Metodi Stocastici per la Finanza

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1 Metodi Stocastici per la Fiaza iziao Vargiolu 1 1 Uiversità degli Studi di Padova Ao Accademico Lezioe 3

2 Idice 1 Il modello di Cox-Ross-Rubistei 2 Dal modello di Cox-Ross-Rubistei a quello di Black-Scholes 3 Esercitazioe

3 Il modello biomiale di Cox-Ross-Rubistei Cosideriamo u modello di Cox-Ross-Rubistei, dove il titolo seza rischio evolve secodo e il titolo rischioso secodo B k+1 = B k (1 + R), k = 1,...,, S k+1 = S k ξ k+1, k = 1,...,, (1) co (ξ k ) k i.i.d. co distribuzioe, sotto Q, data da Q{ξ k = u} = q, Q{ξ k = d} = 1 q i modo che S := S/B sia ua martigala. Questo sigifica che E Q [ξ ] = 1, i.e. q = 1 + R d u d

4 Prezzaggio e copertura di opzioi europee Allora il prezzo di u titolo derivato H = h(s ) al tempo k è dato da E Q [B 0 /B H F k ] = E Q [(1 + R) h(s ) S k ] che si può calcolare agevolmete co u algoritmo biomiale. Il portafoglio di copertura relativo al titolo rischioso al tempo k è k = E Q[B 0 /B h(s ) S k+1 = S k u] E Q [B 0 /B h(s ) S k+1 = S k d] S k (u d)

5 Da Cox-Ross-Rubistei a Black-Scholes Si puó dimostrare che, per u opportua dipedeza di u, d, R e q, questo modello coverge i legge ad u modello di Black-Scholes. L idea é che, siccome passado al logaritmo si ha che log S = log S 0 + log ξ k k=1 la somma delle variabili aleatorie idipedeti e limitate (log ξ k ) k=1,..., coverge, per, ad ua variabile aleatoria gaussiaa, e quidi il prezzo del titolo ad ua logormale. uttavia, dato che la legge di (log ξ k ) k=1,..., o é costate ma dipede da, o si puó usare direttamete il eorema Limite Cetrale per otteere questo risultato.

6 Fuzioi caratteristiche U modo abbastaza immediato é ivece quello di passare per le fuzioi caratteristiche: per semplicitá, verifichiamo solo che S (prezzo all ultimo istate el modello di Cox-Ross-Rubistei) coverge i legge verso S( ) (prezzo all ultimo istate el modello di Black-Scholes), dove ricordiamo che, sotto la misura martigala equivalete Q, ds(t) = S(t)(r dt + σ dw (t)), t [0, ] Iazitutto abbiamo φ log S (v) = E[e iv log S ] = E[e iv log S 0 ]E[e iv log ξ k ] = = S0 iv (qe iv log u + (1 q)e iv log d )

7 Scelta di u, d ed r Scegliamo ora i parametri u, d ed r come ell articolo origiale di Cox-Ross-Rubistei (1979): poiamo u = u = e σ q, d = d = e σ q, R = R = e r 1 dove σ è la volatilità e r è il tasso composto (auale) el modello di Black-Scholes. Allora abbiamo q q ) φ log S (v) = S0 (qe iv ivσ + (1 q)e ivσ = [ ( ) = S0 iv q 1 + ivσ 1 2 v 2 σ 2 + o( 1 ) + ( )] +(1 q) 1 ivσ 1 2 v 2 σ 2 + o( 1 ) = ( = S iv v 2 σ 2 + ivσ (2q 1) + o( 1 ) )

8 Approssimazioe di q Per cotiuare il calcolo, ci serve approssimare q: q q = q = 1 + R d = e r e σ q q = u d e σ e σ 1 + r + o( 1 ) 1 + σ 1 2 σ2 + o( 1 ) = 1 + σ σ2 + o( 1 ) 1 + σ = σ + ( r 1 2 σ2) + o( 1/2 ) 2σ + o( 1/2 ) = ( r 1 2 σ2 ) 1 2σ e di cosegueza 2q 1 = = + o( 1/2 ) ( r 1 ) 1 2 σ2 σ + o( 1/2 ) 1 2 σ2 + o( 1 ) =

9 Covergeza della fuzioe caratteristica Cocludedo, φ log S (v) = S iv 0 = S iv 0 = S iv 0 ( S iv 0 exp ( v 2 σ 2 + ivσ (2q 1) + o( 1 )) = ( r 1 ) 1 2 σ2 σ v 2 σ 2 + ivσ ( v 2 σ 2 + iv (r 12 ) σ2 ( iv (r 12 ) σ2 1 ) 2 v 2 σ 2 che é la fuzioe caratteristica di ua N(log S 0 + (r 1 2 σ2 ), σ 2 ). Questo sigifica che S coverge i legge verso S( ) = S 0 exp ((r 12 ) ) σ2 σw ( ) + o( 1 ) ) + o( 1 ) ) =

10 Covergeza del prezzo di opzioi europee Dato che baalmete B 0 = (1 + R ) = (1 + e r 1) = e r B si ha che per ogi fuzioe h cotiua e limitata [ ] B0 E h(s ) E[e r h(s( ))] B Se più i geerale chiamiamo BS(t, s; ) := E[e r( t) h(s ) S t = s] il prezzo Black-Scholes al tempo t di u claim che matura al tempo quado il sottostate al tempo t vale s, si può dimostrare i modo aalogo che E [ Bk B h(s ) S k = s dove prediamo k = k tale che k ] BS(t, s; ) t (es. k := [ t ] ).

11 Covergeza del portafoglio di copertura Il modello di Cox-Ross-Rubistei forisce poi ache ua buoa approssimazioe del portafoglio di copertura trovato el modello di Black-Scholes. Difatti possiamo approssimare il portafoglio di copertura di Cox-Ross-Rubistei co = E[ B k+1 B h(s ) S k+1 = S k u ] E[ B k+1 B h(s ) S k+1 = S k d ] S k (u d ) BS(t + 1, S ku ; ) BS(t + 1, S kd ; ) S k (u d ) s BS(t, S t; ) e quidi ache il portafoglio di copertura Cox-Ross-Rubistei coverge a quello Black-Scholes.

12 Esercitazioe Fissati prezzo iiziale S 0, tasso r, volatilità σ, strike K e maturità, approssimare il prezzo di ua call otteuto co la formula di Black-Scholes co quello otteuto co l algoritmo biomiale. Più i dettaglio: aprire u foglio di calcolo; el foglio di calcolo impostare le coloe come segue: D E F G H I J K prezzo strike maturità tasso vol d0 d1 prezzo call (ad esempio prededo il foglio di calcolo della volta scorsa e aggiugedo 3 coloe prima della coloa A, che quidi diveta coloa D) ella terza riga, implemetare la formula di Black-Scholes come ella scorsa esercitazioe; ella casella K3 dovrebbe comparire il prezzo di ua call secodo la formula di Black-Scholes;

13 Esercitazioe (cot.) impostare le prime tre coloe come segue: A B C Iterazioi prezzo CRR prezzo BS ella coloa A scrivere i umeri da 1 a 50; ella coloa B, implemetare i VBA u algoritmo CRR per calcolare il prezzo di ua call che abbia come iput: prezzo iiziale, strike, maturità, tasso, volatilità e umero di iterazioi; ella coloa C copiare il prezzo come da formula Black-Scholes (è sufficiete impostare =K$2 i tutte le caselle) fare u grafico che cotega sia il prezzo CRR che quello BS i fuzioe delle iterazioi. Come coverge il prezzo CRR?

14 VBA e Opeoffice.org Basic Per accedere all editor dei programmi i ambiete OpeOffice, adare su ools Macros Orgaize Macros OpeOffice.org Basic e si aprirà ua maschera. Nella fiestra Macro from selezioare (omefile) Stadard e schiacciare i tasti New o Edit a destra a secoda che si voglia scrivere u uovo programma o modificare uo esistete. Se si sta importado u file co ua macro preesistete, bisoga assicurarsi che il livello di protezioe di OpeOffice permetta la sua esecuzioe: adare su ools Optios Security OpeOffice.org Security Macro-Security e settare il livello su Medium.

15 Struttura di u programma La struttura tipica di u programma VBA, e quidi ache OpeOffice.org BASIC, è la seguete: Fuctio omefuzioe(var1,...,var) (programma) Ed Fuctio dove: omefuzioe è il ome co cui si vuole richiamare la fuzioe all itero del foglio elettroico, che o deve essere uguale ad ua fuzioe già presete; var1,...,var soo i omi delle variabili che si voglioo passare i iput alla fuzioe; tra Fuctio ed Ed Fuctio ci soo le istruzioi per eseguire la procedura.