1) Descrivere il tensore degli sforzi di Cauchy

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1 1) Descrivere il tensore degli sforzi di Cauchy Il tensore degli sforzi di cauchy è una matrice 3x3 contenente i valori delle tensioni interne ad un solido definito come tetraedro di cauchy, raffigurante gli stati di sforzo normali e tangenziali alle facce del solido analizzato. Il tensore degli sforzi si ricava imponendo l equilibrio alla traslazione, deducendo che il tensore degli sforzi è simmetrico e alla rotazione del tetraedro, deducendo così che lo sforzo è caratterizzato da sole 6 componenti indipendenti. 2) Spiegare la natura matematica del legame tra spostamenti e deformazioni quando gli spostamenti sono piccoli Considerare che i cambiamenti di configurazione siano piccoli permette di confondere la posizione corrente del punto materiale con quella che esso occupava nella posizione iniziale. Posto u " = u + u dx dove u rappresenta la traslazione rigida, u = )* il tensore gradiente di spostamento che è possibile scomporre nelle parti simmetrica e asimmetrica: ε = 1 2 ( u + 0 u ) )+ ω = 1 2 ( u 0 u ) 3) Discutere le equazioni di equilibrio indefinite per il continuo, accennando a come vengono ottenute. Le equazioni indefinite di equilibrio per un continuo vengono introdotte per il calcolo del tensore degli sforzi di Cauchy. La prima impone l equilibrio alle traslazioni: R = 0 σ 9 da ; σ ; da ; σ da σ = da = + bdv = 0 dove i segni meno indicano che gli assi principali sono entranti nel solido considerato e le forze di volume sono trascurabili perché di ordine di infinitesimo maggiore. La seconda equazione impone l equilibrio alle rotazioni: dx = x ; : σ = da = 3 σ dx = =da da 3 = 0 Considero soltanto questi due sforzi dato che sono gli unici che forniscono momento non nullo sul solido considerato. Ma, escludendo le sigma, le restanti parti indicano il volume dv sul quale agiscono le sigma. 4) Discutere i valori limite del coefficiente di Poisson Il coefficiente di Poisson rappresenta il rapporto tra la deformazione trasversale e la deformazione assiale, a meno del segno. ν = ε C ε + Il coefficiente di Poisson varia tra 1 ν ; che sta ad indicare che i materiali restano stabili anche quando, allungando la barretta, questa subisce anche una dilatazione.

2 5) Indicare come si ricava la relazione tra le costanti elastiche E e G e il coefficiente di Poisson. Spiegare sotto quale ipotesi queste costanti sono legate tra loro da tale relazione. Esplicitando la relazione tra una generica componente di sforzo T e lo scorrimento angolare omologo, partendo dall equazione di legame diretto τ +C = G φ +C e inverso φ +C = ν H IJ. Confrontando le due si ottiene G = K K (;MN) 6) Descrivere l analogia idrodinamica utilizzata per la soluzione di problemi complessi di torsione. Indicare per quali sezioni è possibile ottenere informazioni dalla distribuzione di tensioni tangenziali a partire da tale analogia. Le equazioni che consentono di determinare il campo di velocità di ν x, y del fluido sono: div ν x, y = 0, rot ν x, y = const. in A ν n = 0 su da in funzione delle componenti cartesiane ν +, ν C si scrive esplicitamente: ν + x + ν C y = 0 ν C x ν in A, ν + n + + ν C n C = 0 su + y = K è immediato constatare che le precedenti equazioni siano formalmente analoghe a quelle che governano il calcolo delle tensioni tangenziali nella sezione di un prisma di Saint. Venant soggetto a torsione. 7) Prendendo spunto dalla costruzione del cerchio di Mohr definire gli sforzi principali negli stati piani di sforzo Gli sforzi principali sono quelli identificati da vettori sforzo diretti come n, ovvero la normale alla superficie sulla quale agiscono gli sforzi stessi. Nel cerchio di Mohr identificato dalla circonferenza di raggio R = visualizzare gli sforzi principali. [ \\ ][^^ + σ; e centro in C = [ \\M[^^, 0 è possibile 8) Spiegare come sia possibile ottenere la relazione Diretta che esprime gli sforzi in funzione delle deformazioni, a partire da quella Inversa che esprime le deformazioni in funzione degli sforzi Analizzando i materiali isotropi, ovvero quelli che rispondono in egual modo agli sforzi indipendentemente dalla direzione di applicazione, è possibile ricavare un legame tra gli sforzi applicati e le deformazioni subite dai materiali stessi. Per definire la forma diretta e inversa, ω deve essere una forma quadratica omogenea. Il comportamento elastico lineare di un materiale isotropo è definito da 2 costanti elastiche indipendenti, le costati di Lamè

3 λ e G per cui: w ε = ; (λ + 2G) I ; 2G I. Esplicitando le equazioni di legame e calcolando le derivate si ottiene il legame diretto per i materiali isotropi: σ = λ tr ε I + 2Gε Dove G rappresenta il rapporto tra un generico sforzo tangenziale e uno scorrimento angolare, e viene definito modulo di taglio o elasticità tangenziale. Per definire la forma inversa faccio uso delle costanti ingegneristiche E, ν rispettivamente Modulo di Young e coefficiente di Poisson, da cui si ottiene ε = ; ν trσ I ν σ K 9) Come si individuano gli assi principali di inerzia di una sezione Date x, y e (n, t) due coppie di assi ortogonali nel piano, con origine in comune e ruotate di un angolo α(giacitura) positivo se antiorario che trasporta x su n, (n,t) si dicono assi principali di inerzia per la sezione considerata se il momento centrifugo J 9i = 0, cioè quando tan 2α = ]m IJ m I ]m J 10) Spiegare la differenza tra uno sforzo normale e uno tangenziale Gli sforzi normali sono sforzi agenti perpendicolarmente alle superfici ortogonali alle direzioni principali. Le componenti che agiscono parallelamente alle stesse superfici sono dette sforzi tangenziali. 11) Descrivere la formula di Jourawski per la distribuzione degli sforzi dovuti al taglio in una sezione compatta simmetrica e simmetricamente caricata La formula di jurawsky τ no = 0pqq rm fornisce il valore esatto delle tensioni tangenziali medie agenti normalmente alla generica corda che taglia la sezione. Il valore medio viene calcolato sfruttando le considerazioni di equilibrio mentre la determinazione del valore puntuale della τ no richiederebbe l utilizzo di tutte le equazioni governanti del problema in esame (Equilibrio Congruenza Legame). S rappresenta il momento statico rispetto all asse della sezione, T è il valore del taglio sull elemento di cui analizzo la sezione, b è lo spessore della parete e J è il momento d inerzia torsionale. 12) Descrivere la differenza fra piccole deformazioni e deformazioni logaritmiche La differenza tra piccole deformazioni e deformazioni logaritmiche dipende dalla scelta della misura della deformazione della barretta presa in esame. Nel caso di piccole deformazioni si considera l allungamento unitario: ε = L L u Nel caso di deformazioni logaritmiche, dove le misure sono caratterizzate dall essere nulle solo nel caso in cui non ci sia variazione di lunghezza, si avrà: v dl w ε v = = ln L L L u v y

4 13) Descrivere il criterio di resistenza di Galileo e darne la rappresentazione nel caso di stati di sforzo tridimensionale e piano Il criterio di resistenza di Galileo assume come grandezza indice del pericolo lo sforzo normale agente su una generica superficie passante per il punto del solido in esame. La formula che esprime il criterio è: σ { σ n σ i ed essendo n un tensore questa relazione vale per ciascuna delle 3 componenti σ, σ, σ Nello spazio degli sforzi principali tali disuguaglianze definiscono un cubo non centrato nell origine se σ { σ i. Il dominio degli sforzi ammissibili nel caso di stato piano di sforzo σ = 0 si semplifica in un quadrato. 14) Spiegare, se esiste, qual è il legame tra gli sforzi tangenziali e la deformazione volumetrica Considerando il tensore delle piccole deformazioni ε gli autovalori individuano le direzioni principali di deformazione. Sfruttando la proprietà delle direzioni principali di deformazione è semplice calcolare la variazione di volume specifica di un generico elemento del corpo. Siano dx, dx, dx le lunghezze degli spigoli del parallelepipedo. Il volume iniziale dell elemento è dv u = dx dx dx. A deformazione avvenuta la variazione di volume specifica è espressa dalla formula: ~]~ y ~ = ε ;; + ε + ε == = div u 15) Scrivere l'equazione indefinita che lega il carico q(x) a T(x) e M(x) Le equazioni che legano il carico al taglio e al momento sono utilizzate per il calcolo delle reazioni interne alle strutture che analizziamo. Nel caso di carichi distribuiti è possibile identificare le due equazioni generali: T x = q u x, lineare M x = q u x +, quadratico 16) ln che condizioni vale la formula di Von Mises per gli sforzi dovuti ad un momento torcente e indicare il significato dei termini della formula Il criterio di Von Mises assume come grandezza indice del pericolo dello sforzo l energia di distorsione per unità di volume. Il criterio viene applicato a materiali con comportamento elastico lineare. Dato ω = ; σ ƒ ε ƒ, potenziale elastico il criterio si traduce nella diseguaglianza ω ~ ω ~u con ω ~u valore limite dell energia di distorsione ammissibile per il materiale. Nel caso di tipo trave la disuguaglianza si traduce in σ ƒ~ = σ + 3τ

5 17) Introdurre la nozione di stabilità dell'equilibrio e calcolare il P cr Per un asta compressa la configurazione rettilinea è sempre di equilibrio ma rischia di essere instabile se il carico è eccessivo. Per questo motivo è necessario verificare la stabilità della configurazione in presenza di forze di compressione. L equilibrio può essere di tre tipi: Stabile: Se dopo la perturbazione torno nelle condizioni iniziali (Componente Stabilizzante) Instabile: Se dopo la perturbazione non torno nelle condizioni iniziali (Componente Instabilizzante) Indifferente: non sono presenti né componenti stabilizzanti né instabilizzanti. Per calcolare il carico critico si utilizza un approccio perturbativo: P { = dove k φ è il ˆ momento di richiamo, e l è la lunghezza dell asta con cui calcolo il momento destabilizzante l sin φ P 18) ln un legame costitutivo lineare, isotropo e omogeneo una variazione di una componente normale di sforzo provoca una variazione della pressione isotropa? E del deviatore di sforzo? Lo sforzo σ agente in un generico punto è sempre scomponibile nella somma di un sforzo di tipo isotropo pi e di un secondo contributo S detto sforzo deviatorico. p = 1 3 (σ + σ + σ ) è detta pressione isotropa, quindi dalla relazione appena scritta possiamo vedere che una variazione di una qualsiasi delle componenti normali implica una variazione della pressione isotropa. [ \\ ][^^][ σ ; σ ;= Il deviatore di sforzo è definito come S = = [^^][ σ \\ ][ ; = σ =; σ = [ ][^^][ \\ = quindi anche da qui è possibile rilevare la variazione del deviatore di sforzo al variare si una qualsiasi delle componenti normali. 19) Descrivere il comportamento dei materiali oltre il tratto elastico Per caratterizzare il legame costitutivo di materiali metallici quali l acciaio, in regime monoassiale si ricorre tipicamente a prove di trazione semplice su barre. Superata la prima fase detta elastica lineare limitata da un valore di sforzo σ u detto di snervamento, la lunghezza della barretta aumenta bruscamente pur non variando il carico applicato. Al termine di questa fase, per produrre ulteriori incrementi di deformazione, è necessario aumentare lo sforzo oltre σ u. Questa fase detta incrudente è caratterizzata da una totale mancanza di linearità tra sforzi e deformazioni e il comportamento del materiale risulta irreversibile. La fase incrudente è l ultima prima della rottura del provino. σ =

6 20) Descrivere la flessione retta Dato un prisma i cui carichi applicati sulle basi abbiano risultante nulla ma con momento attorno ad uno degli assi principali di inerzia diverso da 0, l unica caratteristica di sollecitazione agente sul prisma è il momento flettente. Nell ipotesi di sforzo caratterizzato da una unica componente non nulla σ n, e in assenza di forze di volume l equazione di equilibrio indefinito )H I )+ + )H J )C + )[ )n = 0 è soddisfatta per le ipotesi, essendo σ n indipendente da z. Anche le deformazioni prodotte da σ n sono funzioni lineari della posizione e soddisfano le condizioni di congruenza interna. Lo stato di sforzo del prisma risulta dunque caratterizzato da: σ n = M + y J + 21) Centro di taglio σ + = σ C = τ +C = τ n+ = τ nc = 0 Il centro di taglio è il punto per il quale passa la retta di applicazione del taglio affinché la torsione geometrica del prisma sia nulla. Per determinarlo si impone che le caratteristiche di sollecitazione di taglio e di torsione siano Energeticamente ortogonali nel senso che gli sforzi prodotti dall una compiano globalmente un lavoro nullo per le deformazioni prodotte dall altra. 22) Formula di Bredt La formula di Bredt serve a determinare, con buona approssimazione, le tensioni tangenziali in un profilo sottile chiuso soggetto a torsione alla st.venant. M i τ n s = 2A o b(s) dove M è il momento torcente, A o rappresenta l area racchiusa nel profilo medio della sezione, e b rappresenta lo spessore della parete considerata. 23) Come si estende la costruzione del cerchio di Mohr nel caso tridimensionale La costruzione grafica del cerchio di Mohr ottenuta da una sola coppia di sforzi principali può essere proposta negli altri due piani principali, ottenendo in tal modo 3 cerchi che intersecano l asse σ in σ, σ, σ. Le coordinate dei punti di ciascun cerchio forniscono le componenti dello sforzo agente su una superficie passante per il punto in esame e parallela a una delle 3 direzioni principali. Si può dimostrare che le componenti normale e tangenziale del vettore sforzo agente su una superficie di giacitura generica definiscono i punti appartenenti alla regione del piano di mohr compresa fra i 3 cerchi detta Arbelo di Mohr.

7 24) Spiegare il significato di deformazione tangenziale Considerato il tensore delle piccole deformazioni ε le componenti a indici diversi sono pari a metà degli scorrimenti angolari fra le fibre inizialmente dirette come una coppia di assi coordinati, quindi le azioni tangenziali comportano una rotazione delle fibre del mio campione. 25) Scrivere la relazione tra deformazione volumetrica e pressione isotropa Essendo la deformazione volumetrica espressa dalla formula ~]~ y = ε ~ ;; + ε + ε == e avendo definito la pressione isotropa come p = ; (σ = + σ + σ ) posso osservare che la variazione di volume subita da un volumetto è proporzionale alla pressione isotropa agente sul volume stesso esseno ε ƒ = ; K σ ƒ. 26) Differenza tra i criteri di tresca e Von Mises nel caso piano Il criterio di Tresca assume come G.I.P. l intensità dello sforzo tangenziale che si traduce in τ o + τ u. Per esprimere tale disuguaglianza in termini di sforzi principali si può ricordare che nel piano di Mohr le componenti normali e tangenziali agenti su una superficie corrispondono ai punti del cosiddetto arbelo di Mohr identificando un esagono. In definitiva l insieme di disuguaglianze che definisce il criterio di tresca in termini di sforzi principali si scrive: σ u σ σ σ u σ u σ σ σ u σ u σ σ σ u Nel particolare caso di analisi di una trave il criterio di Tresca si traduce in σ ƒ~ = σ + 4τ Il criterio di Von Mises utilizza l energia di distorsione per unità di volume, la relazione si traduce in ω ~ ω ~u ed è possibile fare le medesime osservazioni relative al cerchio di Mohr identificando tuttavia un ellisse. In termini di sforzi principali: 1 2 σ σ + σ σ + σ σ σ u Nel particolare caso di analisi di una trave il criterio di Von Mises si traduce in σ ƒ~ = σ + 3τ