Teorie della rottura

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1 Teorie della rottura Teorie della rottura Le teorie della rottura individuano una funzione dello stato tensionale il cui valore è una misura della sua pericolosità. Ogni stato tensionale può quindi essere rappresentato da una quantità scalare, ovvero da un solo numero, che può essere messo in relazione con un valore critico del materiale. A tale valore scalare viene dato il nome di tensione equivalente Il rapporto tra il valore critico del materiale e la tensione equivalente è il coefficiente di sicurezza della struttura.

2 Concetto di tensione equivalente I due stati di tensione sono ugualmente pericolosi se F F* F f(σ,σ,σ 3 ) F* f(σ *,σ *,σ 3 *) Particolarmente significativo è il confronto con lo stato di tensione che si verifica nella prova del materiale σ e σ σ,σ,σ 3 caso monoassiale (prova di trazione) caso generale triassiale Classificazione delle teorie Le teorie della rottura possono essere divise in tre gruppi Teorie basate sullo stato di tensione Massima tensione normale (Rankine-Lamé-Navier) Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr) Massima tensione tangenziale ottaedrica (Rôs ichinger) Teorie basate sullo stato di deformazione Massima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof) Teorie basate sulla energia di deformazione Massima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig) Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency)

3 Massima tensione normale (Rankine) superficie critica definita dal criterio di Rankine nello spazio delle tensioni principali σ 3 Il materiale subisce danno quando la massima tensione principale raggiunge un valore critico. σ t tensione di rottura a trazione σ c tensione di rottura a compressione si ha rottura se: σ σ all interno del volume il materiale resiste la superficie è la zona critica all esterno del volume c è rottura σ > σ t σ > σ t σ 3 > σ t σ < σ c σ < σ c σ 3 < σ c Massima tensione normale (Rankine) Condizione limite σ caso triassiale: σ L σ oppure σ L -σ e σ 3 oppure caso monoassiale: σ L σ σ e σ e -σ 3 Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ e σ x +σ y ± σ x - σ y + τ xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: σ e τ xy quindi, in base alla teoria di Rankine, la tensione limite a taglio è pari alla tensione limite misurata nella prova di trazione τ L σ L σ L /τ L 3

4 Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) σ 3 τ τ τ τ 3 Il materiale subisce danno quando la massima tensione tangenziale raggiunge un valore critico. σ σ σ τ ± ½ (σ - σ 3 ) τ ± ½ (σ - σ 3 ) τ 3 ± ½ (σ - σ ) τ max ± ½ (σ - σ 3 ) C è rottura se: τ max τ L τ L Valore critico del materiale all interno dell area il materiale resiste all esterno dell area c è rottura Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) superficie critica definita dal criterio di Tresca nello spazio delle tensioni principali 4

5 Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) σ Nel caso di stato di tensione piano: rottura limite σ,σ 0 σ 3 0 σ resistenza Zone che, secondo la teoria di Tresca Guest, si trovano nella regione di rottura mentre, in base al criterio di Rankine, dovrebbero trovarsi nella regione di resistenza Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) Condizione limite caso triassiale: τ L ± ½ (σ - σ 3 ) caso monoassiale: τ L ± ½ σ ½ σ e σ e σ - σ 3 C è rottura se σ e σ L ovvero se σ e τ L quindi, in base alla teoria di Tresca, la tensione limite a taglio è la metà della tensione limite misurata nella prova di trazione τ L σ L / σ L /τ L Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ e (σ x - σ y ) + 4τ xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: σ e τ xy 5

6 all interno dell area il materiale resiste Curva di resistenza intrinseca (Mohr) τ Curva intrinseca del materiale Ipotesi dell attrito interno Mohr osservò che in alcuni materiali il taglio massimo sopportabile è maggiore in presenza di uno stato di compressione σ all esterno dell area c è rottura Curva di resistenza intrinseca (Mohr) τ sen ϕ AD AB σ LC / - σ LT / σ LC / + σ LT / σ LC / σ LT - σ LC / σ LT + D A + ϕ + B k ϕ σ LC σ LT sen ϕ k- k+ C σ σ LT OC σ LT k k- σ LC OC OB + BC σ LT + sen ϕ σ LT + k+ k- 6

7 Curva di resistenza intrinseca (Mohr) τ OP σ + σ 3 r σ - σ 3 incrementando di un fattore a O σ 3 r r P + P + σ OP σ + σ 3 a r ϕ C σ a σ - σ 3 nella condizione limite il raggio del circolo di Mohr può anche essere ricavato come: r (OC-OP )sen ϕ OC σ LT k k- σ - σ a 3 k k- σ σ + σ 3 LT - a k- k+ Curva di resistenza intrinseca (Mohr) σ - σ a 3 k k- σ σ + σ 3 LT - a k- k+ La tensione equivalente può essere definita come: Quindi, dividendo per a e poi introducendo la σ e si ottiene: σ e σ LT a σ - σ 3 k k- σ e σ σ LT - + σ 3 a k- k+ σ e σ - σ 3 k Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ x + σ y σ e k- + k+ σ x - σ y + τ k k xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: k+ σ e τ k xy σ L τ L k+ k 7

8 superficie critica definita dal criterio di St. Venant nello spazio delle tensioni principali Massima deformazione normale (St. Venant) Il materiale subisce danno quando la massima deformazione principale raggiunge un valore critico. ε ε 3 [σ -ν (σ +σ 3 ) ] [σ 3 -ν (σ +σ ) ] ε L ε L Nel caso monoassiale si ha: ε σ ε L σ e Dal confronto si ha: σ e σ - ν (σ + σ 3 ) oppure: σ e σ 3 - ν (σ + σ ) Massima deformazione normale (St. Venant) Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ x + σ y σ e ( - ν ) + (+ν ) σ x - σ y + τ xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: σ e ( +ν ) τ xy Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale: σ L τ L ( +ν ) 8

9 Massima energia di deformazione (Beltrami) 3 Il materiale subisce danno quando l energia accumulata per deformazione raggiunge un valore critico. F U ½F L ½(σ dy dz) ε dx U s U dx dy dz ½σ ε U s ½σ ε U 3s ½σ 3 ε 3 U s ½(σ ε +σ ε + σ 3 ε 3 ) U s [σ +σ + σ 3 - ν(σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ )] Nel caso monoassiale si ha: U s σ σ e σ +σ + σ 3 - ν(σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ ) σ e La tensione equivalente si può quindi scrivere come segue: Massima energia di deformazione (Beltrami) all esterno del volume c è rottura σ 3 la superficie rappresenta la condizione limite Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ e σ x +σ y - σ x σ y + (+ν ) τ xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: σ all interno del volume il materiale resiste σ e (+ν ) τ xy σ Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale: σ L τ L ( +ν ) 9

10 Massima energia di distorsione (von Mises) stato di tensione triassiale Il materiale subisce danno quando l energia di distorsione accumulata raggiunge un valore critico. + σ σ ' + σ σ σ ' + σ σ 3 σ 3 ' + σ 3 " stato di tensione sferico (idrostatico): variazione di volume stato di tensione deviatorico: variazione di forma Variazione di volume V V f - V 0 dx dy dz [(+ ε ) (+ ε ) (+ ε 3 ) -] in campo elastico i termini ε ed ε 3 sono trascurabili V dx dy dz [+ ε + ε + ε 3 + ε ε + ε ε 3 + ε 3 ε + ε ε ε 3 -] V dx dy dz (ε + ε + ε 3 ) v (ε + ε + ε 3 ) dx dy dz V v (ε + ε + ε 3 ) [σ +σ + σ 3 - ν (σ + σ + σ 3 )] la variazione di volume dovuta alla parte sferica della tensione è data da: v s 3ε s - ν (σ + σ + σ 3 ) [3S - ν (3S)] - ν - ν 3S ricordando che l energia specifica (totale) di deformazione è data da: 3S Se si assume che la variazione di volume sia dovuta solo all effetto della parte sferica della tensione si può scrivere: U T [σ +σ + σ 3 - ν(σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ )] la quota parte dovuta al cambiamento di volume è data da: U V [3S - ν (3S )] Massima energia di distorsione (von Mises) 3( - ν ) S 3( - ν ) - ν (σ + σ + σ 3 ) S (σ + σ + σ 3 ) / 3 (σ + σ + σ 3 ) 3 0

11 Massima energia di distorsione (von Mises) U D U T - U V U D [σ +σ + σ 3 - ν(σ σ + σ σ 3 + σ 3 σ )] 3( - ν ) - (σ + σ + σ 3 ) 3 Quindi, l energia di distorsione nel caso triassiale si può scrivere: + U D ν [(σ -σ ) + (σ -σ 3 ) + (σ 3 -σ ) ] 3 Nel caso monoassiale si ha: + U D ν σ 3 + ν σ 3 e In conclusione, la tensione equivalente è data dalla relazione: ½ σ e [(σ -σ ) + (σ -σ 3 ) + (σ 3 -σ ) ] Massima energia di distorsione (von Mises) superficie critica definita dal criterio di von Mises nello spazio delle tensioni principali

12 Massima energia di distorsione (von Mises) Nel caso di stato di tensione piano la tensione equivalente vale: σ e σ x +σ y - σ x σ y + 3τ xy Nel caso di semplice torsione o taglio la tensione equivalente vale: σ e 3 τ xy 3 τ xy Il rapporto tra le tensioni limiti in questo caso vale: σ L τ L 3 Confronto con i dati sperimentali Materiali duttili

13 Confronto con i dati sperimentali Materiali fragili Confronto tra le varie teorie 3

14 Confronto tra le varie teorie Rapporto caratteristico σ L τ L Massima tensione normale (Rankine-Lamé-Navier) Massima tensione tangenziale (Tresca-Guest) Curva della resistenza intrinseca (Coulomb-Mohr) Massima deformazione normale (Poncelet-St. Venant-Grashof) Massima energia di deformazione (Beltrami-Huber-Haig) Massima energia di distorsione (Huber-von Mises-Hency) Valori sperimentali σ L τ L Materiali fragili.5 Materiali duttili Teorie della rottura Per oggi finisce qui 4