A e i2θ + e i2θ + 6. = e i4θ + e i4θ. = 1 (cos 4θ + 4 cos 2θ + 3) = (s + t) 3 = 3p(s + t)+2q = s 3 + 3s 2 t + 3st 2 + t 3 = 3ps + 3pt + 2q

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1 soluzione dei problemi A- A. A... (a) & (b). C cos, S sin, per brevità. e i3 cos 3 + i sin 3 (C + is) 3 C 3 3CS 2 + i 3C 2 S S 3 Usando C 2 + S 2 e uguagliando parte reale e parte immaginaria, cos 3 4C 3 3C sin 3 4S 3 + 3S (c) 2 cos e i + e i, da cui 2 4 cos 4 e i + e i 4 e i4 + e i4 + 4 e i2 + e i2 + 6 z 3 2 cos cos (cos cos 2 + 3) 8 z 2 (d) T tan. Si rappresenti z + it come nella figura a lato. Poiché z ha angolo, z 3 ha angolo 3. Quindi, tan 3 Im z3 Re z 3 z 3 ( + it) 3 ( 3T 2 )+i(3t T 3 ) tan 3 3T2 T 3 3T 2. A..2. x s + t nella cubica x 3 3px + 2q 0: O z +it T Se (s + t) 3 3p(s + t)+2q s 3 + 3s 2 t + 3st 2 + t 3 3ps + 3pt + 2q st s 3 + t 3 p 2q allora x risolve la cubica. Eliminando t dal sistema s 3 + p3 s 3 2q (s3 ) 2 2q(s 3 )+p 3 0 s 3 Per simmetria t 3 q + q 2 p 3 q q 2 p 3 Dato che s 3 + t 3 2q, se s 3 è la radice di sopra, t 3 è quella di sotto. Quindi, x s + t q 3 + q 2 p 3 + q 3 q 2 p 3 q + q 2 p 3 q q 2 p 3

2 A-2 introduzione ai metodi matematici della fisica A..3. (a + ib)(c + id) 2 (a + ib) 2 (c + id) 2 (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) MN ma si ha anche MN (a + ib)(c + id) 2 (a + ib)(c + id) 2 (ac + bd) 2 +(ad bc) 2 p 2 + q 2. A..4. Ci sono molti modi per risolvere questo problema. Si vuole mostrare che se i punti sono sul cerchio unitario e A + B + C + D 0 (A.) allora non si ha la configurazione a sinistra, ma quella a destra, della figura sotto: B B A C A C D D La condizione (A.) può essere riscritta come A + B (C + D) e significa, geometricamente, che i vettori congiungenti l origine con i punti medi delle corde AB e CD stanno sulla stessa retta (i vettori formano tra loro un angolo di 80 0 ). Poiché questi vettori sono sempre perpendicolari alle corde AB e CD (figura a sinistra), ne segue che, quando (A.) è soddisfatta, AB e CD sono paralleli tra loro, perché ortogonali alla retta. Il caso di un trapezio isoscele non può presentarsi perché (A.) implica la stessa condizione per la congiungente le mediane di BC e DA, in quanto (A.) può essere anche riscritta come B + C (A + D). Naturalmente, è possibile anche una soluzione completamente algebrica. Qual è più facile? Si osservi che, da un punto di vista fisico, (A.) significa che il centro di massa dei punti (di massa uguale) è nell origine. E se i punti stanno su un cerchio e inizialmente formano un rettangolo, come nella figura sopra a destra, non possono essere spostati lungo il cerchio e formare una configurazione come quella a sinistra, se si

3 soluzione dei problemi A-3 vuole mantenere il centro di massa nell origine. Con questo vincolo, i punti possono formare un altro rettangolo, ma non il quadrilatero irregolare della figura a sinistra. A..5. Per una soluzione geometrica, si veda la figura a lato. Si osservi che il triangolo [O, z +, z] è isoscele perché i lati [O, z] e [z +, z] sono di lunghezza (essendo z sul cerchio unitario). Allora per il teorema di una retta che interseca due parallele, l angolo [, O, z + ] è metà dell angolo arg(z). Anche il triangolo [O, z, z] è isoscele; ragionando sugli angoli si conclude che l angolo [z, O, z + è retto. Allora z iα(z + ). Si tratta adesso di determinare α. Ragionando sui trangoli rettangoli simili [z, O, z + ] e [z +, b, O], si ha la proporzione z : z + z + sin(/2) : z + cos /2, z i z + a z O b da cui z / z + tan /2. Dunque, z i tan (z + ). 2 Il calcolo algebrico è immediato A..6. z z + ei e i + ei 2 e i 2 e i 2 i tan e i 2 e i 2 + e i 2 2. s n + z + z z n, zs n z + z z n s n + z n + z + z z n zn z (a) z < (b) z z y (c) z + i z(/2)(+i) i O x

4 A-4 introduzione ai metodi matematici della fisica A..7. S cos + cos 3 + cos cos(2n ) Re e i + e i3 + e i e i(2n ) Re e i + e i + e i e i2 n e Re e i i2n e i2 e Re e i in e in e in e i e i e i in sin n Re e sin sin n cos n sin sin 2n 2 sin A..8. Luogo dei punti equidistanti da due punti dati. Vedere la figura a lato. A..9. (a) Sulla retta perpendicolare al segmento tra (0, 0) e (, 0) e passa a metà (vedere problema precedente, l identità deve vale anche per i moduli). Nove radici perchè z 0 compare da ambo i membri el equazione si abbassa il grado. (b) w 0 w, w 2 e i 2π 0,..., w0 e i 9π 0 z n w n, n 2, 3,..., 0 (N.B. w va esclusa). A..0. L effetto della trasformazione z z 2 sul cerchio unitario centrato in (, 0) (in nero) è mostrato nella figura a lato. Le equazioni della cardioide (in rosso), sono z 2 Poiché le equazioni parametriche del cerchio di partenza sono quelle della cardioide saranno z + e it z ( + e it ) 2 + 2e it + e i2t Raccongliendo e it a secondo membro, z e it (e it e it )2e it ( + cos t),

5 soluzione dei problemi A-5 da cui seue immediatamente l equazione in coordinate polari: A... (i) Sia r 2( + cos ). w M a (z) z a az L idempotenza segue dal calcolo algebrico elementare: M a (M a (z)) M a (w) w a aw (ii) Consideriamo il modulo di M a (z) M a (z) z a az z a az a a z a az z a aaz + a z( aa) az aa az + aa z z a az Per i quadrati di numeratore e denominatore si ha rispettivamente z a 2 z 2 az za)+ a 2 az 2 a 2 z 2 az az + Se z, queste due quantità sono uguali e quindi M a (z). Il cerchio z è trasformato in sè stesso. (iii) Si verifica infine che se a <, M a rappresenta il disco unitario in sè stesso. Sottraendo membro a membro i quadrati di numeratore e denominatore, si ottiene z a 2 az 2 ( a 2 )( z 2 ) < 0 quando z <, a <. Quindi z a < az, da cui M a (z) z a < quando z <, a <. az e quindi M a (z) sta dentro il disco unitario. A..2. Le trasformazioni z M a,b,c,d (z) az + b, ad bc 0 cz + d svolgono un ruolo importante in geometria e analisi complessa e sono dette trasformazioni di Möbius (che ne studio per primo le proprietà). Nel seguito, per brevità, ometteremo di indicare i quattro parametri reali e srciveremo semplicemente M.

6 A-6 introduzione ai metodi matematici della fisica Per dimostrare che z az + b, ad bc 0 cz + d trasforma linee e cerchi in linee e cerchi, facciamo il calcolo per un caso particolare e poi argomentiamo che fare questo è suffciente. Se c 0 allora z (a/d)z +(b/d) è la moltiplicazione per un numero complesso, z w (a/d)z, (una stiro-rotazione, secondo la terminologia introdotta nella sezione..3) seguita da una traslazione w w +(b/d)). È quindi geometricamente chiaro che linee e cerchi vanno in linee e cerchi. Se c 0, scriviamo az + b cz + d a ad bc c c cz + d. Questa trasformazione è la composizione di 5 trasformazioni: z () w cz (2) w 2 w + d (3) w 3 (4) ad bc (5) w w 4 w 3 w 5 w 2 c 4 + a c () stiro-rotazione (2) traslazione (3) inversione complessa (4) stiro-rotazione (5) traslazione Le stiro-rotazioni e le traslazioni trasformano linee e cerchi in linee e cerchi, se mostriamo che lo stesso vale per l inversione complessa siamo a posto. L equazione di un cerchio è αx 2 + αy 2 + 2βx 2γy + δ 0 e per α 0 si ha l equazione di una linea retta. In notazione complessa l equazione diventa α z 2 + β(z + z)+iγ(z z)+δ 0

7 soluzione dei problemi A-7 Poniamo w /z e sostituiamo α w 2 + β( w + w )+iγ( w w )+δ 0 Moltiplichiamo per w 2 ww e otteniamo α + β(w + w) iγ(w w)+δ w 2 0 che è ancora l equazione di un cerchio (dove si è spostato il centro? come è variato il raggio?). Facciamo il punto sulle trasformazioni di Möbius M(z) az + b, ad bc 0. cz + d Ciascuna di esse è la composizioni delle seguenti trasformazioni: (i) stiro-rotazione moltiplicazione per il numero complesso a, S a (z) az (ii) traslazione somma del numero complesso b, T b (z) z + b (iii) inversione complessa I C (z) /z Allora M T (a/c) S [ (ad bc)/c] I C T d S c dove, come di consueto, denota la composizione di funzioni. Nota La trasformazione I G : z z è usualmente detta inversione geometrica o inversione per raggi vettori reciproci nel piano o semplicemente inversione. Come si vede facilmente, anch essa trasforma linee e cerchi in linee e cerchi.