Il candidato descriva in generale l importanza delle leggi di conservazione in fisica e successivamente discuta l applicazione di una di queste leggi.

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1 Il candidato descriva in generale l importanza delle leggi di conservazione in fisica e successivamente discuta l applicazione di una di queste leggi. Una legge di conservazione è un'espressione matematicamente che esprime la costanza nel tempo di una grandezza fisica. Grazie alle leggi di conservazione possiamo risolvere problemi evitando il ricorso diretto ai principi fondamentali della teoria con conseguente semplificazione dei calcoli. Tuttavia il significato delle leggi di conservazione può essere particolarmente profondo e non limitato alla agevolazione delle procedure di calcolo. Essi rappresentano un potente e razionale mezzo d indagine: spesso infatti, applicati a particolari fenomeni, di cui non si conoscono ancora leggi e teorie, consentono di stabilire a priori, senza bisogno di specifiche analisi, il verificarsi o meno del fenomeno. In pratica un principio di conservazione afferma che, durante un processo di variazione, purchè siano verificati particolari condizioni, alcune proprietà intrinseche del sistema e quindi alcune grandezze fisiche che caratterizzano queste proprietà devono rimanere costanti nel tempo. L aspetto più interessante e profondo dei principi di conservazione deriva dalla loro connessione con alcune importanti simmetrie dell universo, legate alle coordinate spaziali e temporali. Infatti, l esistenza di una determinata legge di conservazione è direttamente collegata ad una proprietà di simmetria del sistema secondo il teorema di Noether che dice: per ogni simmetria continua delle leggi della fisica, deve esistere una legge di conservazione. Viceversa, per ogni legge di conservazione,deve esistere una simmetria continua. Le Principali leggi di conservazione sono: Energia: legata all'invarianza temporale delle leggi fisiche. Quantità di moto: legata all invarianza traslazionale Momento angolare: legata all invarianza rotazionale Carica elettrica: legata all'invarianza per trasformazioni di gauge. Tra le leggi di conservazione, quella dell'energia è una delle piu utilizzate. Questa legge afferma che, sebbene possa essere trasformata e convertita da una forma all'altra, la quantità totale di energia è una costante, ovvero il suo valore si mantiene immutato al passare del tempo. In meccanica, la formula per la conservazione dell'energia può essere così riassunta: T+K=L nc in cui la somma algebrica di energia potenziale (T) più energia cinetica (K) è uguale al lavoro compiuto dalle forze non conservative. In presenza di soli campi conservativi questa somma algebrica è nulla (non c'è, appunto, lavoro di forze non conservative) e tutta l'energia potenziale si trasforma in energia cinetica e viceversa. Il campo conservativo per eccellenza è quello gravitazionale. L esempio della pallina che cade nel campo conservativo della gravità terrestre può servire ad introdurre alcune importatati considerazioni che valgono in tutte le situazioni in cui si conserva l energia meccanica. L aumento di velocità, e di conseguenza di energia cinetica, che si ha nella caduta, è accompagnato dalla diminuzione di energia potenziale dovuta alla variazione di quota. L energia meccanica, pur restando costante, durante il moto si ripartisce in modi diversi tra la forma cinetica e quella potenziale. Questa proprietà dell energia si riscontra in molte altre situazioni: esistono fenomeni in cui tale trasformazione avviene ininterrottamente quando non ci sono attriti.

2 Nel caso dell oscillatore armonico, un oggetto puntiforme di massa m, sottoposto alla azione di una forza elastica kxi, si muove di moto armonico secondo la legge k x(t) =A cos( ω t + ϕ ) Acosϕ con ω = e ϕ = ω t + ϕ m scrivo l energia potenziale e quella cinetica in funzione del tempo. Per la prima ho: V(t) = kx = ka cos ϕ Essendo &( t) = Aω senϕ, si ha x K ( t) = mx& = ma ω sin ϕ = ka sin A ogni istante, l energia meccanica totale, somma di V(t) e di K(t), e : E M = ka cos ϕ + ka sin ϕ = ka ϕ Il risultato ottenuto mostra che l energia oscilla continuamente tra la forma potenziale e quella cinetica: vi sono istanti in cui l energia è tutta potenziale, altri in cui è totalmente cinetica, altri ancora in cui si distribuisce fra le due forme come mostrato nel seguente grafico aggiungere diagramma dell energia in funzione della cordinata x In ogni caso, i valori medi dei due termini, su un intero periodo, sono uguali. La somma ha il valore costante ka dell energia meccanica totale. Inoltre, le precedenti considerazioni mostrano come si possa facilmente valutare l energia totale di un sistema oscillante: basta calcolare il valore massimo dell energia cinetica oppure di quella potenziale. Sistemi in cui avvengono continue conversioni di energia da una forma all altra sono abbastanza comuni in fisica: tipici esempi sono i circuiti oscillatori costituiti da un induttore e un capacitore collegati in serie, ove l energia oscilla fra la forma elettrostatica a quella magnetica.

3 Legge di conservazione della carica elettrica La legge di conservazione della carica elettrica, nota anche come equazione di continuità, può essere enunciata così: Il flusso della densità di corrente attraverso una qualunque superficie chiusa S è pari alla variazione della carica contenuta nel volume racchiuso da S. In pratica quello che esce da una superficie, doveva essere già all'interno, e non si crea nessuna carica. Matematicamente, è solitamente descritta come equazione differenziale o come legge integrale dove i è la corrente e ρ la densità di carica. È una conseguenza delle equazioni di Maxwell: nel dettaglio essa proviene dall'operazione di divergenza effettuata sulla quarta e dal sostituire al suo interno il valore della prima: e quindi l'equazione di continuità. L'equazione di continuità può essere scritta in maniera molto semplice e compatta utilizzando la notazione relativistica. Si definisce il quadrivettore densità di corrente J = (ρ, j;), la cui componente temporale ρ è la densità di carica e quella spaziale j è il vettore densità di corrente; in questo modo l'equazione di continuità diventa: o anche

4 Legge di conservazione della quantità La legge di conservazione della quantità di moto è una legge fisica che può essere così formulata: La quantità di moto di un sistema isolato è costante nel tempo. La condizione di isolatezza si esprime nel fatto che sia nulla la risultante delle forze esterne. Questa affermazione è utile nei casi in cui si abbiano sistemi in cui agiscono unicamente le forze interne, come avviene ad esempio in molti fenomeni di urto o esplosione. Più in generale, ci permette di considerare la quantità di moto di un sistema come una costante del moto. Dimostrazione per un sistema di N punti materiali Si supponga di avere un sistema costituito da un numero N di punti materiali di masse mi e velocità. La quantità di moto del sistema è data da: Se si deriva P rispetto al tempo, tenendo conto che la massa dei punti non varia nel tempo, si trova infatti: : la risultante delle forze esterne è nulla (vera per ipotesi). : la somma delle forze interne è anch'essa nulla poichè, per il terzo principio della dinamica, un corpo k che eserciti una forza sul corpo j riceve una uguale e contraria. Dalla nullità della derivata posso concludere che P = cost, ovvero la tesi.

5 Legge di conservazione del momento angolare conservazione del momento angolare è una importante legge fisica, che può essere così formulata: Il momento angolare di un sistema è costante nel tempo se è nullo il momento delle forze esterne che agiscono su di esso. Tale legge è una conseguenza della seconda equazione cardinale, r dl dt r = M ; in questa formula est L rappresenta il momento angolare del sistema Il momento angolare totale di un sistema di punti materiali rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O, immaginando il centro di massa come un punto materiale di massa pari alla massa totale del sistema che si muove con la velocità del centro di massa, più il momento angolare del sistema di punti materiali valutato rispetto al centro di massa. r r r r ' L = Mv + L cm cm cm Se tale momento è nullo,, risulta. Se la derivata di rispetto al tempo è nulla, questo significa che è una costante del moto, ovvero che si conserva. Il momento delle forze esterne può essere nullo in questi tre casi: la forza esterna è nulla (il sistema è meccanicamente isolato) la forza è applicata in un punto dell'asse di rotazione (per cui ) la forza è diretta verso l'asse di rotazione, per cui se è parallelo ad, il loro prodotto vettoriale è nullo.