TEMI D ESAME: classi III

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1 TEMI D ESAME: classi III a.f Operatore del benessere Raccolta di esercizi, suddivisi per argomento, tratti dalle prove d esame a cura di A. Vaghi e G. Lorusso AFOL METROPOLITANA

2 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 2

3 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Sommario 1 Matematica Finanziaria Interesse Formulario... 5 Algebra Equazioni di primo grado Come si risolve un equazione di primo grado Equazioni di secondo grado Come si risolve un equazione di secondo grado Sistemi Come si risolve un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite Equazioni fratte Quando una frazione si annulla e quando perde di significato Disequazioni Geometria Euclidea Formulario di perimetri e aree Complementi Teorema di Pitagora Teorema di Pitagora Geometria Analitica Poligoni nel piano cartesiano Formulario Rette Cenni di teoria Parabole Cenni di teoria Problemi di calcolo Richiami di teoria Proprietà delle potenze Calcolo percentuale Equivalenze Quantità algebriche Calcolo delle Probabilità e Statistica Calcolo delle probabilità

4 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Cenni di teoria Esercizi Temi d esame Statistica e lettura dei grafici Statistiche principali Esercizi Temi d esame

5 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 1 Matematica Finanziaria 1.1 Interesse Formulario = 100 In = interesse maturato dopo n anni C = capitale t = tasso d interesse annuo n = numero di anni = = = M = C + I I = M - C C = M - I Le formule per il calcolo dell interesse presuppongono che il tempo sia espresso in anni. Qualora così non fosse, occorre prima di utilizzarle effettuare le seguenti proporzioni: se il tempo tm è espresso in mesi: = Se il tempo tg è espresso in giorni: = Domanda 2 Su un capitale di euro, investito al tasso 5,50%, è maturato in due mesi l interesse di 55 euro. In quattro mesi lo stesso capitale investito allo stesso tasso produce l interesse di: Scegli la risposta corretta A 52,45 B 120,50 C 330,00 D 110,00 5

6 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Domanda 3 Il signor Monti restituisce alla banca 8760 dopo due anni. Sapendo che il prestito era stato concesso al tasso del 8,4%. A quanto ammontava la somma prestata? Domanda 5 Giacomo ha investito due anni fa; oggi ritira Quale tasso d interesse annuo gli è stato applicato? Domanda 6 Un capitale di euro, impiegato per 60 giorni al tasso 8,50%, produce l interesse di 91,80 euro calcolato con il procedimento dell anno civile. Lo stesso capitale, per lo stesso tempo, al tasso 4,25% produrrebbe l interesse di: Scegli la risposta corretta A 60,45 B 279,23 C 45,90 D 40,25 6

7 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Domanda 7 Un capitale C investito al tasso 7,50% per 90 giorni produce l interesse di 135 euro, calcolato applicando il procedimento dell anno civile(360gg). Il capitale investito è: Scegli la risposta corretta A 730 B C D 100 Domanda 8 Filippo ha investito due anni fa; un anno fa ha ritirato e oggi vuole ritirare il montante complessivo. Se il tasso di interesse semplice applicato è stato del 2%, il montante è Scegli la risposta corretta A B C D Domanda 9 Abbiamo riscosso con tre mesi di ritardo l importo di una fattura ricevendo anche gli interessi al tasso 4,50%. Poiché la somma totale riscossa è di euro, l importo originario del credito ammontava a: Scegli la risposta corretta A 4.800,00 B 4.952,00 C 54,00 D 6.534,25 7

8 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Domanda 10 Per pagare i mobili acquistati, che sono costati 4500, il signor Monti ha due possibilità: a: pagare 18 rate mensili da 270 b: pagare subito un acconto da 1800 ed il rimanente tra un anno, maggiorato dell interesse del 10%. Quale forma di pagamento è più conveniente? E quale tasso di interesse viene applicato? Domanda 11 Due capitali uno di e l altro di sono depositati per due anni rispettivamente al 3% ed al 4%. Quale interesse maturano complessivamente. A quale tasso dovrebbe essere impiegata la somma dei due capitali per ottenere lo stesso interesse totale? 12 8

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13 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2 Algebra 2.1 Equazioni di primo grado Come si risolve un equazione di primo grado 3 x 1 5 x x 2 3x 3 5 x 6 10x 2 Si svolgono tutti i conti necessari ad eliminare le parentesi 3x 10x x Si spostano al primo membro tutti i monomi contenenti l incognita e al secondo membro i monomi che non contengono l incognita, ricordando la legge del trasporto (quando un termina va da una parte all altra dell uguale cambia di segno) 14x 10 Si sommano i monomi al primo membro e i numeri al secondo membro 14 x 10 Si dividono sia il primo che il secondo membro per il numero che moltiplica l incognita 5 x Si semplifica e troviamo la soluzione 7 Attenzione: 0 x n con n 0 l equazione è impossibile 0x 0 l equazione è indeterminata Domanda 1 La mia età è 11/16 di quella di mia madre e quattro anni fa ne era i 2/3. Quanti anni ha mia madre. A 64 B 44 C 60 D 40 Domanda 2 Quale delle seguenti equazioni è impossibile? Quanti anni ha mia madre. A 3x = 0 B 7x - 5 = 2x C x + 5 = x + 6 D 10 2x = 2(5 - x) 13

14 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Domanda 3 Mario spende 3/5 della somma che ha nel portafoglio per la spesa al supermercato e 40 per il pieno di benzina. Alla fine gli rimangono nel portafoglio 8. Quanti soldi aveva nel portafoglio Mario? Scegli la risposta corretta A 90 B 112 C 120 D

15 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.2 Equazioni di secondo grado Equazione scritta in forma normale Come si risolve un equazione di secondo grado 2 ax bx c 0 Con coefficiente associato ad con a 0 Con Con coefficiente associato ad termine noto. Calcolo del discriminante Formula risolutiva Se a 0, b 0, c 0 l equazione si dice completa b 2 4ac Se 0 l equazione ha due soluzioni reali e distinte b x1 2a Se 0 l equazione ha due soluzioni reali e coincidenti Se 0 l equazione non ha soluzioni reali x 2 b 2a Domanda 1 L equazione x 2 + 5x + 8 = 0 ha Scegli la risposta corretta A Due soluzioni reali e distinte B C D Due soluzioni una positiva ed una negativa Due soluzioni reali e coincidenti Nessuna delle risposte precedenti è corretta 15

16 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Domanda 4 Indica il valore che verifica entrambe le uguaglianze a + 6 = 3a - 2 e 2a 2 = 9a - 4 Scegli la risposta corretta A 1/4 B 4 C - 4 D -1/

17 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Domanda 10 Un uomo ha x anni; sua moglie ha sei anni meno. Il prodotto della loro età è 1360 Qual è l età della donna? Domanda 11 I cateti di un triangolo rettangolo misurano: 4x e x+1, l ipotenusa misura 5x 1. Trovare il valore di x. Risposta 17

18 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca

19 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.3 Sistemi Come si risolve un sistema di due equazioni di primo grado a due incognite + 2 = 5 3 = 1 = = 1 = (5 2 ) = 1 risolviamo la prima equazione rispetto alla y. copiamo la seconda equazione sostituiamo il valore della x, così ottenuto, nella seconda equazione = = 1 Si eseguono i conti 7 = 5 2 = 14 = = 14 7 = 5 2 = 2 = = 1 = 2 Si spostano al primo membro tutti i monomi contenenti l incognita e al secondo membro i monomi che non contengono l incognita, ricordando la legge del trasporto (quando un termina va da una parte all altra dell uguale cambia di segno) Si dividono sia il primo che il secondo membro per il numero che moltiplica l incognita Si semplifica e troviamo la soluzione Si sostituisce il valore della seconda incognita nell equazione, ottenendo così il valore cercato. Attenzione: Nessuna soluzione: sistema IMPOSSIBILE; Infinite soluzioni : sistema INDETERMINATO Una soluzione (x ; y): sistema DETERMINATO Domanda 1 Considera il sistema y = x 2 +1 y = 3x -1 Quante soluzioni ammette il sistema sopra riportato e cosa rappresentano? A B C Una soluzione data da una coppia di numeri che rappresenta un punto di tangenza tra la retta e la parabola Due soluzioni date da due coppie di numeri che rappresentano due punti d intersezione della retta con la parabola Una soluzione data da una coppia di numeri che rappresenta il vertice della parabola D Nessuna soluzione perché il sistema è impossibile 19

21 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.4 Equazioni fratte Quando una frazione si annulla e quando perde di significato Num. x si annulla se Num. x 0 Data una frazione si dice che questa Den. x perde di significato, non esiste, è impossibile se Den. x 0 Per determinare il valore di x per cui la frazione si annulla o perde di significato bisogna pertanto risolvere un equazione 1 Domanda 2 Per quale valore di x l espressione perde significato? Di che grado è il sistema A - 1/3 B 0 C 1/3 D 2 21

22 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Domanda 3 Per quale valore di x l espressione perde significato? Di che grado è il sistema A - 1/2 B 0 C 1/2 D 2 Domanda 4 Per quale valore di b la seguente frazione perde di significato/non esiste? Di che grado è il sistema A - 3/2 B 2/3 C 3/2 D 3 22

23 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca

25 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 2.5 Disequazioni Domanda 4 Qual è la condizione affinché la seguente radice quadrata sia reale Esegui l operazione richiesta 25

27 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 3 Geometria Euclidea Formulario di perimetri e aree Rettangolo 2 P 2 b h A b h h b Triangolo l1 h b l2 2 P l1 + l2 + b b h A 2 Parallelogramma h l b 2 P 2 A b h b l Rombo l Dmag dmin 2 P 4 l d A min D 2 mag Quadrato l 2 P 4 l 2 A l Trapezio bmin l1 h l2 2P somma dei lati A B mag 2 b min h Bmag Complementi La somma degli angoli interni di un triangolo di 180 La somma degli angoli interni di un quadrilatero è c2 Teorema di Pitagora i c1 c2 d = l * 2 l i i l d l 2 2 c 1 c 45 2 l = c1 c l A = = i c2 c i c1 h = l h l 60 l = 2 h 3 27

28 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 1 2 Domanda 3 Una quadrilatero con due angoli retti è formato da un triangolo equilatero e un triangolo rettangolo che ha un lato del triangolo equilatero come ipotenusa. Disegna la figura e misura l angolo maggiore del quadrilatero 4 28

33 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Teorema di Pitagora 33

37 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Domanda 11 I cateti di un triangolo rettangolo misurano: 4x e x+1, l ipotenusa misura 5x 1. Trovare il valore di x. Risposta 37

38 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca 4 Geometria Analitica 4.1 Poligoni nel piano cartesiano Formulario Dati due punti nel piano A x A, y A e B x B, y B Se x A x, allora AB y B A yb Se y A y, allora AB x B A xb Se x A x e B A yb 2 B A B y, allora AB x x y y 2 A 38

41 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 4.2 Rette Cenni di teoria Equazione generica di una retta nel piano cartesiano: m si chiama coefficiente angolare q si chiama ordinata all origine y mx q Intersezione con l asse y: nel punto di coordinate 0 ; q Intersezione con l asse x: si trova risolvendo l equazione mx q 0 Date due rette di equazioni r : y m x q s : y m x q Se m1 m, allora r // s 2 Se m 1 1, allora r s m 2 L eventuale punto di intersezione tra le due rette si trova risolvendo il sistema y m1x q1 y m2x q 2 41

45 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Parabole Cenni di teoria Equazione generica di una parabola nel piano cartesiano: Se a 0, allora la parabola ha concavità verso l alto Se a 0, allora la parabola ha concavità verso il basso b Coordinate del vertice: V ;, dove b 2 4ac 2a 4a Intersezione con l asse y: Intersezioni con l asse x: nel punto di coordinate 0 ; c y 2 ax bx c si determinate risolvendo l equazione di secondo grado 2 ax bx c 0 45

49 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 5 Problemi di calcolo 5.1 Richiami di teoria n a a a a a n n n : a b : b m m n n Proprietà delle potenze n m a a n m n a b a b n a b n : n m n m a a n 1 1 a 0 1 a b n b a n 0 0 indeterminata n a b n Calcolo percentuale p : T t :100 p valore della percentuale T Totale su cui viene calcolata la percentuale t tasso percentuale Equivalenze K h da u d c m Km hm dam m dm cm mm hl dal l dl cl ml q t Mg kg hg dag g dg cg mg 49

54 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca x 54

57 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 5.2 Quantità algebriche 57

63 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca 6 Calcolo delle Probabilità e Statistica 6.1 Calcolo delle probabilità Cenni di teoria Probabilità di un evento: numero_ casi_ favorevoli numero_ casi_ possibili Probabilità di due eventi compatibili : p (A B) = p(a) + p(b) p(a B) Probabilità di due eventi incompatibili : p (A B) = p(a) + p(b) Probabilità di due eventi indipendenti: P(E1 E2) = p(e1) * p(e2) Probabilità di due eventi dipendenti: p(e1 E2) = p(e1) * p(e2 E1) Esercizi Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 63

65 Preparazione alla Prova di Matematica a cura di Lorusso Girieca Temi d esame 65

68 Preparazione alla Prova di Matematica delle classi III Operatore del benessere a cura di Alessandra Vaghi e Lorusso Girieca Dati n dati Media: 6.2 Statistica e lettura dei grafici Statistiche principali x,..., 1, x 2 xm con frequenze f, f2,..., fm 1 con m n somma_ di_ tutti_ i _ dati x = numeri_ dei_ dati_ raccolti 1 f x f... x n m f m Moda: il dato con la frequenza più alta Mediana: di una serie di n dati ordinati x 1, x 2, x 3 x n il valore centrale della serie cioè il valore che occupa il posto nella serie se n è dispari o la media dei valori che occupano il posto e + 1 se n è pari 68