Elettronica dello Stato Solido Lezione 3: La radiazione di corpo. Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

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1 Elettronica dello Stato Solido Lezione 3: La radiazione di corpo nero Daniele Ielmini DEI Politecnico di Milano

2 Outline Crisi della fisica classica Radiazione del corpo nero Effetto fotoelettrico Diffrazione da particelle Conclusioni D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3

3 Limiti della fisica classica Oggi sappiamo che le leggi della fisica classica (e.g. equazioni di Newton, di Maxwell) non sono adatte a descrivere la fisica dell ultrapiccolo: qui abbiamo bisogno della meccanica quantistica Analogia con la teoria relativistica per l ultraveloce Entrambe sono teorie generalizzate che includono la meccanica classica come limite alle grosse dimensioni/basse velocità Nuova costante universale: h (costante di Planck) simile a c (relatività) Ma la meccanica classica non si rivela necessariamente solo andando nell ultrapiccolo, ci sono alcune manifestazioni macroscopiche come la radiazione di corpo nero e l effetto fotoelettrico D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 3

4 Storia di una rivoluzione Attorno al , queste osservazioni erano rompicapi che menti come Planck ed Einstein alla fine risolsero battendo la strada per la teoria quantistica Questa fu sviluppata negli anni -3 da Schrödinger e Heisenberg D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 4

5 La radiazione termica Radiazione termica (RT) = radiazione elettromagnetica emanata da un corpo a temperatura T RT dipende da T: RT occupa più alte frequenze e più corte lunghezze d onda all aumentare di T Bassa temperatura: i corpi sono visibili per riflessione/diffusione Alta temperatura: i corpi emettono luce propria, e.g. filamento a K, o ferro incandescente La RT viene sfruttata nei pirometri per misure di T (e.g. una stella, o il corpo umano) D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 5

6 Il corpo nero Lo spettro della radiazione dipende dalla composizione della superficie del corpo Caso speciale è quello di corpi che assorbono tutta la radiazione incidente: questi corpi appaiono neri quando la loro temperatura è bassa Per i corpi neri, la RT ha carattere universale A causa di questo carattere universale, questi corpi sono stati oggetto di intenso studio D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 6

7 Esempi di corpi neri Oggetti con colorazione nera/scura Il sole, le stelle e l universo Corpi neri per esperimenti pratici: cavità con una piccola apertura: una volta che la luce vi entra, è molto difficile che riesca a uscire. In altre parole, tutta la radiazione incidente è assorbita l apertura ha le proprietà del corpo nero D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 7

8 Radianza spettrale di un corpo nero R T (ν)dν = radianza spettrale = energia emessa per unità di tempo, per unità di area della superficie di un corpo a temperatura T, nell intervallo di frequenze da ν a ν+dν 1 ] R T (ν) [Wm - Hz -1 7,E-5 6,E-5 5,E-5 4,E-5 3,E-5,E-5 1,E-5,E+ x x 1 K x 1E+14 E+14 ν [Hz] 15 K K Legge di Wien: ν max T D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 8

9 Radianza e legge di Stefan R T = radianza = T = T ( ) R R ν dν Legge di Stefan (1879): R T = σt 4 Costante di Stefan-Boltzmann σ=5.67 x 1-8 Wm - K -4 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 9

10 Radiazione elettromagnetica Frequenza ν [Hz] Lunghezza d onda λ [m] Relazione: λν = c 1,5 1 λ t= fs,5 -, Posizione x [nm] -1-1,5 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 1

11 Teoria del corpo nero Cavità all equilibrio a temperatura T delle pareti La radiazione uscente dall apertura è un campione della radiazione termica nella cavità Possiamo definire una densità di energia di radiazione termica, data da ρ T (ν) R T (ν) Descrizione della black-body radiation (BBR) è possibile studiando la RT nella cavità D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 11

12 Cavità all equilibrio termico Le pareti emettono RT a seguito del moto accelerato di portatori RT nella cavità può essere descritta da onde stazionarie, cioè con il campo elettrico costantemente nullo sulle pareti D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 1

13 Numero di onde stazionarie Consideriamo una cavità 1D virtuale con lunghezza = a Ci sono solo modi discreti con lunghezza d onda data da : λ/ = a λ = a 3λ/ = a λ=a/n oppure ν = n = c n a 1,, ,5 1, ,5-1 -1,5 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 13

14 Onde stazionarie 1D D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 14

15 Numero di modi in 1D Valori permessi di frequenza in 1D: c/a Nota: ogni punto corrisponde a due modi, associati alle due polarizzazioni trasversali del campo elettrico Quanti modi per Hz? Due per ogni c/a a N( ν ) dν = dν c ν D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 15

16 Onde stazionarie D Funzioni che descrivono oscillazione di membrana stazionaria: E(x,y,t) = E sink x x sink y y sinωt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 16

17 Modi stazionari D E = E sink x sink y sinωt = E = E = E = E ( ik x ik x )( ik y ik y e e e e ) x x x y y sinωt 4 i( kxx+ kyy ) i( kxx kyy ) i( kxx kyy ) i( kxx+ kyy ) e e e + e 4 cos ( k + ) cos ( ) xx kyy kxx kyy cos cos ' ( kir ) ( kir ) Come si determina ω? y sinωt sinωt sinωt k k D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 17 k y -k y k x

18 Numero di modi in D Valori di frequenza permessi in D: composizione di radiazione x e y, con λ x =a/n x e λ y =a/n y Vettore d onda k = k x + k y, modulo k = (k x +k y ) 1/ Il vettore d onda e la frequenza risultanti sono: π π k = = λ n x y a + n c kc c nx + ny cn ν = = = = λ π a a D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 18

19 Numero di modi in D Quanti modi tra ν e ν +dν? Sono N(ν)dν = N(n)dn, dato dal numero di nodi nella corona circolare tra n = (n x +n y ) 1/ e n+dn Area dello shell = πndn, la densità di modi è (polarizzazioni) in ogni cella unitaria n y n x πn N( n) dn = dn 4 a a n = ν, dn = dν c c a N( ν) dν = π νdν c D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 19 Solo ν positivi!

20 Numero di modi in 3D Lo stesso, ma considerando un guscio sferico tra n = (n x +n y +n z ) 1/ e n+dn Volume della shell = 4πn dn, densità di modi = (polarizzazioni) in ogni cella (cubo) unitario n x n z n y 4π n N( n) dn = 8 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 dn a a n = ν, dn = dν c c 3 a N d d ( ν) ν = π ν ν c Solo ν positivi!

21 Normalizzazione sul volume 1D N( ν ) dν = dν [m -1 ] c D N( ν) dν = π νdν [m - ] c 3D N( ν) dν = π ν dν [m -3 ] c e la densità di modi in 4D? 3 D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 1

22 Energia media per modo Abbiamo ricavato la densità di modi per unità di volume tra ν e ν +dν Per calcolare la densità di energia dobbiamo assegnare un energia media per modo Fisica classica: principio di equipartizione dell energia. Ad esempio, in un gas ogni atomo ha, in media, un energia cinetica pari a kt/ per grado di libertà 3kT/ per un gas mono-atomico Il singolo modo RT ha due gradi di libertà (campo magnetico + elettrico, o equivalentemente energia cinetica + potenziale dell oscillatore armonico) <E> = kt k = costante di Boltzmann = 1.38 x 1-3 JK -1 Fisica classica ogni modo ha la stessa energia indipendentemente dalla sua frequenza D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3

23 Principio di equipartizione x mv x mv 1 mv x mv kt kt x mv xe dv x e d kt kt x kt mv x mv x kt mv kt x e dv x e d kt 1 < mv >= = η 1 η η η η d + d η η e dη e e e dη = kt = kt = kt = η η η e dη e dη e dη kt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 3

24 Formula di Rayleigh-Jeans Densità di energia = densità di modi x energia media 1 ] ρ T (ν) [Jm -3 Hz -1 3 T( ) d N( ) E d ktd ρ ν ν = ν < > ν = π ν ν c,e-5 1,5E-5 1,E-5 5,E-6 RJ Catastrofe ultravioletta fisica classica è incapace di spiegare la BBR BBR misurata,e+ 1E+14 E+14 ν [Hz] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 4

25 Dov è l errore? Energia media Il principio di equipartizione deriva dalla distribuzione di Maxwell-Boltzmann: all equilibrio termico, la probabilità per un entità (e.g. un atomo in un gas o un oscillatore in una cavità) di avere energia tra E ed E+dE è: ( ) Quindi <E> è: (equipartizione) 1 P E de = e kt E kt EP( E) de E 1 < >= = kt = kt P( E) de E Ee de kt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 5

26 Postulato di Planck Planck osservò che, se <E> non fosse costante (e.g. kt) ma variasse con la frequenza, la BBR potrebbe essere riprodotta A bassa frequenza: <E> = kt (limite classico) Ad alta frequenza: <E> Come possiamo ottenere questo risultato? Quantizzazione dell energia Invece di assumere un continuo di E, Planck postulò che E = n E, n = 1,, 3, D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 6

27 Energia media classica,5e+18,e+18 1,5E+18 Ee E kt 1,E+18 5,E+17,E+ kt,5,1,15,,5 E [ev] 1 < E >= Ee de kt E kt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 7

28 Energia media quantistica: piccolo E,5E+18,E+18 1,5E+18 Ee E kt 1,E+18 5,E+17 E = n E,E+,5,1,15,,5 E [ev] L integrale è più o meno lo stesso del caso continuo D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 8

29 Energia media quantistica: grande E,5E+18,E+18 Ee E kt 1,5E+18 1,E+18 5,E+17 E = n E,E+,5,1,15,,5 E [ev] L integrale è diverso, l area è minore del caso continuo l energia media <E> Per riprodurre la BBR (<E>=kT per piccola ν, <E>= per grande ν) dovremmo postulare E = hν E = nhν con n = 1,, 3, e h = costante di Planck D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 9

30 Energia media quantistica 1 La discussione precedente è solo qualitativa per rappresentare il ragionamento di Planck, vediamo l ipotesi con in numeri: < E >= EP( E) de EP( E) < E >= = P( E) n = n = E P( E) de n= n= nhν e nx nxe n= d = = log nx d = ν log nx dx n= dx n= n= x=hν/(kt) e kt ktx e h e e nhν kt nhν kt ( x ) n D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 3

31 Energia media quantistica x d 1 d ( x log log 1 ) e hν < E >= hν = hν e = hν = x x hν dx 1 e dx 1 e kt e 1 3,E- <E> [ev],5e-,e- 1,5E- 1,E- 5,E-3 Quantum Classical = kt,e+,5,1,15,,5 hν [ev] D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 31

32 Densità di energia La densità di energia quindi è data da: 3 h 8 h T( ) = ( ) < > = = hν 3 hν c c kt kt ν πν ν ρ ν dν N ν E dν π ν dν dν e 1 e 1 ρ T (ν) [Jm -3 Hz -1 ],E-5 1,5E-5 1,E-5 5,E-6,E+ RJ ν Planck 1E+14 E+14 ν [Hz] e h ν kt D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 3

33 Intepretazione della densità di energia La densità di energia può essere letta in un modo alternativo: densità di modi x energia del modo x statistica di occupazione Useremo lo stesso approccio per la densità di elettroni/lacune in metalli/semiconduttori 8πν hν ρt ( ν) dν = dν 3 hν c e kt 1 Energia del modo Densità di modi per unità di volume tra ν e ν+dν Numero medio <n> di fotoni che popolano il modo: distribuzione di Bose-Einstein D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 33

34 Note Calcolate la densità di energia spettrale per unità di lunghezza d onda, non frequenza Postulato di Planck: ogni entità fisica che può essere descritta da un oscillatore armonico (radiazione EM, vibrazione termiche nel reticolo, particelle confinate nel potenziale parabolico) può solo possedere un energia totale E = nhν Come vedremo in una delle prossime lezioni, l esatta legge di quantizzazione dell oscillatore armonico dice E=(n+1/)hν: cambia il nostro risultato? D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 34

35 Conclusioni La BBR causa un empasse nella comunità scientifica: le leggi classiche non possono spiegarla Il postulato di Planck basato sulla quantizzazione dell energia permette facilmente una spiegazione Risultato rivoluzionario che stimola la transizione ad una nuova era scientifica D. Ielmini Elettronica dello Stato Solido 3 35