ESERCIZI SU SOTTOGRUPPI E QUOZIENTI. ESERCIZIO 1 Sia G un gruppo. Consideriamo il sottoinsieme (chiamato il centro di G)

Transcript

1 ESERCIZI SU SOTTOGRUPPI E QUOZIENTI ESERCIZIO 1 Sia G u gruppo. Cosideriamo il sottoisieme (chiamato il cetro di G) Z(G) := {a G : ab = ba per ogi b G}. Dimostrare che Z(G) è u sottogruppo ormale di G. ESERCIZIO 2 (NUOVA VERSIONE) Sia G u gruppo. Dati due elemeti a, b G, l elemeto [a, b] := aba 1 b 1 G si dice commutatore di a e b. Cosideriamo il sottoisieme (chiamato il sottogruppo commutatore di G) geerato dai commutatori, cioè [G, G] := {[a, b] : a, b G}. (i) Dimostrare che ab = [a, b]ba per ogi a, b G. (ii) [G, G] è u sottogruppo ormale. [Suggerimeto: usare il puto precedete per spostare la posizioe di elemeti successivi i u prodotto.] (iii) G ab := G/[G, G] è u gruppo abeliao (chiamato l abeliaizzato di G). (iv) [G, G] è il più piccolo sottogruppo ormale N di G tale che G/N è abeliao. (v) Dimostrare che se N è u sottogruppo di G che cotiee [G, G] allora N è u sottogruppo ormale di G. ESERCIZIO 3 Sia G u gruppo e H u sottogruppo di idice 2. Dimostrare che H è ormale. ESERCIZIO 4 Sia G u gruppo e siao H e K due sottogruppi di G. (i) Dimostrare che HK è u sottogruppo di G se e solo so HK = KH: (ii) Dimostrare che se H è u sottogruppo ormale, allora HK è u sottogruppo. (iii) Se H e K soo fiiti, allora si ha la seguete formula per la cardialità del prodotto HK: HK = H K H K. [Suggerimeto (NUOVO): Studiare le fibre del morfismo φ : H K G che mada (h, k) i hk.] ESERCIZIO 5 Sia G u gruppo e siao K e N due sottogruppi di G, co N ormale i G. (i) Dimostrare che N K è u sottogruppo ormale di K; (ii) Dimostrare che NK = KN è il sottogruppo geerato da K N. (iii) Dimostrare che N è u sottogruppo ormale di NK. (iv) Dimostrare che se ache H è ormale, allora HK è ormale. ESERCIZIO 6 Sia G u gruppo fiito e siao H e K due sottogruppi di G. 1

2 Dimostrare che per ogi x G, la cardialità di HxK (che è detta la classe laterale doppia di x rispetto alla coppia (H, K)) è uguale a HxK = H [K : x 1 Hx K]. ESERCIZIO 7 Sia G u gruppo e sia H u sottogruppo. Si cosideri il sottoisieme (chiamato ormalizzatore di H) N(H) := {a G aha 1 = H} G. (i) N(H) è u sottogruppo di G che cotiee H. (ii) H è u sottogruppo ormale di N(H). (iii) N(H) è il più grade sottogruppo di G cotete H tale che H è ormale i N(H). I particolare, H è ormale se e solo se N(H) = G. ESERCIZIO 8 Sia G u gruppo e sia H u sottogruppo. Si cosideri il sottoisieme (chiamato la chiusura ormale di H) H G := a G aha 1 G. (i) H G è u sottogruppo ormale di G che cotiee H. (ii) H G è il più piccolo sottogruppo ormale di G cotete H. (iii) (NUOVO) Sia S u sottoisieme di G e sia S il sottogruppo geerato da S. Mostrare che S G = a G asa 1. ESERCIZIO 9 Sia G u gruppo fiito. (i) Dimostrare che se G o ha sottogruppi o baali (cioè diversi da {1} e G), allora G = Z p per u certo primo p. (ii) Dimostrare che se G ha cardialità uguale ad u primo p, allora G = Z p. ESERCIZIO 10 Si cosideri il gruppo R R co moltiplicazioe (a, b) (c, d) := (ac, ad + b) ed elemetro eutro 1 = (1, 0). (i) Dimostrare che G = (R R,, 1) è u gruppo. (ii) Dimostrare che R = {(a, 0) : a R } è u sottogruppo o ormale di G. (iii) Dimostrare che R = {(0, b) : b R} è u sottogruppo ormale di G e G/R = (R,, 1). ESERCIZIO 11 Si cosideri il gruppo ciclico ifiito C := Z. (i) Dimostrare che l ordie di u elemeto Z é dato da { 1 se = 0, o() = + se 0. (ii) Dimostrare che ogi sottogruppo di Z è della forma per u uico N. (iii) Dimostrare che m = mcm(m, ) e che + m = mcd(m, ). 2

3 (iv) Dimostrare che Z/ = Z. ESERCIZIO 12 Si cosideri il gruppo ciclico C := Z di ordie 1. (i) Dimostrare che l ordie di u elemeto m Z é dato da o(m) = mcd(m, ). (ii) Dimostrare che ogi sottogruppo di Z è della forma m per u uico divisore positivo m di. (iii) Dimostrare che Z / m = Z /m. ESERCIZIO 13 Si cosideri il gruppo Q muito dell addizioe e il suo sottogruppo Z. (i) Dimostrare che el gruppo quoziete Q/Z, ogi elemeto ha ordie fiito e calcolare l ordie di p/q. (ii) Dimostrare che per ogi N >0 esiste uo ed u solo sottogruppo di ordie e mostrare che tale sottogruppo è ciclico. ESERCIZIO 14 Si cosideri il gruppo S. (i) Dimostrare che per ogi permutazioe σ S, vale che σ(i 1 i r )σ 1 = (σ(i 1 ) σ(i r )). (ii) Dimostrare che S è geerato dalle 1 trasposizioi {(12), (13),..., (1)} e ache dalle 1 trasposizioi {(12), (23),..., ( 1)}. (iii) Dimostrare che S è geerato da (12) e (1 ). (iv) Data ua partizioe di = r, dimostrare usado il teorema di Lagrage che! è divisibile per r i=0 i!. (v) Trovare tutti i sottogruppi ormali di S 3, S 4, A 3 e A 4 e determiare i loro rispettivi quozieti. ESERCIZIO 15 Si cosideri il gruppo diedrale D := {σ i, σ i τ : 0 i < } co il prodotto uivocamete determiato da σ = 1, τ 2 = 1, τσ = σ 1 τ. (i) Dimostrare che D è isomorfo al sottogruppo di GL 2 (R) geerato da ( ( cos ) si ( )) ( ) si ( ) ( cos ) 1 0 e. 0 1 (ii) Dimostrare che D è isomorfo al sottogruppo di S geerato dal -ciclo (12... ) e dalla permutazioe ( ) ESERCIZIO 16 Mostrare che i gruppi diedrali {D } 2 soo tutti e solo i gruppi fiiti geerati da due elemeti distiti di ordie 2. [Suggerimeto: D è geerato da στ e τ. Viceversa se G = x, y co o(x) = o(y) = 2 e o(xy) =, mostrare che G = D. 3

4 ESERCIZIO 17 Si cosideri il gruppo diedrale fiito D. (i) Determiare l ordie di ciascu elemeto di D. (ii) Dimostrare che i sottogruppi di D soo (a) σ m co 1 m che divide ; (b) σ m, σ r τ co 1 m che divide e 0 r < m. Mostrare che ciascuo di essi e ciclico o diedrale, e calcolare l ordie. (iii) Determiare quali sottogruppi soo coiugati tra di loro. (iv) Dimostrare che i sottogruppi ormali di D soo (a) σ m co 1 m che divide ; (b) (solo per pari): σ 2, τ e σ 2, στ. (v) Mostrare che i quozieti di D soo ciclici o diedrali e calcolarli esplicitamete. (vi) Calcolare il cetro e il sottogruppo commutatore di D. ESERCIZIO 18 Si cosideri il gruppo (chiamato gruppo dei quaterioi) Q = {e, e, i, i, j, j, k, k} co idetità e e regole di moltiplicazioe e 2 = e, i = ie = ei, j = je = ej, k = ke = ek, i 2 = j 2 = k 2 = e, ij = ji = k, jk = kj = i, ki = ik = j. (i) Dimostrare che Q è isomorfo al sottogruppo di GL 2 (C) co elemeti { ( ) ( ) ( ) ( )} 1, 0 i 0 0 i ±, ±, ±, ±. 0, 1 0 i 1 0 i 0 (ii) Dimostrare che Q è isomorfo al gruppo co elemeti {1, a, a 2, a 3, b, ab, a 2 b, a 3 b} dove e è l idetità e le regole di moltiplicazioe date da a 4 = e, b 2 = a 2, ba = a 3 b. (iii) Calcolare l ordie di ciascu elemeto. (iv) Dimostrare che il cetro di Q è Z(Q) = {e, e} e che Q/Z(Q) = D 2. (v) Dimostrare che il sottogruppo commutatore [Q, Q] è uguale al cetro Z(Q). (vi) Dimostrare che i sottogruppi o baali di Q soo Z(Q), {i, i, e, e}, {j, j, e, e}, {k, k, e, e}. (vii) Dimostrare che tutti i sottogruppi di Q soo ormali e determiare i rispettivi quozieti. (viii) Mostrare che Q o è isomorfo a D 4. ESERCIZIO 19 Si cosideri il gruppo (chiamato gruppo diedrale ifiito) D = {σ i, σ i τ : i Z} geerato da σ e τ co idetitá e = σ 0 e regole di moltiplicazioe date da τ 2, τσ i = σ i τ. (i) Dimostrare che D è isomorfo al sottogruppo di GL 2 (Z) {( ) } a b : a = ±1, b Z. (ii) Dimostrare che D è geerato dai due elemeti di ordie due ( ) ( ) e, 4

5 ed è l uico gruppo ifiito geerato da due elemeti di ordie due. (iii) Classificare i sottogruppi di D e dire quali di essi è ormale. (iv) Per ciascu sottogruppo ormale, determiare la classe di isomorfismo del quoziete. (v) Calcolare il cetro e il sottogruppo dei commutatori di D. 5