò Ð Ö Ó Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó P n ÔÙ Ö ÒÙÐÐÓ ÓÒ Ð ÔÓÐ ÒÓÑ Ó Ö Ù ÙÒ Ó Ø ÒØ µº ½¼º½¼º½ Å ØÓ Ó Ú Ö Þ ÓÒ ÐÐ Ó Ø ÒØ Ø ÙÒ ÔÖÓ ÙÖ Ô Ò Ö Ð Ô Ö Ø ÖÑ Ò Ö Ð³ ÒØ Ö Ð Ô ÖØ ÓÐ Ö u Ö ÔÖ Ò Ð ÔÖÓ ÙÖ Ú Ø Ô Ò ¾ ¾ ÙØ Ð ÞÞ Ò Ó ÙÒ ÓÖÑÙÐ Ñ Ð ÐÐ ½¼º µº

44 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ ¾ ÁÐ Ñ ØÓ Ó ÓÖ ÔÓÖÖ ÑÓ ÓÚÙØÓ Ä Ö Ò ÓÒ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ö Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ö Ð Ðг ÕÙ Þ ÓÒ u +au +bu = f(t) ½¼º ¼µ Ê ÔÖ Ò ÑÓ Ð ÓÖÑÙÐ ½¼º ¼µ ÓÚ Ð ÓÖÑ ÔÐ Ø u 1 u 2 Ô Ò Ð Ú ÐÓÖ = a 2 4b ÓÒ Ó ÕÙ ÒØÓ Ú ØÓ Ô Ò ¾ º ij Ä Ö Ò Ð Ù ÒØ Ú ØÓ u om (t) = C 1 u 1 (t)+c 2 u 2 (t) ÓÒ C 1,C 2 Ó Ø ÒØ Ö ÓÐÚ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò Ö ÓÒ ÚÓÐ ÔÓØ ÞÞ Ö u (t) = C 1 (t)u 1 (t)+c 2 (t)u 2 (t) ÓÒ C 1 (t),c 2 (t) ÙÒÞ ÓÒ Ø ÖÑ Ò Ö ÓÔÔÓÖØÙÒ Ñ ÒØ ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ ½¼º ¼µº ÇÚÚ Ñ ÒØ u ÒÓÒ ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ø ÖÑ Ò Ø Ô Ö Ð ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø ÓÒÓ Ù Ð³ÙÒ Ö Ø Ò Ö Ö u Ú Ö Ð ½¼º ¼µ ÔÖÓ Ù ÙÒ ÓÐ ÕÙ Þ ÓÒ Ô Ö Ð Ù ÙÒÞ ÓÒ ÒÓ Ò Ø º ǹ ÓÖÖ ÕÙ Ò ÙÒ ÕÙ Þ ÓÒ ÙÒØ Ú ÔÓ ÑÓ Ð Ö ÓÑ ÚÓ Ð ÑÓ ÔÙÖ ÒÓÒ Ò ÓÒØÖ Þ ÓÒ ÓÒ Ð Ö Ø ÔÖ ÒØ º È Ö Ú Ö ÕÙ Ð ÕÙ Ø ÕÙ Þ ÓÒ ÙÒØ Ú Ö Ú ÑÓ u (t) (u ) = C 1 u 1 +C 2 u 2 +C 1 u 1 +C 2u 2 Ä Ö Ú Ø Ù Ú Ö ÙÐØ ÑÔÐ Ø ÑÔÓÒ ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ C 1u 1 +C 2u 2 = 0 ½¼º ½µ ÁÒÚ ÖÓ ÔÓØÖ ÑÓ Ö Ú Ö (u ) = C 1u 1 +C 2u 2 +C 1 u 1 +C 2 u 2. ËÓ Ø ØÙ Ò Ó ÓÖ u,(u ),(u ) Ò ÐÐ ½¼º ¼µ Ö ÓÖ Ò Ó u 1,u 2 Ö ÓÐÚÓÒÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò ÓØØ Ò Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ C 1u 1 +C 2u 2 = f(t) ½¼º ¾µ ÁÐ Ø Ñ ÓÖÑ ØÓ ÐÐ Ù ÕÙ Þ ÓÒ ½¼º ½µ ½¼º ¾µ ÔÙ Ö Ö Ù Ö ØÓ ÓÑ Ð Ö Ó Ò ÐÐ Ù ÒÓ Ò Ø C 1,C 2 º ÁÐ Ø Ñ Ù ÕÙ Þ ÓÒ Ù ÒÓ Ò Ø ÒÓÒ ÓÑÓ Ò Óº Ä Ù ÙÒ ÚÓ Ö ÓÐÙ Ð Ø Ô Ò Ó ÓÐÓ Ð ÒÓÒ ÒÒÙÐÐ Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÒØ ÐÐ Ñ ØÖ Ó ÒØ Ò ÕÙ ØÓ Ó ØÓ 5 ÂÓ Ô ÄÓÙ Ä Ö Ò ½ ½ ½ µ

45 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ W = det u 1 u 2 ½¼º µ u 1 u 2 ÈÓ u 1,u 2 ÓÒÓ ÙÒÞ ÓÒ t Ò W Ô Ò t ÕÙ Ò ÒÒÙÐÐ Ô Ö ÕÙ Ð Ú ÐÓÖ t Ð Ø Ñ Ö Ñ Ö Ò ÐÐ Ù ÒÓ Ò Ø C 1,C 2 ÒÓÒ Ö ÙÒ ÚÓ Ñ ÒØ Ö ÓÐÙ Ð º ÌÙØØ Ú ÔÙ ÐÑ ÒØ Ú Ö Ö Ø Ó Ø ØÙ Ö u 1,u 2 Ð ÐÓÖÓ ÔÖ ÓÒ Ò ØÖ Ú Ø Ô Ò ¾ Ö Ð ÓÒØÓµ W(t) ÑÔÖ Ú Ö Ó Þ ÖÓº ÓÒ ÒØ Ö Ú Ö Ð ÓÖÑÙÐ ÔÖ ÑÓÒÓ C 1,C 2 det 0 u 2(t) det u 1(t) 0 C 1 f(t) u 2 = (t), C 2 u 1 (t) f(t) = W(t) W(t) ÑÓ ÓØØ ÒÙØÓ Ù ÒÙÓÚ ÕÙ Þ ÓÒ ÓÖÒ ÓÒÓ ÔÐ Ø Ñ ÒØ ¹ ÓÒ Ñ Ñ Ö ÐÐ ÓÒÓ ÙÒÞ ÓÒ ÒÓØ µ Ð Ö Ú Ø C 1 C 2 º È Ö Ö ÓÐÚ Ö Ò Ø Ú Ñ ÒØ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ó ÑÓ ÓÐÓ ØÖÓÚ Ö Ù ÐÓÖÓ ÔÖ Ñ Ø Ú ÕÙ Ð º Æ ØÙÖ ÐÑ ÒØ ÔÙ Ù Ö Ð Ø ÖÑ Ò Þ ÓÒ ÔÐ Ø ÐÐ ÔÖ Ñ Ø Ú ÒÓÒ Ô Ö ÒÙÐÐ ÚÓÐ ÒÞ ÔÙ Ö ÙÐØ Ö ÑÔÓ Ð º ÒÓÒ ØÓ Ð Ô Ö ÒÙÐÐ ÐÐ Ú Ð Ø Ð Ñ ØÓ Óº ÑÔ Ó ½¼º¾½º ÓÒ Ö ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò ÈÓ ØÓ y 1 (t) = sint y 2 (t) = cost y +y = 1 cost. ỹ(t) = C 1 (t)y 1 (t)+c 2 (t)y 2 (t) = C 1 (t)sint+c 2 (t)cost. ÁÑÔÓÒ Ò Ó C 1 (t)sint + C 2 (t)cost = 0, C 1 (t)cost C 2 (t)sint = 1 cost, Ø ÖÑ Ò ÙÒ Ø Ñ Ö Ñ Ö Ò ÐÐ ÒÓ Ò Ø C 1 C 2 ÓÒ Ñ ØÖ Ó ÒØ sint cost cost sint Ö ÙÐØ Ú Ö Ø ÖÑ Ò ÒØ Ù Ù Ð 1 Ô Ö Ó Ò tº Ë Ö Ú ÔÓ Ô Ö Ó Ø ØÙÞ ÓÒ

46 º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ Ôº ¾ C 1(t) = 1, C 2(t)cos 2 t+c 2(t)sin 2 t = tant Ó C 1 (t) = t C 2 (t) = log cost Ù Ù Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ ÔÖÓÔÓ ØÓ ỹ(t) = tsint+costlog cost. ÑÔ Ó ½¼º¾¾º Ê ÓÐÚ ÑÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö ÒÞ Ð Ð Ò Ö Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò y y = 3e 2t cost. È Ö Ð Ð Ø ÐÐ Ö Ú Ø ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÖÓÐ Ö ÐÐ ÙÒÞ ÓÒ ÔÓÒ ÒÞ Ð ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÐÐ Ö ÐÐ ÓÖÑ y (t) = e 2t (Acost+Bsint) ÓÒA B Ó Ø ÒØ Ö Ð Ø ÖÑ Ò ÒÓ ÑÔÓÒ Ò Ó y ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ ÐÐ Ó (2A+4B)e 2t cost+(2b 4A)e 2t sint = 3e 2t cost. Í Ù Ð Ò Ó Ó ÒØ cost sint Ö Ú 2A+4B = 3 2B 4A = 0 Ó A = 3/10 B = 3/5º ÍÒ ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÙÒÕÙ ( 3 y (t) = e 2t 10 cost+ 3 ) 5 sint, Ô Ö Ù Ð ÓÐÙÞ ÓÒ Ò Ö Ð Ð Ø ÔÓ ( 3 y(t) = C 1 e t +C 2 e t +e 2t 10 cost+ 3 ) 5 sint, Ò Ó y(t) = C 1 e t +C 2 e t ÙÒ ÓÐÙÞ ÓÒ ÐгÓÑÓ Ò Ó Ø Ò ÕÙ ÒØÓ Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ö Ø¹ Ø Ö Ø Ø Ð ÕÙ Þ ÓÒ ÓÑÓ Ò λ 2 1 ÓÒ Ð Ù ÓÐ ÓÐÙÞ ÓÒ λ 1 = 1 λ 2 = 1º ÅÓ ØÖ ÑÓ Ô Ö ÓÒÐÙ Ö ÙÒ Ô Ó ÑÔ Ò Ù Ð³ ÕÙ Þ ÓÒ Ð ÓÒ Ó ÓÖ Ò Ó Ø ÙÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ù Ýº

47 Ôº ¾ º ÊÓ Ó Å Ø Ñ Ø ººº Ô ØÓÐÓ ½¼ ÑÔ Ó ½¼º¾ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ 2u +3u = te t u(0) = 0 u (0) = 1 ij ÕÙ Þ ÓÒ Ö ØØ Ö Ø Ö Ú 2λ 2 + 3λ = 0 ÕÙ Ò u om (t) = C 1 + C 2 e 3t/2 º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÔÙ Ö Ñ Ò ÐÐ ÓÖÑ u (t) = (A+Bt)e t Ó Ø ØÙ Ò Ó ÑÓ Bt (A+B) = t, t IR ÕÙ Ò u (t) = (1 t)e t º ÁÑÔÓÒ ÑÓ ÓÖ ÐÐ u nom (t) = C 1 +C 2 e 3t/2 + (1 t)e t Ó Ö Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ØÖÓÚ 0 = C 1 +C = 3C ÓÚÚ ÖÓ C 1 = 1 C 2 = 2 ÕÙ Ò u nom (t) = 1 2e 3t/2 +(1 t)e t ÑÔ Ó ½¼º¾ º ÓÒ Ö ÑÓ Ð ÔÖÓ Ð Ñ u 2u +u = t t 2 u(0) = 1 u (0) = 1 ij ÕÙ Þ ÓÒ Ö ØØ Ö Ø Ö Ú λ 2 2λ+1 = 0 ÕÙ Ò u om (t) = C 1 e t + C 2 te t º Ä ÓÐÙÞ ÓÒ Ô ÖØ ÓÐ Ö ÔÙ Ö Ñ Ò ÐÐ ÓÖÑ u (t) = (A + Bt+Ct 2 ) Ó Ø ØÙ Ò Ó ÓÖ Ò Ò Ó Ö Ô ØØÓ t ÑÓ (A 2B +2C)+( 1+B 4C)t+( 1+C)t 2 = 0, t IR Ê ÓÐÚ Ò Ó Ð ÓÖÖ ÔÓÒ ÒØ Ø Ñ Ö Ñ Ö Ô Ö Ð Ó Ø ÒØ ØÖÓÚ (A,B,C) = (8,5,1) ÕÙ Ò u nom (t) = C 1 e t +C 2 te t +(8+5t+t 2 )º ÁÑÔÓÒ Ò Ó Ð ÓÒ Þ ÓÒ Ò Þ Ð ØÖÓÚ Ò Ò u nom (t) = t 2 3t e t (t 5) 4