Aerospaziali PER MATERIALI ISOTROPI PARTE 1. Prof. Claudio Scarponi Ing. Carlo Andreotti

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1 Aerospaziali CRITERI DI ROTTURA STATICI PER MATERIALI ISOTROPI PARTE 1 Prof. Claudio Scarponi

2 TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE Un provino può essere sottoposto a 2 tipi di sollecitazione: 1. Semplice Statica Monodirezionale (per esempio trazione) La forma del provino è semplice (per esempio un asta) La verifica delle condizioni critiche può essere effettuata tramite prove sperimentali semplici (per esempio una prova di trazione) I dati a disposizione nei manuali sono direttamente confrontabili Aerospaziali 2

3 TIPOLOGIE DI SOLLECITAZIONE 2. Composta Statica Biassiale o triassiale La forma del provino può essere complessa La verifica delle condizioni critiche richiede procedimenti lunghi e costosi I dati a disposizione nei manuali non sono direttamente confrontabili Aerospaziali 3

4 TEORIE DELLA ROTTURA Nascono per risolvere il problema della verifica delle condizioni critiche nel caso di sollecitazioni composte. Restano valide nel caso di sollecitazioni semplici con una netta semplificazione dei calcoli. Si basano sulla conoscenza degli assi principali (sforzi principali e Cerchio di Mohr). Aerospaziali 4

5 TEORIE DELLA ROTTURA IDEA: qualora si riuscisse a definire la combinazione più gravosa delle principali, si potrebbe, attraverso alcune ipotesi semplificative, escogitare un criterio per confrontare i diversi stati di sollecitazione o composta con idati a disposizione sui materiali. Aerospaziali 5

6 TEORIE DELLA ROTTURA SOLUZIONE: sulla base delle diverse ipotesi, riguardanti il cedimento dei materiali, si definisce tensione equivalente o ideale quella tensione monoassiale, esprimibile con la relazione = φ i φ(, ), 1 2 che provoca lo stesso effetto della sollecitazione i composta realmente applicata. 3 Aerospaziali 6

7 TEORIE DELLA ROTTURA La tensione ideale può essere facilmente confrontata con i dati a disposizione sui materiali. La relazione fondamentale per la verifica della resistenza è la seguente: i U β Il pedice U sta per ultimo. Il simbolo β indica un coefficiente di sicurezza. Aerospaziali 7

8 TEORIE DELLA ROTTURA Principali teorie di rottura: Teoria della massima tensione normale (Rankine, Lamé, Navier) Teoria della massima tensione tangenziale (Saint Venant, Tresca, Guest) Teoria della massima deformazione (Poncelet, Saint Venant, Grashof) Teoria della massima energia di deformazione (Beltrami, Huber, Haigh) Teoria della massima energia di distorsione (Von Mises, Hencky, Huber) Teoria della massima tensione tangenziale ottaedrale (Rôs, Eichinger) Aerospaziali 8

9 TEORIE DELLA ROTTURA Metodo di esposizione per ogni teoria: Ipotesi di rottura i nel caso generale di stato di tensione triassiale i nel caso generale di stato di tensione biassiale, i relativo alle tensioni i x, y, τ xy Rapporto U τ U τ I simboli U e U indicano rispettivamente i valori della e della τ in corrispondenza dei quali il materiale si trova al limite della resistenza. Il pedice U sta per ultimo. Aerospaziali 9

10 TEORIE DELLA ROTTURA Nel caso di sollecitazioni i i statiche ti si deve operare una distinzione tra materiali duttili e materiali fragili: Materiali duttili τ U U = = τ S S Materiali fragili U = R τ U = τ R Il pedice S indica lo snervamento, mentre il pedice R indica la rottura. Aerospaziali 10

11 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE a) Ipotesi di rottura Per qualsiasi i stato t di tensione, si verifica il cedimento del materiale in un punto qualora il valore della massima tensione normale (positiva o negativa) raggiunga in esso il valore della tensione limite. U Aerospaziali 11

12 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE i b) nel caso generale di stato t di tensione triassiale Nel caso di stato di tensione triassiale, si ha la seguente situazione: La condizione critica si verifica se a trazione a compressione 1 = U 3 = U τ MAX 2 1 Aerospaziali 12

13 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE Poiché lo stato di crisi è espresso dalla relazione = i U l espressione della tensione ideale valida nel caso generale è i = 1 i = 3 a trazione a compressione Aerospaziali 13

14 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE i c) nel caso generale di stato di tensione biassiale, relativo alle tensioni,, τ x y τ xy Nel caso di stato di tensione piano, l espressione della tensione ideale risulta: x + y x y i = ± + τ xy Aerospaziali 14

15 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE d) Rapporto U τ U Nel caso di semplice torsione o taglio ( x = y = 0 ), la precedente relazione diventa: = τ i xy La condizione critica si raggiunge per = τ = τ = τ i xy MAX U Aerospaziali 15

16 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE NORMALE Poiché = i U si ricava = = τ i U U τ U U = 1 Aerospaziali 16

17 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE a) Ipotesi di rottura Per qualsiasi stato di tensione, si verifica il cedimento del materiale in un punto qualora il valore della massima tensione tangenziale raggiunga in esso il valore della tensione limite. τ U Aerospaziali 17

18 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE i b) nel caso generale di stato t di tensione triassiale Nel caso di stato di tensione triassiale si ha la seguente situazione: La condizione critica si verifica se τ = = MAX τ U 3 2 τ MAX 1 Aerospaziali 18

19 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE Nel caso monodimensionale si ha 1 oppure. Poiché dal cerchio di Mohr si ricava τ MAX τ = MAX 1 2 Ponendo = i lo stato di crisi è espresso dalla relazione = 2 i τ MAX = τ U Di conseguenza l espressione della tensione ideale valida nel caso generale è i = 1 3 Aerospaziali 19

20 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE i c) nel caso generale di stato di tensione biassiale, relativo alle tensioni,, τ x y τ xy Nel caso di stato di tensione piano l espressione della tensione ideale risulta: i ( ) 2 τ 2 = + x y 4 xy Aerospaziali 20

21 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE d) Rapporto U τ U Nel caso di semplice torsione o taglio ( x = y = 0) la precedente relazione diventa: = 2 i τ xy La condizione critica si raggiunge per = 2 τ = 2τ = 2τ i xy MAX U Aerospaziali 21

22 TEORIA DELLA MASSIMA TENSIONE TANGENZIALE Poiché = i U si ricava U = 2τ U U τ U = 2 Aerospaziali 22

23 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE a) Ipotesi di rottura Per qualsiasi stato di tensione, si verifica il cedimento del materiale in un punto qualora il valore della massima deformazione principale (positiva o negativa) raggiunga in esso un valore limite. Aerospaziali 23

24 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE i b) nel caso generale di stato t di tensione triassiale Nel caso di stato t di tensione triassiale i si ha la seguente situazione: La condizione critica si verifica se 1 ε 1 = 3 = E 1 ε 3 = 3 ν ( ) = ε E [ 1 ν ( 2 + )] εu [ ] U a trazione a compressione dove ν è il Coefficiente di Poisson ed E è il Modulo di Young del materiale. Aerospaziali 24

25 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE Nel caso monodimensionale i si ha oppure. Di conseguenza: 3 i U ε MAX = = εu = E E 1 Confrontando le precedenti relazioni, l espressione della tensione ideale valida nel caso generale è ( ) = + i 1 ν ν 1 2 ( ) = + i a trazione a compressione Aerospaziali 25

26 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE i c) nel caso generale di stato di tensione biassiale, relativo alle tensioni,, τ x y τ xy Nel caso di stato di tensione piano l espressione della tensione ideale risulta: + i = ( ) x y ( ) x y 2 ν ± 1+ ν τ 1 xy 2 Aerospaziali 26

27 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE d) Rapporto U τ U Nel caso di semplice torsione o taglio ( x = y = 0) la precedente relazione diventa: = 1+ν τ i ( ) xy La condizione critica si raggiunge per i ( 1+ ν ) τ ( ) ( ) xy = 1+ ν τ MAX = ν τ U = 1+ Aerospaziali 27

28 TEORIA DELLA MASSIMA DEFORMAZIONE Poiché = i U si ricava = = 1+ i U ( ν ) τ U U τ U = 1+ ν Aerospaziali 28