e, non dipendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei. 3A 4πr 3 0 n = A V = A = cm -3

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1 Modelli nucleari collettivi: il modello a goccia di liquido Già nel 1911 Rutherford, per spiegare i risultati del suo esperimento di diffusione di particelle α da nuclei pesanti ricavò che il nucleo è assimilabile ad una sfera di raggio cm. Successivamente il raggio dei nuclei fu stimato da una analisi della relazione empirica tra le vite medie τ degli α-emettitori e l energia cinetica T α delle particelle α emesse, che fu trovata essere del tipo: lnτ + a lnt α = costante dove il parametro a è tale che, come vedremo quando studieremo in maggior dettaglio il decadimento alfa, per un piccolo intervallo di variabilità di T α (tra 4 e 9 MeV) la vita media varia invece enormemente (tra 10-7 s e y). Fu trovata la relazione: r = r 0 A 1/3, con r fm. Misure più precise effettuate con tecniche diverse hanno confermato questo risultato. La densità numerica dei nucleoni risulta allora essere: n = A V = 3A 4πr 3 0 A = 3 3 4πr cm -3 0 e, non dipendendo da A, è la stessa per tutti i nuclei.

2 Anche la densità massica della materia nucleare risulta indipendente da A e costante per tutti i nuclei: ρ m p n = 3 m p 4πr 0 3 = 1014 g cm 3 Il fatto che la densità sia costante ci dice che la materia nucleare è incomprimibile, e questa proprietà indica una somiglianza tra la materia nucleare ed un liquido. Questa analogia segue anche dalla dipendenza quasi lineare esistente tra l energia di legame di un nucleo ed il suo numero di massa, che può essere paragonata alla dipendenza lineare del calore di vaporizzazione di un liquido dalla sua massa. Inoltre la proprietà di saturazione delle forze nucleari (che segue dal fatto che B/A cost.) rende l analogia più completa poichè la stessa proprietà è anche posseduta dalle forze chimiche di legame delle molecole in un liquido. Su queste basi Bohr, Wheeler e Frenkel svilupparono il modello a goccia del nucleo, che portò alla formula semiempirica per l energia di legame ottenuta da Weiszacker. Questo modello fu in grado di spiegare un grande numero di fenomeni, compresi alcuni aspetti del decadimento beta, il fenomeno della fissione nucleare e le leggi del decadimento alfa.

3 Modello a goccia di liquido (Weiszacher) Questo modello molto semplice è in grado di spiegare, mediante pochi parametri empirici, importanti proprietà dei nuclei. Abbiamo già visto che se riportiamo in grafico il numero dei neutroni N=A-Z contenuti nel nucleo in funzione di Z per tutti i nuclei stabili, si ottiene il diagramma mostrato in figura la rappresentazione dei nuclei stabili nel piano Z-N

4 Esiste senza dubbio una relazione tra N e Z in quanto i punti rappresentativi giacciono dentro una piccola regione, quasi una linea nel piano N-Z. Abbiamo già notato come, in prima approssimazione, l energia di legame per nucleone sia costante: B A cost B A (1) Il fatto che l energia di legame per nucleone non dipenda da A indica una importante proprietà delle forze nucleari: esse sono a corto range. Ogni singolo nucleone all interno del nucleo interagisce solo con i nucleoni circostanti (quelli a contatto ) e non con tutti gli A nucleoni. Questa peculiarità delle forze nucleari spiega la salita iniziale della curva da B/A in funzione di A e la zona di plateau successiva.

5 Diverso è il caso delle forze elettriche, il cui range è infinito: l energia potenziale elettrica di una sfera di raggio R contenente una carica Ze uniformemente distribuita è data da: R U el = du el = V( r) dq( r) = 0 R 0 q( r) dq( r) r dove: q( r) = 4 3 πρ el r3 e dq(r)= ρ el 4 π r 2 dr sostituendo, integrando, e notando che ρ el U el = 3 5 Q 2 2 e 2 R = 3Z 5R = 3Q 4πR 3 = 3Ze 4πR 3, si ottiene: (2) L energia potenziale per unità di carica vale du 2 el dz = 6Ze 5R, e aumenta linearmente con Z. Quindi: forze elettriche: du el dz Z, forze nucleari: db da cost.

6 Partendo dalla analogia con la goccia di liquido, scriviamo una espressione dell energia di legame del nucleo, riservandoci di giustificare in seguito i vari termini che la compongono: Analizziamo ora i vari termini: Z( Z 1) B = α A β A 2/ 3 γ ζ A 1/ 3 ( A 2Z ) 2 A αa rappresenta il termine di volume discendente direttamente dalla relazione (1) precedente. βa 2/3 rappresenta il termine di superficie. Schematizzando il nucleo come una sfera di densità uniforme e raggio R=r 0 A 1/3, si ricava che la superficie esterna del nucleo vale 4πR 2 = 4πr 0 2 A 2/ 3. I nucleoni che stanno sulla superficie, il cui numero è ovviamente proporzionale appunto ad A 2/3, risultano meno legati di quelli che si trovano immersi nella materia nucleare: da qui deriva il segno meno.

7 Z( Z 1) γ A 1/ 3 rappresenta il termine coulombiano di repulsione tra i protoni confinati all interno del nucleo. Immaginando il nucleo come una sfera uniformemente carica, l energia potenziale di tale distribuzione vale: U = 3 5 Q 2 2 e 2 R = 3Z 5R = 3Z 2 e 2 1/ 3 5r 0 A e naturalmente va a diminuire (vedi segno meno) l energia di legame. Naturalmente per Z=1 non c è repulsione. ( A 2Z ) 2 ζ A è un termine aggiuntivo, indipendente dalla analogia con la goccia di liquido. Esso deriva dalla osservazione sperimentale che nei nuclei Z ed N non sono indipendenti: anzi, specie per i nuclei leggeri (A<40) essi tendono ad eguagliarsi. Questo significa che nuclei per i quali Z=A/2 sono più stabili e quindi hanno più alta energia di legame: deviazioni dall uguaglianza Z=A/2 per eccesso o per difetto (vedi dipendenza quadratica) portano ad una diminuzione (vedi segno meno). Gli N-Z nucleoni in eccesso sono considerati responsabili di un deficit di energia di legame del nucleo.

8 La frazione di volume nucleare interessata è quindi N-Z /A e il deficit totale di energia di legame è proporzionale al prodotto: ζ N Z N Z A ( N Z) 2 = ζ A = ζ ( A 2Z ) 2 A Vediamo ora di ricavare i coefficienti da considerazioni approssimate ma semplici. In realtà la procedura utilizzata è più raffinata ma più complessa, e comunque non porta a differenze sostanziali rispetto alla nostra. Il termine dovuto alla correzione coulombiana si ricava direttamente: Z( Z 1) γ = ΔU A 1/ 3 c = 3 Z( Z 1) e 2 5 R = 3 5 Z( Z 1) e 2 r 0 A 1/ 3 γ = 3e2 5r 0 = MeV

9 La dipendenza di Z = Z(A) per i nuclei stabili risulta essere la seguente: Z = A A 2/ 3 (3) Per questo valore di Z l energia di legame è massima, e quindi: Dalla relazione: db dz = 2γ ( ) Z A 2Z A + 4ζ 1/ 3 A (dove per semplicità abbiamo sostituito Z(Z-1) con Z 2 ), si ricava: ( ) γ A 2Z ζ = 2 ZA 2/ 3. = 0 db dz = 0. ( Se eliminiamo Z tramite la (3), notando che A 2Z ) = Z A 2/ 3, sparisce anche la dipendenza da A e si ricava: γ ζ =0.03 e quindi, noto γ, si trova: ζ= 22.2 MeV

10 La curva B A = f ( A ) deve avere il massimo ad A=60.

11 Dalla relazione: d B da A A=60 = 0 ( ) 2 dove: B A = α β Z 2 A 2Z A 1/ 3 γ A ζ 4/ 3 A 2 Supponendo Z = A/2 (massima stabilità) e sostituendo: d B = 1 da A 3 β A 4/ γ A 1/ 3 = 0 B A = α β A 1/ 3 γ A 2/ 3 4 Si ottiene: β = A 2 γ = 30γ = 20 MeV Imponendo infine, sempre da osservazioni sperimentali, che B A =8.8 MeV per A=60 e Z=28 si ricava α = 22.0 MeV. Finalmente: B = 22 A 20.0 A 2/ Z2 A 1/ 3 ( 22.2 A 2Z ) 2 A

12 Vi è un ultimo termine, anche questo indipendente dalla analogia con la goccia di liquido. I nuclei possono essere divisi in tre gruppi per quanto riguarda la loro stabilità. Il primo gruppo contiene i nuclei più stabili, quelli con Z ed N entrambi pari (per questo detti pari-pari ), mentre il secondo gruppo contiene i nuclei meno stabili pari-dispari e dispari-pari, aventi A dispari. Infine il terzo gruppo contiene i nuclei dispari-dispari che di regola sono instabili (i nuclei dispari-dispari stabili sono solo quattro: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N). Per questo motivo, un cambio di un unità nella carica nucleare Z ad A fissato trasforma un nucleo pari-pari in uno dispari-dispari (o viceversa), e fa quindi variare bruscamente l energia di legame. Questo effetto non è ovviamente spiegabile con una analogia idrostatica e si deve introdurre un ulteriore termine ad hoc : esso è espresso come δa -1/2. La formula completa per l energia di legame B risulta allora: Z( Z 1) B = α A β A 2/ 3 γ ζ A 1/ 3 ( A 2Z ) 2 A + δ A 1/ 2

13 il valore di δ, dedotto ancora una volta da un confronto sperimentale, è dato dalla seguente espressione: δ = +12 pari pari 0 A dispari 12 dispari dispari Noto B, possiamo ricavare il valore della massa nucleare m(z,a) = Zm p + (A-Z)m n B. Z( Z 1) B = α A β A 2/ 3 γ ζ A 1/ 3 ( A 2Z ) 2 m( Z,A) = Zm p + ( Z( Z 1) A Z)m n α A + β A 2/ 3 + γ + ζ A 1/ 3 A + δ A 1/ 2 ( A 2Z ) 2 A δ A 1/ 2

14 Calcoli più raffinati forniscono i seguenti valori numerici per le costanti della formula: costante valore (MeV) α β γ 0,697 ζ δ 0, ±12 I coefficienti in tabella sono stati calcolati dal fit dei valori sperimentali dell energia di legame B(Z,A) in funzione di A dei nuclei stabili esistenti in natura. Dalla formula che fornisce il valore dell energia di legame B, si ricava immediatamente la formula di B/A: B A = α β Z( Z 1) A 1/ 3 γ ζ A 4/ 3 ( A 2Z ) 2 A 2 + δ A 3/ 2

15 Il contributo al valore di B/A dei vari termini nel modello a goccia

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19 Applicazioni del modello a goccia Utilizzando i coefficienti in tabella è possibile calcolare, noti Z ed A, l energia di legame di qualsiasi nucleo con un errore relativo dell ordine del percento. Il calcolo della massa è sorprendentemente preciso, con un errore relativo di Il valore della massa dedotto dal modello a goccia può essere utilizzato quando si eseguono calcoli sulle reazioni nucleari: a + B C + d dove vengono utilizzati i valori assoluti delle masse, e uno scarto dell ordine di 10-4 rispetto al valore reale, è ininfluente nello studio della cinematica delle reazione. Viceversa, nel caso di diseccitazioni dei nuclei, dove nel calcolo intervengono differenze di masse, il modello a goccia non è attendibile. Nel caso di diseccitazioni gamma e di decadimento beta le differenze di energia dei livelli sono infatti in genere dell ordine di MeV, mentre le masse coinvolte sono dell ordine GeV. Poichè l errore relativo nel calcolo della massa nucleare è dell ordine di 10-4, l indeterminazione assoluta risulta dell ordine di MeV. È quindi chiaro che il salto energetico è ben più piccolo della precisione con cui si stimano le masse con il modello a goccia.

20 Il modello a goccia è utilmente usato per derivare una condizione che lega A e Z per tutti i nuclei stabili rispetto al decadimento beta. La formula che fornisce la massa di un nucleo: m( Z,A) = Zm p + ( Z( Z 1) A Z)m n α A + β A 2/ 3 + γ + ζ A 1/ 3 ( A 2Z ) 2 A δ A 1/ 2 presenta una dipendenza di tipo parabolico della massa nucleare da Z, ad A fissato. dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari Essendo A costante, i nuclei rappresentati nel grafico sono evidentemente isobari.

21 Tra gli isobari (per A fissato) il nucleo più stabile ha un maggior difetto di massa e quindi la massa più piccola. Pertanto il valore Z 0 che corrisponde a questo nucleo può essere determinato trovando il minimo della curva. Se differenziamo rispetto a Z l espressione della massa (avendo sostituito Z(Z-1) Z 2 per facilità di calcolo) ed uguagliamo a zero otteniamo: dm dz = m m + 2γ Z p n A 1/ 3 4ζ ( A A 2Z ) = 0 ( ) A 4ζ + m Da cui si ricava: Z = n m p 8ζ + 2γA 2/ 3 che, sostituendo i valori numerici, diviene: Z = A A 2/ 3 Se si usa questa espressione per calcolare Z 0 per gli isobari stabili per decadimento beta e si confronta con i valori sperimentali, si trova un ottimo accordo: Z 0 differisce al più di ±1 dal valore sperimentale.

22 Se A è dispari, il termine δ della formula della massa: Z( Z 1) m( Z,A) = Zm p + ( A Z)m n α A + β A 2/ 3 + γ + ζ A 1/ 3 vale zero, e la funzione m(z) assume valori singoli. ( A 2Z ) 2 A δ A 1/ 2 dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A dispari Fissato A, esiste quindi un unico valore di Z 0 che corrisponde ad un isobaro stabile. Il nucleo con Z=Z 0 +1 decade β + nel nucleo Z 0, mentre il nucleo con Z=Z 0-1 decade β - nel nucleo Z 0. La situazione è la stessa per i nuclei (A,Z 0 ±2) che decadono β ± nei nuclei (A,Z 0 1).

23 Se però A è pari la funzione m(z) assume due valori diversi perchè δ = ±12 a seconda che il nucleo sia dispari-dispari (+12) o pari-pari (-12) dipendenza della massa nucleare da Z per nuclei ad A pari La parabola inferiore corrisponde ai nuclei con Z pari, mentre la parabola superiore a nuclei (meno stabili) con Z dispari.

24 La figura a) mostra che, poichè due nuclei contigui sulla stessa parabola differiscono di due unità in Z, possono esistere fino a tre isobari stabili per i nuclei pari-pari. Infatti una transizione del nucleo con una carica Z 0 ±2 in un nucleo con carica Z 0 ±1 non è energeticamente possibile, e una transizione diretta da Z 0 ±2 a Z 0 tramite un doppio decadimento beta è estremamente improbabile.

25 Viceversa, poichè ciascun nucleo nella parabola superiore ha un corrispondente nucleo nella parabola inferiore che differisce per ±1 in numero atomico, tutti i nuclei disparidispari devono essere instabili. In effetti le uniche eccezioni sono rappresentate da: 2 H, 6 Li, 10 B, 14 N. In questi casi i nuclei isobari sono disposti come in figura b). Ovviamente in questo caso gli isobari pari-pari devono essere instabili.

26 Per esempio i nuclei 14 C e 14 O si trovano al di sopra del nucleo stabile 14 N disposizione relativa dei nuclei 14 C, 14 O e 14 N sul piano m-z

27 Stella di neutroni Una stella di neutroni può essere schematizzata come un nucleo gigantesco, con una densità dell ordine di g cm -3, contenente A nucleoni, il 95% dei quali neutroni. Con una estrapolazione (a dir poco ardita ) dell ambito di validità della formula semiempirica, si può calcolare la massa ed il raggio di una stella di neutroni, considerandola come un enorme nucleo costituito di soli neutroni. Utilizzando le formule del modello a goccia e usando la giusta convenzione per il segno dell energia di legame: ( Z 2 B = α A β A 2/ 3 γ A ζ A 2Z ) 2 + δ A 1/ 2 1/ 3 A che per Z=0 diviene: B = ( α A β A2/ 3 ζ A + δ A 1/ 2 ), si ottiene B = Joule. Il segno più significa repulsione e corrisponde quindi ad un lieve aumento di massa: m(0,a) = Am n - B = kg. (Per confronto, il nostro Sole ha una massa: M = kg)

28 Si vede comunque che l equivalente in massa dell energia di legame B/c 2 = kg corrisponde all 1% del valore della massa totale. Il raggio della stella risulta pari a: R = r 0 A 1/ 3 = 6 km (Per confronto, il nostro Sole ha un raggio : R = km) Per A bisogna però tenere conto del contributo dell energia gravitazionale: U grav = 3 5 Gm 2 R = J che è attrattiva e prevale evidentemente su B nucl repulsiva.