Circuiti integratori e derivatori. Circuiti integratori: LR. Circuiti integratori: RC. Circuiti derivatori RL. Circuiti derivatori: CR

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1 Filri con duori Si possono realizzare filri passa-basso e passa alo anche con resisori e duori, vece che con resisori e condensaori. Sempre considerando i pariori di impedenze si oiene facilmene la funzione di rasferimeno [ ou / ] funzione di, o di f : ou ou j j( / ) ou ou j j( / ) j j( / ) Passa-basso con frequenza di aglio f o Passa-alo con frequenza di aglio f o ircuii egraori e derivaori Sono circuii che producono all uscia un segnale di ensione proporzionale all egrale (o alla derivaa) del segnale gresso. he si possano cosruire e evidene dalle relazioni di Id ; d I d d ; I d ( ( I( ou ou ( ircuii egraori: ( ( I( ( ( o ( se o ( ') d' i( ') d' o ( ') d' ou ( ( di( i( ou ou ( ( o ( ') d' i( ) ( ( i( ( ( ') d' i( o) o se ( d d d i( o ircuii egraori: o ( ') d' i( ) o ou ( ( ( ( ircuii derivaori: o i( ') d' d d ( ( i( d d d d ou ( i( ( ( d d se ou ( ( ( ( i( i( ( d ou ( i( d d ou ( ( d ircuii derivaori d d ( ou

2 ircuii egraori e derivaori Abbiamo qudi delle approssimazioni di circuii egraori e derivaori. I filri passa basso e forniscono gli egraori; I filri passa alo e forniscono i derivaori. ou ou ou ou Possiamo qudi graficare, funzione della frequenza del segnale d gresso, l ampiezza del segnale uscia, ed il suo sfasameno: e ou dove j o j( ) oe o o arcan o o / /4 / egime susoidale o ou ircuii egraori e derivaori e approssimazioni sono o ano migliori quano piu o il segnale uscia e o / piccolo rispeo a quello gresso Per i circuii derivaori quesa approssimazione e rispeaa ano meglio /4 quano piu f < f o =/; / Per i circuii egraori quesa approssimazione e rispeaa ano meglio quano piu f > f o =/; A quesa frequenza il passa basso e un buon egraore. Ma il segnale uscia e ridoo di /! isposa Impulsiva Supponiamo di applicare ad un circuio egraore o ad un derivaore un segnale ad onda quadra: ou INT ou DE Alla fe della erza esperienza poree provare ad oenere quese forme d onda sperimenalmene. a difficolà sa nel fao che sono ano più ideali (qudi simili alla derivaa o all egrale di ) quano più la loro ampiezza è piccola. Meodo dell ellisse Si applicano i segnali ai due assi orogonali. X Y Y X cos cos( ) Elimando viene una eq. Y(X) di una ellisse. I due segnali che viamo agli gressi e y (e qudi le consegueni deflessioni del puno lumoso sugli assi e y del monior) sono: X sen( y Y sen( ) Al passare del empo il puno lumoso percorrerà ui i puni descrii dalle due equazioni sopra, che rappresenano qudi l equazione paramerica della curva percorsa. Si può elimare il paramero ( e ricavare qudi l equazione della raieoria come segue. Si riscrivono le due equazioni modo che una dia il seno di e l alra dia il coseno: sen X y y cos cossen cos cos Y X sen Y X Quadrando le due equazioni e sommando membro a membro si elima, oenendo da cui ovvero Perché modalià XY si vede un ellisse? y cos X sen Y X y y sen cos cos sen X Y Y X X Equazione di una y y cos sen ellisse ruoaa X X Y Y rispeo agli assi y

3 Perché modalià XY si vede un ellisse? y y cos sen X X Y Y è l equazione di una ellisse il cui semiasse maggiore forma un angolo rispeo all asse, con XY g( ) cos X Y Infai, sosiuendo il legame ra coordae ruoae di un angolo (coordae e y ) e coordae non ruoae (coordae e y) nell equazione sopra, si ha 'cos y' sen y ' sen y'cos ' cos y' sen 'cos y' sen ' sen y'cos ' sen y' cos cos sen X XY Y Da cui, (d ora poi scriveremo e y vece che e y, per brevià): cos y sen ysen cos ( sen cos ycos ysen y sen cos) cos X XY sen y cos ysen cos sen Y Perché modalià XY si vede un ellisse? Moliplicando uo per (XY) e svolgendo i calcoli si oiene (d ora poi scriveremo e y vece che e y, per brevià): Y cos y sen ysen cos XY sen cos y cos ysen y sen cos X sen y cos ysen cos X Y sen Ovvero, raccogliendo i ermi, y, y : Quesa è l equazione di una ellisse con semiassi paralleli agli assi y se può essere ridoa alla forma A +By =, ovvero se D cos Y cos XYsen cos cos X sen y Y sen XYsen cos cos X cos yy sen cos XY (cos sen ) cos X sen cos X Y sen Y sen cos XY(cos sen )cos X sen cos... XY( sen )cos... sen cos X Y XY cos X Y XY cos sen cos ( sen )/ cos XY X Y XY cos g cos sen X Y ome si ricava lo sfasameno dall ellisse? Nel puno B si ha la massima escursione del segnale y(, qudi b=y Nel puno A si ha che (=, qudi =, qudi a=y()=ysen(). Dal rapporo ra le due espressioni risula sen()=a/b Qudi misurando a e b si ricava lo sfasameno ra y( e (. A y( Y sen( ) a B b ( X sen( Funzione di rasferimeno Dao un circuio con un gresso ed una uscia (disposiivo a due pore), leare (cioè formao da componeni leari), la funzione di rasferimeno è defia come il rapporo ra il segnale (di solio una ensione) uscia ed il segnale gresso. ou IN OUT T In generale la funzione di rasferimeno dipenderà dalla frequenza del segnale. Per esprimere gli effei del circuio sia sull ampiezza che sulla fase del segnale che viene rasferio all uscia, la funzione di rasferimeno è una funzione a valori complessi: ou ou T T Qui e ou sono i fasori che descrivono ou segnale gresso e uscia. Nella erza esperienza misureree la funzione di rasferimeno dei circuii e. ircuii cascaa onsideriamo due filri passa basso : Due cascaa Supponiamo di avere due circuii a due pore e di collegarli cascaa, cioè di conneere l uscia del primo all gresso del secondo: ou ou ou ou ou j ou j Possiamo sperare di oenere un filro più ripido collegandoli cascaa: ou ou ou = ou i si chiede quale sia la funzione di rasferimeno complessiva ou /. Faremo prima un esempio concreo, poi generalizzeremo. onsideriamo come esempio di disposiivi a due pore due filri passa basso. Siccome l uscia del primo cocide con l gresso del secondo, viene voglia di scrivere: ou ou ou ou j j 3

4 onsideriamo due filri passa basso : Due cascaa ou * ou j ** ou ou SBAGIATO! ou = e formule * e ** valgono solo se i due circuii sono isolai. Siccome l uscia del primo cocide con l gresso del secondo, viene voglia a presenza di scrivere: del secondo circuio ou ou ou ou modifica la risposa j j del primo. ediamo come. ou j Possiamo sperare di oenere un filro più ripido meendoli cascaa: Z Z j ou ou Z Z ou ou / j / j j j j j j j j Z j j j ( ) j j j j j j( ) j j ( ) ou ou j j j ( ou ou ) j ( ) A( ) jb A ( ) B A ( ) B Due cascaa B an A( ) A( ) jb Dove il è ra e la serie di e. = =k = =nf sgolo =k =k =nf =nf sgolo uguali cascaa i due cascaa Prodoo di due funzioni di rasferimeno sgole (sbagliao) Prodoo di due funzioni di rasferimeno sgole (sbagliao, ma quasi giuso queso caso perché Z >>Z ou ) ircuii cascaa generalizzazione iascun disposiivo a due pore sarà schemaizzabile per i nosri scopi con una impedenza d gresso, un generaore ed una impedenza d uscia. Z i ou Z o ou ou T ou E la funzione di rasferimeno rseca del circuio, valida quando non c è carico applicao all uscia. ircuii cascaa generalizzazione Quando si collegano due circuii cascaa si oiene la seguene configurazione: Z i Z o ou Z i Qudi la ensione che si oerrà all uscia del primo che è la sessa presene all gresso del secondo si roverà dalla formula del pariore: Zi ou ou ou Zi ou Zi ou T T T Zi Zo Zi Zo Zi Zo Appena i due circuii vengono connessi sieme, la presenza del secondo circuio modifica il segnale uscia dal primo, che era ou, riducendolo. Solo se Z >>Z ou l serimeno del secondo circuio non modifica apprezzabilmene l uscia del primo. Solo al caso la funzione di rasferimeno complessiva è pari al prodoo delle sgole f. di rasferimeno. Z o ou ou 4

5 ircuii cascaa: secondo esempio seguio da = ou = ou ircuii cascaa: secondo esempio seguio da ou ou T ou j T ou j j ou ou ou T T T Z dove Z è l impedenza del parallelo ra e la serie Z / Z ma per Z vale la relazione j Z / j e qudi sosiuendo nell eq. sopra / Z j ( j ) /( j ) j /( j ) D alra pare ou j j e usando l espressione sopra per si oiene j j j j ou j j ( j ) /( j ) j ( j )( j ) j ou T j ( j )( j ) j ( j ) / j ( j ) / T ircuii cascaa: secondo esempio seguio da ou j ( j )( j ) j ( j ) / j ( j ) / Se >> (cioè l impedenza di gresso del secondo circuio è molo maggiore dell impedenza di uscia del primo) si ha che la funzione di rasferimeno complessiva si riduce al prodoo delle due sgole: ou j T TT ( j ) / j ( j ) / j ( j ) ou T.77 ou f Misure con il picoscope Ovvero: l oscilloscopio digiale azione Il picoscope è un oscilloscopio digiale compleo di generaore di funzioni, che lavora simbiosi con un P (al quale sono demandae le funzioni di visualizzazione e imposazione delle misure) Permee di eseguire misure complesse modo semplice. Uscia del generaore di funzioni Ingresso per rigger eserno Due gressi analogici (8 bi, Gs/s) Uso del Picoscope per verificare il comporameno di circuii, con onde quadre e susoidali gresso ) Misura resisenza erna del generaore egrao nel picoscope ) ircuio con onda quadra gresso: misura cosane di empo dalla salia e dalla discesa dell onda uscia 3) ircuio come egraore 4) ircuio con onda susoidale gresso: misura frequenza di aglio del circuio ( Generaore di funzioni (uscia Picoscope, frequenza f=khz) ) Misura della resisenza erna del generaore di fuzioni del picoscope ( ( Picoscope esisenza erna 3 >> Si genera un segnale quadro ( imposandone l ampiezza a e si legge il valore dell ampiezza A senza carico. Si serisce poi una resisenza di carico e si misura ( simandone l ampiezza A. Dal rapporo ra A e A e dal valore di si ricava con la formula del pariore. 5

6 Immage schermo con segnale generaore (picoscope) onda quadra ( con ampiezza A =., frequenza KHz Immage schermo con segnale ai capi di : onda quadra ( con ampiezza A =(.55 / ), frequenza khz Sima resisenza erna dal confrono delle due misure (formula del pariore di ensione): ) ecciao con onda quadra.9k A. A.797 A A 6 A ( Generaore di funzioni (uscia Picoscope, frequenza f=khz) ( ( Picoscope esisenza erna 3 >> Si provano due circuii che hanno nomalmene la sessa cosane di empo: =.k e =5nF oppure =k e =5nF Nei due casi A A 6 A ) =k e =5nF oppure: ) =.k e =5nF F aglio =/()= 469 Hz (caso ) o F aglio =/()= 378 Hz (caso ) o =s =s osane di empo per circuio (=5 nf =.K) da dai di salia usando i cursori si cerca il momeno cui l ampiezza divena pari a ( e ) del valore asoico: si rova ==439s 6

7 osane di empo per circuio (=5 nf =.K) da dai di discesa usando i cursori si cerca il momeno cui l ampiezza divena pari a e del valore di parenza: si rova ==45s Teoricamene la cosane di empo dovrebbe essere pari a ( ) on i valori nomali dei componeni:.k.6k 5 9 si dovrebbe avere: ( ) 4s buon accordo con quano misurao. Qudi la frequenza di aglio di queso è pari a f 378Hz F 3) ircuio come egraore: onda quadra gresso ircuio come egraore: segnale uscia a frequenza f=8khz (>>f aglio ) 4) isposa frequenza circuio con segnale susoidale gresso. Frequenza di aglio circuio, da confronare con quella ricavaa dalla cosane di empo misuraa prima (circa 378 Hz) Si izia con una frequenza (Hz) << di quella di aglio e si misura l ampiezza. Si varia la frequenza fchè l ampiezza non divena / di quella a basse frequenze 7

8 Alro (=5 nf, =k Deagli dell onda quadra gresso: Quando il condensaore si carica ( un verso o nell alro) il generaore, a causa della sua resisenza erna, faica a manenere l ampiezza imposaa per l onda. Sessa onda quadra gresso, a Hz (=5 nf, =Kcirca 47 Hz g ( (uscia GEN picoscope, frequenza f=hz o quano serve a vedere la frequenza di aglio e forma d onda quadra o susoidale) g (=..5 ircuio ( oscilloscopio esisenza erna molo grande Nello sesso modo si sudia il circuio passa alo () verendo la disposizione di e, e si visualizza la sua azione come derivaore a basse frequenze Prima pare eserciazione : carica e scarica del condensaore (circuio con breve cosane di empo) Sosiuire e con valori feriori (.7k e nf). a cosane di empo è molo dimuia (=59s) e il processo è roppo veloce per usare volmero e cronomero. Però si può visualizzare lo sesso il processo di carica (e scarica) usando l oscilloscopio. Invece che caricare e scaricare il condensaore collegandolo a mano all alimenaore o, si usa un generaore di funzioni che può generare ensioni periodiche di diverse forme. uscia TT genera una ensione periodica che si alerna ra e 5. Usando un periodo molo più lungo della cosane di empo, quando la ensione ransisce da a 5 izia la carica del condensaore, che si complea prima che la ensione ransisca nuovamene a. Quando ransisce da 5 a pare la scarica. Anche quesa si complea prima della successiva ransizione del generaore da a 5. 8

9 Prima pare eserciazione : carica e scarica del condensaore (circuio con breve cosane di empo) ircuio g ( Generaore di funzioni (uscia TT, frequenza f=khz) g (=..5 c ( oscilloscopio esisenza erna Generaore di funzioni 5 f=/t=. khz g 5 6s 5s 6s 5s c egolazione frequenza Uscia TT del generaore di funzioni Prima pare eserciazione : (circuio con breve cosane di empo) Scegliendo un periodo dell onda quadra di ms (frequenza khz) si ha abbasanza empo nella fase ala e nella fase bassa della ensione del generaore per consenire la carica e scarica praicamene complee del condensaore. Sullo schermo si possono qudi campionare i valori della ensione al passare del empo, e ricosruire lo sesso grafico fao nella prima pare dell esperienza, dal quale si misurerà nello sesso modo la nuova cosane di empo. Si possono usare anche i dai della scarica, con la formula relaiva, e la cosane di empo deve venire la sessa enro gli errori. a resisenza erna dell oscilloscopio è molo elevaa (M) e qudi non è facilmene misurabile queso caso. 5 c () ( ( e E / ) 5 s/cm /cm ( o )/ ( ) Ee (s) Seconda pare eserciazione : (circuio con breve cosane di empo con pariore) Si aggiunge un resisore parallelo al condensaore (ad es.da.7k). Si ripeono le misure di ensione ai capi del condensaore funzione del empo. he differenze ci sono rispeo al caso precedene? Quale è il valore asoico per la ensione di carica del condensaore? ome cambia la cosane di empo? Perché? (vedi lezioni) g ( Generaore di funzioni (uscia TT, frequenza f=khz) g (=..5 ircuio c ( oscilloscopio esisenza erna ircuio : schema di monaggio Problemi praici: e connessioni ai BN vanno fae con cavei BN coccodrillo. Il rosso è connesso al cenrale, il nero allo schermo. GEN H H Generaore di segnali H : misura =coccodrilli rossi Basea H: misura ou =coccodrilli neri Generaore di segnali Basea 9

10 Terza pare eserciazione : (circuio con breve cosane di empo) Scambiando con nel circuio della pare dell esperienza, e prendendo il segnale ai capi di, si misuri, con l onda quadra gresso, la ensione funzione del empo. Si verifichi che il valore della cosane di empo è enro gli errori, compaibile con quella ricavaa nella pare dell esperienza. onfronare con il valore oenuo a parire dalla misura di e con il pone ircuio : schema di monaggio Generaore di segnali H : misura =coccodrilli rossi Basea H: misura ou =coccodrilli neri Problemi praici: e connessioni ai BN vanno fae con cavei BN coccodrillo. Il rosso e connesso al cenrale, il nero allo schermo. GEN T H H Terza pare eserciazione : (circuio con breve cosane di empo) Scegliendo un periodo dell onda quadra di ms (frequenza khz) si ha abbasanza empo nella fase ala e nella fase bassa della ensione del generaore per consenire la carica e scarica praicamene complee del condensaore. () s/cm 5 /cm ( e / E 5 (s) ( o )/ ( Ee Generaore di segnali Basea