r e la distanza di P dall origine O

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1 Moto in piu dimensioni nel caso di moti nel piano o in tre dimensioni per indiiduare in modo unioco la posizione di un qualunque generico punto P 1 serirsi della trattazione ettoriale nello spazio e indispensabile z z 1 P r 1 1 in coordinate cartesiane r xiˆ+ yj ˆ+ zkˆ r r ru ˆr ettore posizione r r r x + y + z r x x rrˆ ( o anche ) O y 1 y r e la distanza di P dall origine O del sistema di riferimento

2 per descriere una ariazione finita del ettore posizione nel tempo si usa il con t 2 > t 1 ettore spostamento r rt ( ) rt ( ) 2 1 r r r 2 1 z O r 1 P 1 r r 2 P 2 y Nota Bene : se al trascorrere del tempo lo spostamento aiene da P 1 a P 2 il ettore spostamento x r si applica in P 1 e punta erso P 2

3 ma nel moto in piu dimensioni oltre a doer utilizzare grandezze ettoriali dienta necessario anche abbandonare le grandezze medie e utilizzare solo grandezze istantanee per capirne la motiazione consideriamo ad esempio un moto nel piano xy in blu e rappresentata la traiettoria y di un generico moto di un punto materiale P 1 P 1 posizione al tempo t t 1 P 2 P 2 posizione al tempo t t 2 O x

4 r 1 r 2 ettore posizione al tempo r r r 2 1 t t 1 ettore posizione al tempo t t 2 y P 1 r r 1 r 2 s P 2 s spazio effettiamente percorso lungo la traiettoria r r lunghezza della corda e eidente che il modulo r r r s del ettore r O sottesa dall arco di lunghezza non effettiamente percorso lungo la traiettoria del moto, mentre e questo significa che fornisce lo spazio s s x

5 ma se gli interalli di tempo dienissero infinitesimi i punti lungo la traiettoria tenderebbero ad essere sempre piu raicinati tra di loro e, a patto che la elocita sia finita, di conseguenza per t 0 y la corda tendera a confondersi con l arco r s ossia dr ds P 1 r 1 r ''' P 4 P r '' r 5 P ' 3 r dr r r r P r 2 O x

6 in un cerchio di raggio ρ si ha mentre s r AB 2AC ρϑ siluppando in serie di Taylor la funzione sen θ ϑ ϑ ϑ senϑ ϑ ! 5! 7! O per angoli piccoli ρ ϑ 2 ϑ A ρ C P s B ci si puo arrestare al primo ordine sen ϑ ϑ ( θ in rad ) nel triangolo AOC si ha ρ lim sen ϑ ϑ AC ϑ ρ 2 ρsen ϑ 2 per cui AB 2AC ρϑ s

7 da cio si deduce che la lunghezza dell arco infinitesimo dee uguagliare, a meno di infinitesimi di ordine superiore, la lunghezza della corda che lo sottende oero lim r ϑ 2 0 dr ds e poiche t r dr lim t 0 e chiaro che ds

8 per descriere una ariazione infinitesima del ettore posizione nel tempo si dee usare il ettore spostamento infinitesimo perche per il ettore dr si ha dr dr ds lim r t 0

9 Velocita ettoriale istantanea il ettore elocita istantanea z r 1 P 1 r e definito come r dr x O r 2 P 2 y lim t 0 t attenzione: si tratta della deriata temporale di una grandezze ettoriale

10 Modulo del ettore elocita istantanea poiche dr e dr ds ds Direzione e erso del ettore elocita istantanea dr e dr r dr rrˆ ϑ d rˆ r nˆ + doe nˆ rˆ

11 quindi in un qualunque punto P y della traiettoria r il ettore ara O ˆr r P ˆr ˆn n x dr un componente concorde r r r ˆ alla direzione originale di dϑ ( orientato nella direzione di ˆr ) e l altro componente n r nˆ sara orientato perpendicolarmente a ˆr

12 per determinare la direzione ed il erso di - ettorialmente - dr r ˆ queste due componenti y O ˆr ˆr r ' uˆr r ˆr P ˆn ˆn ˆr ˆt ˆt n r occorrera sommare tra loro in ogni punto della traiettoria dϑ + r nˆ tˆ doe ˆt e il ersore che indica la direzione e il erso delle elocita P nˆ ' ' ˆr tˆ' x cosa, a prima ista, piuttosto complicata da farsi perche i ersori ˆr ed ˆn non mantengono fisse nel tempo le loro posizioni ed il loro orientamento

13 ma si puo dimostrare che la direzione di ( indiiduata dal ersore ˆt ) risulta sempre tangente alla traiettoria dunque si ha sempre ds t ˆ o anche tˆ doe ds

14 per capirlo si puo fare riferimento alle caratteristiche stesse del ettore spostamento infinitesimo dr

15 oppure si puo fare riferimento al cerchio osculatore data una qualsiasi linea cura nello spazio il cerchio osculatore alla cura in un suo punto P è il cerchio tangente alla cura in quel punto

16 il cerchio osculatore approssima la curatura della cura in un intorno infinitesimo del punto P quindi costituisce una approssimazione migliore alla cura in P di quella fornita dalla retta tangente alla cura in P ( approssimazione del secondo ordine )

17 una qualsiasi cura puo essere pensata come se fosse costituita da una infinita successione di raggio, punto per punto, di archi di circonferenza infinitesimi pari al raggio ρ del cerchio osculatore in quel punto ρ 1 P P 2 4 ρ 2 ρ 3 ρ 4 P 5 ρ 5 P 1 ρ 6 P 6 P 3 il raggio ρ del cerchio osculatore diiene infinito se la linea è una retta e iceersa tende a zero all aumentare della curatura della linea

18 Traiettoria corcolare r rrˆ e il ettore spiccato dal y r P ˆr ˆn centro della circonferenza erso il generico punto P dr dr d ˆ ϑ r+ r nˆ con nˆ rˆ ma essendo la traiettoria circolare r r cost quindi dr 0 dr r d ϑ nˆ O P 1 x

19 ma in un qualsiasi cerchio il raggio che congiunge il centro del cerchio ad un qualunque punto P sulla circonferenza e sempre perpendicolare y alla retta tangente alla circonferenza in quel punto P ne consegue che in una traiettoria circolare O x ˆn e sempre tangente alla traiettoria

20 lungo una qualsiasi traiettoria circolare dr e tangente alla traiettoria il ettore elocita istantanea ma dato che una qualsiasi cura puo sempre essere approssimata localmente dal cerchio osculatore, il risultato ottenuto ha alidita generale qualunque sia la traiettoria nello spazio

21 Nota bene : il fatto che il ettore elocita istantanea sia sempre tangente alla traiettoria e una proprieta eramente utile perche se si conoscesse l espressione analitica della traiettoria basterebbe una operazione di deriazione per calcolare la direzione della elocita istantanea

22 ricapitolando : il ettore elocita ettoriale istantanea e definito come t r dr lim t 0 il modulo del ettore fornisce la elocita lungo la traiettoria del moto, ossia ds/ la direzione ed il erso di. sono gli stessi di dr dunque e sempre tangente alla traiettoria in conclusione : ds t ˆ o anche tˆ doe ds

23 Accelerazione ettoriale istantanea a a dato che lim t 0 d tˆ ˆ d t t + d si ara dϑ u ˆ c y O r uˆc P uˆr a a tˆ + a uˆ t c c ˆn ˆt x doe ˆt e il ersore tangente alla traiettoria mentre uˆc e il ersore perpendicolare a ˆt

24 si definisce accelerazione tangenziale ( a t ) quel componente della accelerazione ettoriale istantanea che determina un cambio del modulo e potenzialmente anche del erso, ma non della direzione della elocita si definisce accelerazione centripeta ( a c ) quel componente della accelerazione ettoriale istantanea che determina un cambio della direzione, e potenzialmente anche del erso, ma non del modulo della elocita

25 Proprieta del ettore accelerazione tangenziale l accelerazione tangenziale -modulo : a -pari alla ariazione del modulo della elocita t d t ˆ d e un ettore che ha d ds d 2 s ( ) 2 -direzione : -sempre tangente alla traiettoria ossia sempre la stessa della elocita -erso : concorde alla elocita se la ariazione di elocita e positia, ossia moto accelerato; discorde alla elocita se la ariazione di elocita e negatia, moto decelerato rimangono ora da determinare erso e modulo della componente centripeta

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