Principali tipi di elemento e loro impiego

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1 Corso di Progettazione Assistita da Computer (PAdC) CLM Ing. Meccanica Parte II A Principali tipi di elemento e loro impiego

2 Principali tipi di elemento 2D 3D ASTA Travature reticolari x z x

3 Principali tipi di elemento 2D 3D TRAVE Telai x z x

4 Principali tipi di elemento 2D 3D GUSCIO Piastra/guscio assialsimmetrico Piastra/guscio 3D x z x

5 Principali tipi di elemento 2D 3D SOLIDO Pb. di meccanica dei Solidi nel piano x Pb. di meccanica dei Solidi in 3D z x

6 Altri tipi comuni di elemento GAP PIPE Pb. contatto Massa Tubazioni Molla Masse concentrate Elementi elastici

7 Elementi Piani Problemi di elasticità piana 4 (3) nodi 2 g.d.l /nodo tre classi di problemi: Lastre in stato piano di tensione ( plane stress ) Corpi in stato piano di deformazione ( plane strain ) Corpi assialsimmetrici ( axi-smmetric )

8 Elementi Piani Esempi di zone di transizione per gestire diversi livelli di infittimento Triangolo Quadrilatero

9 Elementi Piani Rispetto all elemento triangolare è possibile scrivere 4 condizioni (invece di 3) per ciascuna delle f.ni di forma i l j k N N N N ( x ( x ( x ( x j k l i,,,, k l i j ) = 1 ) ) ) = = = N 11 1 Per tale motivo, le f.ni di forma possono avere una formulazione a 4 parametri, che include un termine di 2 grado misto N x, = A + B x + C + D x ( ) i x l j k

10 Elementi Piani Rispetto all elemento triangolare è possibile Superficie scrivere rigata: 4 condizioni ogni (invece di 3) per ciascuna delle f.ni di sezione forma con piani x = cost mostra una variazione l lineare con e viceversa i j k N N N N ( x ( x ( x ( x j k l i,,,, k l i j ) = 1 Tuttavia muovendosi con una inclinazione x/ si ottiene invece un andamento parabolico ) ) ) = = = N 11 1 i x l j k N x, = A + B x + C + D x ( )

11 Elementi Piani ux x = x u = u u x = + x Andamento tensioni/deformazioni x N ( x, ) = A + B x + C D x lm lm lm lm + lm x = a + b = c + d x x = e + f x + g

12 Esempi di applicazione come modellazione piana Plane Stress Plane Strain Axismmetric modelli equivalenti 3D

13 Elementi Piani - Stato piano di Tensione (Plane Stress) sono caratterizzati dall avere una delle componenti principali di tensione nulla su tutti i punti del modello si verificano tipicamente in corpi piani, di spessore piccolo rispetto alle altre dimensioni caratteristiche del problema, caricati nel loro piano medio z x z = 0,, 0 x x xz = = 0 z

14 Elementi Piani - Stato piano di Deformazione (Plane strain): sono caratterizzati dall avere una delle componenti principali di deformazione nulla su tutti i punti del modello si verificano tipicamente in corpi di spessore grande rispetto alle altre dimensioni caratteristiche del problema = 0 z = ( + ) z x,, 0 x x - + z x z = 0

15 Elementi Piani - Stato piano di Deformazione (Plane strain): Il modello giace sul piano x- e rappresenta una sezione, eseguita con un piano ortogonale all asse z, della struttura. I carichi sono sempre definiti per unità di spessore. = 0 z = ( + ) z x,, 0 x x z x Modellazione nel piano x-: geometria, vincoli e carichi nel piano. Eventuale simmetria per ridurre il modello di ½.

16 Stato piano di Def. Generalizzato (Generalized Plane Strain) Alla soluzione plane strain si aggiunge un termine di forza normale, e relativa deformazione, uniforme, in modo da annullare la risultante in direzione assiale = ( + ) + z x z,, 0 x x Autoconstraint a risultante nulla z x,, 0 (stessa soluzione plane strain) x x = ( + ) + z x z è tale che: = 0, uniforme z z z z z z = ( x + ) = E E E

17 180 Elementi Piani Il modello giace sul piano x- e rappresenta il piano della struttura. I carichi possono essere definiti considerando lo spessore (Plane strs w/thk) oppure per unità di spessore (Plane stress, default). R10 Utilizzo delle simmetrie (mostrato in seguito) 60

18 Elementi Piani Confronto soluzione Pl. Stress / Pl. Strain 1 1 Y Z X MX MN Y Z X MX MN ANSYS Release 17.2 Build 17.2 OCT :59:09 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF = YF = Z-BUFFER ANSYS Release 17.2 Build 17.2 OCT :59:09 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF = YF = Z-BUFFER Plane Stress Soluzione nel piano KOpt 1 = 3 = 2

19 Elementi Piani Confronto soluzione Pl. Stress / Pl. Strain 1 1 Y Z X MX MN Y Z X MX MN ANSYS Release 17.2 Build 17.2 OCT :00:02 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF =14.78 YF = Z-BUFFER ANSYS Release 17.2 Build 17.2 OCT :00:02 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF =14.78 YF = Z-BUFFER Limitata differenza di natura numerica Plane Strain Soluzione nel piano KOpt 1 = 3

20 Elementi Piani Confronto soluzione Pl. Stress / Pl. Strain MN MX Y Z X 1 Plane Stress Componente SZ nulla 1 Y Z X MX ANSYS Release 17.2 Build 17.2 OCT :59:44 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = ZV =1 DIST= XF = YF = Z-BUFFER MN Y Z X MX MN ANSYS Release 17.2 ANSYS Build 17.2 OCT :00:16 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SZ (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF =14.78 YF = Z-BUFFER Plane Strain Componente SZ non nulla Build OCT 12:00 NODAL STEP= SUB = TIME= SZ RSYS= Power EFACE AVRES DMX = SMN = SMX = ZV = DIST= XF = YF = Z-BUF

21 Elementi Piani - Stato assial-simmetrico (Axismmetric): si verificano in corpi di geometria assial-simmetrica (ottenibile per rotazione di una sezione attorno ad un asse fisso z) caricati con carichi che presentano lo stesso tipo di simmetria fissato un SR cilindrico r, q, z, per simmetria lo stato di tensione/deformazione risulta indipendente da q e le componenti di spostamento in direzione circonferenziale (q) risultano nulle: il problema può di conseguenza essere studiato come piano z z z Provino cilindrico intagliato soggetto a trazione r q Recipiente cilindrico soggetto a pressione interna Modelli equivalenti 3D

22 Elementi Piani - Stato assial-simmetrico (Axismmetric): Il modello deve rappresentare una sezione del corpo fatta con un piano passante per l asse di simmetria (in ANSYS, l asse di simmetria e la direzione radiale devono coincidere rispettivamente con l asse Y e l asse X del SR cartesiano globale) Un modello piano è numericamente molto più leggero dell equivalente modello 3D! Modelli equivalenti 3D e area di modellazione

23 x x x x x u x u u u x u x q = = = + = Rispetto al caso plane stress è necessario aggiungere una componente di deformazione/tensione = x x x L Elementi Piani - Stato assial-simmetrico 2π x 2π ( ) x u x + x u x 2π ( ) 2π 2π x x x x u x u x x + = =

24 Elementi Piani - Stato assial-simmetrico 1 Y Z X ANSYS: - Asse Y (globale): asse di assial-simmetria - Sez. da riportare sul lato X positive - Non necessario il vincolo sull asse di simmetria 1 Y MN Y Z X MX MN ANSYS Release 19.0 Build 19.0 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 SY (AVG) RSYS=0 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX =.0052 SMN = SMX = ZV =1 DIST= XF = YF = Z-BUFFER ANSYS Build NODAL STEP= SUB = TIME= SY RSYS= Power EFACE AVRES DMX = SMN = SMX = ZV = DIST= XF = YF = Z-BUF Z X MX

25 Elementi Asta N 2 nodi N 3 g.d.l. per nodo nel spazio F.ne di forma lineare (monodimensionale) N 11 = A 11 + B 11 x j Espressione nel S.R. elemento: i x N N 11 N N 13 N 11 = (L-x)/L

26 Elementi Asta N 2 nodi N 3 g.d.l. per nodo nel spazio F.ne di forma lineare (monodimensionale) N 13 = A 13 + B 13 x j Espressione nel S.R. elemento: i x N N 11 N N 13 N 13 = x/l

27 Elementi Asta OSSERVAZIONE: La soluzione ottenuta è esatta, nel senso che rappresenta senza errori lo stato di tensione/deformazione di un membro di una travatura reticolare. Elemento asta ( L x) x ux ( x) = uxi + uxj L L ( L x) x uxj uxi = uxi + uxj = = x L L L = E Forza normale: N = A cost

28 Elementi Asta Traliccio Esempio: Traliccio di sostegno per batterie di perforazione petrolifera. Questo tipo di strutture viene tradizionalmente trattato con modelli a travatura reticolare, assimilando i nodi a cerniere.

29 Elementi Asta Traliccio Esempio: Traliccio di sostegno per batterie di perforazione petrolifera. Il modello è giustificabile con: bassa rigidezza flessionale delle aste, oppure giochi tra bulloni e fori

30 Elementi Asta Traliccio Bassa rigidezza delle aste: Dipende dal rapporto tra la rigidezza estensionale e quella flessionale delle singole travi, vale a dire: EA L EJ 3 L A 2 L 2 = L = = J r 2 Suggerimento: fare delle analisi di sensibilità con casi di riferimento

31 Elementi Asta Traliccio Nel fare il modello si possono escludere le aste che non hanno una funzione strutturale (rompitratta) L analisi statica strutturale non comprende l instabilità Modello di calcolo

32 Elementi Asta ANSYS NEW Disponibile solo l elemento 3D. Per simulazioni 2D è sufficiente vincolare il grado di libertà Z di tutti i nodi. Travature reticolari piane e spaziali sola forza normale 2 nodi 3 g.d.l /nodo carichi applicabili solo nei nodi caratteristiche geometriche richieste: A

33 Elementi Asta ANSYS Dati di input per l elemento asta 3D (180) di ANSYS

34 Elementi Asta Esempio Peso copertura 10 kn/m Aste Briglia superiore diagonali 2.0 m Aste di parete 1.5m 2 A =1000mm Briglia inferiore 2 A = 500mm 20 m File di comandi: StrutturaReticolarePiana_Link180.txt

35 Elementi Asta Esempio 1 ELEMENTS U F Y 1Z X Modello Modello File di comandi: StrutturaReticolarePiana_Link180.txt

36 Elementi Asta Esempio 1 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 DMX = U F Y Z X Deformata File di comandi: StrutturaReticolarePiana_Link180.txt

37 Elementi Asta Esempio 1 ELEMENT SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 N (NOAVG) DMX = SMN = SMX = Y Z X MN MX Forza normale File di comandi: StrutturaReticolarePiana_Link180.txt

38 Elementi Asta Esempio Accesso ai risultati per l elemento asta 3D Comando ETABLE ETABLE,N,SMISC,1! estrae la "forza normale" dal data base

39 Elementi Asta Esempio Accesso ai risultati per l elemento asta 3D Comando ETABLE ETABLE,SN,LS,1! estrae il dato "tensione assiale" dal data base

40 Elementi Trave Telai spaziali 2 (3) nodi 3D 6 g.d.l /nodo Carichi concentrati e distribuiti Car. geometriche: A, J zz, J, J xx, (Real Constants) Il SR di elemento è definito per convenzione o con il 3 nodo Gli assi e z locali devono coincidere con gli assi principali di inerzia della sezione L elemento BEAM4 è basato sulla teoria delle travi di Eulero-Bernoulli, che trascura le deformazioni da taglio L elemento BEAM4 non è più supportato BEAM188

41 Elementi Trave Dati di input per l elemento trave 3D (BEAM4) di ANSYS

42 Elementi Trave 2D Il piano x, deve contenere: fibre baricentriche travi rette di azione dei carichi uno degli assi principali di inerzia delle sezioni Telai piani 2 nodi 3 g.d.l /nodo carichi concentrati e distribuiti Car. geometriche: A, J x, L elemento "beam" 2D non è più supportato. Per condurre un analisi piana, si usa l elemento 3D e si vincolano i gdl fuori piano per tutti i nodi (u z = rot x = rot = 0) in cui x è l asse della trave, usando o il BEAM4 oppure il BEAM188

43 Elementi Trave Elementi solidi: ogni nodo (punto) rappresenta un punto del continuo (eventualmente piano) tramite tre (due) g.d.l. Elementi strutturali (asta/trave): ogni nodo (punto) rappresenta una sezione) tramite sei (tre) g.d.l. Elementi strutturali (piastra/ guscio): ogni nodo (punto) rappresenta uno spessore tramite sei g.d.l.

44 Elementi Trave Trave: con il nodo si rappresenta lo stato di spostamento dell intera sezione j x u xj u j Ipotesi sezioni piane 3 g.d.l. per nodo q j du ( ) ux = uxj q j = uxj dx Teoria delle travi Eulero-Bernoulli x= x j q j du = dx x= x j

45 Stato di tensione/deformazione implicitamente conseguente alla scelta di elementi trave: le deformazioni dovute al taglio sono trascurate, ma non le tensioni le uniche componenti di tensione non nulle sono (modello trave): Elementi Trave x 2D x x z x x 3D xz x le x hanno un andamento lineare nella sezione (formula di Navier) x x

46 u i i u xi x q i Funzioni di forma, dipendenza solo da x: 2D u i j u xi q i L ( ) Elementi Trave i ux q i e u x u U u ( x) = N ( x) U u u = = uxj q u j e q j i ux N11( x) N12( x) N13( x) N14( x) N15( x) N16( x) i u N21( x) N22( x) N23( x) N24( x) N25( x) N26( x) q = uxj q N31( x) N32( x) N33( x) N34( x) N35( x) N36( x) uj u u xi xi q j

47 u i i q i u xi 2D u i j L x Piccoli spostamenti/deformazioni q i u xi Elementi Trave ( ) i ux q i e u x u U u u = = uxj q u j q j xi u x (x) = f (u xi, u xj ) N ( x) = N ( x) = N ( x) = N ( x) = condizioni per u x (x) F.ni di forma lineari in x x x u ( x) = N11( x) u + N14( x) u = 1 u + u L L x xi xj xi xj x N11( x) = 1 N14( x) = L x L

48 u i q i 2D u i q i Elementi Trave i u xi L j u xi x Lo spostamento x non da contributo agli altri due g.d.l.: u u i ux N N i u 0 N22 N23 0 N25 N q = 26 uxj q 0 N32 N33 0 N35 N 36 uj xi q j

49 u i q i 2D u i q i Elementi Trave i u xi L j u xi x Inoltre l angolo è la derivata dello spostamento: ( ) u x ux = u in cui: q = q du dx d d N = N N = N dx dx d d N = N N = N dx dx

50 u i q i 2D u i q i Elementi Trave i u xi L j u xi x Inoltre l angolo è la derivata ux du dello spostamento: ( ) u x = u in cui: q = dx q uxi u i ux N N qi u = 0 N22 N23 0 N25 N26 uxj q d d d d 0 N22 N23 0 N25 N 26 u j dx dx dx dx q j

51 u i q i 2D u i q i Elementi Trave i u xi L j u xi x 4 condizioni per u (x) u (x) di 3 grado in x 2 3 ( ) = u x A Bx Cx Dx q = B + 2Cx + 3Dx 2 Condizioni sui nodi (spostamenti e rotazioni): u (0) = ui q(0) = qi u ( L) = uj q( L) = q j

52 Elementi Trave u ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 22 i 23 i 25 j 26 j q ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 32 i 33 i 35 j 36 j N ( x) = A + B x + C x + D x N ( x) = A + B x + C x + D x N ( x) = A + B x + C x + D x N ( x) = A + B x + C x + D x Polinomio di grado 3 N ( x) = B + 2C x + 3D x N ( x) = B + 2C x + 3D x N ( x) = B + 2C x + 3D x N ( x) = B + 2C x + 3D x Polinomi di derivazione

53 Elementi Trave u ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 22 i 23 i 25 j 26 j q ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 32 i 33 i 35 j 36 j Condizioni sui nodi: Condizioni sui nodi: u N N N N (0) = u i (0) = 1 A = (0) = 0 A = (0) = 0 A = (0) = 0 A = u ( L) = u j N ( L) = 0 1+ C L + D L = N ( L) = 0 L + C L + D L = N ( L) = 1 C L + D L = N ( L) = 0 C L + D L = q(0) = q N N N N i (0) = 0 B = (0) = 1 B = (0) = 0 B = (0) = 0 B = q( L) = q j N L C L D L 2 32( ) = = 0 N L C L D L 2 33( ) = = 0 N L C L D L N 2 35( ) = = ( L) = 1 2C26L + 3D26L = 1

54 Elementi Trave u ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 22 i 23 i 25 j 26 j q ( x) = N ( x) u + N ( x) q + N ( x) u + N ( x) q 32 i 33 i 35 j 36 j Ponendo a sistema si risolvono i termini C, D : 2* 2* N ( L) = 0 1+ C L + D L = N L C L D L 2 32( ) = = 0 N ( L) = 0 L + C L + D L = N L C L D L 2 33( ) = = 0 N ( L) = 1 C L + D L = N L C L D L 2 35( ) = = 0 N ( L) = 0 C 26 + D L = ( ) = = 1 L N L C L D L A = 1 B22 = 0 1+ C22L + D22L = C22 = 3/ L 2C22L + 3D22L = 0 3 D22 = 2/ L 2 A23 = 0 B23 = 1 1+ C23L + D23L = 0 2 C23 = 2/ L 1 + 2C23L + 3D23L = 0 2 D23 = 1/ L A = 0 B25 = 0 C25L + D25L = 1 2 C 2 25 = 3/ L 2C25L + 3D25L = 0 3 D25 = 2/ L 2 3 A26 = 0 B26 = 0 C26L + D26L = 0 2 C26 = 1/ L 2C26L + 3D26L = 1 2 D26 = 1/ L

55 Elementi Trave Sostituendo nelle f.ni di forma: x x x x u = ui qi x 2L + L + L L L L x x x x + uj q j L + L L L L L Infine per derivazione (o sostituzione delle f.ni di forma derivate): x x x x q = ui qi L L L L L x x x u x + j q j L L L L L

56 Elementi Trave Oss.ne: la f.ne utilizzata per rappresentare la deformata della trave è una cubica: 2 3 ( ) = u x A Bx Cx Dx Le f.ni di forma rappresentano esattamente punto per punto la deformata del tratto di trave solo nel caso di taglio costante. Negli altri casi la rappresentazione di spostamenti, deformazioni e tensioni nei punti interni è approssimata, con errore che decresce al diminuire delle dimensioni dell elemento (convergenza). T costante T 3 d u ( ) x = costante 3 dx T non costante

57 Elementi Trave Esempio di taglio costante: trave appoggiata con carico concentrato A = 10 4 J = 10 8 M max =

58 Elementi Trave Esempio di taglio costante: trave appoggiata con carico concentrato BEAM4, 2 ELEMENTI - ERRORE = 0 % (Sol. Esatta) M max =

59 Elementi Trave Esempio di taglio non costante: trave appoggiata con carico distribuito variabile linearmente A = 10 4 J =

60 Elementi Trave Esempio di taglio non costante: trave appoggiata con carico distribuito variabile linearmente M max = z max =2113

61 Elementi Trave Esempio di taglio non costante: trave appoggiata con carico distribuito variabile linearmente Convergenza al diminuire della dimensione dell elemento (numero di elementi crescente) M max = z max =2113

62 Elementi BEAM188 NEW 3D/2D BEAM188 2 (3) nodi 6 g.d.l /nodo (eventuale g.d.l. warping KOpt(1) da attivare, altrimenti di Default non attivo) Carichi concentrati e distribuiti Car. geometriche: A, J zz, J, J xx, (Comando SECTYPE) Timoshenko invece che Eulero- Bernoulli Per condurre un analisi piana, si usa l elemento BEAM188 e si vincolano i g.d.l. fuori il piano di analisi: u = 0, θ x = θ z = 0, in cui x è l asse della trave

63 Elementi BEAM188 NEW 3D/2D BEAM188 2 (3) nodi 6 g.d.l /nodo (eventuale g.d.l. warping KOpt(1) da attivare, altrimenti di Default non attivo) Carichi concentrati e distribuiti Car. geometriche: A, J zz, J, J xx, (Comando SECTYPE) Timoshenko invece che Eulero- Bernoulli Possibilità di definire la funzione di forma. lungo l asse x locale in base, alla KOpt3: KOpt3 = 0 Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 Funzione di forma cubica

64 BEAM188 / BEAM4 NEW 3D/2D L elemento BEAM188 è basato sulla teoria delle travi di Timoshenko, che include una valutazione approssimata della deformabilità a taglio (deformazioni costanti sulla sezione) Input ed impiego simili al BEAM4, rispetto a cui garantisce una maggiore accuratezza, in particolare per travi non troppo snelle ("slender to moderatel stubb/thick beam structures") (Tot) = (Bending) + (Shear) B S B S Coppia distribuita: FL m= = F L F

65 BEAM188 / BEAM4 Confronto tra elementi trave basati sulle teorie di Timoshenko e di Eulero-Bernoulli: spostamento di trave a mensola Il valore della deformabilità a taglio dell elemento BEAM188 può essere controllato tramite il comando: SECCONTROLS

66 Elementi BEAM188 Dati di input per l elemento trave 3D (BEAM188) di ANSYS ANSYS: = 1 Si può correggere, oppure inserendo valori molto alti si ri-ottiene di fatto la soluzione di Eulero/Bernoulli F F GA = 6 10 ATot = A Anima In alcune trattazioni si usa, il simbolo a dividere

67 Elementi BEAM188 BEAM188 KOpt3 = 0 - Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 - Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 - Funzione di forma cubica BEAM4 ~ BEAM188, KEYOPT(3) = 3

68 Elementi BEAM188 BEAM188 KOpt3 = 0 - Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 - Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 - Funzione di forma cubica

69 Elementi BEAM188 BEAM188 KOpt3 = 0 - Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 - Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 - Funzione di forma cubica 1 s 1

70 Elementi BEAM188 / BEAM189 BEAM188 / BEAM189 KOpt3 = 0 - Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 - Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 - Funzione di forma cubica 1 s 1 N.B.: K rappresenta un nodo «interno» (non è il nodo K per l orientamento) Invece per il BEAM189 è di fatto un nodo aggiuntivo, e poi è possibile aggiungere un successivo nodo L (opzionale) per l orientamento

71 Elementi BEAM188 / BEAM189 Nodo K Similitudine con l elemento quadrilatero piano di forma quadratica a 8 nodi

72 Elementi BEAM188 BEAM188 KOpt3 = 0 - Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 - Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 - Funzione di forma cubica 1 s 1 N.B.: anche in questo caso K, L sono nodi interni

73 Funzioni di forma nell intervallo canonico 0 x L 1 s 1 Stessa formulazione nell intervallo canonico x x x x u = ui qi x 2L + L + L L L L x x x x + uj q j L + L L L L L BEAM188 Funzioni di forma cubiche con accoppiamento angolo-spostamento (Eulero-Bernoulli) Funzioni di forma senza componenti accoppiate, per la trattazione di Timoshenko (BEAM188), tuttavia con KOpt3 = 3 per cui si ottiene la soluzione esatta a taglio costante

74 Elementi BEAM188 SR tradizionale per le caratteristiche di sollecitazione Car. sollecitazione trave 3D SR usato da ANSYS per le caratteristiche di sollecitazione (Il SR è definito per ogni singolo elemento trave con senso di percorrenza dal nodo I al nodo J) i x Convenzione classica con asse trave: z z j N = Fx T Y = SF T Z = SFz M Y = M M Z = Mz M X = TQ i Risultanti di azioni agenti sul tratto di asta a valle della sezione z k ANSYS asse trave: x x j

75 Elementi BEAM188 Definizione (e segno) delle car. della sollecitazione, es.: Taglio effetto del nodo K che definisce l asse Z i i z x j k z x j k SFz SF

76 Elementi Trave ETABLE Accesso ai risultati per l elemento trave 3D Comando ETABLE Torsione ETABLE,MYI,SMISC,2! Nodo I ETABLE,MYJ,SMISC,15! Nodo J Successivo comando per il Plot: PLLS,MYI,MYJ Fx = Forza normale SF = Taglio SFz = Taglio z TQ = Torsione M = Flessione Mz = Flessione z

77 Elementi Trave ETABLE Accesso ai risultati per l elemento trave 3D Comando ETABLE Tensione fibra baricentrica ETABLE,SZI,SMISC,31! Nodo I ETABLE,SZJ,SMISC,36! Nodo J

78 Elementi Trave ETABLE Accesso ai risultati per l elemento trave 3D Comando ETABLE Es.: SBzT Tensione (Stress) di flessione (Bending) nel piano x-z in corrispondenza del lato superiore (Top), altrimenti inferiore (Bottom)

79 Elementi Trave SECTYPE, SECDATA SECTYPE,SECID,Tpe,Subtpe,Name N id. Tipo: Sottotipo: Denom. BEAM, per Tpe = BEAM RECT Rectangle PIPE, QUAD Quadrilateral etc. CSOLID Circular solid CTUBE Circular tube CHAN Channel I I-shaped section Z Z-shaped section L L-shaped section T T-shaped section SECNUM,SECID Per attivare un diverso tipo di sezione

80 400 Elementi Trave SECTYPE, SECDATA SECDATA,VAL1,VAL2,VAL3,,VAL10 Parametri geometrici della sezione (dipendono dal tipo di sezione): Tpe: BEAM, Subtpe: I Data to provide in the value fields: W1, W2, W3, t1, t2, t3 Es.: SECTYPE,1,beam,i SECDATA,400,400,400,5,5,5

81 Elementi Trave SECTYPE, SECDATA Visualizzazione: /ESHAPE, SCALE, KEY 0 - mostra gli elementi beam come una linea 1 - mostra gli elementi beam come volumi, con la loro sezione N.B.: il modello rimane di tipo beam, non diventa di tipo brick, il comando ha soltanto valenza grafica

82 Elementi Trave SECTYPE, SECDATA SECPLOT, SECID Produce un disegno della sezione indicata, con i valori calcolati delle proprietà. z Centro di Taglio (Shear Center) Baricentro (Centroid)

83 Esempio: Carroponte 3D Trave principale 5 Interasse ruote testata (e 1 ) =5 m Scartamento (S) =20 m Scartamento carrello = 2.5 m 200 Testata

84 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 Suddivisione in più elementi per tratto per assegnare un carico distribuito (peso) Z Y 29 X Modello

85 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 Z Y X Forma effettiva della sezione: /ESHAPE,1 (BEAM4 solo sezione rettangolare)

86 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 ANSYS OCT 13:50 DISPL STEP= SUB = TIME= Power EFACE AVRES DMX = U F M Z Y X DSCA= XV = YV = ZV = DIST= XF = YF = ZF = A-ZS= Z-BUF PRES- Deformata

87 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 ANSYS OCT 13:51 LINE STEP= SUB = TIME= TZI MIN = ELEM= MAX = ELEM= Z Y X Taglio Z (asse Z locale)

88 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 ANSYS OCT 13:52 LINE STEP= SUB = TIME= MYI MIN = ELEM= MAX = ELEM= Z Y X Momento flettente M (asse Y locale)

89 File di comandi : Carroponte_Beam4.txt Esempio: Carroponte 1 ANSYS OCT 13:52 LINE STEP= SUB = TIME= MTI MIN = ELEM= MAX = ELEM= Z Y X Momento torcente Mx (asse X locale)

90 Esempio: Carroponte Rappresentazione grafica risultati Comando PLLS ETABLE,MYI,SMISC,2 ETABLE,MYJ,SMISC,15 PLLS,MYI,MYJ 1 Z Momento flettente M (asse Y locale) Y X ANSYS LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 MYI MYJ MIN =-.352E+09 ELEM=3 MAX =.787E-03 ELEM=23 XV =1 YV =-1 ZV =1 DIST= XF =2500 YF =10000 ZF =-87.5 A-ZS=-60 Z-BUFFER -.352E E E E E E E E E E-03

91 Esercitazione da svolgere: Gru a bandiera 6 8 CP kn sp. 5 Sez. braccio 1

92 Esercitazione da svolgere: Gru a bandiera Uso dei CP C*** C*** VINCOLI C*** D,1,ALL,0! incastro base colonna CP,1,UX,3,7! appoggio orizzontale inferiore colonna-braccio CP,2,UX,4,5! cerniera superiore colonna-braccio CP,3,UZ,4,5

93 Elementi Pipe Elementi per lo studio di sistemi di tubazioni ( piping ) Tubo rettilineo: elemento trave con un apposita definizione dei parametri geometrici (diametro e spessore di parete, invece di A, J, etc.) con ulteriori input di pressione interna/esterna e di temperatura

94 Elementi Pipe Versione attuale PIPE288 Simile NEW Sistemi di Piping nello spazio Car. Geometriche con Comando SECTYPE Le funzioni di forma variano lungo l asse x locale in base alla KOpt3: KOpt3 = 0 Funzione di forma lineare KOpt3 = 2 Funzione di forma quadratica KOpt3 = 3 Funzione di forma cubica

95 Elementi Pipe Dati di input per l elemento PIPE288 di ANSYS SECTYPE, N. id, PIPE SECDATA,Val1,Val2,

96 Elementi Pipe

97 Elementi Pipe Tubo curvilineo: elemento che permette di modellare i tratti curvilinei, e che tiene conto del basso rapporto tra raggio di curvatura e diametro NEW SECTYPE, N. id, PIPE SECDATA,Val1,Val2,

98 Elementi Pipe Tubo curvilineo: elemento che permette di modellare i tratti curvilinei, e che tiene conto del basso rapporto tra raggio di curvatura e diametro NEW SECTYPE, N. id, PIPE SECDATA,Val1,Val2,

99 Elementi Pipe Tubo curvilineo: divisione in strati nel senso dello spessore per imporre diverse proprietà di materiale, rifacendolsi ad una definizione di SECTYPE,SHELL precedente

100 ELEMENTI PIPE Dimensioni espresse in metri Il modello rappresenta i tratti di tubazione di colore blu ed i 2 vessel File comandi: Piping_P16P18.txt

101 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Curve a 90 (Pipe 18) Pipe di connessione rigide sezione molto maggiore Y Z X

102 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Elementi: connessioni deselezionate per fini grafici Tratto benzina Recipiente (Vessel) comunque modellato come Pipe Tratto olio Y Z X

103 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Nodi, elementi e vincoli Y Z 23 1 X

104 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Carico di temperatura uniforme a tratti ANSYS ELEMENTS TEMPERATURES TMIN=200 TMAX=400 U ROT Y Z X XV = YV = ZV = *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER

105 Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO COEFFICIENTI DI DILATAZIONE TERMICA C*** C*** Materiali C***! acciaio inox mp,ex,1,190e3 mp,prx,1,0.3 mp,alpx,1,1.8e-5! coefficiente di dilatazione termica! acciaio ferritico mp,ex,2,205e3 mp,prx,2,0.3 mp,alpx,2,1.2e-5! coefficiente di dilatazione termica

106 Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici ASPETTI PARTICOLARI DEL MODELLO CARICHI DOVUTI A VARIAZIONI DI TEMPERATURA C*** C*** Carichi termici C***! temperatura di montaggio tref,20! tubazione olio nsel,,node,,1,10 bf,all,temp,200! temperatura di lavoro! tubazione benzina nsel,,node,,11,18 bf,all,temp,400! temperatura di lavoro

107 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Deformata Y Z X ANSYS DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 PowerGraphics EFACET=1 AVRES=Mat DMX = U ROT DSCA= XV =.4 YV =-.7 ZV =.6 *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER Deformata

108 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Forza normale [ MN ] Y Z X ANSYS LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 NI NJ MIN = ELEM=15 MAX = ELEM=20 U ROT Forza normale XV =.4 YV =-.7 ZV =.6 *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER

109 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Taglio z [ MN ] Y Z X ANSYS LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 TZI TZJ MIN = ELEM=20 MAX = ELEM=20 U ROT Taglio z XV =.4 YV =-.7 ZV =.6 *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER E

110 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Momento flettente [ MN m ] Y Z X ANSYS LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 MYI MYJ MIN = ELEM=7 MAX = ELEM=20 U ROT Momento flettente XV =.4 YV =-.7 ZV =.6 *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER E

111 File di comandi : Piping_P16P18.txt Elementi Pipe Esempio di struttura tubolare complessa con carichi termici 1 Momento torcente [ MN m ] Y Z X ANSYS LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 MTI MTJ MIN = ELEM=23 MAX = ELEM=1 U ROT Momento torcente x XV =.4 YV =-.7 ZV =.6 *DIST= *XF = *YF = *ZF =2.045 A-ZS= Z-BUFFER

112 Elementi Pipe Es.: PIPE288 / PIPE290 P = 100 N EMENTS T s = 2 mm D = 40 mm Estremità incastrata NOV :54:30 ELEMENTS U F Struttura tubulare con curvatura, RC = 100 mm 300 mm NOV :57: mm Z Y X Z Y X Modello con elementi Pipe e Beam File comandi: TraveCurva_Beam188.txt TraveCurva_P288P290.txt Modello 3D shell (completo) TraveCurva_Shell181.txt

113 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = Elementi Pipe Es.: PIPE288 / PIPE290 Risultato esatto (Modello 3D shell) MX Spost. max. = mm U Tot Modello 3D shell 1 NODAL SOLUTION Y MN Z X STEP=1 SUB =1 TIME=1 SX (AVG) RSYS=0 DMX = SMN = SMX = Effetto a guscio : (max) = 20.3MPa x MX MN

114 Elementi Pipe Es.: PIPE288 / PIPE290 Risultato esatto : Spost. max.= mm Tensione max. = 20.3 MPa 1 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 DMX = Spost. max. = mm Tensione max. = 13.9 MPa Y Z X 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =-.217E-10 ELEM=52 MAX = ELEM=1 BEAM188 con 50 elementi nel tratto di curvatura e solo 1 nei tratti rettilinei Y Z X -.217E

115 Elementi Pipe Es.: PIPE288 / PIPE290 Risultato esatto : Spost. max.= mm Tensione max. = 20.3 MPa 1 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 DMX = LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =0 ELEM=1 MAX = ELEM=2 Spost. max. = mm Tensione max. = 14.5 MPa, all estremità della zona di curva Y Z X 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =-.204E-10 ELEM=3 MAX = ELEM=1 Y Z X 0 PIPE288, ELBOW290 con 1 solo elemento nella zona curva Y Z X -.204E

116 Elementi Pipe Es.: PIPE288 / PIPE290 Risultato esatto : Spost. max.= mm Tensione max. = 20.3 MPa 1 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 DMX = LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =0 ELEM=1 MAX = ELEM=2 Spost. max. = mm Tensione max. = 14.0 MPa, all estremità della zona di curva Y Z X 1 LINE STRESS STEP=1 SUB =1 TIME=1 SIBE_I SIBE_J MIN =-.231E-10 ELEM=5 MAX = ELEM=1 Y Z X 0 PIPE288, ELBOW290 con 3 elementi nella zona curva Y Z X E

117 Esercizio da svolgere: Elementi BEAM188 BEAM189 1 DISPLACEMENT STEP=1 SUB =1 TIME=1 DMX = Y Z X Spost. max. = mm Tensione max. = 13.9 MPa - Analizzare la variazione del risultato considerando un infittimento dei tratti rettilinei BEAM188 con 50 elementi nel tratto di curvatura e solo 1 nei tratti rettilinei - Introdurre l elemento BEAM189 per il tratto curvilineo e confrontare la convergenza rispetto al BEAM188, KOpt(3) = 3

118 Esercizio da svolgere: Infittimento tratti rettilinei 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = Spost. max. = mm MX 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = Spost. max. = mm MX Y MN Z X Y MN Z X La soluzione è esatta anche con un solo elemento per i tratti rettilinei a taglio costante, tuttavia è utile la discretizzazione per avere una visualizzazione più corretta della deformata

119 Esercizio da svolgere: Tratto curvilineo modellato con BEAM189 1 E-L-K-N 1 E-L-K-N BEAM188 BEAM189 Nodi solo agli estremi, anche se KOpt(3) = 3 Presenza del nodo centrale che permette una migliore modellazione del tratto curvilineo

120 UTION (AVG) Esercizio da svolgere: 1 NODAL SOLUTION Tratto curvilineo modellato con BEAM189 STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX MX = SMX = BEAM188 BEAM189 MX Y MN Z X Y MN Z X La presenza del nodo centrale permette una corretta (o in generale migliore) identificazione dell orientamento della sezione per ciascun tratto Nella visualizzazione con /ESHAPE,1 non è considerato il nodo centrale, ma l output grafico è interpolato linearmente fra i due nodi d estremità

121 Esercizio da svolgere: Tratto curvilineo modellato con BEAM189 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = BEAM188 MX 1 NODAL SOLUTION mm mm mm STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = MX 1 NODAL SOLUTION STEP=1 SUB =1 TIME=1 USUM (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = MX mm MX Y MN Z X Y MN Z X 1 elemento 2 elementi 3 elementi BEAM NODAL SOLUTION NODAL SOLUTION STEP=1 STEP=1 SUB =1 SUB = TIME=1 mm TIME=1 mm mm USUM (AVG) MX USUM (AVG) RSYS=0 RSYS=0 MX MX di elementi DMX = DMX = SMX = SMX = Y MN Z X Y MN Z X Y MN Z X Numero elevato Convergenza del BEAM189 più rapida nonostante il grado inferiore

122 Considerazioni generali sulla modellazione 1 1 NODAL NODAL SOLUTION SOLUTION con elementi BEAM188 / BEAM189 SUB STEP=1 =1 TIME=1 SUB =1 USUM (AVG) RSYS=0 TIME=1 DMX = SMX USUM = (AVG) RSYS=0 DMX = SMX = MX Y MN Z X Da questa analisi si può concludere che: i tratti rettilinei (a taglio costante) possono essere discretizzati ma solo al fine di una Ymigliore rappresentazione dell output grafico MN - è consigliabile utilizzare Z X il BEAM189 per i tratti curvilinei, e sono sufficienti pochi elementi per avere una convergenza quasi perfetta