Astrofisica galattica Lezione 1

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1 Astrofisica galattica Lezione 1 Maurizio Tomasi maurizio.tomasi@unimi.it Dipartimento di Fisica Università degli studi di Milano 23 Marzo 2018

2 Struttura della Via Lattea

3 Masse e dimensioni Componente Massa Forma e dimensioni Alone stellare 10 9 M d Sfera (r ą 20 kpc) Disco (gas) M d Disco (r 25 kpc, h 0.15 kpc) Rigonfiamento M d Ellissoide (6 ˆ 2 ˆ 2 kpcq centrale Disco (stelle) M d Disco (r 15 kpc, h 1 kpc) Alone materia M d Sfera (r ą 60 kpc?) oscura

4 Parte I Ammassi stellari

5 NGC 290 (ammasso aperto)

6 M22 (ammasso globulare)

7 Tipi di ammassi stellari Numero di stelle Dimensioni Gas e polvere? Nebulose planetarie? # di ammassi noti Dove? A. aperti A. globulari pc pc (core 5 pc) No Sì 160 Alone stellare (1 % del totale) Sì No 103 Disco

8 NGC104 (47 Tuc, ammasso g.) N 3 ˆ 10 5, 2r 100 ly, D 20 kly, m V 4.9 mag.

9 M3 (ammasso g.) N 5 ˆ 10 5, 2r 150 ly, D 35 kly, m V 6.2 mag.

10 M13 (ammasso g.) N 6 ˆ 10 5, 2r 145 ly, D 22 kly, m V 5.8 mag.

11 Parte II Dinamica degli ammassi

12 Termodinamica e astrofisica Essendo sistemi composti da molte particelle, possiamo pensare di usare la termodinamica classica per descriverli?

13 Termodinamica e astrofisica No! La teoria del gas ideale funziona solo in sistemi privi di forze a lungo raggio. Da questo punto di vista la gravità è un problema! Properties of systems with long range interactions are still poorly understood despite being of importance in most areas of physics. (Dynamics and Thermodynamics of Systems with Long Range Interactions)

14 Teorema del viriale Fortunatamente esiste uno strumento adatto per la descrizione di sistemi gravitazionalmente legati: il teorema del viriale. Consideriamo un sistema fisico di N particelle confinato in un volume V (da forze interne o vincoli esterni). Ogni particella si trova nella posizione r i, la forza risultante su di essa è Fi e K i è la sua energia cinetica.

15 Medie temporali Ovviamente le quantità r i, Fi e Ki variano nel tempo. Siamo però interessati più al loro valore medio che alla loro evoluzione istante per istante. Data una quantità f dipendente dal tempo, il valore di ż 1 τ f t lim f ptq dt τñ8 τ è la media temporale di f. 0

16 Definizione di viriale La quantità G Nÿ r i p i i 1 è detta viriale. Nel caso in cui le particelle si trovino in un volume limitato V, esso gode di due proprietà: 1. G è una quantità limitata; 2. Dopo un certo tempo, G tende a diventare costante.

17 Limitatezza del viriale Se il sistema è limitato in un volume V, allora esistono degli estremi superiori P e R per la quantità di moto p i e r i. Di conseguenza, Nÿ Nÿ G r ˇ i p ď r iˇˇˇˇˇ i p i ď NRP. i 1 i 1

18 Variazione nel tempo del viriale La variazione nel tempo del viriale ha media nulla: ż ˇ 9G ˇ ˇ lim 1 τ 9Gptq dt t tñ8 τ ˇ 0 ˇ lim Gpτq Gp0q τñ8 τ ˇ 2NRP ď lim τñ8 τ 0. Ciò vuol dire che, passato un certo tempo ( tempo di rilassamento ), il viriale diventa approssimativamente costante.

19 Enunciato del teorema del viriale Il teorema del viriale dice che in un sistema limitato in un volume V, passato il tempo di rilassamento, vale l uguaglianza ÿ N K t 1 r i Fi, 2 i 1 dove K ř N i 1 K i è l energia cinetica totale del sistema. t

20 Dimostrazione del teorema Usando la proprietà 9G tesi: 2 d dt Nÿ K i ` i 1 Nÿ r i p i i 1 Nÿ r i Fi i 1 ÿ N K i i 1 t t t t 0 si ottiene subito la 0 0 ÿ N 1 r i Fi. 2 i 1 t

21 Caso di forze centrali Si può dimostrare che per forze con potenziale U i kr α i ( forze centrali ) il teorema del viriale si riduce a: K t α 2 U t, dove U ř N i 1 U i è l energia potenziale totale del sistema. Noi dimostreremo la relazione nel caso della forza gravitazionale (U91{r, quindi α 1): K t 1 2 U t.

22 Teorema del viriale e gravità (1/4) Nel caso di un sistema di N particelle interagenti con una forza tra i e j pari a abbiamo che F i F ij k r i r j r i r j 3, Nÿ F ij k j 1 j i Nÿ j 1 j i r i r j r i r j 3. Nell espressione ř N i 1 r i Fi compare quindi una doppia sommatoria.

23 Teorema del viriale e gravità (2/4) Usiamo la sostituzione r i p r i r j q{2 ` p r i ` r j q{2 nell espressione di r i F i : r i Fi k Nÿ r i p r i r j q j 1 j i r i r j 3 k 2 `k 2 Nÿ r i r j 2 j 1 j i Nÿ j 1 j i r i r j 3 p r i ` r j q p r i r j q r i r j 3.

24 Teorema del viriale e gravità (2/4) Usiamo la sostituzione r i p r i r j q{2 ` p r i ` r j q{2 nell espressione di r i F i : r i Fi k Nÿ r i p r i r j q j 1 j i r i r j 3 k 2 `k 2 Nÿ r i r j 2 j 1 j i Nÿ j 1 j i r i r j 3 p r i ` r j q p r i r j q r i r j 3. Dimostreremo ora che nell espressione ř N i 1 r i Fi il termine dovuto alla seconda somma è nullo.

25 Teorema del viriale e gravità (3/4) È possibile scambiare i e j senza cambiare il valore della somma: ÿn ÿ i,j 1 j i ÿn ÿ j,i 1 i j r i p r i ` r j q p r i r j q r i r j 3 (scambio i e j) r j p r j ` r i q p r j r i q r j r i 3 (porto fuori il ) ÿn ÿ j,i 1 i j r j p r i ` r j q p r i r j q r i r j 3.

26 Teorema del viriale e gravità (3/4) Nel calcolo precedente (tenuto conto dell equivalenza tra i e j nella doppia sommatoria) abbiamo ottenuto che la quantità ÿn ÿ i,j 1 j i r i p r i ` r j q p r i r j q r i r j 3 è uguale al suo opposto. Ciò significa che la quantità è nulla.

27 Teorema del viriale e gravità (4/4) Nÿ ÿn ÿ r i Fi r i p r i r j q k r i r j 3 i 1 k j 1 j i ÿn ÿ j 1 j i ÿn ÿ j 1 j i r i r j 2 r i r j 3 ` 0 k r i r j p U ij q 1 p2uq U. 2

28 Livello di energia potenziale Ricordate che l energia potenziale è definita a meno di una costante additiva (deriva da un integrale indefinito). Il teorema del viriale assume però una costante ben precisa per U ij : siccome abbiamo supposto che U ij k r i r j, significa che assumiamo che l energia potenziale di i e j tenda a zero se le due particelle vengono allontanate indefinitamente.

29 Applicazioni del teorema (1/2) Come esempio, stimiamo la temperatura media del Sole usando il teorema del viriale. (Il Sole è un sistema di volume limitato, sicuramente rilassato, quindi il teorema è applicabile).

30 Applicazioni del teorema (1/2) L energia potenziale gravitazionale del Sole (sfera di raggio R) è U 3 5 GM2 R, mentre l energia cinetica totale è K Nÿ i kt (assumiamo per semplicità che tutte le N particelle siano alla stessa temperatura T ).

31 Applicazioni del teorema (1/2) Usando il teorema del viriale K t 1 2 U t otteniamo che la temperatura viriale è T 1 GMd K. 5 NkR d Essa corrisponde circa alla temperatura del nucleo.

32 Applicazioni del teorema (2/2) Calcoliamo ora l energia media di legame per nucleone in un nucleo atomico. Anche in questo caso abbiamo un sistema di particelle ovviamente rilassato e confinato in un volume limitato, ma non è classico: proviamo comunque ad applicare il teorema del viriale.

33 Applicazioni del teorema (2/2) Un nucleo atomico ha raggio R m. L energia cinetica media classica p 2 {p2mq è stimabile dal principio di indeterminazione: p x x 2. Siccome p 2 px 2 ` py 2 ` pz 2 «3px 2, allora K «A p2 «A 3 2 A 2. 2m p 8R 2 m p R 2 m p

34 Applicazioni del teorema (2/2) Nell ipotesi che U9r α, e che α non sia troppo distante dall unità, dal teorema del viriale vale che K U (stesso ordine di grandezza), ossia 2 A U R 2 m p Noi siamo interessati all energia di legame per nucleone, ossia U{A: U{A 2 R 2 m p 10 MeV/nucleone.

35 Parte III Teorema del viriale e ammassi globulari

36 Dinamica degli a.g. Usando il teorema del viriale, calcoliamo le seguenti quantità per un ammasso tipico (R 5 pc, N 10 6 ): 1. Energia potenziale; 2. Energia cinetica; 3. Velocità quadratica media; 4. Velocità di fuga; 5. Tempo di rilassamento; 6. Massa.

37 Energia potenziale di un a.g. Sappiamo che per una distribuzione di massa con simmetria sferica vale che GM U R, anche nel caso in cui ρ dipenda dal raggio r.

38 Energia potenziale di un a.g. Per un ammasso globulare si ha tipicamente che N 10 6, M 0.5M d, R core 5 pc. La sua energia potenziale è quindi GpNM q U R core 2.5 ˆ erg. (Per confronto, il Sole ha un energia potenziale gravitazionale di erg).

39 Energia cinetica di un a.g. Se l ammasso è dinamicamente rilassato, allora K U ˆ 1051 erg, e quindi l energia totale è E K ` U 1.2 ˆ erg.

40 Dinamica degli a.g. Usando il teorema del viriale, calcoliamo le seguenti quantità per un ammasso tipico (R 5 pc, N 10 6 ): 1. Energia potenziale: 2.5 ˆ erg; 2. Energia cinetica: 1.2 ˆ erg; 3. Velocità quadratica media; 4. Velocità di fuga; 5. Tempo di rilassamento; 6. Massa.

41 Velocità quadratica media Vogliamo calcolare la velocità (quadratica) media delle stelle in un ammasso globulare. Questa quantità è legata all energia cinetica K : K Nÿ i M v 2 i 1 2 M N 1 N 1 2 M GCv 2 rms Nÿ i 1 v 2 i

42 Velocità quadratica media Di conseguenza, dal teorema del viriale 3 GMGC 2 2 K t U t 5 R abbiamo che v rms c 3GMGC 5R «16 km/s. t

43 Dinamica degli a.g. Usando il teorema del viriale, calcoliamo le seguenti quantità per un ammasso tipico (R 5 pc, N 10 6 ): 1. Energia potenziale: 2.5 ˆ erg; 2. Energia cinetica: 1.2 ˆ erg; 3. Velocità quadratica media: 16 km/s; 4. Velocità di fuga; 5. Tempo di rilassamento; 6. Massa.

44 Velocità di fuga È sensato supporre che un ammasso globulare sia legato? Per rispondere a questo, dobbiamo stimare la velocità di fuga. Se infatti la velocità media delle stelle fosse maggiore della velocità di fuga, allora l ammasso non potrebbe essere legato: evaporerebbe lasciando sfuggire le sue stelle nello spazio.

45 Velocità di fuga Per stimare la velocità di fuga v f si impone la conservazione dell energia tra i due istanti mostrati in figura.

46 Velocità di fuga Nel caso di una stella posta inizialmente a una distanza R dal centro di massa dell ammasso, l equazione di conservazione dell energia diventa: 1 2 M v 2 f G M M GC R 0, da cui c 2GMGC v f R «29 km/s.

47 Velocità di fuga Dal momento che c c 3GMGC 2GMGC v rms ă v f, 5R R ciò conferma l ipotesi che l ammasso globulare (e in generale qualsiasi sistema gravitazionale virializzato) sia un sistema legato.

48 Dinamica degli a.g. Usando il teorema del viriale, calcoliamo le seguenti quantità per un ammasso tipico (R 5 pc, N 10 6 ): 1. Energia potenziale: 2.5 ˆ erg; 2. Energia cinetica: 1.2 ˆ erg; 3. Velocità quadratica media: 16 km/s; 4. Velocità di fuga: 29 km/s; 5. Tempo di rilassamento; 6. Massa.

49 Tempo di rilassamento Veniamo ora al tempo necessario perché un ammasso diventi dinamicamente rilassato. Inizialmente le stelle di un ammasso possono non essere rilassate: in tal caso le più veloci (v ą v f ) escono dall ammasso, e questa evaporazione cambia la distribuzione delle v. In più, le interazioni gravitazionali provocano una ridistribuzione dell energia, che porta l ammasso verso lo stato rilassato.

50 Tempo di rilassamento Per quantificare il tempo di rilassamento, possiamo supporre che esso sia il tempo necessario affinché ciascuna delle stelle dell ammasso interagiscano un certo numero N di volte con le sue compagne. (Questo è analogo al modo in cui si studia un gas ideale che sta raggiungendo l equilibrio termodinamico).

51 Tempo di rilassamento Possiamo definire un interazione tra due stelle come la condizione in cui l energia cinetica diventa uguale all energia potenziale tra le due (perché?): 1 2 M v 2 G M2 r. Ciò avviene quando la distanza tra le due stelle è r c 2G M v 2. Definiamo questo come il raggio collisionale.

52 Tempo di rilassamento Quanto è probabile che una stella interagisca con altre? Dipende da quanto velocemente la stella si muove e dalla densità delle sue compagne: 2r v Nel volume V πr 2 x ci sono pπr 2 xq n stelle (con n densità numerica).

53 Tempo di rilassamento 2r v Se la distanza percorsa dalla stella è x v t, allora il tempo di rilassamento t r è quel tempo tale per cui la stella interagisce con un numero N int di stelle (ossia: N int stelle nel cilindro): pπr 2 v t r q n N int ñ t r N int πr 2 v n.

54 Tempo di rilassamento Se ora nell espressione t r N int πr 2 v n usiamo la stima del raggio collisionale r c 2G M v 2. e poniamo N int «1, otteniamo: t r v 3 4πG 2 M2 n.

55 Tempo di rilassamento L espressione di t r può essere molto semplificata. Innanzitutto, n N{` 4 3 πr3 ; inoltre K 1 2 U 1 2 NM v 2 3 GpNM q2 5 R GM N «Rv 2 (supponendo 3 5 «1 2 ).

56 Tempo di rilassamento Sostituendo le espressioni di n e GM N, otteniamo t r «NR 3v, quindi il tempo di rilassamento è dello stesso ordine di grandezza del tempo richiesto a compiere N attraversamenti dell ammasso (R{v è il tempo per un attraversamento), con N numero di stelle.

57 Tempo di rilassamento La nostra stima porta a un valore di t r pari a t r «1 3 ˆ 106 ˆ 5 pc 16 km/s «100 Gyr, che è implausibile! (L universo ha meno di 14 miliardi di anni). Questo contrasta col fatto che la maggior parte degli ammassi globulari sembri essere già rilassata.

58 Tempo di rilassamento Il problema è che noi abbiamo considerato solo le interazioni a corto raggio, mentre sono rilevanti anche gli scambi energetici a distanza. Nello specifico, abbiamo supposto che si abbia interazione quando la distanza tra due stelle sia inferiore al raggio collisionale r c dato da 1 2 M v 2 G M2 r c. Ma anche a distanze maggiori di r c ci sono scambi energetici, e noi li stiamo trascurando.