Nume:... Prenume:... Clas :... coal :...

Transcript

1 Nume:... Prenume:... Clas:... coal: Colecia MATE

2 Acest auxiliar didactic este aprobat pentru utilizarea în unitile de învmânt preuniversitar prin O.M.E.N. nr. 30/ Lucrarea este elaborat în conformitate cu Programa colar în vigoare pentru clasa a VIII-a, aprobat prin O.M.E.C.I. nr. 5097/ Lucrarea a fost definitivat prin contribuia i recomandrile Comisiei tiinifice i metodice a publicaiilor Societii de tiine Matematice din România. Aceasta i-a dat avizul favorabil în ceea ce privete alctuirea i coninutul matematic. Redactare: Amalia Mrescu Tehnoredactare: Carmen Rdulescu Pregtire de tipar: Marius Badea Design copert: Mirona Pintilie / Anton Negril, Maria Negril. - Ed. a 7-a. - Piteti : Paralela 45, 018 vol. ISBN ISBN I. Negril, Maria 51 Copyright Editura Paralela 45, 018 Prezenta lucrare folosete denumiri ce constituie mrci înregistrate, iar coninutul este protejat de legislaia privind dreptul de proprietate intelectual.

3 Anton NEGRIL Maria NEGRIL Soluiile testelor de autoevaluare pot fi consultate la adresa: download/solutii_teste_de_autoevaluare _consolidare_clasa8_p_ pdf algebr geometrie clasa a VIII-a partea a II-a ediia a VII-a mate 000 consolidare 3

4 Capitolul V Rezolvarea ecuaiei de gradul al doilea PP Competene specifice C1. Identificarea unor reguli de calcul numeric sau algebric pentru simplificarea unor calcule C. Utilizarea operaiilor cu numere reale i a proprietilor acestora în rezolvarea unor ecuaii C3. Aplicarea regulilor de calcul i folosirea parantezelor PE-PP Ecuaia ax + bx + c 0 (x ), a 0, este echivalent cu ecuaia x b a x c a 0, adic: b b b c b b 4ac x x 0 sau x 0. a a a a a 4a Putem descompune membrul stâng în factori de gradul I numai dac numrul b 4ac 0. Semnul acestui numr este acelai cu semnul numrtorului b 4ac. De 4a aceea, numrul b 4ac este numit discriminantul ecuaiei. El se noteaz, de obicei, cu litera greceasc (se citete delta ). Distingem trei cazuri: 1. > 0. În acest caz, vom putea descompune în factori: 0 x b b x a a a a, deci ecuaia are dou soluii: b b i. a a a a Se obinuiete s se noteze soluiile cu x 1 i x. Adic: x 1, b, unde b 4ac. a b b. 0. În acest caz, ecuaia devine x 0 i are o singur soluie, anume. a a 51

5 3. < 0. În acest caz, 0 4 ecuaia nu are nicio soluie real. a Dac b b', observm c formula de rezolvare este: x b b ac a 1,. Dac, în plus, a 1, formula de rezolvare este x b b 1, c. Exemple: 1. Determinai numrul real a pentru care ecuaia (a + 1)x + (a + 3)x a 0 are 1 soluia x. Determinai cea de-a doua soluie pentru valoarea lui a determinat anterior. 3 1 a1 a3 Soluie: Dac x, înlocuind în ecuaie, se obine ecuaia a 0, care are ca soluie a 5. Prin înlocuirea lui a în ecuaie, se obine ecuaia 6x + 13x 5 0. Calculm b 4ac 89, iar Atunci, soluiile ecuaiei sunt: x1 ; x x 4. Rezolvai ecuaia x 1 x1 x 1. Soluie: Ecuaia este definit pentru orice x \ 1. Se înmulete ecuaia cu (x 1) i se obine ecuaia echivalent cu ea: 6 (x + 1) (x 1) (x + 4)(x 1). Prin desfacerea parantezelor i trecerea termenilor în acelai membru se obine ecuaia echivalent x x 0, cu soluiile x 1 1; x, i, cum x \ 1 x. activiti de învare PE Înelegere * 5 1. Rezolvai ecuaiile: a) x(x + 7) 0; b) (x 1)(x + ) 0; c) (x 3)(x + 4) 0; d) (x + 1)(x 6) 0; e) (x + 3)(x ) 0; f) (x 1)(x+3) 0; g) (x + 5)(5x + ) 0; h) (3x 8)(x + 9) 0.. Rezolvai ecuaiile: a) x + 3x 0; b) x x 0; c) 3x + 9x 0; d) 4x 8x 0; e) 6x x 0; f) 5x + 8x 0; g) 0,6x + 3,6x 0; h) 0,5x,5x Gsii mulimea soluiilor reale ale ecuaiilor: a) x 1 0; b) x 4 0; c) 4x 9 0; d) 5x 16 0; e) 64x 81 0; f) 36x 5 0; g) 5x 45 0; h) 3x 1 0; i) 6x 16 0; j) x + 4 0; k) x 1 0.

6 4. Rezolvai în ecuaiile: a) x 7x + 6 0; b) x + x 8 0; c) x + 5x 14 0; d) x 8x 0 0; e) x + 4x 1 0; f) x 7x 30 0; g) x 9x ; h) x 10x ; i) x + 7x Rezolvai în ecuaiile: a) x 5x + 6 0; b) x + x 6 0; c) x 7x + 1 0; d) x + x 1 0; e) x 6x + 8 0; f) x + 3x 10 0; g) x 8x ; h) x + x 4 0; i) x 4x Rezolvai în ecuaiile: a) x + x 3 0; b) x x 15 0; c) 3x 5x + 0; d) x 5x + 0; e) x + 3x + 1 0; f) x x 3 0; g) 3x + x 0; h) 3x + 4x 7 0; i) x + x 1 0. PE Aplicare i exersare ** 7. Rezolvai ecuaiile: a) (x 1) 4 0; b) (x + ) 9 0; c) (x 3) 16 0; d) (x + 4) 5 0; e) (x ) 100 0; f) x Rezolvai ecuaiile: a) (x + ) 5 0; b) x + 6x + 9 1; c) x + 4x + 4 1; d) x + 4x + 4 0; e) x + 10x ; f) x + 10x + 5 0; g) x + (a + b)x + ab 0 (a > 0, b > 0); h) abx + (a + b)x (a > 0, b > 0). 9. Determinai valoarea lui a, tiind c ecuaia x + ax 4 0, x, are soluia 4. Rezolvai apoi ecuaia pentru valoarea determinat a lui a. 10. tiind c este soluie a ecuaiei ax 3x + a 4 0, determinai valoarea lui a. Pentru a determinat, rezolvai ecuaia. 11. Ecuaia (a 1)x + 7x + a 0 are soluia x 3. Determinai a în aceast condiie i rezolvai apoi ecuaia obinut. 1. Rezolvai în ecuaiile: a) x + 9x + 0 0; b) x + 11x ; c) x + 14x ; d) x 15x ; e) x 1x + 7 0; f) x 6x 7 0; g) x 8x 33 0; h) x 11x Rezolvai ecuaiile: a) x 3x 0; b) x + 7x 4 0; c) 6x 7x + 0; d) 3x x 0; e) 4x + 5x 6 0; f) x 5x 1 0; g) 3x + 4x 4 0; h) x 9x + 4 0; i) x + 3x 5 0; j) x + 7x + 3 0; k) x 7x + 3 0; l) 6x + x Gsii mulimea soluiilor raionale ale ecuaiilor: a) 3x + 7x 5(x + 1); b) x + 10x 6(x + 1); c) 3x + 13x 8(x + 1); d) x 5(x 1) ; e) 3x 4(x + 1) 3x; f) (x + ) 5x 6; g) (x 3) 6 5x ; h) (x + 1) + 3x. 53

7 PP Competene specifice Capitolul II Piramida regulat C1. Recunoaterea i descrierea unor proprieti ale unor figuri geometrice plane în piramide sau pe desfurrile acestora C. Folosirea instrumentelor geometrice adecvate pentru reprezentarea prin desen, în plan, a piramidelor C3. Alegerea reprezentrilor geometrice adecvate în vederea optimizrii descrierii piramidelor i în vederea optimizrii calculelor de lungimi de segmente i de msuri de unghiuri dintr-o piramid C4. Calcularea ariilor i volumului unei piramide C5. Clasificarea piramidelor dup anumite criterii date sau alese C6. Transpunerea unor situaii-problem în limbaj geometric; rezolvarea problemei obinute i interpretarea rezultatului PE-PP Piramida regulat are baza poligon regulat, iar proiecia ortogonal a vârfului piramidei pe planul bazei este centrul cercului circumscris poligonului de baz. Muchiile laterale ale unei piramide regulate sunt congruente. Înlimea unei fee laterale se numete apotema piramidei. Notaii: P b perimetrul bazei; a b apotema bazei; r raza cercului înscris bazei; h înlimea piramidei. a p apotema piramidei; R raza cercului circumscris bazei; m muchia lateral a piramidei; Formule utile: Pb ap nla A l suma ariilor feelor laterale; A l sau A l p, unde n este numrul de laturi ale poligonului de la baz; A t A l +A b ; V 1 3 A b h; m h + R ; a a h. p b Observaie: Dac se secioneaz o piramid cu un plan paralel cu baza, se obine o piramid asemenea cu piramida iniial. 101

8 10 PE (A'B'C') (ABC) VA'B'C' ~ VABC Notm cu k raportul de asemnare a dou segmente omoloage. AB VO VM OM AO VA 1. k. (Justificai!) AB VO VM OM AO VA Ab. A A k lvabc ; k. A V V B VABC 3. VABC k 3. l VABC Probleme rezolvate 1. Fie ABCD un tetraedru regulat de muchie a. Aflai volumul tetraedrului. D Rezolvare: AM este înlime în triunghiul echilateral ABC, deci AM a 3 a 3 a 3 /, iar AO AM, deci AO i OM. Aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul AOD sau DOM, obinem DO A C a 6 a 3 O M. DM este apotema tetraedrului, DM fiind înlime 3 B a triunghiului echilateral. tim c aria triunghiului echilateral poate fi a 3 a 6 3 l 3 a 3 Ab h calculat i cu formula. Deci A ABC, iar V 4 3 a O piramid hexagonal regulat SABCDEF are muchia bazei AB a i muchia lateral AS a. Determinai: a) volumul i aria total a piramidei; b) o funcie trigonometric a unghiului plan corespunztor unghiului diedru dintre planele (SAB) i (SDE). S Rezolvare: a) În SOA dreptunghic, cu m(o) 90 avem: SO SA AO SO 4a a 3a SO a 3 3a 3 a 3 ; A ABCDEF 6 S AOB 6 V 4 1 3a a 3 F E Ab h V ; OM. Din SAM sau SOM 3 A N D a 15 3a 15 M O obinem: SM A t 6 A SAM A t. B C b) Cele dou plane au punctul S comun, deci au o dreapt de puncte comune: cum (SAB) AB DE (SDE) cele dou plane au o dreapt comun ce trece prin S i este paralel cu AB i DE, deci unghiul plan corespunztor unghiului diedru este MSN. În triunghiul SMN, isoscel, ducem o înlime de la baz pe care o aflm folosind proprietatea c produsul dintre o latur i înlimea corespunztoare într-un triunghi este constant sau folosind relaiile metrice cunoscute i o gsim egal cu a 15. Calculm în continuare 5 sin(msn) 4/5. A N A' O' V O C' M' B' B M C

9 activiti de învare PE Înelegere * 1. În tabelul urmtor am notat cu l, h, a p, m, R, a b, A l, A t, V, latura bazei, înlimea piramidei, apotema piramidei, muchia lateral a piramidei, raza cercului circumscris bazei, apotema bazei, aria lateral, aria total i, respectiv, volumul unei piramide triunghiulare regulate. Completai tabelul, tiind c dimensiunile sunt msurate în centimetri. a) b) c) d) e) f) l h a p 10 m 1 R 1 a b 3 A l 16 3 A t V 43. În tabelul urmtor am notat cu l, h, a p, m, R, a b, A l, A t, V, latura bazei, înlimea piramidei, apotema piramidei, muchia lateral a piramidei, raza cercului circumscris bazei, apotema bazei, aria lateral, aria total i, respectiv, volumul unei piramide patrulatere regulate. Completai tabelul, tiind c dimensiunile sunt msurate în centimetri. a) b) c) d) e) f) l 4 h a p 15 m 18 R 9 a b 9 A l A t 1536 V O piramid hexagonal regulat are înlimea egal cu 9 cm i latura bazei de 18 cm. Aflai aria lateral i volumul piramidei. 4. O piramid hexagonal regulat are înlimea egal cu 6 cm i apotema de 1 cm. Aflai aria total i volumul piramidei. 103

10 Cuprins ALGEBR Capitolul I. Funcii Noiunea de funcie. Funcii definite pe mulimi finite Funcia liniar Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare... 3 Capitolul II. Ecuaii de gradul I... 5 Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul III. Sisteme de ecuaii Ecuaii de gradul I cu dou necunoscute Sisteme de dou ecuaii de gradul I cu dou necunoscute Tipuri deosebite de sisteme Capitolul IV. Probleme rezolvate cu ajutorul ecuaiilor i al sistemelor de ecuaii Probleme de matematic aplicat în viaa cotidian Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul V. Rezolvarea ecuaiei de gradul al doilea Probleme de matematic aplicat în viaa cotidian Test de autoevaluare Capitolul VI. Inecuaii de gradul I cu o necunoscut Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul VII. Teme pentru recapitularea final Numere naturale. Puteri cu exponent numr natural. Divizibilitate Rapoarte. Proporii. Proporionalitate Procente Numere reale Calcul algebric Probleme de aritmetic ce se pot rezolva cu ajutorul ecuaiilor i al sistemelor de ecuaii Ecuaii de gradul I cu o necunoscut Funcii Inecuaii Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Test de autoevaluare

11 GEOMETRIE Capitolul I. Prisma dreapt Prisma patrulater regulat dreapt. Paralelipipedul dreptunghic Cubul Prisma triunghiular regulat... 9 Probleme de matematic aplicat în viaa cotidian Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul II. Piramida regulat Probleme de matematic aplicat în viaa cotidian Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul III. Trunchiul de piramid regulat Recapitulare i sistematizare prin teste Test de autoevaluare Capitolul IV. Corpuri rotunde Cilindrul circular drept Conul circular drept Test de autoevaluare Trunchiul de con circular drept Test de autoevaluare Recapitulare i sistematizare prin teste Sfera Modele de teze semestriale TEZE DE TIP A TEZE DE TIP B Recapitulare i evaluare final Exerciii i probleme recapitulative pentru evaluarea final ALGEBR GEOMETRIE Modele de teste pentru evaluarea final Modele de teste pentru Evaluarea Naional INDICAII I RSPUNSURI