Cognome Nome Udine. A. Si allineano due polaroid F1 ed F2, orientati secondo i versori U e W rispettivamente [(U U)=1 e (W W)=1].

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1 Cognome Nome Udine Scheda 15 - MQUD_Form - Dai concetti al formalismo Il principio di sovrapposizione lineare. La semplicità della fenomenologia della polarizzazione permette una costruzione graduale della descrizione formale dei processi. Dalle leggi classiche relative ai molti fotoni dell intensità luminosa misurata si costruisce gradualmente la rappresentazione formale dello stato di polarizzazione di un fotone, del principio di sovrapposizione lineare quantistico, della probabilità di transizione tra stati, dei proiettori. N.B. I vettori (versori) vengono rappresentati con lettere in grassetto es.: V In tondo si indicano gli stati es.: V indica lo stato di polarizzazione verticale. 1. Stati quantistici e vettori. A. Si allineano due polaroid F1 ed F2, orientati secondo i versori U e W rispettivamente [(U U)=1 e (W W)=1]. Fotoni incidenti U F1 polaroid F2 W U W Su F1 incide un fascio di N fotoni. A1. Se si indica con l'angolo formato da U e W, qual è la probabilità P che un fotone trasmesso da F1 venga trasmesso anche da F2? A2. Il prodotto scalare tra i vettori W e U é dato da: (WU) A3. Come si può esprimere P per mezzo per prodotto scalare(wu)? A1. Si fissa la direzione permessa di F2 (cioè si fissa W). La probabilità di trasmissione di un fotone che incide su F2: è completamente definita da U è definita da U e da qualche altro fattore (specificare quale) non dipende da U Lo stato del fotone prima di incidere su F2: è completamente definito quando è definito U è definito assegnando U e qualche altro fattore (specificare quale) non dipende da U A2. Se si fissa F2 in modo che la sua direzione permessa sia individuata dal vettore W W, quale delle risposte alle domande del punto A1 si deve cambiare? Motivare la risposta

2 A3. Si può concludere che il comportamento statistico di un fotone che incide su F2: è completamente determinato da U per qualsiasi W è determinato da U e qualche altro fattore (specificare quale) per qualsiasi W non dipende da U A4. Si può rappresentare lo stato del fotone trasmesso da F1 con un vettore u//u. Tale associazione é sufficiente per riprodurre i risultati sperimentali (la legge di Malus)? Spiega A5. Lo stato del fotone trasmesso da F2 é rappresentato da: u//u w//w da B. La probabilità P rappresenta la probabilità di transizione fra due stati del fotone. Esplicitare questa affermazione alla luce del semplice formalismo che é stato introdotto. Il fatto che lo stato u di un fotone sia convenientemente espresso da un vettore u porta ad indagare le conseguenze che ne derivano sul piano formale. Esse sono sintetizzate dal principio di sovrapposizione quantistico. 2. Il principio di sovrapposizione A. Un fotone nello stato rappresentato dal versore u incide su: un polaroid con direzione permessa individuata dal versore H. Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? un polaroid con direzione permessa individuata dal versore V, con V H. Qual è la probabilità che il fotone venga trasmesso? B. Il versore u può essere espresso con la seguente combinazione lineare dei vettori v//v e h//h: u= 1 v+ 2 h Completare le seguenti espressioni: hu=h( 1 v+ 2 h) = 1 hv+ 2 hh= vu=v( 1 v+ 2 h) = 1 vv+ 2 vh=

3 C. Probabilità di trasmissione. Dal risultato precedente si può concludere che (collegare le caselle con frecce su cui riportare dei verbi appropriati in modo da ottenere delle frasi compiute distinguere i due casi utilizzando in uno la linea continua e nell altro la linea tratteggiata >): Poiché u è un versore, si ha : [(u u)=1], si deve avere anche: C1. (u u)= ( 1 v+ 2 h) ( 1 v+ 2 h) = =1 C2. Quale interpretazione si può dare alla somma:? C3. Qual è la probabilità che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato dal versore u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si trovi o nello stato H o nello stato V C4. Si può affermare con certezza che il fotone, inizialmente nello stato rappresentato da u, dopo aver interagito con il polaroid (dopo la misura) si troverà nello stato V (nello stato H)? spiegare D. Casi certi e stati ortogonali. D1. Un fotone nello stato h ha probabilità di essere trasmesso da un Polaroid H. D2. Un fotone nello stato h ha probabilità di essere trasmesso da un Polaroid V. D3. Un fotone nello stato v ha probabilità di essere trasmesso da un Polaroid V. D4. Un fotone nello stato v ha probabilità di essere trasmesso da un Polaroid H. D5. La probabilità di transizione hv o vh é uguale: P= (hv) 2 = E. Le proprietà associate a fotoni nello stato V e fotoni nello stato h sono mutuamente esclusive. Gli stati in cui si trovano tali fotoni sono rappresentati da: vettori mutuamente ortogonali vettori fra loro paralleli vettori che formano un angolo = Due stati si dicono ortogonali se le proprietà che li caratterizzano sono mutuamente esclusive.

4 2. Esplorazione di ipotesi Ipotesi A. Un fascio di fotoni con polarizzazione a 45 è composto per metà da fotoni con polarizzazione verticale e per metà da fotoni con polarizzazione orizzontale. A1.In questo schema, ( 1 ) 2 rappresenta: la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *) la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà ) altro (specificare) A2. In questo schema, ( 2 ) 2 rappresenta: la probabilità P(h) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa orizzontale (proprietà *) la probabilità P(v) con cui un fotone scelto a caso dall'insieme possieda la proprietà di attraversare un polaroid con direzione permessa verticale (proprietà ) altro (specificare) B. Un fascio di fotoni nello stato rappresentato da u incide su un polaroid con direzione permessa W. B1. Poiché il versore u può essere espresso da u= 1 v+ 2 h, la probabilità che un fotone venga trasmesso dal polaroid, e quindi venga rivelato da D, è data da: P (D) =P(u w)=(uw) 2 =[( 1 v+ 2 h) w] 2 = [ + ] 2 = = + + ( ) B2.Il fattore (hw) 2 fornisce la probabilità P(D h) di far scattare il rivelatore D, nel caso in cui il fotone possieda abbia polarizzazione orizzontale B2.1 Il fattore (vw) 2 fornisce la probabilità. B3. Il primo termine dell'espressione ( ), dato dal prodotto ( 1 ) 2 (vw) 2, non è altro che la probabilità che un fotone con proprietà V venga trasmesso dal polaroid e quindi venga rivelato da D. B3.1 Il secondo termine dell'espressione ( ), dato dal prodotto, non è altro che la probabilità C. Se fosse valida l'ipotesi A la probabilità di rivelare un fotone oltre il polaroid sarebbe data da: P(D) =( 1 ) 2 (V v ) 2 +( 2 ) 2 (H v ) 2 = P(H) P(DH) + P(V) P(DV) C1. Il terzo termine dell'espressione ( ), dato da, non ha ragione di essere nell ipotesi A (non ha analogo classico). Ne consegue che il formalismo con cui viene espresso il principio di sovrapposizione lineare quantistico (la combinazione lineare con cui può essere scritto un qualsiasi vettore di stato) traduce il fatto che l'insieme di fotoni nello stato a 45 non può essere pensato come somma di due insiemi disgiunti di fotoni ciascuno dei quali è formato da un ugual numero di fotoni con proprietà mutuamente esclusive. Si deve scartare l ipotesi A.

5 C. Conclusioni sul principio di sovrapposizione C1. Si discuta brevemente il significato di sovrapposizione di stati quantistici facendo riferimento allo stato di polarizzazione a 45º (rappresentato dal vettore u 45 ) considerato come sovrapposizione degli stati h e v, rappresentati rispettivamente dai versori h e v. C2. Conclusione sul significato fisico e l espressione formale del principio di sovrapposizione quantistico.

6 D. Verso gli operatori lineari Nei punti precedenti è stato introdotta la rappresentazione vettoriale degli stati quantistici e del principio di sovrapposizione, riconoscendo il ruolo che gioca il prodotto scalare nella determinazione delle probabilità di transizione. Si esplicita ora la connessione tra prodotto scalare e operatori di proiezione, come ponte verso la rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari. D1. Un fascio di fotoni preparato nello stato rappresentato dal versore u (es.: fotoni trasmessi da un polaroid, orientato secondo il versore U//u), incide su un polaroid (ideale) orientato secondo il versore V. D1.1 In base al principio di sovrapposizione, come si può esprimere il versore u in termini dei versori v (v// V) e h (h// H)? u = + D1.2 Qual à la probabilità P di trasmissione di ciascun fotone (esprimila sia utilizzando l ampiezza opportuna che hai indicato nella risposta precedente, sia per mezzo di un opportuno prodotto scalare): D1.3 P rappresenta la probabilità che, in seguito all interazione con il polaroid, un fotone effettui la transizione (completa la frase): dallo stato allo stato D2. Tale probabilità può essere espressa nel seguente modo: P = (u v) 2 = (u v)( v u) = u (v v ) u, con la convenzione che bisogna effettuare i prodotti da destra a sinistra. Tra parentesi compare l oggetto matematico vv : il versore v ripetuto due volte e seguito dal segno di prodotto scalare. Per capire che tipo di oggetto matematico costituisca vv, si può vedere come agisce quando viene applicato ad un vettore di stato. D2.1 Determina i risultati delle seguenti applicazioni (si sottintende che si stanno seguendo le convenzioni sin qui introdotte per l indicazione dei versori): (vv )v = (vv )h = (vv )u = B2.2. L applicazione di vv a un qualsiasi vettore produce sempre un vettore parallelo a: B2.3 Come si può interpretare geometricamente questo fatto? C. La rappresentazione delle osservabili fisiche con operatori lineari si effettua valutando il valore di aspettazione di una osservabile fisica: si pesano i possibili esiti di una misura (gli autovalori), con le corrispondenti proprietà di transizione, ossia con i quadrati dei prodotti scalari tra il vettore dello stato iniziale del sistema e i ciascuno dei vettori dei possibili stati finali (autovettori). Come in D2 è semplice far emergere l operatore che rappresenta l osservabile misurata. Per come viene costruito esso ha come autovettori i vettori dei possibili stati finali di una misura e come autovalori i possibili esiti stessi della misura. Si rende conto in questo modo della connessione operatori lineari e osservabili fisiche, rendendo conto del significato fisico di tale connessione.