Corso di laurea in Scienze biologiche molecolari

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1 Corso di laurea in Scienze biologiche molecolari Prove scritte di Matematica e statistica Prova scritta del 7 gennaio 6 Esercizio Data la funzione f(x) 8x 6 x, x R, + 8x 6 se ne determini il segno, nonché gli eventuali asintoti, gli intervalli di monotonia, i punti di massimo e di minimo relativo e gli intervalli di convessità e concavità; se ne tracci infine un grafico approssimativo. Esercizio Data la funzione f definita nell esercizio precedente, si calcoli l integrale 7 f(x) dx. Esercizio Da un mazzo costituito da quaranta carte, se ne estraggono, in sequenza,, rimettendo ogni volta la carta estratta nel mazzo. (i) Si descriva un opportuno spazio probabilizzato dove inquadrare il problema. (ii) Si calcoli la probabilità che escano tutte figure. (iii) Si calcoli la probabilità che le prime otto carte estratte siano figure e le restanti siano tutte assi. (iv) Si calcoli la probabilità che alla terza estrazione compaia un asso per la prima volta. (v) Si calcoli la probabilità che nella prima estrazione sia uscito un re, sapendo che in ciascuna delle venti estrazioni è uscita una figura.

2 Risoluzione Esercizio (i) L espressione della funzione f dipende dal segno della quantità 8x 6, che è positiva per x > e negativa per x <. Si ha quindi 8x 6 x se x, 8x 5 f(x) 8x 6 x se x. 7 8x Risolviamo la disequazione f(x). Se x si ha f(x) 8x 6 x 8x 5 8x 6 x(8x 5) 6x 88x + 6 9x x x Poiché + 4 < + 49, 9 9 si conclude che f(x) < per ogni x. Se invece x si ha f(x) 8x 6 x 7 8x 8x 6 x(7 8x). 6x 56x 6 9x 4x 9 Poiché x x > 7 + 9,.

3 si conclude che quando x risulta f(x) per ogni x 7. In 9 definitiva f(x) x 7. 9 (ii) Per x + si ha ( ) 8x 6 lim f(x) lim x + x + 8x 5 x, ( ) f(x) lim x + x lim 8x 6 x + x 8x 5, lim (f(x) + x) lim 8x 6 x + x + 8x 5 ; quindi per x + vi è l asintoto obliquo y x +. Similmente, per x si ha ( ) 8x 6 lim f(x) lim x x 7 8x x + +, ( ) f(x) lim x x lim 8x 6 x x 7 8x, lim (f(x) + x) lim 8x 6 x x 7 8x ; quindi per x vi è l asintoto obliquo y x. (iii) Per x si ha f (x) d dx quindi per x risulta ( ) 8x 6 8x 5 x 8 (8x 5), f (x) 8 (8x 5) (8x 5) 8 9 8x x 9 9 ;

4 poiché 6 9 < < 9 9 si conclude intanto che D altro canto per x si ha f (x) d dx quindi per x risulta poiché 7 9 < < 9 In definitiva, f (x) f (x) per x 9 9. ( 8x 6 7 8x x ) 8 (7 8x), 8 (7 8x) (7 8x) x 7 9 x 9 ; si conclude che f (x) per 7 9 x. f (x) 7 9 x 9 9, e quindi la funzione f è decrescente sulle semirette ], 7 9 ] e [ 9 9, + [, mentre è crescente nell intervallo [ 7 9, 9 9 ]. (iv) Dal calcolo precedente segue che il punto 7 9 f, con minimo relativo uguale a ( ) 7 f , è di minimo relativo per mentre il punto 9 9 è di massimo relativo, con massimo relativo uguale a ( ) 9 f

5 (v) Analizziamo la derivata seconda: si ha 6 8 se x, f (8x 5) (x) 6 8 se x ; (7 8x) dunque f (x) se e solo se x. Pertantio f è convessa sulla semiretta ], ] ed è concava sulla semiretta [, [. Il punto è di flesso, con f() 4, f () 6. Esercizio Si ha 7 f(x) dx 7 8x x 6 dx x dx.

6 Il secondo integrale è immediato: 7 x dx [x ] Nel primo integrale conviene effettuare il cambiamento di variabile 8x 6 t, con il quale, essendo dt 8dx, nonché t 9 per x 7 e t 9 per x, si ottiene 7 8x 6 + 8x 6 dx t + t dt : ma l ultimo integrale è nullo, trattandosi dell integrale di una funzione g dispari (g( t) g(t)) su un intervallo simmetrico rispetto all origine. Dunque 7 f(x) dx 4. Esercizio (i) Possiamo scegliere come Ω l insieme di tutte le sequenze ω (ω,..., ω ) di carte scelte (con ripetizione) da un mazzo di 4. Su Ω, che è un insieme finito, consideriamo la tribù di tutte le parti di Ω, e prendiamo come probabilità P la ripartizione uniforme: poiché Ω ha 4 elementi, avremo ( ) P (ω) ω Ω. 4 (ii) Sia E l evento che consiste nell estrazione di tutte figure: E {ω Ω : ω i è una figura per ogni i,..., }. Si ha allora, avendosi figure su 4 carte, ( ) P (E ) 4 ( ). (iii) Sia E l evento che consiste nel pescare 8 figure nelle prime 8 estrazioni e assi nelle estrazioni restanti: E {ω Ω : ω i è una figura se i,... 8, ω i è un asso se i 9,..., }. Si ha allora, dato che gli assi sono 4, ( ) 8 ( ) ( ) 4 8 P (E ). 4 4

7 (iv) Sia E l evento che consiste nel non pescare un asso alle prime due estrazioni e nel pescare un asso alla terza: Si ha allora E {ω Ω : ω, ω non sono assi, ω è un asso}. P (E ) ( ) (v) Sia E 4 l evento che consiste nel pescare un re alla prima estrazione E 4 {ω Ω : ω è un re}. Chiaramente si ha P (E 4 ) 4/4 /. condizionale P (E 4 E ); dato che A noi interessa la probabilità P (E E 4 ) ( ) 9 4 (infatti, sapendo che alla prima estrazione è uscito un re, bisogna valutare la probabilità che escano figure nelle 9 estrazioni residue), dalla formula di Bayes otteniamo P (E 4 E ) P (E E 4 )P (E 4 ) P (E ) ( 4 ( ) 9 4 ). Il risultato, ovviamente, non è sorprendente; sapendo che ad ogni estrazione sono uscite figure, nella prima estrazione ci sono tre possibilità, vale a dire fante, regina e re, e solo una delle tre è favorevole. Prova scritta del gennaio 6 Esercizio Dato un triangolo equilatero T di lato a, si determini un rettangolo inscritto in T che abbia area massima, e si calcoli il valore di tale area. Esercizio Si calcoli il valore dei seguenti integrali: π π x sin x dx, xe x dx.

8 Esercizio È data un urna contenente un certo numero di palline, delle quali il 5% sono rosse, il % nere e il % bianche. Si estraggono dall urna, in sequenza, dieci palline, rimettendole ogni volta nell urna. (i) Si modellizzi l esperimento aleatorio con un opportuno spazio probabilizzato. (ii) Si calcoli la probabilità che escano tutte palline rosse. (iii) Si determini la probabilità che la prima pallina rossa esca alla terza estrazione. (iv) Si calcoli la probabilità che escano dapprima tre palline rosse, poi due nere, e infine cinque palline bianche. Risoluzione Esercizio Denotiamo con ABC il triangolo equilatero e con AH la sua altezza. Sia x la lunghezza della base CD del generico rettangolo CDEF inscritto: allora AC è lungo (a x)/, mentre l altezza CF, a causa della similitudine fra il triangolo ACF e il triangolo AHC, è pari a (a x)/. Quindi l area del generico rettangolo inscritto è data dalla funzione f(x) x(a x), x [, a]. La funzione f è non negativa ed è nulla per x e x a, allorché il rettangolo degenera in un segmento. Il massimo di f si ha quando f (x) : si ha f (x) a x x a, per cui l area massima si raggiunge per x a/; il suo valore è a. 8 Si noti che l area del massimo rettangolo inscritto è uguale alla metà dell area del triangolo ABC.

9 Esercizio Calcoliamo il primo integrale. Integrando per parti si ha: π π [ x sin x x dx ln sin x [ ] π x π ln sin x π π [ x ln sin x [ x ln sin x [ x ln sin x ] π π x sin x (ln ) x sin x (ln ) π π x sin x dx ln ] π π ] π π + + x sin x cos x dx ln π π π π x (ln ) sin x + x (ln ) ] π x cos x dx (ln ) x (ln ) ( sin x) dx π 4 (ln ) Riportando a primo membro l ultimo integrale, si trova π π x sin x dx. ( + 4 ) π [ ] π x sin x x dx (ln ) π ln sin x x (ln ) sin x + x (ln ) π ovvero π x sin x dx π [ x ( ) + 4 ln sin x (ln ) ( ) + 4 (ln ) ( π ) π ln ] π x (ln ) sin x + x (ln ) π ) ( π ) ( π ln + (ln ) + (ln ) 4 + (ln ). Calcoliamo il secondo integrale. Con il cambiamento di variabile x t, si ha dt x dx e gli estremi di integrazione non cambiano. Quindi xe x dx e t dt [ ] e t [ ] lim 4 t + e t + 4. Esercizio (i) Si fissa un generico spazio probabilizzato finito (Ω, A, P ) e su di esso si definiscono dieci variabili aleatorie X,..., X a valori nell insieme,

10 {,, }, indipendenti fra loro, aventi tutte la legge µ seguente: µ{x i } 5, µ{x i }, µ{x i } 5. La variabile X i rappresenta l esito della i-esima estrazione, e i valori,, denotano rispettivamente l uscita di una pallina rossa, nera o bianca. (ii) A causa dell indipendenza delle X i, la probabilità dell evento che consiste nell uscita di dieci palline rosse è data da P {X,..., X } (P {X }) 8. (iii) La probabilità dell evento che consiste nell uscita delle prima pallina rossa alla terza estrazione è data da P {X, X, X } ( P {X }) P {X } ( + ) 5 8. (iv) La probabilità dell evento che consiste nell uscita di tre palline rosse, seguite da due nere e da cinque bianche, è data da P {X,..., X, X 4, X 5, X 6,... X } (P {X }) (P {X }) (P {X }) 5 ( 9 5. Prova scritta del 6 febbraio 6 Esercizio Calcolare, se esistono, i seguenti limiti: x + x x lim ( ), lim e x x e x x. x 4x 5x x + Esercizio Data la funzione f(x) sin x + cos x, ) 5 5

11 trovarne il massimo ed il minimo sull intervallo [, π] e calcolarne l integrale sullo stesso intervallo. Esercizio Nella stazione di Empoli fermano treni di tre tipi: regionali (il 7% del totale), interregionali (il %) e intercity (il %). Un indagine statistica ha rilevato la seguente tabella di ritardi medi: puntuale - min. - min. -6 min. regionale % % 4% % interreg. % % % % intercity 5% % % % Arriva alla stazione un treno. (i) (ii) Calcolare la probabilità che il treno sia in ritardo. Assodato che il treno è in ritardo, calcolare la probabilità che si tratti di un treno intercity. (iii) Calcolare la probabilità che il treno abbia un ritardo compreso fra e minuti. (iv) Calcolare la probabilità che si tratti di un treno interregionale, sapendo che esso ha un ritardo di minuti. (v) Calcolare la fascia media di ritardo per un treno regionale. Risoluzione Esercizio Per il primo limite, possiamo scrivere x + x x 4x 5x x ( ) x x x 4x ( 5x), 4 da cui x + x x lim x 4x 5x + Per il secondo limite invece risulta e x x e x x e x( x) e x(x ) ;.

12 quando x + si ha (x( x) mentre x(x ) +, e dunque ricaviamo ( ) ( lim e x x e x x lim e x( x) e x(x )). x + x + Esercizio La funzione f è continua su [, π] e quindi ha massimo e minimo per il teorema di Weierstrass. Osserviamo che f (x) cos x( + cos x) sin x( sin x) ( + cos x) cos x + ( + cos x), da cui f (x) cos x x π oppure 4 π x π. Pertanto f ha massimi locali nel punto π e nell estremo π, e minimi locali nel punto 4 π e nell estremo, con f ( ) π, f ( ) 4 π, f() f(π). Confrontando i valori si vede che ( ) max f f [,π] π, ( ) 4 min f f [,π] π. Infine risulta π sin x + cos x dx [ ln( + cos x)]π ln + ln, cosa che poteva essere stabilita immediatamente osservando che la funzione integranda è periodica di periodo π, per cui π sin x π + cos x dx sin x π + cos x dx, ed è anche dispari, da cui π π sin x dx. + cos x

13 Esercizio Denotiamo rispettivamente con R, IR, IC l evento consistente nel fatto che il treno sopraggiunto alla stazione sia regionale, interregionale o intercity. Si tratta evidentemente di eventi incompatibili e le loro probabilità sono P (R) 7, P (IR), P (IC). Notiamo anche che la tabella esprime le probabilità condizionali di registrare un dato ritardo conoscendo il tipo di treno. (i) Indichiamo con A l evento consistente nel fatto che il treno è puntuale: allora dobbiamo calcolare P (A c ), ossia P (A). Calcoliamo P (A): dalla formula di disintegrazione e dai valori della tabella otteniamo P (A) P (A R)P (R) + P (A IR)P (IR) + P (A IC)P (IC) , e in definitiva P (A c ) 4 4. (ii) Dobbiamo calcolare P (IC A c ). Dalla formula di Bayes segue che P (IC A c ) P (Ac IC)P (IC), P (A c ) mentre da (i) e dalla tabella assegnata ricaviamo P (IC A c ) (iii) Detto C l evento che consiste nel fatto che il treno abbia un ritardo fra e minuti, si ha, dalla formula di disintegrazione e dai dati della tabella, P (C) P (C R)P (R) + P (C IR)P (IR) + P (C IC)P (IC) (iv) Dobbiamo calcolare P (IR C), poiché sappiamo che il nostro treno ha un ritardo compreso fra e minuti. Dalla formula di Bayes abbiamo P (IR C) P (C IR)P (IR) P (C) 4.

14 (v) La fascia media di ritardo per un treno regionale si descrive come una fascia di minuti compresi fra a e b, ove a e b si calcolano mediante le formule a , b In definitiva, un treno regionale ritarda mediamente fra 7 e minuti. Prova scritta del giugno 6 Esercizio Data la funzione f(x) ln ex/ e x +, x R, (i) verificare che essa è pari, ossia che f( x) f(x) per ogni x R; (ii) determinare i limiti all infinito e gli eventuali asintoti; (iii) individuare gli intervalli di monotonia; (iv) provare che f è concava; (v) tracciare il grafico di f. Esercizio Calcolare l integrale t + t e +t dt. Esercizio Da un mazzo di 5 carte non truccate se ne pescano cinque in sequenza. Si calcoli la probabilità: (i) di ottenere un colore (5 carte dello stesso seme); (ii) di ottenere una scala reale (5 carte dello stesso seme e con valori consecutivi, con l asso che può stare solo al primo posto o all ultimo, dopo il re); (iii) di ottenere un poker (4 carte dello stesso valore), sapendo che le prime due carte pescate sono assi.

15 Risoluzione Esercizio (i) La funzione f è definita per ogni x R e risulta ossia f è pari. (ii) Risulta f( x) ln e x/ e x + ln ex e x/ e x (e x + ) ln lim f(x) lim f(x). x + x Vediamo se ci sono asintoti obliqui: a + si ha ex/ e x + f(x), f(x) lim x + x ( lim f(x) + x ) x + lim x + lim x + lim x + ln e x/ ln e x ln( + e x ) ( x ln( + ) e x ) x, ( ln e x/ ln e x ln( + e x ) + x lim x + ln( + e x ), ) cosicché per x + vi è l asintoto obliquo di equazione y x/. Poiché la funzione è pari, si conclude che per x vi è l asintoto obliquo di equazione simmetrica della precedente rispetto all asse y, vale a dire y +x/. (iii) Cerchiamo gli intervalli di crescenza e decrescenza. Si ha, con facili calcoli, f (x) ex ( + e x ), cosicché f (x) se e solo se e x, ossia se e solo se x. In definitiva f cresce per x e decresce per x. Il punto è di massimo assoluto per f e si ha f() ln. Naturalmente f non ha minimo, essendo illimitata inferiormente. (iv) La funzione f è concava poiché, con facili calcoli, f (x) ex < x R. ( + e x )

16 (v) Il grafico di f è disegnato qui sopra. Esercizio Con la sostituzione x + t, l intervallo di integrazione [, ] si trasforma in [, ], risulta dx +t dt e l integrale diventa t + t e +t dt Si ha allora, integrando per parti, x e x dx [x e x ] [x e x xe x + e x ] e. Pertanto l integrale proposto è uguale a e. t + t ( + t ) e +t dt xe x dx [x e x xe x ] + x e x dx. e x dx Esercizio (i) Dato che il mazzo non è truccato, ciascuna carta può essere pescata con uguale probabilità. Il totale delle cinquine di carte ottenibili è dato dal coefficiente binomiale ( ) 5 5 ; le cinquine con carte tutte di un dato seme son ( ) 5, e poiché i semi sono 4, otteniamo che la probabilità richiesta è 4 ( ) 5), 99. ( 5 5 (ii) Stavolta le cinquine che costituiscono una scala reale di un dato seme sono (dalla minima, asso---4-5, alla massima, -J-Q-K-asso): i semi sono sempre 4, e dunque la probabilità richiesta è 4 ( 5 5 ) (iii) Sapendo che sono usciti due assi, l unica possibilità è quella di fare un poker d assi. Dobbiamo quindi estrarre, nelle tre pescate che restano, gli

17 ultimi due assi dalle 5 carte restanti: dunque, due delle tre pescate devono dare un asso e una deve dare una carta diversa. Ciò può accedere solo in tre modi: la carta diversa esec alla prima, oppure alla seconda, oppure alla terza delle tre pescate. Quindi la probabilità richiesta vale ( 5 5 ) Prova scritta del 6 luglio 6 Esercizio Si consideri la funzione f(x) ln x + x x, x R. (i) Si determinino l insieme di definizione ed il segno di f, nonché gli eventuali asintoti; (ii) si indichino gli intervalli di monotonia e i punti di massimo e di minimo relativo; (iii) si disegni il grafico approssimativo di f. Esercizio Si calcoli l integrale u(ln( + u )) + u du. Esercizio Tre urne indistinguibili contengonmo ciascuna palline rosse e gialle. Nella prima urna le palline rosse sono il % del totale, nella seconda sono la metà, nella terza sono il 6%. Si sceglie a caso un urna e da essa si estraggono in sequenza tre palline. (i) Calcolare la probabilità di estrarre tre palline rosse. (ii) Avendo estratto tre palline rosse, calcolare la probabilità di aver scelto la prima urna.

18 Risoluzione Esercizio La funzione è definita per x(x + ) x >, ossia per < x < e x >. Analizziamo i limiti negli estremi dell insieme di definizione. Si ha lim f(x), lim x + f(x), lim x f(x) +, x + e quindi nei punti x, x, x si hanno tre asintoti verticali. Inoltre e poiché lim f(x) +, x + f(x) lim x + x lim ln x + ln(x + ) ln(x ) x + x, si conclude che non vi sono asintoti obliqui né orizzontali per x +. La funzione è positiva per x(x + ) >, x ossia per x >, come si verifica facilmente. Analizziamo la derivata prima. Si ha, con facili calcoli, f (x) x x x(x + )(x ), x ], [ ], + [, cosicché f (x) x ], ] [, + [. Dunque la f è crescente in ], ] e in [, + [; in particolare x è punto di massimo relativo con f( ), mentre x è punto di minimo relativo con f() ln. Il grafico di f è il seguente:

19 Esercizio Con la sostituzione t + u, si trova dt u du e l integrale si trasforma in (ln t) dt. t A questo punto l ulteriore sostituzione x ln t dà dx dt t e l integrale diventa ln x dx, e quindi l integrale proposto vale u (ln( + u )) + u du ln x dx (ln ) Esercizio (a) Denotiamo con U, U e U gli eventi che consistono nella scelta di una delle tre urne; la probabilità di ciscuno di essi è /. L evento A, che consiste nell estrarre in sequenza tre palline rosse, si decompone nei tre eventi disgiunti A (A U ) (A U ) (A U );.

20 inoltre P (A U ) 9 8, P (A U ) , P (A U ) Pertanto, utilizzando la formula di disintegrazione, P (A) P (A U ) + P (A U ) + P (A U ) P (A U )P (U ) + P (A U )P (U ) + P (A U )P (U ) ( ) 7 6. (b) Dobbiamo calcolare P (U A) e per questo basta far uso della formula di Bayes: P (U A) P (A U )P (U ) P (A). Prova scritta del 5 settembre 6 Esercizio Si consideri la funzione f(x) e x + x, x R. (i) Si determinino gli eventuali asintoti di f; (ii) si indichino gli intervalli di monotonia e gli eventuali punti di massimo e di minimo relativo; (iii) si trovino gli intervalli di convessità e gli eventuali punti di flesso; (iv) si disegni il grafico approssimativo di f. Esercizio Si calcoli l integrale ln(x + ) (x + 4) dx. Esercizio Due urne indistinguibili, denominate T e C, contengono entrambe dodici palline, alcune bianche e alcune rosse. Nell urna T le palline bianche sono un terzo del totale, mentre nell urna C le palline bianche e rosse sono in pari quantità. Si lancia una moneta e, a seconda del risultato testa (T ) o croce (C), si estraggono in sequenza quattro palline dall urna corrispondente.

21 (i) Calcolare la probabilità di estrarre quattro palline bianche. (ii) Avendo estratto quattro palline bianche, calcolare la probabilità che il risultato del lancio della moneta sia stato testa. Risoluzione Esercizio (i) La funzione è definita per per ogni x R ed è sempre positiva. Vediamo se ci sono asintoti. Si ha lim f(x), x + cosicché la funzione ha l asintoto orizzontale y per x +. Inoltre lim f(x) +, x e poiché f(x) lim x x +, si conclude che non vi sono asintoti obliqui né orizzontali per x. (ii) Analizziamo la derivata prima. Si ha, con facili calcoli, cosicché f (x) e x + x + e x x + x e x + x ( x + x), f (x) x + x mai. Dunque la f è decrescente in tutto R e non vi sono punti di massimo relativo né di minimo relativo. (iii) Analizziamo la derivata seconda. Con qualche calcolo si trova f (x) e x + x e x x + x e x ( + x ) / e x ( + x ) / ( ( + x ) x( + x ) + ).

22 In particolare f (x) e x ( + x ) / (( + x )( x) + ) > x R; dunque f è convessa su R e non vi sono punti di flesso. (iv) Il grafico di f è il seguente: Esercizio Integrando per parti si trova [ ln(x + ) (x + 4) dx ln(x + ) x + 4 ln ln 4 + ln ln 4 + ] dx + (x + 4)(x + ) ( x + ) dx x + 4 [ ln x + x + 4 ] ln ln 4 + ln 5 7 ln 5 4 ln 5 ln 7 + ln. 4 Esercizio (i) Denotiamo con T e C gli eventi che consistono nell uscita di testa e di croce ; la probabilità di ciascuno di essi è /. L evento A, che consiste nell estrarre in sequenza quattro palline bianche, si decompone nei due eventi disgiunti A (A T ) (A C).

23 Inoltre, poiché le palline bianche sono quattro nell urna T e sei nell urna C, P (A T ) , P (A C) Pertanto, utilizzando la formula di disintegrazione, P (A) P (A T ) + P (A C) P (A T )P (T ) + P (A C)P (C) (ii) Dobbiamo calcolare P (T A) e per questo basta far uso della formula di Bayes: P (A T )P (T ) P (T A) P (A) 6. Prova scritta del 5 gennaio 7 Esercizio Si consideri la funzione f(x) e x x + x (i) Determinare l insieme di definizione e gli eventuali asintoti della funzione f. (ii) Individuare gli intervalli di monotonia e gli eventuali massimi e minimi relativi di f. (iii) Tracciare un grafico approssimativo di f. (iv) Scrivere il polinomio di Taylor di centro e grado della funzione f. Esercizio Si calcoli l integrale x arctan x dx. Esercizio Un urna contiene 7 palline bianche e rosse. Vengono effettuate 5 estrazioni successive, senza reimbussolamento. Determinare:

24 (i) la probabilità che la prima pallina rossa esca alla quarta estrazione; (ii) la probabilità che, nell ipotesi (i), anche la quinta pallina estratta sia rossa; (iii) la probabilità che nelle cinque estrazioni escano consecutivamente almeno due palline rosse. Risoluzione Esercizio (i) La funzione f è definita per ogni x (valore per il quale si annulla il denominatore). Calcoliamo i limiti negli estremi del dominio di definizione: lim f(x), x lim e x ( ), lim f(x) + +, x + lim e x + (+ ) +. Si ha in particolare l asintoto orizzontale y per x e l asintoto verticale x per x e per x +. Quando x + non c è asintoto obliquo poiché f(x) lim x + x lim e x x + x +. (ii) Calcoliamo la derivata di f. Si ha f (x) e x x + (x ) (x + ) + ex x (x ) e x (x ) (4x 5). Quindi f (x) se e solo se 4x 5, ossia se e solo se x ], 5 ] [ 5, + [. Dunque f cresce sulla semiretta ], 5], decresce nell intervallo [ 5, 5 ] e cresce sulla semiretta [ 5, + [. In particolare, x 5 è punto di massimo relativo per f, mentre x 5 è punto di minimo relativo per f. (iii) Il grafico di f è approssimativamente il seguente:

25 (iv) Risulta f() e f () 5; inoltre, essendo f (x) d ( ) e x dx (x ) (4x 5) e x [ 4x 5 (x ) + 8x (x ) 4 4x 5 (x ) si ottiene f () 5. Pertanto il polinomio cercato è p(x) 5x + 5 x. ],

26 Esercizio Integrando per parti si ha D altra parte, risulta da cui finalmente x arctan x dx x + x dx x arctan x dx [ x arctan x ] x + dx + x [ + ] + x Essendo arctan π, concludiamo che x + x dx. dx [x + arctan x], [ (x ) arctan x x ]. x arctan x dx π Esercizio (i) Denotiamo con B i, R i e X i rispettivamente gli eventi che descrivono l uscita all i-esima estrazione di una pallina bianca, rossa o qualunque. Dobbiamo calcolare la probabilità che la sequenza delle prime quattro palline estratte sia BBBR, ossia la probabilità dell evento B B B R 4. Poiché non vi è reimbussolamento, alla prima estrazione si hanno 7 palline bianche su totali, alla seconda (supposto che la prima pallina estratta sia stata bianca) se ne hanno 6 bianche su 9, alla terza (supposto che le prime due estratte siano state bianche) 5 bianche su 8, alla quarta (supposto che le prime tre estratte siano state bianche) rosse su 7. Si ottiene pertanto P (B ) 7, P (B B ) 6 9, P (B B B ) 5 8, P (R 4 B B B ) 7. Quindi, utilizzando ripetutamente la definizione di probabilità condizionale, si ha P (B B B R 4 ) P (R 4 B B B ) P (B B B ) P (R 4 B B B ) P (B B B ) P (B B ) P (R 4 B B B ) P (B B B ) P (B B ) P (B )

27 (ii) Dobbiamo calcolare la probabilità che la sequenza delle palline estratte sia stavolta BBBRR. Ripetendo il ragionamento precedente, si trova P (B B B R 4 R 5 ) (iii) Dobbiamo calcolare la probabilità P che si realizzino almeno due estrazioni consecutive di palline rosse. Le sequenze che danno luogo a tale evento sono: RRXXX, BRRXX, BBRRX, RBRRX, BBBRR, RBBRR, BRBRR. Si tratta di estrazioni mutuamente esclusive; quindi la probabilità cercata sarà la somma delle probabilità di realizzazione di ciascuna sequenza. Risulta P (R R X X 4 X 5 ) 9 5, P (B R R X 4 X 5 ) , P (B B R R 4 X 5 ) , P (R B R R 4 X 5 ) , P (B B B R 4 R 5 ) , P (R B B R 4 R 5 ) , P (B R B R 4 R 5 ) Pertanto la probabilità cercata è P