Criteri di rottura per materiali ortotropi

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1 Criteri di rottura per materiali ortotropi Per i materiali ortotropi occorre ovviamente tenere in conto dell anisotropia. La resistenza di ogni singola lamina dipende dalla direzione di applicazione del carico. Se i parametri di rottura erano solo degli scalari, caratteristici dei materiali (resistenza a trazione e resistenza a compressione, molto spesso coincidenti), nel caso dei materiali ortotropi i parametri di rottura sono dei vettori. Un laminato si considera "rotto" quando si verifica la rottura della prima lamina. Ciò fisicamente non è esatto, in quanto è possibile che l aliquota di carico che veniva assorbita dalla lamina rotta può ripartirsi sulle altre lamine, senza provocarne la rottura. In questo caso il laminato è ancora in condizione di assorbire il carico esterno. Universalmente, però, si accetta il criterio della "rottura della prima lamina". Se rientriamo a livello di lamina, i parametri di rottura sono 5:,,,,. Con X si intende l asse 1 della lamina; con Y si intende l asse 2; con il pedice t si intende "trazione"; con il pedice c si intende "compressione"; è la resistenza ultima a taglio. Nel caso di sforzo normale la direzione e verso sono molto importanti, la trazione non induce gli stessi fenomeni indotti dalla compressione. Nel caso del taglio non c è la stessa importanza: si tratta solo di una convenzione (ad es. il verso positivo è orario). oppure: 1

2 1 criterio: massimo sforzo Il criterio si scrive in questo modo, ricordando che gli assi 1,2 sono gli assi di ortotropia.. Il criterio si legge nel seguente modo non si arriva a rottura quando per una lamina unidirezionale tutti gli sforzi rispetto agli assi di ortotropia che siano a trazione o a compressione, sono inferiori contemporaneamente (cioè nell insieme) ai corrispondenti valori critici. Ciò deve valere per ogni lamina del laminato x,y. Si ricorderà che per passare da un sistema d assi x,y ad un sistema d assi 1,2, si può utilizzarla matrice di trasformazione, funzione di seni e coseni dell angolo : Si ricorda che: Che si può usare anche nella forma (, quanto valgono. Valutiamo ora in caso di presenza di sola Supponiamo di essere in condizioni di trazione e scriviamo il criterio di rottura: 2

3 Queste condizioni debbono valere contemporaneamente; il che significa che: ; ; (equazione 1) Nel caso di compressione, si potrebbe scrivere la stessa cosa, con l accortezza di usare i giusti parametri di rottura. Se riportiamo in un grafico l equa zione 1in funzione di,otteniamo 3 curve distinte. La zona di sicurezza è quella tratteggiata in figura 1. B A θ Fig.1 2 criterio: della massima deformazione Consiste nelle seguenti relazioni: 3

4 Applichiamo le leggi costitutive in campo lineare elastico: Ricordando che sostituendo nelle precedenti si ottiene: Ricordando inoltre che: sostituendo si ottiene: 4

5 Si ottiene: Che devono essere rispettate contemporaneamente. Si arriva ad ottenere curve molto simili alle precedenti, con, con una migliore (anche se di poco) approssimazione rispetto ai dati sperimentali. I due criteri coinciderebbero qu alora Altri criteri di rottura In analogia con i criteri sviluppati per i materiali isotropi, anche per i materiali orto tropi sono stati sviluppati dei criteri di rottura di tipo "energetico", dove si tiene in conto delle diverse componenti del tensore degli sforzi e del tensore delle deformazioni. Tali criteri ( Tzai- Wu; Tzai- Hill; Tzai- Hann) sono stati sviluppati sia per casi 3D, che per casi 2D. Si riporta, a titolo esemplificativo, il criterio di interazione quadratica di Tzai- Wu, sviluppato in campo bidimensionale. Tzai e Wu hanno formulato il seguente criterio: prese in considerazione le componenti 2D del tensore degli sforzi e delle deformazioni, esiste una superficie limite per la rottura, descritta della seguente equazione di crisi: con i, j = 1,2 e 6 e sono tensori di resistenza caratteristici del materiale in oggetto, rispettivamente del 2 e del 4 ordine. Per quanto complessa, questa formulazione 5

6 può essere applicata tranquillamente anche a problemi 3D, considerando tutti gli accoppiamenti i, j = 1,2 6. Il termine lineare serve per tenere in conto del segno degli sforzi normali, mentre quello quadratico corrisponde a un elissoide. Sviluppiamo la formula implicita: Possiamo apportare molte semplificazioni:,, e sono nulli in quanto il segno delle tensioni tangenziali non ha nessuna influenza. Restano da determinare 6 coefficienti, tra cui quello nuovo di accoppiamento. Ad eccezione di quest ultimo, tutti possono essere determinati mediante prove uniassiali. Prendiamo, per esempio, il caso di trazione semplice lungo l asse 1, si ottiene: (1) operiamo ora con una compressione, ancora lungo l asse 1, si ottiene: (2) Avendo un sistema di 2 equazioni in 2 incognite posso ricavare e : Posso procedere analogamente lungo l asse 2, ottenendo così (per rotazione degli indici): Da una prova di taglio puro ottengo 6

7 Debbo ancora ricavare. Per fare ciò debbo eseguire una prova di carico biassiale, con diversi da zero. Possiamo fare la prova, ponendo. In questo caso si ottiene: Come si vede, teoricamente il sistema è risolubile. Il difficile è proprio la parte sperimentale, con carico su due assi perpendicolari, crescente con una stessa legge. Come si procede? Utilizzando la teoria classica del laminato, otteniamo le deformazioni del laminato stesso. Poiché tutte le lamine devono rimanere connesse, anche le lamine hanno le stesse deformazioni del laminato. Operando in modo inverso, dalle deformazioni di ogni lamina risalgo agli sforzi su ogni lamina, rispetto ai suoi assi di ortotropia, poi applico il criterio di rottura e verifico che ogni lamina non si rompa. Per concludere si accenna solo al fatto che esistono dei criteri di rottura semplificati, che tengono in conto delle componenti interlaminari (. Per alcuni casi particolari l applicabilità di tali criteri è buona e abbastanza significativa. Il problema più grosso è la corretta determinazione dei valori ultimi degli sforzi interlaminari, sia a sforzo normale che a sforzo tangenziale. 7