Principi di modellazione

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1 Corso di Progettazione Assistita da Computer (PAdC) CLM Ing. Meccanica Parte III Principi di modellazione

2 Simmetrie geometriche Possibili proprietà di simmetria delle strutture - Simmetria rispetto ad un piano - simmetria - antisimmetria - Simmetria assiale - assialsimmetria - assialsimmetria armonica - Simmetria ciclica

3 Simmetrie geometriche Simmetria rispetto ad un piano y z x Piano di simmetria - Geometria, materiali e vincoli simmetrici rispetto al piano - Carico speculare (simmetrico) rispetto al piano di simmetria

4 Simmetrie geometriche Simmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria delle tensioni normali P P ( P) = ( P) x ( P) y ( P) z x = ( P) y = ( P) z z y x Piano di simmetria

5 Simmetrie geometriche Simmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria delle tensioni tangenziali z P y x Piano di simmetria P xy yz xz xy xz ( P) = ( P) xy ( P) = ( P) yz ( P) = ( P) xz (sul piano) = 0 (sul piano) = 0

6 Simmetrie geometriche Simmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria degli spostamenti P P U ( P) = U ( P) U U x y z ( P) = U ( P) ( P) = U ( P) y z x U x (sul piano) = 0 z y x Piano di simmetria

7 Simmetrie geometriche Simmetria rispetto ad un piano Modellazione equivalente: metà volume modellato e opportuni vincoli sul piano di simmetria Condizione da imporre: soluzione speculare stessa soluzione y U x = 0 inoltre, non applicando forze ulteriori sul pianodisim m:. xy = = 0 xz z x

8 Simmetrie geometriche Antisimmetria rispetto ad un piano z y x Piano di antisimmetria - Geometria, materiali e vincoli simmetrici rispetto al piano - Carico speculare + inversione di segno (antisimmetrico) rispetto al piano di simmetria

9 Simmetrie geometriche Antisimmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria delle tensioni normali z y P x Piano di antisimmetria P ( P) = ( P) x ( P) = ( P) y ( P) = ( P) z (sul piano) = 0 x (sul piano) = 0 y (sul piano) = 0 z x y z

10 Simmetrie geometriche Antisimmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria delle tensioni tangenziali P P xy yz xz ( P) = ( P) ( P) ( P) xy = = xz yz ( P) ( P) yz (sul piano) = 0 z y x Piano di antisimmetria

11 Simmetrie geometriche Antisimmetria rispetto ad un piano Relazioni di simmetria degli spostamenti z y P x Piano di antisimmetria P U ( P) = U ( P) x U ( P) = U ( P) U U U y z y z ( P) = U ( P) (sul piano) = 0 (sul piano) = x y z 0

12 Simmetrie geometriche Antisimmetria rispetto ad un piano Modellazione equivalente: metà volume modellato e opportuni vincoli sul piano di simmetria Condizioni da imporre: U y = U z = 0 inoltre, soluzione speculare e inversione di segno stessa soluzione y non applicando forze ulteriori sul piano di simm.: = = = 0 x y z yz = 0 z x

13 Simmetrie geometriche Strutture con g.d.l. di rotazione (elementi Beam e Shell) Piano di Simmetria z y x VINCOLI SUI NODI Carichi simmetrici: U x = 0 ROT y = 0 ROT z = 0

14 Simmetrie geometriche Strutture con g.d.l. di rotazione (elementi Beam e Shell) Piano di Antisimmetria z y x VINCOLI SUI NODI Carichi simmetrici: U y = 0, U z = 0 ROT x = 0

15 Simmetrie geometriche Esempi di strutture simmetriche nel piano con elementi Beam, assenza di alcuni g.d.l. quindi corrispondenti vincoli non necessari: Simmetria Antisimmetria z y x Non necessario: ROT y = 0 z y x Non necessario: U z = 0 ROT x = 0

16 Simmetrie geometriche Struttura simmetrica, sia Solida sia Beam & Shell, carico qualunque: analisi per sovrapposizione di una componente Simmetrica ed una Antismmetrica F F Simulazione con Simmetria Simulazione con Antisimmetria F /2 F /2 F /2 F /2 F /2 F /2 F /2 F /2

17 Simmetrie geometriche Assialsimmetria (già analizzata) Condizioni per Assialsimmetria: - geom. assialsimmetrica (sez. di rivoluzione) - vincolo assialsimmetrico - carico assialsimmetrico (costante con θ) - carico nel piano di sez. Condizioni per Assialsimmetria armonica: simmetria assiale geometrica e di vincolo, tuttavia carico generico, scomponibile in serie di Fourier ed anche componente fuori piano Elementi armonici Y Asse di simmetria θ Carico assialsimmetrico Sezione di rivoluzione X

18 Simmetrie geometriche Simmetria ciclica Condizione di simmetria ciclica: - Presenza di un settore che ripetuto n volte genera la geometria - Condizioni di carico generiche purché cicliche

19 Asse di simmetria Simmetrie geometriche Simmetria ciclica Sui due piani di sezione è necessario individuare coppie di nodi corrispondenti (il mesh sulle due facce deve essere lo stesso) Piano di sezione 2 Piano di sezione 1 Nodo 2 a Nodo 1 Nodi 1 e 2 sono corrispondenti (si sovrappongono in seguito ad una rotazione a attorno all asse di simmetria) U R,1 =U R,2 ROT R,1 =ROT R,2 Z R q U q,1 =U q,2 U Z,1 =U Z,2 ROT q,1 =ROT q,2 ROT Z,1 =ROT Z,2 Condizioni da imporre con CE o CP oppure il comando specifico CYCLIC

20 Simmetrie geometriche Esempio: Travatura reticolare con elementi Link180 e proprietà di simmetria Attribuzione dell area con Real Const., oppure con: SECTYPE, n, LINK SECDATA, area Peso 10 kn/m Briglia superiore 2.0m Aste diagonali Aste di parete 1.5m 2 A =1000mm Briglia inferiore 2 A = 500mm Piano di simmetria 20m File di comandi (No simm.): StrutturaReticolarePiana_Link180.txt

21 Simmetrie geometriche Esercitazione da svolgere: Telaio con elementi Beam188 e proprietà di simmetria HE200B HEB200 HE200B ¼ ¾ HE160A HEA160 P =100kN HE260M HE160A Determinare la sollecitazione alla base della colonna verticale sfruttando al meglio la simmetria del problema

22 Simmetrie geometriche Risultato finale, confronto con il modello Full 1 LINE STRESS STEP=9999 SBZT_I SBZT_J MIN = ELEM=3 MAX = ELEM=2 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SBZT_I SBZT_J MIN = ELEM=3 MAX = ELEM=2 Stesso risultato della porzione modellata Z Z Y X Y X Analisi con 2 Load Step (simmetria, antisimmetria), successiva ricostruzione della soluzione con LCASE Alternativamente sommare i risultati dei due Load Step visualizzati separatamente Analisi con il modello completo e un solo Load Step per riferimento

23 Simmetrie geometriche 1 AREAS TYPE NUM Esercitazione da svolgere: Ripetere l analisi della trave a doppio T appoggiata, utilizzando al meglio le proprietà di simmetria h = h e P = 10kN distr. uniforme su area Appoggio Y Z X Sezione HE 100 B L = 2400mm Appoggio

24 Singolarità dello stato di tensione Se lo stato di tensione del modello presenta dei punti di singolarità (valori tendenti a ), il valore calcolato tramite gli EF nei punti stessi mostra un andamento sempre crescente (divergente) con l affinamento del mesh. Non è quindi possibile alcuno studio di convergenza Le singolarità possono avere un origine geometrica (es. l apice di una fessura o un intaglio a raggio nullo) oppure dipendere dalla struttura del modello, vale a dire dal modo di rappresentare: carichi vincoli Il modello può essere comunque utile anche se contiene una singolarità (dipende dalle sue finalità) in quanto la conoscenza delle tensioni nell intorno di quest ultima può non essere essenziale 1/h Andamento tipico della tensione calcolata in un punto di singolarità al variare dell infittimento locale della mesh

25 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione di particolari geometrici Una rappresentazione approssimata dei dettagli geometrici del corpo, in particolare la sostituzione di raggi di raccordo con spigoli vivi, può provocare singolarità nello stato di tensione presente nel modello dimensione locale elemento h Lo stato di tensione è divergente e non rappresentativo del corpo reale in tutto un intorno dello spigolo 1/h

26 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione di particolari geometrici Soluzioni possibili Creazione di un modello contenente il raggio di raccordo 1/h Stato di tensione effettivo Pb. Spesso il raggio di raccordo non è noto con sufficiente precisione o varia da punto a punto (es. saldature)

27 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Il modo di rappresentare i carichi (Es. Forza concentrata vs. Pressione distribuita) può influenzare sensibilmente le informazioni ottenibili dal modello, tuttavia l effetto è limitato alle zone in prossimità del punto di applicazione Gli effetti di una determinata schematizzazione dipendono anche fortemente dal tipo di elemento utilizzato (Trave, Shell, Solido) Nel caso di elementi trave non si riscontrano singolarità dello stato di tensione, qualunque sia la schematizzazione dei carichi (concentrati o distribuiti) L andamento delle tensioni è quello dato dalle teoria delle travi, in cui è ammessa l applicazione di una forza concentrata x x Diminuendo la dimensione dell elem. locale la soluzione è stabile y h: lunghezza elemento

28 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Nel caso di elementi solidi (o shell ) si riscontrano singolarità nello stato di tensione in presenza di carichi concentrati. P t: spessore shell Infittendo progressivamente si osserva infatti che le dimensioni (h) degli elementi su cui è applicato il carico tendano a zero. Pertanto, le tensioni medie al loro interno: P th

29 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Carichi concentrati che producono stati di tensione singolari: P p Solido 2D p :carico di linea, p h Shell 3D, P th P P Shell 3D Solido 3D P, 2 h singolarità di 2 grado

30 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Un carico distribuito su di una superficie non produce singolarità Fi = P / n F i Solido 3D Per annullare la sing. di 2 grado è necessaria una ridistribuzione su un'area P/ n n h 2, ( 1/ ) finito 2 h

31 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Un carico distribuito su di una superficie non produce singolarità Fi = P / n Fi = P / n Shell 3D P/ n n th 2, ( 1/ h ) 0 + altre tensioni strutturali (es. flessione) Analogamene con elementi Beam, un forza distribuita produce un incremento del taglio tendente a zero h: lunghezza elemento + altre tensioni strutturali

32 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei carichi Carichi distribuiti su di una linea: producono tensioni non singolari su di un modello a shell e singolari su di un modello solido non singolare: L F i = P / n singolare: L Fi = P / n P/ n, ( n 1/ h ) finito th Sing. di 1 grado è sufficiente una ridistr. su una linea Shell 3D Solido 3D P/ n, ( 1/ ) 2 n h h Per il 2 grado non è sufficiente la ridistr. su una linea

33 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei vincoli Se il vincolo trasferisce al modello una forza/momento, può produrre singolarità nello stato di tensione, analoghe a quelle viste per i carichi. Esempi di vincoli concentrati in un solo nodo: R, R, Shell 3D r, Solido 3D Solido 2D

34 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei vincoli Se il vincolo trasferisce al modello una forza/momento, può produrre singolarità nello stato di tensione, analoghe a quelle viste per i carichi. Esempi di vincoli lungo una linea: Fi = P / n L Fi = P / n L, finito,

35 Singolarità dello stato di tensione Schematizzazione dei vincoli Analogamente alle forze, i vincoli distribuiti su superfici finite non producono singolarità. N.B.: un vincolo di spostamento su una zona estesa (3D) produce però due vincoli di rotazione che potrebbero essere non desiderati Fi R / n Shell 3D, 0 + altre tensioni strutturali Solido 3D, finito

36 Applicazione di carichi e vincoli al modello Carichi e vincoli applicati ad una struttura / componente Modalità di applicazione del sistema di vincoli e carichi: -1- Sistema isostatico o iperstatico e carichi applicati (forze e momenti) -2- Analisi statica per il calcolo delle reazioni vincolari ed applicazione di un sistema auto-equilibrato, tuttavia è richiesta l eliminazione della labilità anche con vincoli nodali singoli

37 Applicazione di carichi e vincoli al modello Opzione 1: applicazione al modello delle forze esterne e del sistema di vincoli effettivo Vincolo con la biella y Sistema di rif. ausiliario (es. 11) x CSYS,11 NROTAT,num_nodo D,num_nodo,ux,0 CSYS, NROTAT, L applicazione della guida prismatica si esegue con carrelli, oppure elementi di contatto (unilaterali) L applicazione della cerniera si può inizialmente modellare come un unico vincolo su un nodo, orientato secondo la direzione della biella, introducendo però un punto di singolarità Carrelli o gap

38 Applicazione di carichi e vincoli al modello Opzione 2: applicazione al modello del sistema di forze completo (autoequilibrato) + un sistema di vincoli isostatico (oppure Weak Springs) I vincoli sono necessari per evitare singolarità della matrice di rigidezza della struttura: Degree of freedom limit exceeded Direz. biella In questo caso i vincoli per eliminare la labilità possono anche essere applicati a nodi singoli, essendo teoricamente scarichi (eventuali reazioni bassissime) L effettiva posizione dei vincoli è ininfluente essendo in pratica scarichi, comunque è consigliato evitare le zone di interesse della soluzione In alcuni casi può essere più semplice l applicazione dei carichi in sostituzione ai vincoli, tuttavia l effetto locale può essere diverso perché è necessario introdurre delle assunzioni sulle distribuzioni. Inoltre, è possibile eliminare le singolarità ripartendo una carico concentrato su più nodi (a parità di risultante e momento)

39 Schematizzazione vincoli Vincoli di una struttura di tipo monodimensionale, in cui è necessario gestire i g.d.l. di rotazione Con elementi trave la schematizzazione dei vincoli è intuitiva e naturale Cerniera (3D) Rotazioni libere sezione Appoggio (3D) Rotazioni libere sezione

40 Schematizzazione vincoli Equivalenza cinematica y x Un vincolo in direzione radiale su tutti i nodi della zona di appoggio del cuscinetto impedisce anche la rotazione attorno a y e a z e quindi non è corretto considerando il normale gioco del cuscinetto

41 Schematizzazione vincoli Equivalenza cinematica y Soluzioni cinematicamente corrette: x Vincolare solo un nodo, in posizione corrispondente al centro di rotazione del cuscinetto N.B.: tensioni singolari y x Alternativamente si può vincolare in direzione radiale tutti i nodi esterni che giacciono sul piano medio del cuscinetto N.B.: tensioni singolari, anche se carico di linea e quindi ordine di singolarità più basso

42 Schematizzazione vincoli Equivalenza cinematica Per eliminare la singolarità e lasciare libere le rotazioni si può vincolare in direzione y e z un nodo non appartenente all albero (nodo Master), posizionato in corrispondenza del centro di rotazione del cuscinetto y Nodo appartenente all albero x Nodo non appartenente all albero Successivamente connettere tale nodo a quelli della superficie di appoggio del cuscinetto (nodi Slave) tramite regione rigida, comando CERIG. Alternativamente la connessione può essere fatta con elementi Link o anche Beam di opportuna (elevata) rigidezza

43 Schematizzazione vincoli Vincolo in corrispondenza dell applicazione del carico In alcuni casi la regione di applicazione dei carichi può coincidere con quella di applicazione di alcuni vincoli, ovviamente secondo altre direzioni Es.: Provino piatto afferrato fra le ganasce di serraggio e carico di trazione Provino piatto in materiale composito, diversi test al variare dell angolo delle fibre

44 Schematizzazione vincoli Vincolo in corrispondenza dell applicazione del carico Le ganasce di serraggio impediscono le deformazioni delle sezioni di afferraggio del provino Vincolo di uguaglianza degli spostamenti y (comando CP su più nodi) Pressione uniforme Vincolo sugli spostamenti x e z N.B.: Se la forza (pressione) agisce secondo la direzione del vincolo si scarica direttamente su di esso e non sul resto della struttura. In questo caso infatti, il vincolo in direz. y è solo relativo (CP) Incastro completo

45 Schematizzazione vincoli Vincolo in corrispondenza dell applicazione del carico Alternativamente si può, di nuovo, usare la regione rigida e il nodo Master Nodo Master Nodi Slave Al nodo Master si impone i vincoli secondo tutti i g.d.l., compreso le rotazioni, escluso però lo spostamento in direzione y, ed infine si applica la forza (totale) secondo y In questo caso, essendo nulle le rotazioni, la posizione del Mater rispetto agli Slave può essere qualunque

46 Compatibilità tra elementi Esempi di collegamenti non corretti, che producono una discontinuità nel campo di spostamenti al confine fra due elementi adiacenti 8 nodi 4 nodi 8 nodi 8 nodi 8 nodi 4 nodi 4 nodi 8 nodi

47 Compatibilità tra elementi Esempio di giunzione corretta: la soppressione del nodo centrale produce nell elemento di sinistra la stessa funzione interpolante lungo il lato comune 7 nodi (8 nodi mod.) 4 nodi

48 Compatibilità tra elementi Elementi di tipo diverso possono essere usati nello stesso modello solo se hanno gli stessi g.d.l., sia di traslazione che di rotazione. Beam (6 g.d.l./nodo) Beam (6 g.d.l./nodo) Non corretto Possibile Solid 3D (3 g.d.l./nodo) Shell 3D (6 g.d.l./nodo)

49 Compatibilità tra elementi Il nodo dell elemento Beam (o Shell) a 6 g.d.l. può essere connesso ad un insieme di nodi di elementi Solid solo se vincolati a comportarsi come una superficie rigida (comando CERIG) Nodo Master Beam (6 g.d.l./nodo) Nodi Slaves Il nodo Master, avendo 6 g.d.l. (anche le rotazioni), è compatibile con un nodo Beam/Shell Solid 3D (3 g.d.l./nodo)

50 Compatibilità tra elementi Esempio: Trave incastrata modellata a tratti con diversi tipi di elemento L Dati F Parametri di geometria D e = 40 mm D i = 20 mm L = 390 mm Parametri di carico P = 200 N D e D i Parametri di materiale E = MPa ν = 0.3

51 Compatibilità tra elementi Tipi di elemento da utilizzare e vincoli da imporre fra le diverse porzioni del modello F Porzione di modello BRICK Porzione di modello SHELL Porzione di modello BEAM Applicazione dei CP Applicazione di CERIG

52 Compatibilità tra elementi Tipi di elemento da utilizzare e vincoli da imporre fra le diverse porzioni del modello 1 ELEMENTS 1 ELEMENTS Y X Z Y X Z /eshape,1 Porzione Solid185 Porzione Shell181 Porzione Beam188 Trave incastrata modellata con porzioni di tipi di elemento diversi Trave incastrata modellata con porzioni di tipi di elemento diversi

53 ELEMENTS U F CP CE Compatibilità tra elementi Vincoli relativi: CP fra nodi elementi Shell e nodi elementi 1 Solid 1 CE fra nodo elemento Beam e nodi elementi Shell ELEMENTS U ROT F CP CE 1 ELEMENTS Y X Z U ROT F CP CE ELEMENTS U ROT F CP 1 CE (CERIG) ELEMENTS U Y ROT FZ X CP Y Z

54 Compatibilità tra elementi Vincoli relativi: CE fra nodo elem. Beam e nodi elem. Shell 1 ELEMENTS DEC :47:37 Nodi SLAVE Nodo MASTER Trave incastrata, modellata a porzioni di tipi di elemento diversi CERIG, NodoMaster, all, all Tutti i gradi di libertà Numero del nodo MASTER: NodoMaster = node(x,y,z) Nodi SLAVE selezionati

55 Compatibilità tra elementi Vincoli relativi: CP fra nodi elem. Shell e nodi elem. Solid 1 ELEMENTS U ROT F CP CE DEC :54:41 Applicazione dei CP: nodi SHELL coincidenti con i nodi BRICK L intero carico per settore viene trasferito ad un solo nodo solido, ed inoltre la rotazione degli elementi Shell non viene trasferita agli elementi Solid Trave incastrata, modellata a porzioni di tipi di elemento diversi

56 Compatibilità tra elementi Tensione flessionale con linea di singolarità 1 NODAL SOLUTION 1 NODAL SOLUTION Effetto del trasferimento dello spostamento di nodi Shell su nodi Solid (singolarità delle tensioni) STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = MX MN DEC :15:20 DEC :09:36 Y MX X Z MN Trave incastrata, modellata a porzioni di tipi di elemento diversi

57 1 ELEMENTS U ROT F CE Compatibilità tra elementi Vincoli relativi CP sostituiti da vincoli CERIG DEC :17:28 Nodo MASTER appartenente all elemento SHELL Nodi SLAVE appartenenti agli elementi BRICK Trave incastrata, modellata a porzioni di tipi di elemento diversi File di comandi: CombinazioneTipiElementi_TraveIncastrata.txt

58 Compatibilità tra 1 elementi NODAL SOLUTION Vincoli relativi CP sostituiti da vincoli CERIG STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 DMX = SMN =-9.9 SMX =9.9 Trasferimento corretto dello spostamento fra nodi Shell e nodi Solid, singolarità tensionale eliminata MX DEC :32:38 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = MX Y X Z MN DEC :28:54 MN Trave incastrata, modellata a porzioni di tipi di elemento diversi File di comandi: CombinazioneTipiElementi_TraveIncastrata.txt Università di Pisa

59 Esercitazione da svolgere: Trave a C, determinazione del centro di taglio s =1mm X h = 20mm T L =100mm b =10mm

60 Esercitazione da svolgere: Trave a C, determinazione del centro di taglio G T CT T Carico sul baricentro, momento torcente nullo, ma rotazione della sezione Carico sul centro di taglio, momento torcente, ma rotazione della sezione nulla

61 Esercitazione da svolgere: Trave a C, determinazione del centro di taglio Componente deformativa solo flessionale Componente deformativa solo torsionale G T = CT T + CT T ( x + x ) G Sovrapposizione degli effetti, nel caso in cui il carico T sia applicato in un punto diverso dal Centro di Taglio, ad esempio nel Baricentro

62 Esercitazione da svolgere: Trave a C, determinazione del centro di taglio xz s b xz O h xy X x CT T 1 1 J x = s h + sb h 12 2 ( max) h Sx = bs 2 ( max) (max) TSx xz = J s M x t CT = t = = x 1 (max) xz sbh 2 2 M 3b T h 6b Calcolo con Jourawski della posizione del centro di taglio: si assume solo la componente di taglio delle tensioni e si calcola il momento

63 Esercitazione da svolgere: Trave a C, determinazione del centro di taglio 1 ELEMENTS Elemento trave solo per attivare il nodo Master /eshape,1 NOV :31:56 Ricerca del centro di taglio sezione a C Regione rigida: CERIG Nodo Master Utilizzo della simmetria Come determinare la posizione del centro di taglio con analisi EF, senza Jourawski?

64 Valutazione dell errore Il metodo EF fornisce sempre soluzioni approssimate Se le f.ni di forma rispettano le condizioni descritte e non ci sono cause di singolarità, il metodo risulta convergente alla soluzione esatta, all aumentare del numero di g.d.l. Risulta di particolare interesse: analizzare la velocità di convergenza fornire stime a posteriori dell errore associato ad un determinato risultato del modello stabilire come modificare un modello per ridurre l errore entro limiti prestabiliti

65 Valutazione dell errore Definizioni: Errore sulle spostamento: Errore sullo tensioni: Energia associata all errore: ( ˆ ) ( ˆ ) e = u u n n n U n n n e = - per l elemento i (ETABLE, Lab, SERR) valore stimato dal software - totale sul modello (*GET, Par, PRERR, 0, SERSM) valore stimato dal software e i 1 T = dv = 2 V 1 = 2 V Valori nodali esatti (non noti) T 1 D e = i e i dv in cui: e n definizioni successiva Norma dell errore percentuale associato all energia (Structural percent error in energy norm) (*GET, Par, PRERR, 0, SEPC) e E = 100 circa proporzionale linearmente a e n U + e U è l energia elastica dell intero modello

66 Valutazione dell errore Le funzioni di forma forniscono una rappresentazione polinomiale della funzione di spostamento nelle vicinanze di un nodo, simile a quella ottenibile attraverso una serie di Taylor: 2 2 u u u 2 u 2 u = u ( xn, yn ) + ( x xn ) + ( y yn ) + 2 ( x xn ) + 2 ( y yn ) +... x y x y Il dominio di validità di tale sviluppo corrisponde alle dimensioni h degli elementi, pertanto: ( ) max x x, y y h n n n

67 p+ 1 ( ) n e = O h " O grande": infinitesimodello stesso ordine di (.) U Valutazione dell errore L errore connesso con tale approssimazione sarà un infinitesimo dell ordine del primo termine non incluso nello sviluppo, vale a dire: p = grado polinomiale utilizzato per lo sviluppo = grado delle funzioni di forma Quello sulle tensioni, proporzionali alla derivata m-esima degli spostamenti, sarà n p + 1 e = O h m quindi: ( ) n Energia associata all errore: 2( ( p + 1 m) ) Norma percentuale dell energia associata p 1 m all errore: E = O( h + ) (dello stesso ordine dell errore delle tensioni) ei = O h

68 Valutazione dell errore Problema piano Elementi lineari: p = 1 e e n U n ( 2 ) = O h = O h ( 1) Dimezzando le dimensioni degli elementi l errore su U si riduce ad ¼ mentre quello sulle tensioni ad ½ Inoltre, dato che: n h h n gdl 2 1/2 gdl e e n U n = O n = O n ( 1 ) gdl ( 1/2 ) gdl

69 Valutazione dell errore Problema piano Elementi quadratici: p = 2 e e n U n ( 3 ) = O h = O h ( 2 ) Dimezzando le dimensioni degli elementi l errore su U si riduce ad 1/8 e quello sulle tensioni ad ¼ Inoltre, dato che: n h h n gdl 2 1/2 gdl e e n U n = O n = O n ( 3/2 ) gdl ( 1 ) gdl

70 Valutazione dell errore Problema 3D Elementi lineari: p = 1 e e n U n ( 2 ) = O h = O h ( 1) Dimezzando le dimensioni degli elementi l errore su U si riduce ad ¼ e quello sulle tensioni ad ½ Inoltre, dato che: n h h n gdl 3 1/3 gdl e e n U n = O n = O n ( 2/3 ) gdl ( 1/3 ) gdl

71 Valutazione dell errore Problema 3D Elementi quadratici: p = 2 e e n U n ( 3 ) = O h = O h ( 2 ) Dimezzando le dimensioni degli elementi l errore su U si riduce ad 1/8 e quello sulle tensioni ad ¼ Inoltre, dato che: n h h n gdl 3 1/3 gdl e e n U n = O n = O n ( 1 ) gdl ( 2/3 ) gdl

72 Valutazione dell errore La convergenza sugli spostamenti è più rapida di quella sulle tensioni, es.: pb. piano p = 1: e e n U n = = ( 2 ) O h ( 1) O h La convergenza in funzione del numero di gdl è più rapida in problemi 2D rispetto a problemi 3D, es.: p = 1: ( 1/2 ) n ( 1/3 ) gdl gdl n 2D: e = O n 3D: e = O n

73 EF/teorico EF/teorico Valutazione dell errore Fn. di forma: grado 1 e e n U n = = ( 2 ) O h ( ) O h 1 Studio di convergenza Uy Sx Convergenza degli spostamenti più rapida gdl n g.d.l.

74 Valutazione dell errore Errore sugli spostamenti 10 1 Tasso di convergenza previsto e e n U n = O n = O n ( 1 ) gdl eu ( 1/ 2 ) gdl e U Uy gdl n g.d.l.

75 e Valutazione dell errore Errore sulle tensioni 10 Tasso di convergenza previsto e e n U n = O n = O n ( 1 ) gdl ( 1/ 2 ) gdl 1 e 0.1 ½ 1 Sx gdl n g.d.l.

76 Stima a posteriori errore tensioni Ovviamente non è possibile una valutazione esatta dell errore, se fosse noto l errore sarebbe noto anche il valore esatto. Tuttavia è sicuramente utile averne una maggiorazione (o più in generale una stima) e la distribuzione di tale errore nel modello, in modo da guidare il suo eventuale affinamento Come stimare l errore, in particolare in ANSYS? Quali strategie utilizzare per ottimizzare il modello?

77 Stima a posteriori errore tensioni Ogni elemento collegato ad un nodo fornisce una diversa stima di tensione Si assume quindi un valore mediato per la generica componente di tensione nel nodo: Componente generica, stimata al nodo n jk n jk Esatta EF Soluz. Nodale (Nodal Solution) x n jk 1 N = N Num. di elementi che convergono al nodo n i= 1 n, i jk Comp. generica calcolata nel nodo n dall elemento i

78 Stima a posteriori errore tensioni Assumendo che tale valore mediato sia accurato, si può porre: ( ˆ ) ( ) = n, i n, i n n, i n jk jk jk jk jk Incertezza sulla generica componente dell elemento i nel nodo n Valore esatto (non noto) Valore mediato (noto) Si usa questo parametro di incertezza per la stima dell errore = = = i n, i max jk ; n 1,..,n. nodi; jk 1,..,n. comp. Parametro SDSG nel comando PLESOL

79 Stima a posteriori errore tensioni Si stima quindi l errore medio nel nodo, come media quadratica tra tutti gli elementi che convergono al generico nodo n: = N n i= 1 ( i ) 2 N I limiti massimo e minimo di tensione su ogni nodo sono dati da: = + max, n n n jk jk = min, n n n jk jk SMXB In ANSYS SMNB I valori estremi nel modello, possono essere visualizzati con il comando: /GRAPHICS, FULL

80 Stima a posteriori errore tensioni SDSG i = max jk n, i SMXB, SMNB PLESOL,SDSG,,0,1.0 /GRAPHICS,FULL

81 Ottimizzazione del modello È possibile utilizzare gli stimatori di errore per affinare il modello, migliorando la mesh al fine di ridurre l errore stesso Esiste una procedura automatica (mesh adaptivity) per ottenere la mesh che si adatta automaticamente al livello di errore voluto. Si può procedere seguendo due possibili modi: mantenere fisso il tipo di elemento (cioè la f.ne di forma e quindi p) e ridurre progressivamente le dimensioni h degli elementi utilizzati ( h-convergence ) mantenere fisse le dimensioni e la disposizione degli elementi ed aumentare progressivamente p, variando le funzioni di forma utilizzate ( p-converegence ) e aumentando congruentemente i punti di integrazione Non più supportato

82 Ottimizzazione del modello - h-convergence Il processo di h-convergence si svolge in maniera iterativa Calcolo di e i per gli elementi Selezione elementi con e i più elevata 1 T 1 ei = D dv 2 V Ulteriore suddivisione degli elementi selezionati no Soluz. con la nuova mesh Calcolo di E E<tol.? si FINE e e = ei E = 100 U + e i

83 Ottimizzazione del modello - h-convergence Iniziale Finale

84 Ottimizzazione del modello - h-convergence Tensioni Iniziale Finale

85 Ottimizzazione del modello - h-convergence Energia legata all errore negli elementi (SERR) Iniziale Finale 1 T 1 ei = D dv 2 V

86 Ottimizzazione del modello - h-convergence Alternativamente, si può fare di fatto una h-convergence sfruttando i comandi di infittimento locale, e parametrizzando tale procedura L affinamento degli elementi è da concentrare nelle zone di maggiore variabilità della soluzione, e solo quelle di interesse Un procedimento automatico può concentrarsi su zone dove la qualità della soluzione può essere trascurata, ad esempio singolarità lontane dalla zona di interesse PLESOL,SDSG,,0,1.0 Infittimento locale controllato

87 Sviluppo di modelli EF Problema fisico Scopi dell analisi Idealizzazioni e semplificazioni Modello di calcolo

88 Sviluppo di modelli EF Modello di calcolo Tecniche di modellazione ad EF Modello ad EF Quali componenti di tensione e/o spostamento NO OK?

89 Sviluppo di modelli EF Modello di calcolo Tecniche di modellazione ad EF Modello ad EF NO Quali componenti di tensione e/o spostamento OK? SI NO OK? SI Confronto con dati sperimentali oppure altre analisi Fine analisi

90 700 Sviluppo di modelli EF - Esempio struttura carro ponte Trave principale La rappresentazione dello stato di tensione nella porzione della trave principale immediatamente sottostante la ruota del carrello dipende fortemente dal modello utilizzato

91 Sviluppo di modelli EF - Esempio struttura carro ponte Modello basato su elementi Beam le uniche componenti di tensione non nulle sono: y z x xy xz x Si trascurano quindi le y che invece sono necessarie localmente per equilibrare il carico esterno le x hanno un andamento lineare nella sezione secondo il modello Beam Nella zona del carico è invece da attendersi P un andamento perturbato/singolare P x P x P y

92 Sviluppo di modelli EF - Esempio struttura carro ponte Modello basato su elementi Shell P Le tensioni variano linearmente nello spessore del guscio e hanno andamento generico nel suo piano medio È possibile rappresentare in modo più realistico l andamento delle y e delle z sulla sezione della trave, tuttavia rimane il problema della singolarità P y

93 Sviluppo di modelli EF - Esempio struttura carro ponte Modello basato su elementi Shell r Lo stato di tensione nella zona del raccordo presenta andamenti non lineari (dovuti a concentrazione di tensione) dipendenti dai dettagli geometrici, non compresi nel modello a Shell che ammette solo distribuzione lineare o costante

94 Sviluppo di modelli EF - Esempio struttura carro ponte Modello basato su elementi Brick (Solid3D) Modellazione più generica e completa, tuttavia molto più onerosa In generale si può sempre fare un analisi globale con un modello Beam, Shell o 3D grossolano e poi l analisi locale di sottomodello con elementi solidi 3D ed infittimento

95 Sviluppo di modelli EF - Esempio trave tubolare Modello basato su elementi Beam/Pipe Nella modellazione con elementi Beam o Pipe rettilinei non è possibile tenere di conto dell effetto di curvatura della trave 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =-.217E-10 ELEM=52 MAX = ELEM=1 Stessa tensione Y Z X -.217E

96 Sviluppo di modelli EF - Esempio trave tubolare Modello basato su elementi Beam/Pipe Si ottiene una prima correzione considerando 1 elementi NODAL SOLUTION STEP=1 BEAM189 SUB =1 TIME=1 (con USUM (AVG) RSYS=0 terzo DMX = nodo SMX = centrale) oppure elementi Pipe curvi: ELBOW290 BEAM188 Migliore convergenza in termini di spostamento con elementi BEAM189, anche se l effetto di curvatura non è considerato, e al limite (molti 1 NODAL SOLUTION elementi) si ottiene lo stesso risultato STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) MX RSYS=0 DMX = SMX = BEAM189 MX Y MN Z X Y MN Z X

97 Sviluppo di modelli EF - Esempio trave tubolare STEP=1 Modello basato su elementi Beam/Pipe SUB =1 TIME=1 Si ottiene una prima correzione considerando elementi BEAM189 (con terzo nodo centrale) oppure elementi Pipe curvi: ELBOW290 1 LINE STRESS SIBE_I SIBE_J MIN =0 ELEM=1 MAX = ELEM=2 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =-.204E-10 ELEM=3 MAX = ELEM=1 0 Y Z X Tensione maggiore con ELBOW290 e migliore risultato di spostamento Y Z X -.204E

98 Sviluppo di modelli EF - Esempio trave tubolare Modello basato su elementi Shell Passando ad una modellazione con elementi SHELL181 si supera il limite di sezione compatta che è insito nel modello Beam, riuscendo quindi ad ottenere una distribuzione più complessa delle tensioni 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = Oltre all effetto di trave curva, si aggiunge l effetto a guscio che non è prevedibile in alcun modo con elementi Beam MX MN