Lezione L10. FISICA GENERALE II, Cassino A.A Carmine E. Pagliarone

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1 Lezione L1 1. div ;. Forma differenziale della legge di Ampere; 3. Forma differenziale della Legge di Faraday, 4. Corrente di spostamento; 5. Equazioni di Maxwell; 6. Potenziale alare, Potenziale Vettore; 7. Invarinza di Gauge dei Potenziali EM; 8. Equazioni d dondad donda EM in assenza ed in presenza di sorgenti di ampo; 9. Caratteristihe delle onde EM; 1. Pressione di Radiazione, Teorema di Poynting;

2 verso le Equazioni di Maxwell Le linee di Campo Magnetio sono hiuse pertanto il flusso magnetio attraverso una qualsiasi superfiie è sempre nullo. Φ nˆ da Φ n ˆ da V div dv

3 Legge di Ampere C dl 4π I ( A) nˆ da C A dl Teorema di tokes C dl 4π 4π ( ) nˆ da I J nˆ da 4π ( J ) nˆ da 4π J

4 FIICA GENERALE II, Cassino A.A. 4 Carmine E. Pagliarone Legge Legge di Faraday di Faraday dt d k Φ ε ( ) C n da dt d K dl E ˆ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )... ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ dl v n da t K n da v K n da t K n da v K n da t K n da v t K n da dt d K n da dt d K n da E dl E C C + + ( ) ( ) ( ) ( ) v v v v + + v t dt d

5 Legge di Faraday ε d k Φ dt C E dl K d dt ( ) nˆ da C E dl d dt ( ) ( ) E nˆ da K nˆ da K d dt nˆ da E + K d dt nˆ da E + 1 t

6 Forma Generale della Legge di Faraday Dal momento he un flusso he ambia nel tempo indue una orrente in un onduttore, io deve produrre un ampo elettrio he varia nel tempo. per un perorso hiuso: E dl dφ 5 Carmine Elvezio Pagliarone dt Forma Generale della Legge di Faraday Le Forze Elettrihe prodotte dal ambiamento di ampo magnetio non sono onservative. (il potenziale non puo essere definito) Per un Campo E dl Elettrostatio: Conservativo E V

7 Conservazione della Caria Dalla onservazione della aria elettria saturise he: I dq + dt dq d ( ρdv) ρ dt dt V V t I J d JdV V dv dq ρ I + J + dv dt V t vale indipendentemente dal volume V onsiderato ρ J + t Questa relazione esprime il Prinipio di Conservazione della Caria espresso in foma differenziale

8 verso le Equazioni di Maxwell E E + 4πρ 1 1 E t t 4π J ne mana anora una!

9 Legge di Ampere e Conservazione della Caria 4π J Legge di Ampere C ( C) ( ) 4π 4π J J J J + ρ t Legge di ontinuita Questa relazione è in ontraddizione on la onservazione della aria (legge di ontinuità) )! La Legge di Ampere non è pertanto ompleta a meno di volere rinuniare al Prinipio di onservazione della aria

10 Corrente di postamento (I) E 4πρ Legge di Gauss ρ J + t 4π 4π J + J J + t 1 4π E J + J J ' J + Legge di Ampere 1 4π E t 1 4π 1 4π E t E t J Legge di + 1 ρ t E t di ontinuita Eq.. di Maxwell 4π J

11 Corrente di postamento (II) J J + Verifihiamo he la Legge di Ampere on la orrente di spostamento verifia il teorema di ontinuità Gauss. 1 E 4π J t 1 E 4π J t ( ) 1 E 1 1 4π ρ ( E) ( 4πρ ) t t t t 4π 4π J J 1 4π E t 1 E 4π 4π ρ 4π J + + J t t ρ J + t La legge di Ampere generalizzata onserva pertanto la aria ontenendo al suo interno l Equazione di ontinuità.

12 1873: Trattato sull elettriità e sul magnetismo E 4πρ 1 E 4π t 1 E + t J Legge di Gauss Legge di Ampere Legge di Faraday Chiusura delle linee di ampo Magnetihe 1 E t Legge di J di ontinuita + ρ t Forza di Lorentz F 1 q( E + v )

13 Elettromagnetismo Classio Legge di Gauss del C. Elettrio ρ E ε Legge di Gauss del C. Magnetio E 4πρ Legge dell induzione di Faraday E t Legge di Ampere-Maxwell E µ J + ε µ t E t E t 4π J

14 Potenziale alare e Potenziale Vettore (I) Le Eq di Maxwell ostituisono un sistema di Eq. aoppiate alle derivate parziali del primo ordine he legano fra loro le omponenti dei ampi E e. La soluzione diretta di queste equazioni è possibile solo in situazioni partioli (es. assenza di sorgenti); Poihè per vale sempre he: : e poihè C ( C) allora può sriversi ome: A da ui segue, utilizzando l Eq. di Maxwell, he: e quindi 1 1 A E + E+ t t 1 A E + t è irrotazionale: 1 A E + Φ 1 A E Φ t t

15 Potenziale alare e Potenziale Vettore (II) Dalla Legge di Gauss si ha: E 4πρ E Φ Dalla Legge di Ampere generalizzata si ha: E 4 1 π 1 1 A 4π J ( A) Φ J t t t tenendo onto he 1 A 1 A E Φ 4πρ t t 1 Φ+ ( A) 4πρ t ( ( C ) ( C) C 1 A 1 Φ 4π A A+ J t t si ottiene: abbiamo osì ridotto il sistema di 4 Eq di Maxwell ( vettoriali e salari) ) ad un sistema aoppiato di Equazioni (1 salare e 1 vettoriale) ) del seond ordine ordine.

16 Potenziale alare e Vettore: Invarianza di gauge Le seguenti trasformazioni lasiano la forma i ampi invariati: + Λ ' A A A Φ ΦΦ ' 1 Λ t Trasformazioni di gauge Applihiamo simultaneamente alle definizioni di E e : A ' A+ Λ A ( ) ' ' ' 1 A 1 1 A 1 1 A E Φ Φ+ ( Λ) ( Λ ) Φ E t t t t t E E ' ' Le Eq. di Maxwell sono invarianti per TRAFORMAZIONI DI GAUGE L invarianza di Gauge è una simmetria profonda della Natura he i aiuta ad esplorare altre Interazioni Fondamentali ome l Interazione Forte e Debole e possibili altri stati della materia

17 Trasformazioni di gauge L Invarianza di Gauge è l invarianza dei vettori di ampo (E,) rispetto alla seguente Trasformazione di Gauge: ' 1 ( A, Φ ') A+ Λ, Φ Λ t E Questa invarianza i permette di segliere oppie arbitrarie di potenziali a patto he soddisfino la relazione di ui prima. La seguente trasformazione è una trasformazione di gauge: ' 1 Φ ( A, Φ') / A+ t ( A ) Λ Λ A Φ + Λ + Φ Λ + t t t t E pertanto suffiiente trovare la L he soddisfi l Eq. seguente: Λ + 1 Λ 1 A t t Altra trasformazione di gauge importante è la gauge di Coulomb o di radizione: A Φ E ' ' gauge di Lorentz

18 Le Equazioni d onda L Invarianza di gauge dell Elettromagnetismo i permette di disaoppiare le Eq.. per i potenziali: 1 Φ+ ( A) 4πρ t 1 A 1 Φ 4π A A+ J t t egliamo i potenziali nella gauge di Lorentz: 1 1 Φ 1 A 4π 4πρ A Φ+ ( ) J t t t 1 Φ A + t Abbiamo osì ridotto le Eq. di Maxwell in un sistema di Eq. differenziali alle derivate parziali del seondo ordine ompletamente equivalente alle Eq. di Maxwell: 1 Φ Φ 4πρ t π A J 1 A 4 t Φ 4πρ 4π A J E 1 A Φ t A

19 E Eq.. di Maxwell in assenza di sorgenti E 4πρ 1 E 4π t 1 E + t 1 + t J ( ( C ) ( C) C 1 E + t E 1 E t 1 E + t 1 ( ) 1 E E+ E+ t t 1 E t

20 Onde EM forma generale e soluzione 1 E E t 1 t 1 D D v t 1 H H v t D ε E H µ Φ 1 Φ v t 1 A A v t 1 A E Φ A t Ext (,) xt (,) ( ikx ϖ t) Ee ikx ( ϖ t) e Dxt (,) H( xt,) ikx ( ϖ t) De ikx ( ϖ t) He ikx ( ϖ t) Φ ( xt,) Φe ikx ( ϖ t) Axt (,) Ae E k ε E µ v εµ ε 1 µ k ϖ v

21 oluzioni delle Equazioni d onda (I) 1 Φ Φ t 1 A A t ( ikx ϖ t) Φ ( xt,) Φe ikx ( ϖ t) Axt (,) Ae k ϖ verifihiamo he queste sono le soluzioni per le Equazioni d onda: Φ ( xt,) Φexp i kx x+ ky y+ kz z t ( ϖ ) ( ) ( ) ikx ϖt iϖ t ikx ikx ( ϖt) Φ ( xt,) Φ e i Φ e ( kx + ky + kz ) e Φ k e x i 1,,3 i ikx ( t) i t ikx ( ) ikx ( t) e ϖ ϖ ϖ ϖ e e Φ Φ Φ ϖ e t 1 Φ ϖ ( ikx ϖ t) ϖ Φ Φ k e k t 1 A ϖ ikx ( ϖ t) ϖ A A k e k t Axt (,) A exp i kx x+ ky y+ kz z t ( ϖ ) QDE

22 oluzioni delle Equazioni d onda (II) 1 E E t 1 t Ext (,) xt (,) k ϖ ( ikx ϖ t) Ee ikx ( ϖ t) e 1 D D v t 1 H H v t D ε E H µ Dxt (,) H( xt,) ϖ k, v v verifihiamo he queste sono le soluzioni per le Equazioni d onda: ikx ( ϖ t) De ikx ( ϖ t) He εµ ikx ( ϖ t) Ext (,) Eke ikx ( ϖ t) xt (,) ke ikx ( ϖt) ikx ( ϖt) Ee ϖ Ee t 1 E ϖ ikx ( ϖ t) ϖ E E k e k t 1 ϖ ikx ( ϖ t) ϖ k e k t ikx ( ϖt) ikx ( ϖt) e ϖ e t QDE

23 Ortogonalità della terna E, e k ( ) ( ) ( ( ) ) Ei ikx ϖt ikx ϖt Ee E exp{ i kx+ k y+ kz ϖ t } ik Ee ik E x x x i i x y z j i j i j j j k E E E i Ext (,) ikiei ik Ext (,) x i 1,3 i i 1,3 ik Ext (,) k E k i xt (,) ikii ik xt (,) x i 1,3 i i 1,3 ik xt (,) k E E 1 E t E Ey z Ex Ez Ey E x E xˆ+ yˆ zˆ y z z x + x y ( ke ) ˆ ( ) ˆ y z ke z y x+ ke z x ke x z y+ ( ke x y ke y x) zˆ ik E 1 ϖ ϖ i E ik E+ i E e t t ϖ k E E QDE

24 Natura delle Onde Elettromagnetihe Poihe il ampo elettrio ed il ampo magnetio sono reati simultaneamente il risultato he si ottine e un onda EM ome quella desritta in figura. Le onde EM sono trasversali ioe E e e K sono ortogonali tra loro e formano una terna artesiana levogira.

25 Natura delle Onde Elettromagnetihe Campo elettrio v ε εµ 1 µ E k ε E µ k ϖ v Campo magnetio Direzione del Moto

26 Energia assoiata ai ampi statii Energia Elettrostatia: Energia Magnetostatia: Conservazione loale dell Energia Energia: w dv ' da ' V t A w densità di Energia per unità di volume; FLusso di Energia per unità di superfiie; In forma differenziale: EdV UE UM w + t ε 1 µ dv U UE + UM wdv w ε E + µ 1

27 Energia assoiata alle onde EM In presenza di arihe si avrà: N N N L F vi qe( E+ vi ) vi qe vi E qn e < v > E J E i 1 i 1 i 1 Prinipio di Conservazione dell Energia Energia: w dv ' da ' + EJdV ' V t A V In forma differenziale sriveremo: w + E J + t dove la soluzione per w e è: ε 1 1 µ µ w E + E

28 Teorema di Poynting: Conservazione dell Energia EM Prinipio di Conservazione dell Energia Energia: w w dv ' da ' + EJdV ' + E J + V t A V t dove 1 E µ è il vettore di Poynting: w la densità d energia: ε 1 µ w E + E M U U + U wdv

29 Quantità di moto: pressione di radiazione Le onde EM trasportano: Energia U; Quantità di moto; Pressione di Radiazione sui orpi investiti da una radiazione EM; 193 Esperimento di Nihols e Hull illuminando per un tempo t il sistema di spehi on una radiazione di energia U si avrà: uperfiie Assorbente M : uperfiie Riflettente M: p Il ilaniere inominia a ruotare. F 1-1 N U p U

30 La Radiazione EM trasporta energia La meania quantistia (QM) i die he per I fotoni: E hn Ma sappiamo he per qualsiasi onds: n /l Pertanto si ottine mettendole insieme: E h/l

31 pettro della Radiazione EM Riordiamoi he le onde EM viaggiano (nel vuoto) alla veloita Anhe note ome Onde Termihe,, originate Dai moti roto-vibratori delle moleole. Nulei Corpi inandesenti: : ole, lampade Transizioni EM, brusa deelerazione di elettroni

32 pettro della Radiazione EM Lunghezza d onda (m) Frequenza (Hz) Energia (ev) Radio 3 1 x x 1-7 Miroonde x x 1 6. x 1-5 Infrarosso 4 x x x 1-3 Visibile 5 x x 1.5 Ultravioletto 1 x x Raggi X 8 x x x 1 4 Raggi Gamma.5 x x x 1 5

33 Che Meraviglia!

34 Crab Nebula (Nebulosa( del Granhio) Radio (VLA) Infrarosso (Kek)

35 Crab Nebula (II) Ottio (Palomar) Raggi X (Chandra)

36 Finestra di Assorbimento pettrale dell Atmosfera Terrestre L Atmosfera terrestre e trasparente ( assorbe poo) alla lue visibile ed alle onde radio. L Atmosfera risulta invee opaa alle altre frequenze e radiazioni: Radiazioni Ionizzanti, Raggi X e Raggi Gamma; Gli UV sono assorbiti dall Ozono Ozono; Gli IR sono assorbiti dal diossido di arbonio e dal vapor aqueo; Eo perhe i vediamo

37 Assorbimento pettrale in Atmosfera

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