Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nel rispetto del D.M

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1 CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO perdite e cadute di tensione verifiche dello stato tensionale allo stato limite di esercizio e verifica allo SLU. Andamento e fuso del cavo Con riferimento alla trave in cemento armato precompresso a cavi post-tesi indicata in figura si valutino nel rispetto del D.M : 1. le perdite di tensione in fase iniziale. le cadute di tensione lente in fase esercizio 3. si effettui la verifica delle tensioni allo stato limite di esercizio 4. Si effettui la verifica allo stato limite ultimo della trave 5. Si costruisca il fuso del cavo risultante e il fuso di Guyon corrispondente N.B. il cavo ha una andamento parabolico h d p A B f C D x b L y Dati trave Altezza sezione h := 150cm base sezione b := 40cm Armatura di precompressione Ap := 5cm (Armatura in trefoli stabilizzati) lunghezza trave L := 30m Freccia del cavo f := 1.0m Distanza minima del cavo dal lembo inferiore dp := 8cm h eccentricità del cavo in mezzeria ec := dp ec = 67cm Tiro e tensione iniziale del cavo := 3500kN tiro a 15 gg σspi Carichi esterni Sovraccarichi caratteristici permamenti: pk := 4.5 kn m := σspi = MPa Ap Sovraccarichi caratteristici accidentali qk := 5. kn cond. carico quasi permanente m Fasi di costruzione Fase I: condizioni a vuoto (carico id precompressione + P.Proprio Trave) Fase II: condizioni di esercizio (carico di precomp.+p.p.trave+ Sovraccarichi perm. e acc.)

2 SOLUZIONE Calcolo Caratteristiche Meccaniche dei Materiali Calcestruzzo Resistenza a compressione cubica a 8gg Rck := 40MPa Resistenza Cilindrica a 8gg fck := 0.83Rck fck = 33.MPa Resistenza cilindrica media fcm := fck + 8MPa fcm = 41.MPa 3 3 Resistenza a trazione media del cls fctm := 0.3MPa Rck fctm = 3.509MPa 1 Resistenza a compressione del cls al tiro (Model Code 90) Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni iniziali Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni iniziali Tensione massima di compressione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio fckj := fck e fckj = 30.95MPa σcci := 0.7fckj σcci = 1.07MPa fctme σcti := σcti =.668MPa 1. σcce := 0.45fck σcce = 14.94MPa Tensione massima di trazione ammissibile nel cls in condizioni di esercizio fctm σcte := σcte =.94MPa fcm Modulo elastico cls Ec := 000MPa Ec = MPa 10 Acciaio Modulo elastico acciaio da Precompressione Ep := Tensioni caratteristicche di rottura e snervamento dell armatura di precompressione (in trefoli) Tensione massima ammissibile nell armatura al tiro 05000MPa fptk := 1900MPa fp1k := 1700MPa σpi := min( 0.75fptk, 0.85fp1k) σpi = MPa Tensione massima ammissibile nell armatura in esercizio σpe := 0.8fp1k σpe = MPa

3 Coefficiente di omegenizzazione al tiro n := Ep Ec = Calcolo caratteristice geometriche della sezione nelle varie fasi si valutano le caratteristiche geometriche della sezione nelle due fasi previste nella fase di costruzione e di esercizio della trave Fase I (Condizioni a Vuoto: precompressione + peso proprio della trave) In questa fase i cavi non sono solidali col calcestruzzo per cui occorre depurare la sezione di calcestruzzo dell area dei cavi di precompressione. Area AidI := bh Ap AidI = cm Momento Statico h SidI := bh Ap( h dp) SidI = cm 3 Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave SidI ygi := ygi = 74.7cm AidI Momento d inerzia b h 3 h JidI := + bh ygi Ap( h dp ygi) JidI = cm 4 1 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore JidI WidsI := WidsI = cm 3 ygi JidI WidiI := WidiI = cm 3 h ygi Nel caso specifico l area dei cavi d acciaio risulta essere piccola per cui l area ideale della sezione si potrebbe approssimare con l area della sezione immaginata di solo calcestruzzo senza eccessivo errore. Infatti l area e il momento d inerzia approssimati risulterebbero AI := bh AI = cm bh 3 JI := JI = cm 4 1 JI WsI := WsI cm 3 JI = WiI := WiI = cm 3 ygi h ygi

4 Fase II (Condizioni di esercizio ( precompressione + peso proprio della trave+ sovraccarichi permanenti e accidentali) In questa fase i cavi di precompressione sono sigillati nelle guaine con la malta e pertanto risultano solidali col calcestruzzo. Le grandezze geometriche ideali sono quindi le seguenti: Area AidII := bh Ap + nap AidII = cm Momento Statico h SidII := bh Ap( h dp) + nap( h dp) SidII = cm 3 Posizione asse neutro rispetto al lembo superiore della trave SidII ygii := ygii = 76.39cm AidII Momento d inerzia b h 3 h JidII := + bh ygii Ap( h dp ygii) + nap( h dp ygii) 1 JidI = cm 4 Moduli di resitenza a flessione superiore e inferiore JidII WidsII := WidsII = cm 3 ygii JidII WidiII := WidiII = cm 3 h ygii Calcolo Sollecitazioni Peso proprio trave kn pp := bh5 pp = 15 kn m 3 m Momento massimo in mezzeria al tiro 1 Mmax1 := 8 pp L Mmax1 = knm Momenti massimi in mezzeria in esercizio 1 Mmax := pp pk 8 ( + ) L (Permanenti) Mmax = knm 1 Mmax3 := 8 ( qk) L (Variabili cond. rara) Mmax3 = 56.5kNm

5 Calcolo Perdite e Cadute di Tensione Perdite per attrito In travi in c.a.p. a cavi post-tesi, nella fase di tesatura del cavo, nascono inevitabilmente tensioni tangenziali sulla superficie del cavo dovute all attrito tra cavo e guaina. La variazione di tensione (trazione) nel cavo si può valutare con la nota relazione : attr dove orizzontale spi f N c 0 fc 1 e 1 e Ai f c = 0.3 1/rad nel caso si utilizzino guaine metalliche = angolo che la tangente al cavo nel punto iniziale forma con l asse Per la valutazione di si può determinare l equazione della parabola che descrive la forma del cavo con origine nel punto B e poi valutare il valore della derivata prima nel punto A: y := ax + bx + c con le seguenti condizioni al contorno y(0)=0 dy/dx(0)=0 y(15)=1 porte ai seguenti coefficienti b=c=0 4f 3 1 a := L = m y( x) := x (Equazione del cavo) Calcolando a questo punto la derivata di y(x) in testa alla trave si può valutare l angolo che la tangente al cavo forma con l asse della trave x := 15 d D := dx y( x) = tanα := D = Poichè l arco tangente è circa pari alla tangente si assume che α := 0.13rad A questo punto è possibile valutare la perdita di tensione nel cavo dovuta all attrito fc := 0.3 Δσatt := Ap 1 e fc( α) Δσatt = MPa (Perdita di tensione per attrito) La perdita di carico nel cavo vale di conseguenza ΔNatt := ApΔσatt ΔNatt = kN (Perdita di sforzo nel cavo per attrito)

6 Tiro nel cavo a perdite di attrito avvenute Nel cavo dopo il tiro dello stesso lo sforzo normale in esso vale Ni := ΔNatt Ni = kn Ni con una perdita percentuale pari 100 = Caduta di tensione dovute alla viscosità del cls Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla viscosità è da calcolarsi come segue: v t 0, E p c,el t 0, n c, el, t 0 dove è la funzione di viscosità a tempo infinito funzione del tempo di carico t 0 La tensione c,el è la tensione nel cls all altezza del cavo dovuta ai sovraccarichi permanenti e accidentali, quest ultimi solo se di natura quasi permanente: Ni Niec Mmax σ cel := + ec ec σ AidII JidII JidII cel = 5.831MPa La funzione Φ può essere desunta dalla tabella 11..VII delle NTC08 valida per un dato valore d umidità relativa. Nel caso specifico l umidità prescelta è pari al 75% Il coefficiente h 0 si calcola come rapporto tra il doppio dell area della sezione e il perimetro della sezione stessa ( ) h0 := h0 = ( ) Ipotizzando un tempo di carico iniziale to=15gg, interpolando tra i valori relativi ad ho=300 ed ho=600 indicati nella tabella, il valore della funzione di viscosità vale: Φ :=. La caduta di tensione nel cavo dovuta al fenomeno della viscoità risulta di conseguenza Δσv := Φnσ cel Δσv = MPa La variazione di tiro nel cavo vale infine ΔNv := Δσv Ap ΔNv = kN con una perdita percentuale pari ΔNv 100 = 5.583

7 Caduta di tensione dovute al ritiro del cls Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute alla ritiro è da calcolarsi come segue: Nel caso specifico ε c0 e k h non coincidendo con nessuno dei valori tabellati devono essere ricavati per interpolazione lineare. Scegliendo un valore dell Umidità più vicino a quello prescelto (in questo caso il 75%) e ricordando che fck=33. Mpa, la deformazione εc0 espressa il / si calcola come segue: ε c0 := ( 33. 0) 0.49 ε 40 0 c0 = / UR = 60% ε c0 := ( 33. 0) 0.30 ε 40 0 c0 = 0.6 / UR = 80% εc0 := ( 75 60) = 0.99 valore interpolato tra UR=60% e UR=80% k h := 0.75 ( h0 300) k h = εcd := εc0k h εcd = 0.3 /

8 Il ritiro autogeno a tempo infinito vale εca :=.5( ) 10 6 εca = / La deformazione totale per ritiro vale dunque εcs := εcd + εca εcs = 0.3 / La conseguente perdita di tensione nel cavo vale quindi εcs Δσrit := 1000 Ep Δσrit = MPa Infine la variazione di tiro nel cavo vale ΔNrit := ΔσritAp ΔNrit = kN con una perdita percentuale pari a ΔNrit 100 = 3.7 Caduta di tensione dovute al rilassamento dell acciaio Il D.M al punto precisa che il calcolo delle cadute di tensione a tempo infinito (in esercizio) dovute al rilassamento riferite ad una temperatura di 0 C Nel caso specifico adottando trefoli stabilizzati si ha: ρ1000 :=.5

9 σspi μ := = 0.84 σspi = MPa fp1k t := la perdita per rilassamento a tempo infinito vale dunque Δσpr σspi0.66ρ1000 e 9.1μ 0.75( 1 μ) t := 10 5 = 1000 ΔNrit := ΔσritAp = kN MPa ΔσprAp 100 = La perdita per rilassamento deve secondo quanto indicato dall EC al punto 5.46 tener conto della interdipendenza con le cadute di tensione dovute alla viscosità e al ritiro. La perdita totale, comprensiva cioè di tutti i genomeni lenti può ricavarsi dalla segente relazione: Δσv + Δσrit + 0.8Δσpr Δσtot := Δσtot = 161.1MPa Ep Ap AI Ec AI JI ec ( Φ) Δσv + Δσrit + Δσpr = MPa Ia conseguente variazione di tiro nel cavo varrà ΔNtot := ΔσtotAp ΔNtot = kN con una perdita percentuale totale pari a ΔNtot 100 = Tiro nel cavo a perdite e cadute avvenute In esercizio a perdite e cadute di tensione scontate il tiro nel cavo assume il seguente valore := ΔNatt ΔNtot = kn La percentuale di perdita totale rispetto al tiro iniziale risulta quindi pari a: 100 =

10 Verifiche allo stato limite di esercizio: verifica alle tensioni normali Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase a vuoto Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls a vuoto Ni Niec Mmax1 σciv := + σciv = 9.458MPa AidI WidiI WidiI Tensione minima (al lembo superiore) nel csl a vuoto Ni Niec Mmax1 σcsv := + σcsv = 1.831MPa AidI WidsI WidsI Entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa e dunque la verifica a vuoto nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell acciaio in condizioni iniziali In condizioni iniziali le tensioni massima nell acciaio si calcola come segue Ni σsv := σsv = MPa Ap Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell acciaio in condizioni iniziali. La verifica è dunque soddisfatta Verifica delle Tensioni nel cls in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima e minima nel cls si calcolano con riferimento alle caratteristiche geometriche della fase di esercizio Tensione massima (al lembo inferiore) nel cls in esercizio ec Mmax + Mmax3 σcie := + σcie = 0.018MPa AidII WidiII WidiII Tensione minima (al lembo superiore) nel csl in esercizio Niec Mmax + Mmax3 σcse := + σcse = 1.58MPa AidII WidsII WidsII La sezione risulta interamente compressa ed entrambi i valori risultano al di sotto dei limiti della normativa. Dunque la verifica in esercizio nel cls è soddisfatta Verifica delle Tensioni nell acciaio in condizioni di esercizio In condizioni di esercizio le tensioni massima nell acciaio si calcola come segue σsv := + n Mmax + Mmax3 ec σsv = MPa Ap JidII Tale valore è al di sotto del limite massimo consentito per la tensione di trazione nell acciaio in condizioni di esercizio. La verifica è dunque soddisfatta

11 Verifica allo stato limite ultimo della sezione di mezzeria In una trave in c.a.p raggiunto lo stato limite ultimo, le armature di precompressione raggiungono il loro limite di snervamento oltre il quale si perde l effetto della precompressione in quanto la tensione non cambia più al variare della deformazione. In tal caso la sezione della trave si comporta come una sezione in c.a. ordinario con l armatura di precompressione che si comporta come armatura ordinaria. Occorre solamente tener conto del fatto che l armatura di precompressione all atto del tiro subisce una deformazione iniziale che va aggiunta alla deformazione provocata dai carichi esterni. Nel caso specifico la deformazione iniziale dell armatura di precompressione vale εp0 := εp0 = EpAp La deformazione allo snervamento dell armatura di precompressione vale fp1k 1.15 εpy := εpy = Ep La resistenza del cls allo stato limite ultimo vale come noto fck fcd := fcd =.133MPa 1.5 Sotto ipotesi che la sezione collassi in zona, l asse neutro si valuta facilmente come la nota relazione Apfp1k yc := yc = cm 0.8bfcd La deformazione dell acciaio vale di conseguenza εp := h yc dp εp = yc Alla precedente va aggiunta però la deformazione già presente in fase di tiro (si è trascurata quella dovuta alla trazione imposta dalla precompressione in fase di esercizio) εpt := εp + εpt = ApEp La deformazione così valutata dimostra come la sezione collassi effettivamente in campo Il momento ultimo della sezione vale quindi Mu := Apfp1k0.9( h dp) Mu = knm Il momento agente sulla trave vale 1 Md pp pk 8 ( + ) 1.4 L 1 := + qk L Md = knm La verifica allo SLU è dunque ampiamente soddisfatta

12 DETERMINAZIONE DEL FUSO DEL CAVO RISULTANTE Per la determinazione del fuso del cavo risultante occorre conoscere i punti di nocciolo la legge di variazione del momento dovuto al peso proprio e quello dovuto ai sovraccarichi permanenti e accidentali Punti di nocciolo Inferiore Superiore WidsII di := AidII di = 0.5 m WidiII ds := AidII ds = 0.6 m d s d i x Mg( x) ppl := x pp x Andamento del Momento dovuto al peso prorio y Mes( x) ( pp + pk + qk) L := x ( pp + pk + qk) x Momento in esercizio Limite superiore del cavo risultante es( x) Mes( x) := + ds ei( x) := Limite Inferiore del cavo risultante Mg( x) Ni + di x := CR( x) := x 0.135x FUSO DEL CAVO RISULTANTE ei( xm) 0.5 es( xm) CR( x) xm

13 DETERMINAZIONE DEL FUSO DI GUYON Per la determinazione del fuso di Guyon occorre determinare le eccentricità del cavo in fase iniziale e di esercizio che producano il raggiungimento della tensione ammissibile nel lembo superiore o inferiore della trave. A tale scopo basta esprimere l eccentricità del cavo con la formula di Navier fissando la tensione al valore ammissibile per la trazione e la compressione. Il fuso viene quindi individuato come segue: e1i( x) WidsI σctiaidi + 1 Mg( x) := + e1s( x) := AidI Ni Ni WidsII AidII σcceaidii Mes( x) ei( x) WidiI σcciaidi 1 Mg( x) := + es( x) := AidI Ni Ni WidiII AidII σcteaidii 1 + Mes( x) e1( x) := min( e1i( x), ei( x) ) Limite inferiore del fuso di Guyon e( x) := max( e1s( x), es( x) ) Limite superiore del fuso di Guyon e1( xm) e( xm) es( xm) ei( xm) CR( x) xm