Capitolo 33 TRASPORTO IN PRESSIONE

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1 Captolo 33 TRASPORTO IN PRESSIONE 1 INTRODUZIONE I sstem d condotte n pressone destnat all'approvvgonamento drco comprendono: - gl acquedott estern, che adducono l'acqua dalle font d'almentazone alle zone d'utlzzazone (centr abtat, aree ndustral, comprensor rrgu), - le ret d dstrbuzone nterne a tal zone. Questa suddvsone concde spesso con quella tra ret aperte e ret chuse perché, mentre gl acquedott estern sono generalmente uncursal - se unscono una sola fonte d'almentazone con un unco centro abtato - o ramfcat (ad albero) - nel caso che colleghno una o pù font con dverse zone d'almentazone - le ret d dstrbuzone de centr abtat, delle zone ndustral, e talvolta anche de comprensor rrgu, sono costtute da sstem d condotte nterconnesse a rete chusa, n modo che ogn punto d'erogazone possa essere almentato da almeno due condotte, per garantre l servzo anche n caso d'nterruzone d una condotta. Sa gl acquedott estern, sa le ret d dstrbuzone prendono l'acqua da uno o pù punt d'almentazone ben ndvduat, prm dalle opere d presa, le seconde da manufatt d'arrvo degl acquedott estern. Dfferscono nvece per quanto rguarda l'erogazone, perché l'acqua è consegnata: - dagl acquedott: n un numero lmtato d punt, ubcat presso le zone d'utlzzazone (serbato, parttor, torr pezometrche), - dalle ret d dstrbuzone: n numerosssm punt stuat nelle abtazon, negl stablment produttv o lungo le dstrbutrc rrgue. Tal ret sono percò draulcamente connesse con gl apparecch d'erogazone all'utenza, e sono da quest regolate. In fase d calcolo delle ret d dstrbuzone punt d consegna non sono quas ma ndvduat sngolarmente: d conseguenza l calcolo vene svolto escludendo senz'altro gl mpant ntern e lmtando l'anals alle condotte stradal o, comunque, alla rete pubblca. S opera così un'deale separazone tra due sstem, comune e prvato. Le condzon d valle mposte ne calcol sono qund fttze: s suddvde l'area servta n zone, almentate cascuna da un sngolo punto d consegna vrtuale, e s suppone che la rete erogh uncamente da tal punt, mponendo che l carco alla consegna sa suffcente a far funzonare correttamente gl apparecch servt. Negl schem d calcolo, qund, le ret d dstrbuzone sono rappresentate come un nseme d tronch a dametro e portata costante, che vengono calcolat n moto unforme, utlzzando n cascun tronco le relazon che legano la portata alle perdte d carco n condzon d moto

2 unforme. Lmtando l'attenzone agl algortm d calcolo e facendo rfermento a ret opportunamente schematzzate n base alle precedent consderazon, problem esamnat sono d tre tp: - verfca: n cu, dato l sstema d condotte (gà esstente o comunque gà dmensonato), s determnano le portate e carch conseguent ad un'assegnata dstrbuzone della domanda e dell'almentazone drca; - smulazone, che costtusce un caso partcolare d verfca, n cu s seguono gl andament nel tempo delle portate, delle presson, de lvell ne serbato e d'eventual altre grandezze (erogazon, stato delle valvole ); - dmensonamento: n cu, date le dstrbuzon della domanda e dell'almentazone, e avendo mposte delle condzon lmt per carch, per le veloctà d deflusso e per eventual altr parametr operatv, s determnano le varabl d progetto, come dametr delle condotte e le prevalenze degl mpant d sollevamento. MOTO NELLE CORRENTI IN PRESSIONE.1 MOTO UNIFORME Pendenza pezometrca e perdte d carco In moto unforme le lnee d flusso della veloctà d trasporto sono rettlnee; d conseguenza l moto può essere consderato lneare e l carco totale della corrente s esprme: p H = z + + γ α U g (.1) Il carco totale n un fludo reale n movmento dmnusce nel verso del moto a causa delle perdte d carco, che n moto unforme s rducono alle sole perdte rpartte. Queste sono rappresentate, per untà d lunghezza, dalla dervata del carco totale rspetto all ascssa s, assunta postva nel verso della corrente: dh ds d ds z p U = + + γ g α In moto unforme la veloctà è costante, per cu è nulla la dervata dell altezza cnetca. La (.) dventa allora: dove: dh ds d ds z p dζ = + = = γ ds (.) (.3) p ζ = z + (.4) ρg è la quota pezometrca e:

3 d = ζ ds prende l nome d pendenza pezometrca, e rappresenta la pendenza della lnea pezometrca, assunta postva quando la lnea cala nel verso del moto. La (.3) dce che n moto unforme la lnea de carch total e la lnea pezometrca sono parallele. Pertanto n moto unforme - e solo n moto unforme - la pendenza pezometrca rappresenta la perdta d carco per untà d lunghezza. Poché n moto unforme le condzon del moto non varano da una sezone all altra, n esso la pendenza pezometrca è costante: = cos t La resstenza al moto Se s ndca con τ o lo sforzo tangenzale alla parete, ossa la forza per untà d area che s esercta tra l fludo e la parete, la forza che per untà d lunghezza agsce sulla corrente, tangenzalmente ad essa e con verso opposto al moto è: f = τ oc dove C è l contorno bagnato e: τ o = γr (.5) con R raggo draulco. La (.5) vale sa n moto turbolento, sa n moto lamnare. Essa lega lo sforzo tangenzale alla parete alle perdte d carco, ma non consente ancora d legare le perdte d carco alla portata. Relazone tra perdte d carco e portata Nel moto unforme la relazone tra la pendenza pezometrca e la veloctà U può essere espressa dalla relazone: λ U = (.6) 4R g n cu R è l raggo draulco e λ è l coeffcente d resstenza. Nel caso d condotte a sezone crcolare d dametro D la (.6) dventa: λ U 8Q Q = = λ = 0,0863 λ (.7) D g 5 5 π gd D Le esperenze d Nkuradse hanno mostrato che n tub la cu scabrezza è costtuta da sabba monogranulare l valore d λ dpende dal numero Reynolds UD Re = ν (.8) dove ν è la vscostà cnematca, e dalla scabrezza relatva r o D, n cu r o è l raggo de granul d sabba, tramte relazon emprche llustrate nella fgura.1. 3

4 Fgura.1 Msure del coeffcente d resstenza n tub res artfcalmente scabr (Nkuradse, 1933) Ne tub commercal la scabrezza non è omogenea, d conseguenza l comportamento s dscosta alquanto da quello potzzato da Nkuradse, come mostra la fgura.. Fgura. Andamento del coeffcente d resstenza λ n funzone del numero d Reynolds: n tub con scabrezza artfcale omogenea, curve (a), e n tub commercal, curve (b) L andamento d λ n funzone d Re e della scabrezza relatva ε D, dove ε una scabrezza equvalente ε, defnta come quella artfcale che dà lo stesso λ nel moto assolutamente turbolento, può essere nterpretata dalla formula d Colebrook 1,51 D =,0 log + ε λ Re λ 3, 71 Gl andament d λ n funzone d Re per dvers valor d ε D sono ndcat nella fgura.3. (.9) 4

5 Fgura.3 Dagramma d Moody: curve λ =λ(re, ε/d) ottenute dalla formula d Colebrook con dvers valor costant della scabrezza relatva ε/d. La scabrezza equvalente ε per dvers materal è ndcata nella tabella (.01). La (.9) è una relazone mplcta n λ e può essere rsolta con procedure teratve. Rcavando λ dalla (.6), sosttuendolo nella (.9) nseme all espressone d Re (.8) e rcordando la relazone tra Q e U, s ottene l espressone d U n funzone della pendenza pezometrca per tubazon d dametro D e scabrezza equvalente ε: Q = 6,958 D log 0,5667 D + 0,695 D,5 ν ε 1,5 (.10) S osserv che per alt numer d Reynolds, ossa n moto assolutamente turbolento, l prmo termne entro la parentes della (.9) è trascurable rspetto al secondo e λ dventa ndpendente da Re, e rcavando λ s ottene: 0,5 λ (.11) ε log 0,695 D che sosttuta nella (.7) dà: Q = 0,0066 ε log 0,695 D Nelle stesse condzon la (.10) dà: D 5 (.1) 5

6 ε Q = 6,958 log 0,695 D D,5 Alcune formule emprche tradzonal possono essere rdotte alla formula d Chezy: (.13) Q= Ωχ R (.14) proposta appunto da Chezy nella seconda metà del settecento. Mentre però Chezy aveva supposto che l coeffcente χ, detto coeffcente d Chezy, fosse costante, s è vsto nvece che esso dpende dalle caratterstche del fludo, della corrente e delle paret. Pertanto altr studos hanno successvamente proposto formule pù approssmate, che, per ctarne solo alcune, ogg ancora molto dffuse nell draulca pratca, equvalgono a porre per χ le seguent espresson: - formula d Bazn: 87 χ = (.15) γ 1 + R - formula d Kutter: 100 χ = (.16) m 1 + R - formula d Gaukler e Strckler: 1 χ = kr 6 che ne paes anglosasson è nota come formula d Mannng: χ = n R (.17) In queste espresson coeffcent γ, m, k e n, sono consderat degl ndc d scabrezza e vengono determnat spermentalmente per var materal e per l dverso stato d conservazone delle paret. In realtà, per nterpretare con maggore aderenza rsultat spermental, bsognerebbe ammettere una dpendenza d quest ndc anche da altr fattor, oltre la scabrezza, quale ad esempo la formula della sezone 1. Sosttuendo nella (.6) e nella (.14) l espressone d χ data dalla formula monoma d Mannng (.17), s ottene: e: U = 1 R3 n 1 (.18) 1 Le formule ctate valgono per l moto assolutamente turbolento, coè quando la turbolenza s estende a tutta la sezone della corrente. Se le paret sono lsce, la turbolenza non s estende a tutta la sezone nteressata dal moto, ma n prossmtà delle paret rmane uno strato lmte a deflusso lamnare. S deve allora rcorrere a formule che tengano conto d questo fenomeno, tra cu molto usata è quella d Colebrook. Nella pratca tale formula vene usata per le tubazon d plastca (molto lsce anche dopo lungo uso) e n quelle d grande dametro (con scabrezza relatva al dametro molto pccola). 6

7 Q = 1 1 Ω R3 (.18 ) n Nelle corrent n pressone l acqua scorre dentro condotte chuse e ne occupa tutta la sezone. La forma della corrente è percò completamente determnata da quella della condotta. Pertanto: condzone necessara e suffcente perché l moto permanente d una corrente n pressone sa anche unforme è che la condotta sa rettlnea e a sezone costante. Infatt, per l equazone d contnutà, essendo costant portata, sezone e drezone del moto, è costante anche l vettore della veloctà meda U r. In pratca s consdera unforme anche l moto n pressone n una condotta non rettlnea, purché la curvatura sa tanto modesta da poters consderare lneare l moto e da non dar luogo a perdte d carco localzzate. Un caso partcolarmente mportante d corrent n pressone è quello è quello d corrent a sezone crcolare, n cu è R = D 4. Se l moto è assolutamente turbolento, come s ammette con qualche approssmazone nella maggor parte de cas pratc, adottando la formula d Mannng e applcando qund la (.18 ), s ottene:,667 Q = 0,3117 D (.19) Rsolvendo per D: e per : 0,375 nq D = 3,08 (.0) n Q = 10,9 (.1) 5,333 D La (.1) mostra come vara la pendenza pezometrca o, se s vuole, la perdta d carco per untà d lunghezza, al varare della portata n una tubazone d dametro D. Questa relazone può essere messa nella forma: dove: = γ ( D, n) Q (.1 ) n γ ( D,n) = 10,9 (.) 5, 333 D è la caratterstca della condotta, che dpende dalla scabrezza n e dal suo dametro D. Le (.19), (.0) e (.1) consentono d rcavare, note le altre due, una delle tre grandezze: - portata Q, - pendenza pezometrca, - raggo dametro D. Nella fgura.1 è traccato l andamento d una condotta n pressone a dametro costante, che collega due serbato a lvello costante. In essa s è supposto che le lunghezze msurate lungo l ascssa s concdano, n pratca, con le loro proezon orzzontal. Cò è ammssble soltanto se la pendenza della condotta è modesta. Se la portata è costante (ossa, se non v sono mmsson o dervazon) l moto è unforme e è costante. Essendo costante la veloctà lo è 7

8 anche l altezza cnetca: percò la lnea de carch total (a tratto unto nella fgura) è parallela a quella pezometrca (a tratteggo), salvo all mbocco e allo sbocco, dove non è ammssble l potes d unformtà del moto. Se l altezza cnetca è trascurable rspetto alle altre grandezze, come spesso accade, la pendenza pezometrca è: H = Δ L dove L è la lunghezza della condotta e ΔH = H1 H dfferenza d quota tra le superfc lbere ne serbato. è la perdta d carco totale, par alla Dalla fgura.1 è facle renders conto che, benché l energa cnetca della corrente sa costante, possono sempre aver luogo trasformazon d energa d poszone n energa d pressone a seconda dell andamento altmetrco della condotta. La lnea pezometrca assoluta (a tratto e punto nella fgura.1) è parallela alla pezometrca relatva (a tratteggo) e la sovrasta d un altezza p a γ = 10, 333m che è l altezza d pressone corrspondente alla pressone atmosferca normale. Fgura.1 - Lnea de carch total e pezometrche relatva e assoluta n una condotta monodametro L andamento della condotta può taglare la pezometrca relatva, come ndcato nella fgura., purché la condotta sa a tenuta d ara, perché al d sopra della pezometrca relatva la pressone è mnore d quella atmosferca. In termn d presson relatve s ha allora una pressone negatva, l cu valore è dato dal dslvello h tra la condotta e la pezometrca relatva, moltplcato per γ: p = -hγ 8

9 Fgura. - Condotta con tratto n depressone Ovvamente, la condotta non può taglare nvece la pezometrca assoluta, ma deve sempre manteners un al d sotto d essa, perché al d sopra della pezometrca assoluta la pressone assoluta dovrebbe essere negatva, qund d trazone, l che non può verfcars. Nella fgura.3 è ndcato l andamento delle pezometrche relatva e assoluta nel caso n cu la condotta salsse sopra la pezometrca assoluta rettlnea d una quanttà superore all altezza corrspondente alla pressone atmosferca. Notare che la pressone assoluta è nferore a quella atmosferca nel tratto AB, s annulla n B (n effett raggunge un valore bassssmo, par alla tensone d vapore saturo a quella temperatura), mantenendola fno n C, e rtorna alla pressone atmosferca soltanto n D. Poché la pendenza pezometrca s è rdotta, la portata è mnore d quella che s avrebbe con una lnea pezometrca rettlnea contnua. Nel tratto AD (BC?), la pendenza pezometrca concde ovunque con la pendenza della condotta, che è maggore d quella a monte d B e a valle d D (C?). D conseguenza la veloctà è maggore e la sezone pù pccola, secondo la relazone Q Ω = U Cò vuol dre che nel tratto BC l acqua deflusce con sezone parzalzzata, a superfce lbera o, come s dce, a canaletta, con vapore sopra la superfce lbera, e rtorna n pressone soltanto n C. Da questo punto n po la pendenza pezometrca rtorna par a quella nzale. 9

10 Fgura.3 - Condotta n depressone Le cose vanno n questo modo soltanto se nel tratto n cu la pressone è mnore d quella atmosferca, ossa tra A e D, la condotta è perfettamente stagna. Se, nvece, nel tratto n depressone v sono delle aperture (un sfato, o qualche gunto che tene male), attraverso d queste entra ara n condotta, e s verfca la stuazone llustrata nella fgura.4: nel vertce s stablsce la pressone atmosferca, per cu la lnea pezometrca passa per A e la pendenza pezometrca s rduce, abbassando la portata. D conseguenza anche la pendenza della lnea pezometrca a monte del serbatoo d valle s rduce, e l carco n eccesso s dsspa tra A e B con un moto a canaletta, n cu la lnea pezometrca concde con l asse della condotta. Fgura.4 - Effetto dell ngresso d ara n una condotta n depressone.3 MOTO PERMANENTE NELLE CORRENTI IN PRESSIONE. PERDITE DI CARICO LOCALIZZATE Quando le paret tra cu avvene l deflusso n pressone non sono clndrche, ma hanno una sezone che vara nel senso della corrente, l moto permanente non è pù unforme. Mentre nel moto unforme non s verfcano trasformazon d energa cnetca n energa d pressone e vceversa, perché l energa cnetca s mantene costante, nel moto permanente n 10

11 queste trasformazon possono aver luogo, e la lnea pezometrca non è pù parallela a quella de carch total. Tuttava ne lqud real, se è agevole la trasformazone d energa d pressone n energa cnetca, che ha luogo quando la corrente è accelerata, la trasformazone nversa d energa cnetca n energa d pressone, che dovrebbe verfcars nelle corrent rallentate, ncontra notevol dffcoltà e avvene soltanto parzalmente. Questa trasformazone, nfatt, è sempre accompagnata da un aumento pù o meno sensble della turbolenza, che comporta un apprezzable dsspazone d energa n uno spazo relatvamente rstretto e che costtusce, qund, una perdta d carco localzzata. D seguto è ndcato come s calcolano le perdte d carco localzzate n alcun cas semplc, che s ncontrano pù frequentemente. Brusco allargamento d sezone Nella fgura.5 è llustrato qualtatvamente l deflusso d una corrente n corrspondenza d un brusco allargamento da una sezone σ 1 d area Ω 1 a una sezone σ d area Ω. La veloctà meda della corrente passa da: Q U 1 = Ω1 a: U Q = Ω Le partcelle che arrvano alla sezone σ 1 n prossmtà della parete, s staccano dalla parete stessa, come è ndcato dalle frecce, lascando a lat delle zone (A) n cu le partcelle sono anmate da una veloctà d trasporto pressoché nulla, ma hanno nvece una forte veloctà d agtazone. Questa agtazone s propaga n un ampa zona a valle dell allargamento (B) e s smorza lentamente, dsspando n calore l energa cnetca d agtazone. Fgura.5 - Brusco allargamento d sezone 11

12 Se s ammette che nelle sezon σ 1 e σ (dove l'eccesso d turbolenza può consderars smorzato) la dstrbuzone delle presson sa drostatca, con meda p 1 e p, e che, come ndcherebbe l esperenza, la pressone meda sul tratto anulare d parete σ 1,, d area Ω Ω1, sa anch essa par a p 1, allora, applcando l equazone globale al volume compreso tra le sezon σ 1 e σ : Raggruppando: p p L dz Q Q 1Ω Ω 0 ds + ρ Ω ρ γω Ω = 1 1 p1 p γ z z1 Ω + ρ Q = 0 Ω Ω ( ) Ω ( ) dvdendo per γω e rcordando la (.4): Q 1 1 ζ1 ζ = g Ω ΩΩ e qund, rcordando la defnzone d carco totale per una corrente (.1): H αq 1 1 H = ζ ζ + g Ω Ω s rcava che l'energa dsspata per untà d peso, ossa la perdta d carco ΔH = H1 H, che vale: α Ω ΔH H H ( ) g U U αu1 1 = 1 = 1 = 1 g Ω avendo sommaramente esteso l coeffcente α a tutt termn. (.3) La (.3) dce che: la perdta d carco localzzata n un brusco allargamento d sezone uguagla l altezza cnetca della veloctà perduta U 1 - U. Nella fgura.5 sono traccat gl andament della lnea de carch total e d quella pezometrca. Come s può vedere, la pezometrca ha un recupero d quota che vale: α ( ) ( ) α Δζ = ζ ζ = H H = g U U g U U U Essendo U 1 maggore d U, Δζ è negatvo, n accordo con la convenzone adottata d assumere postve le dmnuzon d carco e d quota pezometrca nel verso del moto. Un caso partcolare d allargamento d sezone è lo sbocco n un serbatoo n cu l acqua è mantenuta n quete. In questo caso s deve porre nella (.3) U = 0, e s ha: U ΔH = α 1 g ossa la corrente perde tutta l altezza cnetca. S ha anche: Δζ = 0 (.4) Gl andament della lnea de carch total e della pezometrca sono llustrat nella fgura.5. 1

13 Fgura.6 - Sbocco n un serbatoo Brusco restrngmento d sezone Nella fgura.7 è llustrato qualtatvamente l deflusso d una corrente n corrspondenza d un brusco restrngmento d sezone, con passaggo da una sezone σ 1, d area Ω 1 ad una sezone σ d area Ω. Fgura.7 - Brusco restrngmento d sezone Anche qu le partcelle flude che arrvano al restrngmento tendono a staccars dalle paret, come è ndcato dalle frecce, lascando a lat delle zone (A) n cu l moto è prvo d componente d trasporto ed è soltanto d agtazone. Superata la sezone contratta σ c, d area 13

14 Ω c, l moto d trasporto tende ad nteressare successvamente aree sempre pù ampe, fno ad occupare d nuovo tutta la condotta. L agtazone della zona A s trasmette alla zona B (n fgura) dove la corrente s allarga, e fnalmente vene smorzata dalla vscostà, fno a che nella sezone σ l eccesso d energa cnetca d agtazone s può consderare completamente dsspato n calore e resta solo la turbolenza relatva al moto unforme. Se s ammette che la perdta d carco ΔH s verfch tutta nell allargamento a valle della sezone contratta, e che anche n questo caso essa sa par all altezza cnetca della veloctà perduta, s ha: ΔH = H H = α ( ) g U U U c = α 1 g C 1 1 dove U c è la veloctà nella sezone contratta, C c c (.5) c = Ω Ω è l coeffcente d contrazone nel restrngmento, l cu valore dpende dal rapporto Ω 1. Se Ω 1 è grande, ossa se la Ω Ω dmnuzone d sezone è notevole, s ha C c = 0,5. Se Ω 1 è poco dverso da Ω, C c tende ad uno nseme al rapporto Ω 1 Ω. Nella fgura.7 sono traccat gl andament della lnea de carch total e d quella pezometrca. Come s può vedere, la quota pezometrca cala pù del carco totale: nfatt dopo l restrngmento l altezza cnetca è maggore. La pezometrca ha un mnmo n corrspondenza della sezone contratta, dove l altezza cnetca è massma. Chamando Δζ c = ζ1 ζ c la dfferenza tra le quote pezometrche n σ 1 e σ c, e Δζ quella tra σ 1 e σ, e ammettendo che prma della sezone contratta, tra σ 1 e σ c, sa nulla la perdta d carco, s ha: e: α ( ) g U U α g U U Δζ c = c = 1 1 C c Δζ H 1 H 1 ( U ) α = g U Un caso partcolare d allargamento d sezone è l efflusso da un serbatoo con acqua n quete. In questo caso è sempre C c = 0,6, perché l restrngmento è forte. Nelle espresson d Δζ c e Δζ s può porre U 1 = 0. Gl andament della lnea de carch total e della pezometrca sono llustrat nella fgura.8. 14

15 Fgura.8 - Uscta da un serbatoo Brusca strozzatura In una strozzatura del tpo d quella llustrata nella fgura.9, come nel brusco restrngmento, le perdte d carco s verfcano a valle della sezone contratta σ c. Fgura.9 - Brusca strozzatura Se è Ω l area della sezone della condotta, Ω s quella della strozzatura e Ω c quella della sezone contratta, nell potes che la perdta d carco ΔH avvenga tutta nell allargamento a valle della sezone contratta, s ha: α ΔH H H ( ) g U U α U s αu = 1 = c = U = g C g c 1 C c Ω 1 (.6) Ω s 15

16 dove: U Q = Ω è la veloctà nella condotta, e: U Q s = Ωs è quella nella strozzatura; Ω c è l rapporto d strozzamento, e C Ω c = Ω s Ω s è l coeffcente d contrazone nella strozzatura, che può essere assunto all ncrca par a quello d un analogo restrngmento d sezone. Gl andament della lnea de carch total e della pezometrca sono llustrat nella fgura.9. Come s è vsto, ne restrngment d sezone e nelle strozzature la pezometrca s deprme n corrspondenza delle sezon contratte pù d quanto non lascerebbe pensare l semplce restrngmento d sezone; percò, se s vuole evtare che la pezometrca tagl la condotta, provocando depresson e, eventualmente, cavtazone, bsogna verfcarne l andamento, ntroducendo ne calcol l valore che l altezza cnetca assume nella sezone contratta. Brusch cambament d drezone Anche ne brusch cambament d drezone le partcelle n moto che arrvano allo spgolo tendono a staccars dalla parete. A valle dello spgolo s forma percò una zona d forte turbolenza, con una sezone contratta analoga a quella che s forma ne restrngment d sezone, come llustrato nella fgura.10. Fgura.10 - Brusca devazone La perdta d carco localzzata ΔH può essere espressa dalla relazone: dove ηϕ ( ) relazone: U ΔH = H1 H = ηϕ ( ) α (.7) g è un coeffcente che dpende dalla devazone ϕ e può essere calcolato tramte la 16

17 ηϕ ( ) ϕ = 0, 946sn + 05, sn 4 ϕ Influenza de raccord Poché, come s è vsto, la causa delle perdte d carco localzzate ne cambament d sezone è essenzalmente da attrbure alla turbolenza che ha orgne nelle zone prve d veloctà d trasporto che s formano a valle degl spgol, dove le partcelle provenent da monte tendono a staccars dalla parete, s comprende faclmente sa possble rdurre sensblmente tal perdte d carco, raccordando opportunamente cambament d sezone, con profl che accompagnano le lnee d flusso, rducendo le zone d grande turbolenza. Nella fgura.10 sono llustrate alcune forme d raccord per allargament e restrngment. È nteressante notare che a partà d lunghezza, raccord pù effcac sono quell ndcat con la lettera a); tuttava raccord troncoconc, ndcat con la lettera b), d uso pù comune, danno rsultat generalmente soddsfacent, e comunque mglor de raccord del tpo ndcato con la lettera c). Fgura.10 - Raccord per cambament d dametro I cambament d drezone possono essere raccordat con tronch curvlne (fgura.11), n cu l aumento localzzato d turbolenza è senz altro pù basso che nelle devazon brusche ed è tanto mnore quanto maggore è l raggo R del raccordo. 17

18 Fgura.11 - Condotta n curva In opere d partcolare mportanza, n cu sa essenzale rdurre al mnmo le perdte d carco localzzate, la mglore conformazone delle superfc d raccordo deve essere studata spermentalmente su modello. 3 MODELLO MATEMATICO DELLE RETI DI CONDOTTE 3.1 SCHEMATIZZAZIONE DELLA RETE S consder n un prmo momento un sstema formato uncamente da condotte, senza altr organ partcolar, qual serbato, torr pezometrche, pozz, mpant d sollevamento, valvole rduttrc d carco, valvole undrezonal, ecc. Il sstema, n seguto chamato genercamente rete anche nel caso d sstema ramfcato, vene schematzzato con tronch, costtut da condotte monodametro, a portata costante lungo l percorso, che s congungono n nod, attraverso cu avvene lo scambo d portata con l'esterno (almentazone della rete o erogazone all'utenza) (fgura 3.1). Fgura Schema d un rete d condotte Una parte d rete costtusce una magla se ogn sua coppa d nod è unta da esattamente due percors: una magla costtusce qund un percorso chuso. Un esempo d magla è rappresentato nella fgura 3.1 da tronch, 3 e 5, che formano la magla 1. 18

19 Un sstema d magle s dce ndpendente se nessuna magla può essere ottenuta come combnazone delle altre. Nella fgura 3.1 sono ndpendent le magle 1 e formate rspettvamente da tronch, 3 e 5 e da tronch 4, 3 e 6. Se s consdera anche la magla formata da tronch, 4, 5 e 6, le tre magle non sono pù ndpendent, perché cascuna è combnazone delle altre due. Una rete, o parte d questa, cu tronch non formno magle s dce aperta. Vceversa s dce chusa una rete, o parte d questa, cu tronch faccano tutt parte d magle. In una rete aperta due nod qualsas sono conness da un unco percorso. Facendo rfermento alla fgura 3.1, sono aperte le part d rete formate dal tronco 1 e da tronch 7, 8 e 9. È nvece chusa la parte d rete formata da tronch, 3, 4, 5 e 6. Una magla s dce semplce se nella rappresentazone planmetrca all'nterno dell'area da questa compresa non v è alcun tronco facente parte d una rete chusa. Nella fgura 3.1 sono semplc le magle 1 e, mentre non è semplce quella formata da tronch, 3, 5 e 6. In una rete suddvsa n magle semplc, ogn tronco fa parte al pù d due magle, e precsamente: - non fa parte d'alcuna magla, se costtusce un ramo d rete aperta; - fa parte d una sola magla, se nella rappresentazone planmetrca della rete costtusce un tronco perferco; - fa parte d due magle, se nella rappresentazone planmetrca della rete costtusce un tronco nterno. S ndca con: l'ndce de tronch, con = 1 l; ad ogn tronco è assocato un orentamento, defnto come verso postvo d percorrenza; k l'ndce de nod, con k = 1 n; ad ogn nodo è assocato un orentamento, defnto come verso postvo d scambo (entrante o uscente); j l'ndce delle magle ndpendent, con j = 1 m; ad ogn magla è assocato un orentamento, defnto come verso postvo d crcolazone. Generalmente s defnsce l medesmo orentamento per tutt nod, e nelle pagne che seguono è stato assunto postvo l'orentamento entrante. S defnsce anche un medesmo orentamento per tutte le magle, ad esempo con crcolazone orara. S ha: m = l - n + 1 (3.1) S not che n una rete aperta, essendo m = 0, è: l = n - 1 (3.1') ossa l numero de tronch è uguale al numero de nod meno uno. 3. ELEMENTI DEL MODELLO S ndca con: L la lunghezza del tronco ; D l dametro della condotta del tronco ; 19

20 Q la portata del tronco, postva se segue l'orentamento del tronco; h la perdta d carco nel tronco ; P k la portata scambata con l'esterno nel nodo k, postva se entrante nella rete; H k l carco nel nodo k, msurato da una quota d rfermento qualsas; q j la portata crcolante nella magla j, postva se segue l'orentamento d questa. Per defnzone: h = H m H v = δ H k k Δ k per ogn tronco = 1 l (3.) dove la sommatora è estesa a nod k che fanno parte dell nseme Δ delle estremtà del tronco, e: δ k = 1 se l tronco è orentato nel verso l nodo k; δ k = -1 se l tronco è orentato nel verso uscente dal nodo k, Ad esempo, nella fgura 3.1 è: δ,1 = 1 e δ, = -1. Scelto un nodo nzale qualsas, ndcato con k = r, n cu l carco H r può essere stablto arbtraramente, carch ne sngol nod possono essere rcavat a partre da H r per mezzo delle perdte d carco ne tronch, h : H k = H r ζ h per ogn nodo k = n (3.3) k Ζ r,k dove la sommatora è estesa a tutt tronch che s trovano su un percorso Ζ r,k che va dal nodo r al nodo k, e: ζ k = 1 se l tronco è orentato nel verso del cammno dal nodo r al nodo k, ζ k = -1 se l tronco è orentato nel verso opposto al cammno dal nodo r al nodo k, Ad esempo, nella fgura 3.1, n un cammno che collega l nodo 1 col nodo 5 rsulta: ζ 5,1 = 1, ζ 5,4 = EQUAZIONI DEI CARICHI NEI TRONCHI Le equazon de carch ne tronch legano n cascun tronco le perdte d carco alle portate: h = k L Q Q = K Q Q per ogn tronco =1, l (3.4) dove k e K = k L sono rspettvamente la caratterstca untara e la caratterstca della condotta del tronco. Le (3.4) costtuscono un sstema d l equazon, lnear nelle l ncognte h e non lnear nelle l ncognte Q. Rcordando le (3.), s rcava dalle (3.4) (fgura 3.): δ H = K Q Q per ogn tronco = 1 l (3.5) k k =Δ k Le (3.5) costtuscono un sstema d l equazon, lnear nelle n - 1 ncognte H k e non lnear nelle l ncognte Q. 0

21 H m Tronco Q H v Fgura 3. - Schema per l'equazone de carch n un tronco 3.4 EQUAZIONI DI CONTINUITÀ DELLE PORTATE NEI NODI Le equazon d contnutà delle portate ne nod esprmono l concetto che la somma algebrca delle portate entrant n un nodo è nulla: k δ Q + P = 0 k k per ogn nodo k = n (3.6) dove la sommatora s'ntende estesa a tutt tronch che fanno parte dell nseme k de tronch che convergono nel nodo k, ndcato nella fgura 3.3, e s è assunta la convenzone d consderare postve le portate entrant nel nodo. altr nod K P k Fgura Schema per la contnutà delle portate n un nodo S not che l'esclusone d un'equazone nodale (convenzonalmente s può escludere quella del nodo k = 1) è dovuta al fatto che deve essere soddsfatta anche la contnutà delle portate scambate con l'esterno, per cu: k P k = 0 e qund una delle n equazon d nodo rsulta combnazone lneare delle altre. Pertanto le (3.6) costtuscono un sstema d n - 1 equazon lnear nelle l ncognte Q. (3.7) 3.5 EQUAZIONI DEI CARICHI NELLE MAGLIE Le equazon de carch nelle magle esprmono l concetto che è nulla la somma algebrca delle perdte d carco n una magla: Α j α j h = 0 per ogn magla j = 1 m (3.8) 1

22 dove la sommatora è estesa a tutt tronch che fanno parte dell nseme Α j de tronch che compongono la magla, ndcato nella fgura 3.4, j, e: α j = 1 se l tronco è orentato nel verso assunto come postvo per la crcolazone nella magla j; α j = -1 se l tronco è orentato nel verso opposto a quello assunto come postvo per la crcolazone nella magla j. Ad esempo, nella fgura 3.1 è α 1, = 1 e α 1,4 = -1. Le (3.8) formano un sstema lneare d m equazon nelle l ncognte h. j j Fgura Schema per l'equazone de carch n una magla In funzone delle portate d tronco Rcordando le (3.4), le (3.8) assumono la forma: A j α K Q Q 0 per ogn magla j = 1 m (3.9) j = Le (3.9) costtuscono un sstema non lneare d m equazon nelle l ncognte Q. S defnsce portata crcolante nella magla j, una portata deale q j (j = 1 m) che percorre tutt tronch della magla seguendo sempre lo stesso verso d crcolazone. Le portate crcolant nelle magle soddsfano sempre l sstema delle equazon d contnutà delle portate ne nod (3.6), perché ognuna d queste entra ed esce da cascun nodo facente parte della magla. In funzone delle portate crcolant nelle magle S può dmostrare che component d qualsas vettore d portate Q, e n partcolare quello che soddsfa contemporaneamente al sstema delle (3.6) e delle (3.9), possono essere espress nella forma: Q = Q ' + α q per ogn tronco = 1 n (3.10) j j j dove le Q ' sono portate d tronco compatbl con le equazon d contnutà ne nod (3.6) e Per rcavare l vettore delle Q ' s assegnano ad arbtro de valor d prma approssmazone Q ' per l - n + 1 tronch ( = 1,, l - n + 1). Le equazon d nodo (3.6) formano allora un sstema determnato nelle ncognte costtute dalle rmanent n - 1 portate ne tronch ( = l - n +,, l). La soluzone del sstema fornsce, ovvamente, de valor d prma approssmazone anche per tal portate. Il vettore delle Q ' ( = - 1,, l) così calcolate, pur rsolvendo le (3.6), non è compatble con le (3.9). In pratca le Q ' possono essere assegnate semplcemente rpartendo n modo arbtraro le portate tra var tronch, nel rspetto della

23 la sommatora è estesa alle magle j che fanno parte dell nseme delle magle d cu fa parte l tronco. Sosttuendo le (3.10) nelle (3.9) s ottene: Α α K Q ' + q j j Q ' + jq j = 0 α α per ogn magla = 1 m (3.11) j j Le (3.11) costtuscono un sstema d m equazon non lnear nelle m ncognte q j. Se tutte le magle sono semplc, con lo stesso verso d crcolazone, ogn tronco fa parte al pù d due magle e, ndcando con q j ndca la portata crcolante nella magla j = j che ha n comune con la magla j l tronco, se la portata q j è postva per la magla j, essa è negatva per la magla j e vceversa, per cu le (3.8) s rducono a: Α j K ( Q ' + q q ) α Q ' + q q 0 α per ogn magla j = 1 m (3.1) j j j j j j = 4 METODI DI VERIFICA 4.1 RETI APERTE Come accennato nel punto 1, ne problem d verfca s assumono note le caratterstche della rete - vale a dre la topologa, e le lunghezze L ed dametr D delle condotte - e s devono ndvduare le portate ne tronch Q e carch ne nod H k. Scompare qund delle equazon (3.4) la non lneartà dovuta a dametr e rmane soltanto quella dovuta alla relazone quadratca tra perdte d carco e portate. S è vsto che nel caso delle ret aperte vale la (3.1'), ossa l numero de tronch è uguale al numero de nod meno uno. Pertanto, se tutte le portate P k erogate a nod sono note, le equazon d contnutà delle portate ne nod (3.6) costtuscono un sstema lneare d n - 1 equazon n altrettante ncognte Q, che è possble rsolvere preventvamente. In pratca (ved punto.5, n nota) le Q possono essere rcavate senza rsolvere l sstema, rpartendo le portate tra var tronch, nel rspetto della contnutà delle portate n cascun nodo a partre da un nodo qualsas. Indvduate le Q, carch ne nod H k sono rcavat rsolvendo le (3.5) una alla volta, partendo da un nodo con quota pezometrca nota. Se nvece alcune P k non sono note, l sstema delle (3.6) non è determnato, e anche una rete aperta deve essere trattata come se fosse chusa. 4. RETI CHIUSE contnutà n cascun nodo, a partre da un nodo qualsas. Un mnmo d esperenza e d buon senso consentono n genere d ottenere delle Q ' non molto dstant dalle Q che soddsfano sa le (3.6), sa le (3.9). 3

24 Nelle ret chuse vale la (3.1), ossa l numero de tronch è maggore del numero de nod meno uno, per cu l sstema delle (3.6) è ndetermnato. Non è qund possble determnare unvocamente le portate ne tronch per mezzo delle sole equazon d nodo. D conseguenza la non lneartà delle (3.4) dovuta alle portate non è elmnable. I sstem rsolutv delle rete pù comunemente usat, tutt non lnear ne dametr D, sono costtut da: a) le m equazon de carch nelle magle (3.1), non lnear nelle varabl q j ; le portate ne tronch Q e carch ne nod H k sono dat rspettvamente dalle (3.10) e dalle (3.3'); b) le n - 1 equazon d contnutà delle portate ne nod (3.9), non lnear nelle varabl H k ; le portate ne tronch Q sono date dalle (3.5). Poché l numero m delle equazon de carch nelle magle è sempre nferore al numero n - 1 delle equazon d contnutà delle portate ne nod, l sstema a) ha meno equazon del sstema b). La non lneartà delle equazon rchede comunque l'mpego d metod numerc per la soluzone de sstem d equazon. Il metodo d soluzone pù antco è l metodo d Cross, proposto appunto da Cross nel 1936, che può essere applcato sa alle equazon d nodo, sa a quelle d magla. Come s vedrà nel paragrafo 3.4, questo metodo, tramte opportune semplfcazon, rduce l sstema ad un nseme d equazon approssmate, rsolvbl cascuna nella sua unca ncognta (carco nel nodo o portata crcolante nella magla). Tal equazon, rsolte teratvamente, consentono d arrvare ad una soluzone quanto s vuole approssmata. Il metodo d Cross è applcable anche manualmente, ed era percò l'unco pratcamente mpegato fno alla dffusone de calcolator elettronc. Esso non è però prvo d nconvenent, potendo presentare problem d convergenza e talvolta anche d accuratezza, soprattutto quando nella rete sono ncluse condotte con portate o dametr molto dvers ncdent nello stesso nodo o comprese nella stessa magla. Con l'avvento del calcolo elettronco sono stat propost altr metod per cercare d accelerare la convergenza e mglorare l'accuratezza delle soluzon. Tal metod consstono n una lnearzzazone de sstem rsolutv ottenuta con l metodo d Newton-Raphson o con altr metod. Poché l metodo d Cross non è altro che n una ulterore semplfcazone delle equazon ottenute con la lnearzzazone d Newton-Raphson, ne paragraf che seguono saranno espost prma metod d soluzone delle equazon d magla basat su tale lnearzzazone e po quell che utlzzano la semplfcazone d Cross. 4.3 METODO DI NEWTON-RAPHSON S consder una funzone F(x) monotona nelle varabl x y che costtuscono l vettore x. Secondo l metodo d Newton-Raphson, le soluzon dell'equazone F(x) = 0 possono essere rcavate teratvamente, uguaglando a zero lo svluppo n sere d Taylor della F(x) troncato al prmo termne (fgura 4.1), che s esprme all'terazone r: ( r) [ ( )] [ ( ) F r + 1 r F x F x ] [ x ( r + 1) x ( r + ) y y = 0 y x ] (4.1) y 4

25 Fgura Metodo d Newton-Raphson 4.4 SOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI MAGLIA CON IL METODO DI NEWTON-RAPHSON L'applcazone del metodo d Newton-Raphson alle equazon d magla è comunemente rportata n manual anche non molto recent, oltre che n numerose pubblcazon scentfche. Le equazon rsolutve nelle portate d magla rsultano (appendce 3): ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) K Q ' q q Q ' q q q ( r + 1) q ( r ) q ( r + 1) q ( r α + α ) (4.) Α { [ ]} 0 = Indcando con: α Q ( r ) =α Q ' + q ( r ) q ( r ) (4.3) la portata corretta all'terazone r, e con: ( r + 1) ( r + 1) ( r Δ q = q q ) (4.4) j j j gl ncrement delle portate crcolant nelle magle j, all'terazone r+1, s ottene: ( r ) ( r ) K Q Q q ( r + 1) q ( r + 1 α + Δ Δ ) per j = 1 m (4.5) Α { [ ]} 0 = Le (4.5) costtuscono un sstema lneare d m equazon nelle m ncognte Δq + ), e consentono qund d rcavare gl ncrement delle portate crcolant nelle magle. Iterando le soluzon del sstema fno a che gl ncrement ( r 1 Δ q ) j + non dventano trascurabl, s ottengono, tramte le (4.3), le portate d tronco Q, e successvamente, a mezzo delle (3.3'), carch ne nod h k. Questa procedura converge pù rapdamente d quella relatva alle equazon d nodo, ma la sua convergenza non è asscurata. Anch'essa può essere facltata dalla scelta d una confgurazone d partenza Q ' non troppo dstante dalla soluzone del sstema. ( r 1 j 5

26 Semplfcazone d Cross La semplfcazone d Cross consste nel trascurare n cascuna equazone de carch della magla j le ncognte ( r 1 Δq j + ) relatve alle magle j. Le (4.5) dventano allora: ( r ) ( ) K Q [ Q q ( r 1) ] r + α + Δ 0 (4.6) Α = che possono essere rsolte per Δq + ), equazone per equazone: ( r 1 ( r ) ( r ) α K Q Q ( r + 1) Α Δ q = per = 1 m (4.7) ( r K Q ) Α Le (4.7), con le (4.3), consentono d determnare recursvamente le ncognte Q, rsolvendo un'equazone alla volta. S evta così la necesstà d rsolvere un sstema lneare, l che può presentare dffcoltà quando le dmenson del problema sono grand o la matrce è mal condzonata. Il metodo d Cross applcato alle equazon d magla presenta medesm vantagg e svantagg d quello applcato alle equazon d nodo. Rspetto a quest'ultmo però converge pù rapdamente, e cas d non convergenza sono generalmente pù rar. Cò spega perché questa sa la procedura d gran lunga pù usata per la verfca delle ret chuse. 4.5 ALTRI COMPONENTI DELLE RETI Oltre alle tubazon, le ret d dstrbuzone comprendono altr component, che devono essere anch'ess nclus ne modell. In questa sede saranno pres n consderazone: serbato, valvole undrezonal, valvole rduttrc d carco e pompe. Ognuno d tal component è rappresentato da relazon che ne esprmono l comportamento, n forma dversa a seconda del modello d calcolo prescelto. Serbato Ne problem d verfca, serbato rappresentano de punt a carco noto. Quando esste un solo serbatoo, questo è assunto come nodo d rfermento e non occorre nserre specal relazon per rappresentarlo, perché la portata che esso scamba con la rete è mmedatamente rcavata dall'equazone d contnutà delle portate applcata alla rete nel suo complesso (che è combnazone lneare d tutte le equazon d contnutà delle portate ne nod). Dversa è la stuazone quando la rete comprende pù d un serbatoo. In tal caso la portata che cascun serbatoo scamba con la rete non è nota a pror, ma costtusce un'ulterore ncognta. Nelle equazon de carch nelle magle - le cu ncognte sono le portate d tronco Q o le portate crcolant nelle magle q j, a seconda che s fa rfermento alle (3.11) o alle (3.9) - per ogn serbatoo addzonale è aggunto un tronco fttzo che lo collega con l nodo d rfermento a carco noto H r, come ndcato nella fgura 4.. La perdta d carco H I n tale 6

27 tronco è posta uguale alla dfferenza tra l carco H s del serbatoo n oggetto e quello d rfermento, e serve a chudere l'equazone d magla su un percorso che dal nodo d rfermento porta al serbatoo. tronco fttzo H s H r Fgura 4. - Schematzzazone d un serbatoo nel metodo alle magle Pompe con portata ndpendente dalla prevalenza La portata delle pompe può essere consderata ndpendente dalla prevalenza quando le fluttuazon d carco nella rete sono trascurabl rspetto alla prevalenza stessa. Cò accade, ad esempo, quando è prelevata acqua da un pozzo o da un serbatoo, n cu l lvello drco sa molto basso rspetto al carco n rete. La pompa può essere allora schematzzata come un tronco fttzo con un salto pezometrco noto. 5 DIMENSIONAMENTO 5.1 IMPOSTAZIONE DEL PROBLEMA Ne problem d dmensonamento sono note soltanto le condzon cu l'mpanto deve soddsfare - ossa gl scamb d pressone con l'esterno (almentazone e erogazone) e le presson mnme d consegna - ma le caratterstche del sstema dstrbutore fanno parte delle ncognte. Poché l'aumento del numero delle ncognte rspetto al problema d verfca non è compensato da un aumento del numero delle equazon, l problema è ndetermnato. Se s devono calcolare dametr delle condotte, le ncognte sovrabbondant corrspondono a dametr D delle condotte e sono n numero d l. Il grado d ndetermnazone del sstema s rduce se alcune ncognte vengono fssate a pror, come accade nel caso che alcun tronch sano esstent (D fssat), o n cu sano present superfc lbere a quota nota (H k fssat). Se l problema resta ndetermnato, s può adottare un atteggamento razonale e decdere d sceglere - tra le nfnte soluzon che rspettano vncol del problema, dette soluzon fattbl - quella che rsulta pù vantaggosa dal punto d vsta economco. A partà d servz res, tale soluzone è quella che rende mnmo l costo de costruzone e d eserczo del sstema. Indcando con w l'ndce degl mpant d sollevamento, l problema è l seguente: rendere mnma una funzone obettvo che rappresenta l costo dell'ntervento: 7

28 ce w ghwqwt C( D, h w ) = c ( D ) L ητ (5.1) dove D è l vettore de dametr, e h w è l vettore delle prevalenze h w de sollevament (schematzzate come perdte d carco negatve), e: - C è l costo complessvo; - c (D ) è l costo untaro d acqusto e posa n opera delle tubazon del tronco. Una volta scelto l tpo d tubazone e la classe d pressone, l costo untaro c può essere espresso come una funzone, nel caso pù generale non lneare, del dametro D ; - c e è l costo dell'energa per l sollevamento per kwh; - Q w è la portata (n m 3 /s) del sollevamento; - T, η, τ sono rspettvamente le ore annue d funzonamento dello mpanto, l rendmento delle pompe e l tasso d ammortamento. La seconda sommatora, ovvamente estesa a tutt gl mpant d sollevamento, ndca l costo captalzzato del consumo d'energa per l pompaggo, espressa n kwh. Le varabl decsonal D D, vettore de dametr, e h w h w, vettore delle prevalenze, sono legate alle altre varabl (Q, q j, H k, h ) da vncol fsc, tutt d uguaglanza, che consstono nelle seguent relazon: - le equazon d contnutà delle portate ne nod (3.6), che sono lnear nelle portate Q : k k δ Q + P k = 0 per ogn nodo k = n (3.6) - le equazon de carch ne tronch (3.5), che sono lnear ne carch H k, ma non lnear nelle portate Q e ne dametr D : H H = K Q Q per ogn tronco = 1 l (3.5) m v Esstono noltre de vncol operatv, generalmente d dsuguaglanza: - vncol su carch ne nod, che devono essere compres tra un valor mnmo H k,mn e un valor massmo H k,max : H k,mn H k H k,max (5.) - vncol sulle veloctà n condotta: 4 Q V = πd che devono essere nferor ad un valor massmo V,max, per cu: D Q (5.3) πv,max - vncol drett su dametr, che devono essere compres entro un mnmo D,mn e un massmo D,max : D,mn D D,max (5.4) Talvolta s ammette nvece che dametr debbano assumere solo de valor della sere commercale D x, composta da dametr D x, con x = 1 r: D D x (5.5) 8

29 L'eventuale condzone d condotta monodametro che ncluda pù tratt con portate dverse, s ottene mponendo l'uguaglanza de dametr (ncognt) de dvers tratt. Per trattare vncol d dsuguaglanza, basta osservare che un qualsas vncolo d dsuguaglanza, dpendente da un vettore x d varabl decsonal: g(x) > b (5.6) può essere trasformato n un vncolo d uguaglanza a zero, semplcemente sottraendo a g(x) l termne noto e l quadrato d una varable auslara ξ: g(x) - b - ξ = 0 Cò consente d trattare le dsequazon come se fossero equazon, al prezzo d un aumento delle dmenson del problema. 5. RETI APERTE Come s è vsto nel punto 3.1, nel caso delle ret aperte è facle determnare preventvamente tutte le portate ne tronch. D conseguenza la non lneartà delle equazon de carch ne tronch s rduce alla dpendenza da dametr D. Il problema generale resta comunque d non facle soluzone. D seguto verranno esamnat due cas partcolar n cu l problema s semplfca, cas che peraltro consentono d rsolvere agevolmente la grande maggoranza de problem pratc. Caso senza vncol d dsuguaglanza S consder un acquedotto costtuto da una rete aperta, n cu vncol operatv su carch sono asscurat fssando n alcun nod crtc, generalmente nod d estremtà, ndcat con y = 1 p, la quota pezometrca H y (fgura 5.1). S ndchno con Δ y le dfferenze d carco tra uno d quest nod, k = 1, assunto come rfermento, e gl altr a quota nota: Δ y = H 1 - H y Se, come usualmente accade, l numero p de nod a quota pezometrca nota è nferore al numero n - 1 de nod, l sstema è ndetermnato e può essere rsolto mponendo che sa mnmo l costo della rete. 1 y 1 y nodo d rfermento nodo d estremtà y=1..p Fgura Schema d acquedotto ramfcato Tenendo presente che le (3.3) stablscono una relazone bunvoca tra le perdte d carco ne 9

30 tronch h e dametr D, cost de sngol tronch possono essere espress come funzone delle h, e l problema d ottmzzazone può essere formalzzato come segue: mn h [ C( h) C ( h )] = dove h è l vettore delle h, nel rspetto de vncol fsc: Δ = y h Ζ y (5.7) dove la sommatora è estesa a tutt tronch element del percorso Ζ y che dal nodo d rfermento porta al nodo d estremtà y e s è potzzato che l verso postvo de tratt sa quello effettvo della portata. Se l problema è formulato n questo modo, senza vncol d dseguaglanza, la soluzone del problema vncolato concde con quella del seguente problema non vncolato: mn L h, λ = + λ y y Δy h Py ( h, λ ) C ( h ) (5.8) dove λ è l vettore delle varabl λ y, dette moltplcator d Lagrange, e la funzone L(H,λ) prende l nome d lagrangano. S not che quando tutt vncol (5.7) sono rspettat, l secondo termne al secondo membro della (5.8) è nullo, e l lagrangano s rduce alla funzone obettvo C. La soluzone del problema non vncolato (5.8) è data dal sstema costtuto dalle equazon: L h C = + λy h y Λ = 0 per = n (5.9) dove la sommatora è estesa all nseme Λ d tutte le estremtà y l cu percorso a partre dal nodo d rfermento attraversa l tronco, e: L λ y = Δy h = 0 che rappresentano, appunto, vncol (5.7). Z y per y = 1 p (5.10) Se l costo C (h ) è esprmble come una funzone quadratca delle perdte d carco h : C (h ) = ah + bh + c allora le (5.9) dventano anch'esse lnear come le (5.10): L h = ah + b + λy y Λ = 0 per = n (5.11) e l sstema costtuto dalle (5.11) e (5.10) è lneare nelle ncognte h e λ y, e può essere rsolto. Soluzone generale con dametr commercal Se s mpone l vncolo (5.5) che dametr possano assumere solo valor della sere 30

31 commercale, ogn tronco sarà n generale composto da r tratt, ognuno con un dametro commercale D x. Le (3.4) s trasformano allora nelle: h = Q Q k L (5.1) x x, x dove k x è la caratterstca untara della condotta d dametro D x, e L,x è la lunghezza del tratto del tronco che ha dametro D x. Le (5.1) sono lnear nelle rmanent ncognte h e L,x. Naturalmente le lunghezze L,x devono rspettare seguent vncol: x L = L, x L,x 0 A sua volta la funzone obettvo (5.) n assenza d sollevament s esprme: C = c x x L, x (5.13) dove c x è l costo per untà d lunghezza della condotta d dametro commercale D x. Anche la (5.13) è lneare nelle varabl decsonal, costtute dalle sole lunghezze L,x. S rentra così n un problema d programmazone lneare che, come è noto, è sempre rsolvble se esste una soluzone ammssble. La soluzone ottmale fornta dalla programmazone lneare presenta sempre la suddvsone d ogn tronco n al massmo due tratt con dametr commercal contgu, esattamente come quando s opera la scelta de dametr commercal che equvalgono a un unco dametro teorco. Poché la programmazone lneare ammette anche vncol d dsuguaglanza, purché lnear, possono essere nsert vncol tpo (5.) sulle quote de nod non d estremtà. 5.3 RETI A MAGLIE CHIUSE Ben pù complessa è l'ottmazone delle ret a magle chuse. In esse, nfatt, l sstema delle equazon d contnutà delle portate ne nod (3.6) non è rsolvble separatamente, perché l numero l delle ncognte Q è maggore del numero n - 1 delle equazon. Pertanto non è possble elmnare nelle (3.3) o nelle (3.5) la non lneartà nelle portate, e l rcorso a dametr commercal - che elmna soltanto la relazone non lneare ne dametr, sosttuendola con una relazone lneare nelle lunghezze - non è suffcente a lnearzzare l sstema. Questo problema è stato oggetto dell'attenzone d numeros studos, ma la sua soluzone rchede sempre calcol molto oneros non appena le dmenson della rete dventano consstent. Inoltre, come è stato messo charamente n evdenza (Stephenson, 1976), a causa della non convesstà del problema, metod attualmente dsponbl non garantscono che l rsultato ottenuto sa effettvamente un mnmo assoluto e non soltanto un mnmo relatvo. D'altra parte l'mpego d metod d ottmazone può sempre consentre d raggungere una soluzone mglore d qualsas altra, scelta ad arbtro, non fosse altro perché quest'ultma può essere assunta come punto d partenza per le procedure d ottmazone, che hanno sempre un carattere teratvo o a pass. 31

32 In queste pagne s farà un rapdo cenno a modell pù promettent, rnvando nvece alla letteratura specalzzata per altr metod che sono stat gà ampamente dscuss DIMENSIONAMENTO DELLE RETI DI DISTRIBUZIONE Anche per le ret d dstrbuzone cttadne che, come s è vsto, sono generalmente a magle chuse, s cerca talvolta d mpostare l dmensonamento come se fossero ret aperte. In tal caso s fa rfermento a confgurazon schematche semplfcate: - s consderano solo le condotte almentatrc prncpale e secondare, mentre vengono omesse le condotte equlbratrc e le dstrbutrc; - s schematzzano le almentatrc secondare n modo che s dpartano dall'almentatrce prncpale, mantenendo l'altra estremtà aperta; - s mpone che l'almentatrce prncpale, e generalmente anche quelle secondare, sano monodametro 4. Ret con serbatoo d testata Nelle ret con serbatoo d testata, l'almentatrce prncpale è chusa ad anello (fgura 5.a). Per rsolvere l problema è percò necessaro aprre prelmnarmente la magla, al fne d determnare le portate n tutt tronch dell'almentatrce stessa. A questo scopo, poché sono note le portate dervate dalle almentatrc secondare, è possble analzzare la sola almentatrce prncpale, con erogazon note a nod (fgura 5.). Sano = 1 l gl ndc de tronch dell'almentatrce prncpale, l'equazone (3.1) de carch nella magla costtuta dall'anello dventa, tenendo conto che non esstono magle adacent e che l dametro D della almentatrce è unco: L Q ' + q ( Q ' + q) = 0 (5.14) dove per tronch s è assunto un verso postvo concorde con quello d crcolazone della magla. Stablte le portate d prma approssmazone Q ' rpartendo arbtraramente la portata erogata tra due tronch uscent dal serbatoo e applcando l'equazone d contnutà delle portate nodo per nodo, la (5.14) può essere rsolta teratvamente o per tentatv. La soluzone della (5.14) fornsce le portate Q n tutt tronch dell'almentatrce prncpale. Essendo gà note le portate ne tronch delle almentatrc secondare, la rete può essere trattata come se fosse aperta e rsolta con la programmazone lneare, n termn d dametr commercal. 3 Ad esempo, l metodo della "equvalent ppe length" (Tong e al., 1961; Raman e Raman, (1966) e quello dello "equvalent dameter" (Deb e Sarkar, 1971). Per le crtche vedere (Watanatada, 1973; Swanee e Khanna, 1974; Stephenson, 1976). 4 Questa poszone è legata essenzalmente a motv d funzonaltà della rete. 3

33 s s almentatrce prncpale almentatrc secondare a) b) Fgura 5. - Rete con serbatoo d testata s serbatoo erogazone Ret con serbatoo termnale Con la schematzzazone precedentemente ndcata, le ret con serbatoo termnale - n cu l'almentatrce prncpale è aperta (fgura 5.3) - rsultano completamente aperte e possono essere ottmzzate n programmazone lneare, drettamente n termn d dametr commercal. In corrspondenza della torre pezometrca l carco vene lascato lbero d fluttuare mentre la portata rmane costante, par a quella fornta dall'acquedotto. La portata erogata dal serbatoo è nvece rcavata dalla contnutà delle portate n tutto l sstema. Arred (196) ha rportato, sa per le ret a serbatoo d testata, sa per quelle a serbatoo termnale schematzzate come ne cas precedent, un procedmento che consente la determnazone de dametr ottmal senza rcorrere alla programmazone lneare, rsolvendo per tentatv una relazone dervata dalle condzon necessare d mnmo, con l'ulterore potes che sano fssat carch alle estremtà delle almentatrc secondare ed esprmendo le caratterstche draulche e cost untar delle condotte rspettvamente con la (5.16) e (86). T almentatrce prncpale erogazone alle almentatrc secondare s T s Fgura Rete con serbatoo termnale Verfche n condzon d'erogazone straordnara L'ottmazone delle ret d dstrbuzone vene svolta n condzon d regme, con la domanda drca dell'ora de massm consum e col mnmo lvello drco nel serbatoo, mponendo che carch n rete non scendano al dsotto d un valore mnmo, stablto n modo da tener conto anche delle perdte d carco nelle condotte dstrbutrc a valle. Tuttava, come è noto, le ret d dstrbuzone devono essere n grado d far fronte anche a condzon d erogazone 33

34 straordnare, che possono essere dovute a: - erogazone antncendo concentrata n un pccolo numero d drant contgu; - rottura d un qualsas tronco della rete. In quest cas sono accettabl n rete presson nferor, purché sa asscurata almeno l'almentazone, sa pure con portate rdotte, de pan pù bass delle abtazon. Bsogna qund verfcare, con le procedure descrtte al punto 3, che tal presson sano soddsfatte anche nelle condzon d erogazone straordnare. APPENDICI APPENDICE 1 S consder l tronco d corrente n moto unforme, d sezone Ω compreso tra due sezon dp poste alle ascsse s e s+ds. Sano p e p + ds ds le presson sulle due sezon. La componente della forza peso nella drezone dell asse della corrente è γωds sn ϕ, dove φ è l angolo che dz la corrente fa con l orzzontale, ed è snϕ =. La forza agente sulla superfce del tronco d ds corrente a contatto con la parete è T o C ds. Poché n moto unforme è nulla la varazone della quanttà d moto, applcando l equazone globale al tronco d corrente e proettandola nella drezone del moto, s ottene: dz dp γ Ω ds Ω ds To Cds = 0 ds ds da cu, dvdendo per Cds e rcavando T 0, s ha: T o ossa, per la (.3): Ω d p = γ z + C ds γ T o = γr (.5) APPENDICE 3 LINEARIZZAZIONE CON IL METODO DI NEWTON-RAPHSON DELLE EQUAZIONI DI MAGLIA NELLE PORTATE CIRCOLANTI Rcordando le (3.1), per le magle semplc s ha: F [ q] = K ( Q ' + q q ) Α α α Q ' + q q (A3.1) Le F sono funzon monotone delle varabl q j, per cu le (A3.1) possono essere rsolte con l metodo d Newton-Raphson, ottenendo all'terazone r: 34

35 dove: ( r) ( r) ( r + 1) ( r) F [ ( r + 1) ( r) F F F q q ] [ q ( r + 1) q ( r) + + = 0 q q ] (A3.) F ( r ) = Α K e le dervate parzal valgono: ( r) F = K α q e: F q Α ( ) ( ) [ α Q ' + q ] r q r ( r + ) ( r Q ' q q ) ( r) ( r) ( r) = K α Q ' + q q Α α Q ' + q per cu le (A3.) dventano: ( r ) ( r ) ( r ) ( r ) { [ ( r + 1 K Q ' q q Q ' q q q ) q ( r ) q ( r + 1) q ( r α + α )]} 0 (4.) Α = ( r ) q ( r ) 35