Matematica di Base - Ingegneria UniUD

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1 Geometria Analitica la retta Matematica di Base - Ingegneria UniUD

2 Dtanza fra due punti Osservando la figura accanto è facile dimostrare che la dtanza di due punti sul piano cartesiano è descritta da 1 P 2 Q

3 Dtanza fra due punti in particolare, per due punti di eguale ordinata: mentre, per due punti di eguale ascsa: P Q Q P 3

4 Dtanza fra due punti Nel caso in cui si conosce l equazione della retta passante per i punti P e Q, o quanto meno si conosce il coefficiente angolare m, vale la seguente equazione: PQ = ( 2 ) ( 2 ) 2 1 = 2 = = 1 Q P 2 1 = m 2 4

5 B 2 Coordinate del punto medio B M 2 M 2 A 2 1 A O 1 A 1 M 1 B 1 2 Siano A=( 1, 1 ), B=( 2, 2 ) ed M=(,). Seguendo la figura, in virtù del teorema di Talete sul piano, si dimostra che le coordinate del punto medio M sono espresse, rpettivamente, dalla semomma delle coordinate dei punti estremi. Infatti: 5

6 Punto che divide PQ secondo m/n B 2 B n 2 P 2 A 2 1 A m P O 1 A P 1 1 B 1 2 Sempre in base al teorema di Talete: un fascio di rette // intercetta su due trasversali, si dimostra che 6

7 Punto che divide PQ secondo m/n così come, con un secondo fascio di rette che intercettano le stesse trasversali, si ottiene una identica relazione per calcolare l ordinata del punto che divide il segmento PQ in parti che rultano proporzionali a m/n. 7

8 La Retta L equazione esplicita della retta viene indicata generalmente come: = m + q q mentre quella implicita è espressa da: 0 r 8

9 La Retta P C = m B A Un modo per ottenere l equazione della retta conste nell imporre che i suoi punti rultino allineati. 0 X A X B Y Y Y A B C X C In seguito, per una ulteriore generalizzazione, si può pensare a una traslazione verticale della retta Y = m + q (0,q) = m q 0 X 9

10 Rette notevoli del piano rette parallele all asse = k k rette parallele all asse = k k = le bettrici degli assi = ± = - 10

11 Rette di direzione particolare 11

12 Rette di direzione particolare 12

13 Rette parallele Si riconoscono dal fatto che hanno lo stesso coefficiente angolare = m+q = m 0 13

14 Rette perpendicolari Per il II teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo AOB si ottiene = m A ( ) ( ) A = 1;m H = 1;0 B = ( 1;m ) O H(1,0) B =1 = m* OH 2 = AH HB 1 = m m ( ) m m = 1 14

15 Fasci di rette m < m > 0 fascio proprio: m = 0 m = 2+q fascio improprio: O = 2 15

16 Traslazione di assi Sia XO'Y un stema di riferimento traslato rpetto al stema O. In tal caso si ha: Y X P Y a O' b X O 16

17 Dtanza dell origine O degli assi da una retta M H a + b + c = 0 = 0 M = 0; c b O d h N a + b + c = 0 = 0 N = c a ;0 17

18 Dtanza dell origine O degli assi da una retta M H OM = c b d h N ON = c a O MN = c a 2 + c b 2 = c2 a + c2 2 b = a 2 + b 2 2 c2 a 2 b 2 = c ab a 2 + b 2 pertanto: OM ON = MN OH OH = OH = c b c a = c a 2 + b 2 ab c ab c 2 ab a 2 + b 2 = OM ON MN c a 2 + b 2 18

19 Dtanza di un punto P da una retta Nel caso che il punto P non coincida con l origine degli assi cartesiani si può pensare ad una opportuna traslazione d assi con origine nel punto P 1 H 0 O1 P 0 1 o r 19

20 Dtanza di un punto da una retta In forma esplicita si possono fare le seguenti considerazioni: P =(;) o o = m + q H M O N D r 20

21 Equazione segmentaria della retta Si defince equazione segmentaria della retta quella sotto la forma: A(0,q) q O p B(p,0) dove p e q esprimono rpettivamente le intercette sugli assi. 21

22 Angolo fra due rette Siano r ed s due rette formanti rpettivamente gli angoli α e β con la direzione positiva dell asse delle. In tal caso α O γ β γ = m' + q' = m + q 22

23 Rotazione Sia XOY un stema di riferimento ruotato dell angolo α rpetto al stema O. Si ha: Y P α O β α M Q T R X 23