Esame Matematica e Biostatistica 25 dicembre FRANKLIN ROSALIND

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1 Quesito 1. Da ua popolazioe co distribuzioe ormale co media µ igota e deviazioe stadard 75 estraiamo u campioe di 16 idividui. Qual è la probabilità che x > µ ? = 16 sample size ε = 19.1 σ = 75 populatio stadard deviatio σ/ = stadard error (stadard deviatio of the statistic) ( P Z > ε ) ( σ/ = 1 P Z ε ) σ/ = 1 porm(1.02) = 0.15 risposta Quesito 2. It is claimed that a ew treatmet is more effective tha the stadard treatmet for prologig the lives of termial cacer patiets. The stadard treatmet has bee i use for a log time ad from records i medical jourals the mea survival period has bee 4.0 years with a stadard deviatio of 1.1 years. The ew treatmet is admiistered to 26 patiets ad their average duratio of survival is calculated to be 4.5 years with a stadard deviatio of 1.3. Ca we reject the hypothesis that the ew treatmet is as effective as the old oe? Aswer the followig questios: H 0? H 1? What test is required? What is the value of the statistic? What is the p-value? µ 0 = 4.0 H 0 : µ = µ 0 H 1 : µ > µ 0 We use a oe tail t-test (upper tail) = 26 s = 1.3 x = 4.5 sample size sample stadard deviatio sample mea t = x µ 0 s/ = value of the t-test statistic 1 = 25 P ( T 1 > t ) = 1 P ( T 1 t ) = degrees of freedom p-value 1A

2 Quesito 3. Tra le persoe di cui A è causa del decesso il 40% è fumatore. La percetuale dei fumatori i tutta la popolazioe è del 10% e quella dei decessi dovuti ad A è del 10%. Calcolare la probabilità che u o fumatore ha di morire per A. F A Pr(A) = 10% Pr( F ) = 100% Pr(F ) = 90% Pr( F A) = 100% Pr(F A) = 60% Pr(A F ) = Pr( F A) Pr(A) Pr( F ) isieme dei fumatori isieme persoe decedute per A prevaleza di A ella popolazioe geerale frazioe di fumatori ella popolazioe geerale prevaleza di A tra i fumatori = 0.04% Risposta Quesito 4. Le v.a. X ed Y soo idipedeti. La prima assume i valori 1 e 3 la secoda i valori 2 e 4. Etrambe co la distribuzioe uiforme. Calcolare E(X + Y ) e Var(X + Y ). E(X + Y ) = 5 e Var(X + Y ) = 2. Si assumao oti i valori delle segueti fuzioi pbiom(x,,p)=p (X x), per X B(, p) qbiom(α,,p)=x, dove P (X x) = α per X B(, p) porm(z)=p (Z z), per Z N(0, 1) qorm(α)=z, dove P (Z z) = α per Z N(0, 1) pt(t,ν) = P (T ν t) per T ν t(ν) qt(α,ν)=t, dove P (T ν t) = α per T ν t(ν) 1B

3 Quesito 5. The cocetratio y of a protei i a cell depeds o its productio rate β ad its degradatio/dilutio rate α as described by the dyamic equatio y = β α y. The geeral solutio of this equatio is C e αt + β/α. What is the cocetratio y st at steady state (equilibrio)? (Assume α ad β are kow.) Assume that the iitial cocetratio is 0. How log does it takes to reach half of the fial cocetratio? (This is called the respose time ad is deoted by t 1/2.) y st = β/α, t 1/2 = l 2 α Quesito 6. L equazioe differeziale x = r x log (x/) è ua delle equazioi feomeologiche proposte per descrivere la crescita dei tumori (x rappreseta la massa). 1. Dei puti segati el grafico quali soo puti di equilibrio. 2. Dire se si tratta di equilibrio stabile o istabile. 3. Nei casi i cui la massa iiziale è a, /e,. Dire a quale valore tede la massa i u tempo lugo. x r e r al ( a ) ( x ) x = r x l 0 a /e x 0 è puto di equilibrio istabile, è puto di equilibrio stabile. I tutti e tre i casi x(0) = a, /e, il sistema tede verso. 1C

4 Quesito 7. I ua grade stazioe di ricerca i atartide soggiorao 100 ricercatori. Al mometo 7 di questi hao il raffreddore. Gioralmete la probabilità che u suscettibile si ifetti è del 20% metre la probabilità che u malato guarisca è del 40% (assumiamo che chi guarisce diveti immediatamete suscettibile). 1. Si scriva ua matrice A che descrive l evoluzioe dell epidemia [ st+1 Dove s t è il umero di suscettibili al tempo t è i t è il umero di ifetti al tempo t misurato i giori. 2. Si calcoli il umero previsto di ifetti dopo u gioro e dopo due giori. i t+1 ] = A 3. Qual è la percetuale di ifetti quado si raggiuge l equilibrio (stady state)? [ st i t ]. [ ] A = [ ] [ ] [ ] = [ ] [ ] [ ] = Le soluzioi del sistema A [ ] x y = [ ] x y [ ] 7088 = soo y = 2 4 x. Normalizzado otteiamo 4 6 circa 23 ifetti dopo u gioro. circa 29 ifetti dopo due giori. di ifetti. 1D

5 Quesito 8. Le soluzioi dei segueti esercizi vao trascritte sul foglio protocollo allegato. i. Determiare il domiio della fuzioe y = f(x) = e x 2 2x 3 4 x 2 1. ii. Determiare il domiio della fuzioe y = f(x) = x 2 l(3x). iii. Determiare l equazioe della retta tagete alla curva di equazioe y = f(x) = e 3x si(2x). iv. Calcolare il seguete itegrale idefiito col metodo di sostituzioe x 2 x 3 1 dx. v. Calcolare il seguete itegrale defiito 2 1 e 2x dx. vi. Calcolare l area della regioe piaa delimitata dalle curve y = f(x) = 2x 2 3x + 2e y = g(x) = x vii. Verificare che la fuzioe y = f(x) = 1 2 e2x x4 è soluzioe dell equazioe differeziale y = e x + x 3. 1E