Supervisore. Controllore 1. Impianto. Controllore 2. Impianto. Controllore 3. Computer. Controllore 4

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1 Corso sui Sistemi Ibridi Andrea Balluchi Luca Benvenuti Tiziano Villa PARADES G.E.I.E., Via San Pantaleo 66, Roma, Italy Universita di Udine, Febbraio 2000 Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 0%

2 Esempi motivanti Formalizzazione Sommario 1. Urto anelastico 2. Termostato 3. Controllo digitale e supervisore 4. Controllo ottimo di veicoli su ruote 5. Motore a combustione interna 1. Denizione di automa ibrido 2. Denizione di traiettoria 3. Esistenza ed unicita delle traiettorie 4. Equazioni dierenziali con discontinuita Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 1%

3 x 1 _x1 = x2 _x2 =?g x 2 q1 Urto anelastico x 2 x2 =?cx2 x1 = 0 ^ x2 0 x 1 x x 1 - posizione della pallina x 2 - velocita della pallina g - accelerazione di gravita c < 1 - anelasticita Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 2%

4 q 1 q 2 Termostato x x _x =?x x > 60 _x =?x x < 90 u x - temperatura del liquido x x x q 1 q 2 q q q t Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 3%

5 Controllo digitale e supervisore Supervisore Impianto Controllore 1 D/A A/D Controllore 2 Impianto Computer Controllore 3 Controllore 4 Impianto con evoluzione continua e controllore digitale discreto Sistema controllato da un supervisore che attiva quattro tipi di controllo distinti Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 4%

6 _~y = V R sin _~ =! Controllo ottimo di veicoli su ruote θ θ della macchina di Dubins Dinamica 8 y Ψ(X)=0 y ^ ~ y α x x ^ >< > _x = V cos = V sin _y =! _ raggio minimo di curvatura y j!j < V R rsl R R R R nello spazio di stato ridotto Dinamica ( Ψ(X)=0 x Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 5%

7 Controllo ottimo nello spazio ridotto ~ ) 2 0 (~y; = sin( ~ ) V R _~y rsr.. ~ θ π lr (2) Ω - = rsr U rl U rsl o = (0,0) U sl U sr Ω Ω + = lsr U ls U lsl right turn = sin( ~ ) V R _~y =? V R _~ (~y; ~ ) 2? go straight (~y; ~ ) 2? (~y; ~ ) 2 0 _~ = 0 (~y; ~ ) 2? (~y; ~ ) 2 + (~y; ~ ) 2 + (~y; ~ ) 2 0 left turn = sin( ~ ) V R _~y = + V R _~ (~y; ~ ) 2 + sr lsr (1) lr rl (2). π.. (1) rl rsl lsl ~ y sl Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 6 %

8 _ = 180 = 180 = Motore a combustione interna T = 0 _ H = 0 _ = 0 _m spark 180 I BS PA AS H I = n = 180 = 0 = 180 = 0 T = 0 PA AS = 0 = f (m; ) T I m T 180 = 0 m = q = 180 C spark ^ 160 = 180? spark ^ = 180 = 0 T = f (m; 0) spark T = f (m;?) E BS NA aspirazione compressione espansione scarico aspirazione. Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 7%

9 Denizione. Un automa ibrido e una collezione H = (Q; X; f; Init; Inv; Jump) Q e linsieme nito degli stati discreti X e linsieme delle variabili continue fx 1 ; x 2 ; ; x n g che assumono valori in IR n Init Q IR n denisce gli stati iniziali ammissibili Inv Q IR n denisce le condizioni di invarianza per ogni q 2 Q, x deve Jump Q IR n! 2 QIRn specica le transizioni discrete ammissibili ed il reset Denizione di automa ibrido f Q IR n! IR n denisce il usso continuo in ogni stato discreto q 2 Q mediante lequazione _x = f (q; x) vericare (q; x) 2 Inv dello stato continuo. Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 8%

10 q 1 q 2 insieme delle transizioni discrete per ogni e = (q; q 0 ) 2 E, insieme delle guardie per ogni e = (q; q 0 ) 2 E, funzione dei reset x 2 G(q 1 ; q 2 ) x 0 2 R(q 1 ; q 2 ; x) _x = f (q 2 ; x) _x = f (q 1 ; x) x 2 Inv(q 2 ) x 2 Inv(q 1 ) x 2 G(q 2 ; q 1 ) x 0 2 R(q 2 ; q 1 ; x) (q( 0 ); x( 0 )) 2 Init E = f(q; q 0 ) 2 Q Qj9x; x 0 2 IR n ; (q 0 ; x 0 ) 2 Jump(q; x)g G(e) = fx 2 IR n j9x 0 2 IR n ; (q 0 ; x 0 ) 2 Jump(q; x)g R(e; x) = fx 0 2 IR n j(q 0 ; x 0 ) 2 Jump(q; x)g Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 9%

11 _x1 = x2 _x2 =?g x2 =?cx2 q 1 q 2 q1 Inv = q 1 fx 1 0g Q = fq 1 g; x1 = 0 ^ x2 0 X = fx 1 ; x 2 g f(q 1 ; x 1 ; x 2 ) = (x 2 ;?g) Init = q 1 fx 1 0g; E = fe 1 = (q 1 ; q 1 )g G(e 1 ) = fx 1 = 0 ^ x 2 0g x1 0 R(e 1 ; (x 1 ; x 2 )) = f(x 1 ;?cx 2 )g Q = fq 1 ; q 2 g; X = fxg f(q 1 ; x) =?x; f(q 2 ; x) =?x x 70 Init = Q f0 x 99g _x =?x _x =?x Inv = (q 1 fx > 60g) [ (q 2 fx < 90g) x < 90 x > 60 E = fe 1 = (q 1 ; q 2 ); e 2 = (q 2 ; q 1 )g G(e 1 ) = fx 70g; G(e 2 ) = fx 80g x 80 R(e 1 ; (x 1 ; x 2 )) = R(e 2 ; (x 1 ; x 2 )) = f(x 1 ; x 2 )g Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 10%

12 per ogni i < N, I i = [ i ; 0 i ] con i 0 i = i+1 se N < 1, I N = [ N ; 0 N ] oppure I N = [ N ; 0 N ). T denota linsieme dei supporti temporali. (q( 0 ); x( 0 )) 2 Init per ogni i, (q( i+1 ); x( i+1 )) 2 Jump(q( 0 i ); x( 0 i )). Denizione di traiettoria Denizione. Un supporto temporale e una sequenza fi i g N i=0 di intervalli, tali che Denizione. Una traiettoria di un automa ibrido H = (Q; X; f; Init; Inv; Jump) e una collezione = (; q; x), con 2 T, q! Q e x! IR n, con per ogni i con i < 0 i, 8 2 [ i ; 0 i ], v( ) e costante, x( ) e una soluzione dierenziale _x = f (q; x) e (q( ); x( )) 2 Inv dellequazione Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 11%

13 q 3 q 2 q q1 q3 q2 Esempio di traiettoria q _x = f (q3; x) x 5 x 4 3 x 1; x 0 2 [3; 4] x 4 x 3; x 0 2 [0; 2] 2 1 _x = f (q1; x) x = 1; x 0 = 3 _x = f (q2; x) x 1 x 1 = f[ 1 ; 0 1 ]; [ 2 ; 0 2 ]; [ 3 ; 0 3 ]g Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 12%

14 Z t Esistenza ed unicita in O.D.E. _x = f (x; t); x(0) = x 0 ; x 2 IR n ; t 0 (1) Una soluzione del O.D.E. (1) secondo Caratheodory e una funzione dierenziabile con continuita x(t) che soddisfa f (x( ); )d x(t) = x Teorema (Esistenza e unicita locale). Assumiamo che f (x; t) in (1) sia continua in t e x. Se esistono T; ; k; h tali che kf (x 1 ; t)? f (x 2 ; t)k kkx 1? x 2 k 8x 1 ; x 2 2 B(x 0 ; ) 8t 2 [0; T ] (2) kf (x 0 ; t)k h 8t 2 [0; T ] (3) allora (1) ha una unica soluzione per t 2 [0; ] per un sucientemente piccolo. Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 13%

15 @x j < 1 =) f e Lipschitz continua in x 0 =) f e continua in x 0 Teorema (Esistenza e unicita globale). Assumiamo che f (x; t) in (1) sia continua a tratti in t (numero nito di discontinuita in ogni compatto [t 1 ; t 2 ]). Se per ogni T 2 [0; 1) esistono k; h tali che kf (x 1 ; t)? f (x 2 ; t)k kkx 1? x 2 k 8x 1 ; x 2 2 IR n 8t 2 [0; T ] (4) kf (x 0 ; t)k h 8t 2 [0; T ] (5) allora (1) ha una unica soluzione su t 2 [0; T ] per qualsiasi T 1. La (4) e detta condizione di (x 0 ) Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 14%

16 con f + ; f? funzioni regolari da IR n assumo valori diversi in S 0! IR n, che S+ S0 Equazioni dierenziali con discontinuita Sono state studiate nel controllo on-o (rele), controllo ottimo (bang{bang). Sia s IR n! IR una funzione di commutazione e S? S 0 = fx 2 IR n js(x) = 0g la supercie di commutazione _x = f + (x) per x 2 S + = fx 2 IR n js(x) > 0g _x = f? (x) _x = f?(x) per x 2 S? = fx 2 IR n js(x) < 0g _x = f+(x) lim f?(x) x!x0 9x 0 2 S 0 ; lim f + (x) 6= x!x0 Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 15%

17 rendere regolare f attorno S 0 metodo di Filippov il campo equivalente f e S - So S - So S + Traiettorie nei pressi della discontinuita S + S - So S + campo attrattivo campo repulsivo campo attrattivo con rele S - So S + Tecniche di soluzione S - S + e contenuto nellinviluppo S o convesso di f + ; f?. campo perturbato caso generale Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 16%

18 I? g(x)[rs(x)g(x)]?1 rs(x) f (x) Controlli a Struttura Variabile Nei controlli a struttura variabile la condizione di attrattivita e voluta _x = f (x) + g(x)u(x); u(x) = ksign (s(x)) il comportamento si determina mediante la tecnica del controllo equivalente _s = rs _x = [rs(x)f (x)] + [rs(x)g(x)]u(x) = 0 da cui u e =?[rs(x)g(x)]?1 [rs(x)f (x)] _x = Per sistemi lineari _x = Ax + bu; s(x) = cx = 0; u e =?(cb)?1 cax _x = [I? b(cb)?1 c]ax Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 17%

19 q 1 = 1 _x = 0 _y [x; y] 2 S?1 = 0 _x = 0 _y [x; y] 2 S?1? y 2 1 x+1 [x; y] 2 S +1 q 2 y 2? x+1 Equazioni dierenziali con soluzione non unica Sintesi delle traiettorie che conducono allorigine in tempo minimo per " # " # # " _x = u; con juj _y 2 q 3 u=-1 u=+1 y [x; y] = [0; 0] [x; y] = [0; 0] [x; y] 2 S?1 [x; y] = [0; 0] [x; y] 2 S +1 [-1,1] [x; y] 2 S +1 x _x = 1? y _y = 1 + x Parades G.E.I.E, Via San Pantaleo 66, Roma ITALY 18%