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1 Lezione 6 La lineare Argomenti della lezione: Variabili a livello degli intervalli Variabili dicotomiche e ordinali Relazione tra variabili Studio dei legami che intercorrono tra più variabili rilevate contemporaneamente il tipo ovvero la forma della relazione tra e l'intensità ovvero la forza del legame tra e la direzione della relazione ovvero il verso positivo o negativo Forma della relazione tra due variabili Rappresentazione grafica della distribuzione congiunta: Diagramma di dispersione (Scatterplot) aggressività valutata dai compagni aggressività autovalutata Sogg. a b c d e f g

2 Intensità e direzione della relazione Coefficiente di lineare r di Pearson z x z y : almeno intervalli equivalenti Somma di prodotti di variabili standardizzate _ Z x - s x _ Z y - s y Concordanza tra e : maggiore della media e maggiore della media minore della media e minore della media on concordanza tra e : maggiore della media e minore, minore della media e maggiore r di Pearson varia tra - e + - perfetta negativa assenza di relazione lineare + perfetta positiva Valori intermedi: relazione negativa o positiva più o meno forte Formule di calcolo: Formula A) s x s y umeratore Covarianza ( - )( - ) Denominatore s x s y Relazione tra e come rapporto tra covarianza e varianze di e Coefficiente di Pearson Co v xy s x s y

3 formula B) utile per calcoli manuali - ( ) - ( ) Verifica delle ipotesi sul coefficiente di r di Pearson Distribuzione campionaria di ρ H : ρ. gdl (n-) Ipotesi nulla e alternativa: H: ρ ; H: ρ > (<, ) ρ critico per α.5 e gdl (n-) Calcolo di r sul campione Confronto valori, decisione r di Pearson e t di Student: t r - r si distribuisce come t di Student con (n-) gdl aggressività valutata dai compagni aggressività autovalutata Sogg. a b c d e f g

4 - ( ) - ( ) 8*4 7 8 (4-4 )(4 - ) (4-)(4-89) r 4/47.97 Verifica delle ipotesi: H : ρ H : ρ α.5, gdl 5, ρ critico.754 r empirico > ρ critico respingiamo H Esiste una relazione significativa tra aggressività valutata dai compagni e autovalutata Var Relazione tra due variabili dicotomiche a risposta sbagliata; risposta giusta b c d e f g h i Dom Tot Dom f a 3 f b p5 f c f d 4 q5 p'4 q'6 n Si costruisce una tabella a doppia entrata che incrocia le due variabili f a f d -f b f c pp qq 3*4 - * 5*5*4* Verifica delle ipotesi Chi n n * Chi chi critico con gdl se il chi èsignificativo, anche èsignificativo confronto tra chi empirico e critico, decisione el nostro esempio: n*r phi.7*.7 Chi Critico gdl 3.84 on si può rifiutare H on c è una relazione significativa tra le due domande

5 Relazione tra una variabile dicotomica e una variabile continua Coefficiente di punto-biseriale r pb a - b n a n b s * x n n Domande in un test attitudinale cui si può rispondere giusto () o errato () Verificare se l item 3 va nello stesso verso del totale del test: quando un soggetto ha un punteggio alto nel test, risponde giusto alla D3 e viceversa Per i valori in cui D3 la media è: ( )/8 5.5 Per i valori in cui D3 la media è: (5++)/33. a 5.5, b 3, S x.8, n a 8, n b 3 r pb a - b s * n a n b x n n *3 *.55 Verifica delle ipotesi: si trasforma r pb in t di Student t r pb - r pb Si confronta questa t con la t critica per α prescelto, gdl(n-), e H mono o bi-direzionale H : r pb H : r pb > trasformiamo di r pb in t: t r pb - r pb t t critico con 9 gdl per α.5 (monodirezionale).833 decisione: t calcolato > t critico Rifiutiamo l'ipotesi nulla. C'è relazione tra le due variabili

6 Relazione tra variabili su scala ordinale Due variabili te su scala ordinale, oppure una su scala ordinale e l'altra su scala a intervalli o rapporti Coefficiente r s (o rho) di Spearman: tra ranghi graduatoria in italiano graduatoria in matematica Sogg a b c d e d(-) C'è concordanza tra le due graduatorie? Coefficiente di tra ranghi: 6Σ d r s - n(n -) Σd (++++6) 6x r s - - 5(5 -) - on c'è relazione tra le due graduatorie n Verifica delle ipotesi: Se 3: valori tabulati di r S in funzione di α e di n Se n > 3: si trasforma r S in t di Student con (n-) gdl t r s - r s H : ρ s. H : ρ s >. per α.5 e n 5 ρ scritico.9 r s - 6* 5(5 -) - - on posso respingere H r s < r scritico.9 COCLUSIOE var. almeno intervalli eq. r di Bravais- Pearson

7 COCLUSIOE COCLUSIOE var. ordinali ordinale int. eq. rho di Spearman (r s ) Var. dicotomica Var. almeno int. eq. r puntobiseriale COCLUSIOE var. dicotomiche