Esercizi svolti di analisi reale e complessa

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE FACOLTÀ DI SCIENZE M.F.N. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Esercizi svolti di analisi reale e complessa a cura del Dr. Alfonso Sorrentino Esercizi assegnati nei tutorati di AM3, AM4 e AC da me svolti negli a.a. -, - e -3 (in parte reperibili sul sito internet

2 Indice I Testi degli esercizi 3 Calcolo dierenziale in R. Spazi normati, topologia n standard in R Funzioni da n R in n R : regolarità, polinomio di Taylor, estremi liberi e vincolati, etc m Equazioni dierenziali ordinarie e problemi di Cauchy....4 Successioni e serie di funzioni. Elementi di analisi complessa 3.5 Teorema delle funzioni implicite e della funzione inversa Integrazione in R 8. Misura di Peano-Jordan n e integrale di Riemann in R 8. Integrali iterati n 9.3 Integrazione su varietà di R e forme dierenziali.4 Serie di Fourier e applicazioni n Analisi complessa 7 II Soluzioni degli esercizi 37 Calcolo dierenziale in R 38. Spazi normati, topologia n standard in R Funzioni da n R in n R : regolarità, polinomio di Taylor, estremi liberi e vincolati, etc m Equazioni dierenziali ordinarie e problemi di Cauchy Successioni e serie di funzioni. Elementi di analisi complessa 69.5 Teorema delle funzioni implicite e della funzione inversa Integrazione in R 85. Misura di Peano-Jordan n e integrale di Riemann in R 85. Integrali iterati n 89.3 Integrazione su varietà di R e forme dierenziali 99.4 Serie di Fourier e applicazioni n Analisi complessa 6

3 Appendici 54 A Esercizi proposti (non svolti) 55

4 Parte I Testi degli esercizi 3

5 Capitolo Calcolo dierenziale in R n. Spazi normati, topologia standard in R n Esercizio. Vericare che la funzione. : C([, ], R) R, t.c. f f f(x) dx è una norma su C([, ], R). Esercizio. Trovare un esempio in cui vale la stretta disuguaglianza triangolare, nel caso della. ; cioè: x + y < x + y Esercizio 3. Dimostrare che l'unione di due curve, con un estremo in comune, è ancora una curva. Esercizio 4. Dimostrare che l'anello A {x R : < x < } è connesso per curve. Esercizio 5. (Spazio delle funzioni Lipschitziane) Sia E R un insieme compatto e si denisca il seguente sottoinsieme di n C(E, R ): m Lip(E, R m ) f C(E, Rm ) : f(x) f(y) f Lip sup x,y E x y x y Si dimostri che (Lip(E, R m ), Lip ) è uno spazio di Banach. 4 + sup x E f(x) <.

6 Esercizio 6. (Spazi di successioni: l e l ) Sia x {x n } n R N una successione a valori reali (o complessi) e deniamo x n N Consideriamo i seguenti sottospazi di R N : x n e x sup x n. n N l {x R N : x < } l {x R N : x < }. Mostrare che (l, ) e (l, ) sono spazi di Banach. Mostrare che l l, ma non è un sottospazio chiuso di (l, ) (quindi (l, ) non è uno spazio di Banach). 3 Qual è la chiusura di l rispetto alla metrica indotta dalla? Esercizio 7. Si consideri lo spazio di Banach (l, ). (i) Si dimostri che l'insieme non è compatto. (ii) Dire se è compatto l'insieme Ω : {x l : x } D : {x l : x k k, x k k > }.. Funzioni da R n in R m : regolarità, polinomio di Taylor, estremi liberi e vincolati, etc... Esercizio 8. Mostrare che la funzione f(x) xi x non è continua in O(,,..,) Esercizio 9. Fissato un ɛ >, si trovi un δ tale che f(x) f(x ) < ɛ, per ogni x x < δ nei seguenti casi:. f x α, α > x R 4, x (,,, ) (ripetere il calcolo per x (,.., ) );. f sin x x, x R 3, x (,, ); 3 5

7 3. f log[cos ( n i x i)], x R n, x (,.., ); 4. f + k, x R n, x e k x (,.., ); 5. f tanh x, x R n, x (,.., ); 6. f ( x 3, tanh x ), x R 4, x (,,, ); Esercizio. Sia S { x R 3 : x }, x (,, ), x (,, ), f x x (sin x x ). Trovare δ tale che f(x) f(x ) < ɛ, per ogni x S tale che x x < δ. Esercizio. Sia f : R 4 R x (f (x), f (x)) Calcolare il modulo di continuità in x (,,, ). Esercizio. Mostrare che ( ) + x, sin(x x 4 ). f : E R n R m è continua se e soltanto se sono continue le funzioni componenti per ogni i,..., m. f i : E R n R Esercizio 3. Trovare, se esiste, una costante L > tale che f(x) f(y) L x y x, y Ω con x R n e f così denita (con si intende la norma euclidea): ( n ) (i) f(x) x, sin x i, Ω B () ; (ii) f(x), Ω B x (x ), x (,..., ) oppure x (,..., ) (per il primo dominio i dobbiamo supporre che n 3, 4, 5, 6 ); (iii) f(x) e x x, Ω B r (), r >. 6

8 Esercizio 4. Sia P {(x, y) R tali che y x e (x, y) (, )} e consideriamo la funzione di due variabili denita da : { se (x, y) P f(x, y) se (x, y) P Si controlli che, per la funzione f sopra denita, si ha f (), per ogni ξ. Esercizio 5. Calcolare x α x i, x R n \ {}, e α R. Esercizio 6. Si consideri la seguente funzione f : R R, con α, β > : { xx se α x f(x) x β se x Trovare condizioni necessarie e sucienti anchè:. f sia continua nell'origine;. f abbia derivate direzionali nell'origine; 3. f sia dierenziabile nell'origine; 4. f sia C ({}). Esercizio 7. Sia f : A R n R con m A aperto. Dimostrare che se f C ({x }, R n ) con x A, allora f è dierenziabile in x. ξ Esercizio 8. Si consideri la funzione. Calcolare f x f : R R (x, y) (sin(xy), e xy ). f (x, y) e (x, y). y. Usando la denizione, mostrare che f è dierenziabile in (, ). Vedi anche [C], Esempio 5.8 7

9 3. Sia g : R R t tgh t + + t e si denisca F (t) f(g(t), g (t)). Calcolare F (). Esercizio 9. Siano f C (R 3, R) e h C (R, R). Calcolare: x f(x, h(x, z), z) e f(x, h(x, z), z). z Esercizio.. Dimostrare che se y f(x) è una soluzione C in un intorno di x dell'equazione x + sinh y + e xy tale che f(), allora ha un massimo relativo nell'origine.. Cosa si può dire relativamente all'esistenza di una funzione siatta? Esercizio. Siano x R e y R e consideriamo la funzione 3 f : R 5 R con 6 f C.. Calcolare f x e f y ;. Se g : R R 3 è una funzione C, calcolare t f(x, g(t) ). Esercizio. Consideriamo la funzione f(x, y, t) (sin(tx ), x, (y+y x3) +t ), con x R 3, y R e t R.. Calcolare f x, f y. Se g(t) (tanh t, ln[ln t] ), calcolare t e t >. e f t con x e t ; [f(x, g(t), t)] con x Esercizio 3. Sia f(x) e x (x + x 4 n ) con x R n. Calcolare:. D f() (ξ) e D 3 f() (,,.., n) 3 ; 8

10 . 5 f x x... x 5 (,,.., ) con n > 5; 3. x (,,..,) f(x ) con x e x (,,,.., ( ) ); n 4. f x (). Esercizio 4. Sia: f(x, y) { e (x+y) se x y + (x + y) + (x+y) se x y. Si discuta la continuità di f su R ;. Dato ɛ > si trovi δ > tale che f(x, y) f(, ) < ɛ per ogni (x, y) < δ; 3. Discutere la dierenziabilità di f in (, ); 4. Trovare il massimo k tale che f C k ({(, )}) e calcolare il polinomio di Taylor di grado k di f in (, ). Esercizio 5. Calcolare il polinomio di Taylor di grado 6 in x della funzione x x x 3x 4. Esercizio 6.. Sia f(x) x 3 e. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine 3 nell'intorno di x+x x ;. Trovare δ tale che f(x) < 4 per ogni x < δ. Esercizio 7. Sia: { sin x f(x) x se x se x Dimostrare che f C (R n ) e calcolarne le derivate parziali. Esercizio 8. f(x, y) Discutere la regolarità di f. { x + y se x y 4y se x y 9

11 Esercizio 9. Si trovino i punti stazionari e si dica se si tratta di massimi o minimi (relativi o assoluti) di f(x, y) (x + 3y)e xy. Esercizio 3. Determinare i massimi e minimi assoluti di f(x, y) x y sull'insieme D {x + y }. Esercizio 3. Calcolare x i g( x ) dove x R n \ {} e g è una funzione C ((, + )). Esercizio 3.. Si calcoli il polinomio di Taylor di ordine di log (s + t) nell'intorno di (s, t ) (, );. Si calcoli il polinomio di Taylor di ordine di log (x y ) nell'intorno di (x, y ) (, ). Esercizio 33. Sia: { f(x, y) ye ( se x x se ) x. Dimostrare che f C (R \ {(, )});. Studiare la continuità e la regolarità di f in (, ); 3. Studiare i punti critici di f; 4. Trovare δ > t.c. f(x, y) f(x, y ) < y per (x, y) (x, y ) < δ con (x, y ) (, ) e (qualora f sia continua in (, ) ) con (x, y ) (, ). Esercizio 34. Calcolare f x per:. f(x) n i x i ;. f(x) (x + x, cos (x x )) con x R n n ; 3. f(x, y, z) y z x. Spiegare il signicato del simbolo f x in ciascuno dei precedenti casi. Esercizio 35. Calcolare il polinomio di Taylor di ordine N attorno a x, della funzione x sin x (x R n ).

12 Esercizio 36. Supponiamo che esista una funzione z z(x, y) che soddis, in un intorno del punto (, ), la relazione: z 3 xy + y con z(, ). Si calcoli il polinomio di Taylor di ordine nell'intorno di (, ) (possibilmente senza esplicitare la z z(x, y), ma applicando il teorema di dierenziazione delle funzioni composte). Facoltativo: Ripetere il ragionamento precedente per una funzione z z(x, y) che soddis localmente al punto (, ) la relazione: z 3 xy + z con z(, ). E se la relazione fosse stata z 3 xy 3z con z(, )? Cercare di giusticare le risposte date. Esercizio 37. Siano: s(t) { sin t t t e c(t) { cos t t t Si denisca f(x, y) x s(x)+y c(y); discutere la regolarità di f (continuità, dierenziabilità, etc..). Esercizio 38. Trovare Massimo e minimo di f(x, y) {x + y 4}. +x y +x +y su D Esercizio 39. Trovare il rettangolo di area massima, che può essere inscritto nella circonferenza x + y R. Esercizio 4. Sia f(x, y) x xy e K il compatto intersezione tra il cerchio x + y ed il rettangolo [, ] [, ].. Trovare l'estremo superiore ed inferiore di f in R.. Determinare i punti critici di f e la loro natura. 3. Calcolare il massimo e il minimo assoluto di f in K.

13 Esercizio 4. Calcolare il massimo ed il minimo assoluto della funzione sull'insieme 4 f(x) x i i x R 4, i 4 D {x R 4 : x i, x i }. Esercizio 4. Sia ( ) f(x, y) x +y ; determinare l'estremo superiore ed inferiore (specicando se si tratta di massimi o minimi) di f sull'insieme i A {(x, y) : xy + sin (xy) > }..3 Equazioni dierenziali ordinarie e problemi di Cauchy Esercizio 43. Consideriamo il seguente problema di Cauchy in R : ẋ πy ( y) cos ẏ y ( π y ( y) x ( ( ) y ).. Trovare la soluzione di tale problema, il suo intervallo (α, β) di esistenza massimale e disegnarne un graco approssimativo.. Mostrare che e ( { lim dist (x(t), y(t)), y }) t α ) lim (x(t), y(t)) +. t β Inparticolaremostrarechecomunquesisceglieunpunto P [, ] { esiste una successione di tempi t k α, tale che (x(t k ), y(t k )) k + P. },

14 .3 Dedurre che per ogni compatto K R \ { y } e per ogni < δ < β a, esistono due tempi t (α, α + δ) e t (β δ, β) tali che (x(t ), y(t )) K (x(t ), y(t )) K. Esercizio 44. Consideriamo il seguente problema di Cauchy in R : ) ( + x ẋ β π 4 β ẏ β y x(), y() al variare del parametro β R \ {}. Trovare la soluzione x(t, β) al variare di β ed il relativo intervallo di esistenza massimale I β. Mostrare inoltre che esiste una L > tale che x(t, β) x(t, β ) L β β per ogni β, β K R \ {} compatto e per ogni t C β K I β compatto..4 Successioni e serie di funzioni. Elementi di analisi complessa Esercizio 45. Dimostrare che valgono le seguenti due aermazioni:. Se u n C([a, b]) e u n converge uniformemente in (a, b), allora u n converge uniformemente in [a, b].. Se u n C([a, b]) e u n converge in (a, b) ma u n (a) non converge, allora u n non converge uniformemente in (a, b). Esercizio 46. Sia f n la funzione continua che vale se x (, n ), per x n vale e coincide con una retta negli intervalli (, n ) e ( n, ). n Dimostrare le seguenti aermazioni:. lim n f n (x) per ogni x;. f n non converge uniformemente su [, ]; 3. lim f n lim f n. 3

15 Esercizio 47. Trovare una successione di funzioni continue f n C([, ]), convergente puntualmente ad una funzione continua f C([, ]) ma tale che lim f n f. (Facoltativo): Sia k N. E'possibile trovare una successione di funzioni f n C k ([, ]), convergente puntualmente ad una funzione f C k ([, ]) tale che lim f n E se richiedessi alle f funzioni? di essere C ([, ])? ( Esercizio 48. Sia f n (x) n x + n ) x.. Trovare, per x >, il limite puntuale f(x) di f n (x) al tendere di n ad innito.. Discutere l'uniformità della convergenza di f n ad f. Esercizio 49. Studiare la convergenza delle seguenti serie di funzioni di x, (ossia si trovino i più grandi insiemi dove le serie convergono puntualmente, uniformemente e totalmente) al variare, qualora appaia, del parametro reale α:. n. 3. n n 4. n e αn x n x αn n x (x sin n) n + n x (xn) n x + n! 5. u n (x) con u n (x) ( n n j x ) j 4

16 Esercizio 5. Usando le proprietà di derivazione delle serie uniformemente convergenti, si calcoli il valore delle seguenti serie: (i) n n 3 n (ii) n 3 x n Esercizio 5. Sia u n n dt. Discutere la convergenza (puntuale, uniforme e totale) di e nxt4 u(x) n u n(x) e di v(x) n n(x), e dire per quali u x la funzione u(x) è derivabile e la sua derivata coincide con v(x). Esercizio 5. Dimostrare gli sviluppi in serie di Potenze delle seguenti funzioni elementari: x. m ( x) ( ) + n m + k n km x n k n, m N, n x <. e x + k xk k! x n 3. log ( + x) + xk k ( )k+ k x < 4. log ( +x x ) + k xk+ 5. ( + x) α + k ( α k k+ x < ) x k α R \ Z, x < 6. sin x + xk+ k ( )k (k+)! x 7. cos x + xk k ( )k (k)! 8. arcsin x + k (k )!! (k)!! 9. arccos x π + k x k+ xk+ x < (k )!! (k)!!. arctan x + xk+ k ( )k k+ x <. sinh x + k xk+ (k+)! x 4. cosh x + k xk (k)! x 5 k+ xk+ x < 3 ( ) ( ) ( ) I coecienti binomiali sono così deniti α α, α e α k α(α )...(α k+) per k. k! Sugg: Usare la formula del resto integrale di Taylor, e dimostrare che questo tende a, usando i seguenti accorgimenti: Siano x (, ) e x < θ < esiste ɛ > t.c. θ( + ɛ) < ; Sia inoltre ( ) k t.c. α k k k + ɛ k (perchè posso dire che esiste un tale k?) 3 Osservare che arccos x π 4 arcsin x Osservare che sinh x i sin ix 5 Osservare che cosh x cos ix 5

17 3. arcsinh x + k ( )k (k )!! (k)!! 4. arctanh x + k xk+ k+ x < 7 k+ xk+ x < 6 Esercizio 53. Si diano le denizioni di exp(z) e di π e si dimostri (nella maniera più completa possibile) che exp(iπ). Esercizio 54. Data ϕ ε (x) C, ϕ ε (x) con supp(ϕ ε ) [, ε], si costruisca g ε C, monotona non decrescente tale che g ε (x) per x e g ε (x) per x ε. Si calcolino le serie di Taylor di g ε in x e x ε..5 Teorema delle funzioni implicite e della funzione inversa Esercizio 55. Sia M una matrice di funzioni nella variabile t: t M(t) ; diremo che M(t) è continua M i,j (t) è una funzione continua i, j. Dimostrare che : M(t) è continua ɛ >, δ t.c. M(t) M(t ) < ɛ, t t < δ Esercizio 56. Si consideri la funzione f : y R f(y) (f (y), f (y)) R denita come: f y + y cos y f y + y Si dica se f è invertibile in un intorno di y (, ) e se sì, si dia una stima di r in modo che valga la condizione del teorema della funzione inversa. Esercizio 57. Sia f(x, y) x + y x + 4x 6y con x R, y R.. Quante soluzioni g di classe C in un intorno del punto x (, ), esistono per l'equazione f(x, g(x))?. Si verichi che se g(x ) > allora g ha un massimo relativo stretto in x. 6 Osservare che arcsinh x i arcsin ix 7 Osservare che arctanh x i arctan ix oppure che arctanh x +x log ( x ) 6

18 Esercizio Sia v R n un vettore di norma minore o uguale a e sia f(x) x + v sin x. Si dica se f è invertibile in un intorno di x ed in caso aermativo si trovi un r > tale che f sia denita su B r (). Esercizio 59.. Dimostrare che in un intorno di (, ) l'equazione e x +y x y + sin y denisce una funzione y f(x).. Dare una stima sull'intorno di denizione delle f. 3. Calcolare f(x) lim x x. 8 Questo esercizio può essere formulato nella seguente maniera equivalente: Sia v R n un vettore di norma minore o uguale a e sia f(x) x + v sin x. Si dica se l'equazione f(x) y ammette una soluzione x g(y) in un intorno di y ed in caso aermativo si trovi un r > tale che g sia denita su B r(). 7

19 Capitolo Integrazione in R n. Misura di Peano-Jordan e integrale di Riemann in R n Esercizio 6. Sia f su ([, ]\Q) {} e f(x) n se x m n con m n (m e n relativamente primi).. Dimostrare che l'insieme di discontinuità di f è Q (, ];. Dimostrare direttamente (senza usare il Teorema di Vitali-Lebesgue) che f R([, ]). Esercizio 6. Dimostrare che A R limitato è misurabile secondo Peano- Jordan n ε >, E, E insiemi elementari t.c. E A E e mis n E mis n E < ε. Inoltre mis n A inf{mis n E : A E, E insieme elementare} sup{mis n E : E A, E insieme elementare}. Esercizio 6. Dimostrare che se A è un insieme misurabile secondo Peano- Jordan, lo sono anche A, o A e A. Esercizio 63. Dimostrare che Q n E (con E rettangolo qualunque, non degenere) è un insieme di misura nulla, non misurabile secondo Peano-Jordan. Esercizio 64. Dimostrare o confutare le seguenti aermazioni:. Se X R n ha misura nulla, allora o X ; 8

20 . Se X R con n X o, allora X ha misura nulla; 3. Se Q x, Q y R hanno misura (unidimensionale) nulla, allora Q x Q y R ha misura (bidimensionale) nulla; 4. Se Q R ha misura nulla, allora x, y R, Q x {y : (x, y) Q} e Q y {x : (x, y) Q} sono insiemi di misura nulla in R. Esercizio 65. Sia X R l'insieme degli elementi di una successione {x n } n di numeri reali convergente. Dimostrare che X è Peano Jordan misurabile e mis(x). Cosa si può dire se la successione non è convergente?. Integrali iterati Esercizio 66. i) ii) iii) iv) D x y dx dy dove D {(x, y) R : x, x y x} D x y dx dy dove D {(x, y) R : x + y } D y3 e x dx dy dove D {(x, y) R : y, x, x y } D xy dx dy dove D {(x, y) R : x + y, x + y } Esercizio 67. Dimostrare che: dx x y (x + y) 3 dy mentre x y dy (x + y) 3 dx. Come mai in questo caso non si può invertire l'ordine d'integrazione? Esercizio 68. Calcolare dove D D { (x, y) R : x, Esercizio 69. Calcolare D x dx dy y x y x y 3 e x dx dy dove D { (x, y) R : y, x, x y }. 9 }.

21 Esercizio 7. Calcolare D xy dx dy dove D { (x, y) R : x + y, x + y }. Esercizio 7. Sia a >. Calcolare l'area della regione di R delimitata dalle rette y ax, y x a e la parabola y a x. Per quale valore di a tale area è massima? Esercizio 7. Calcolare il seguente integrale triplo: D x dx dy dz sull'ellissoide D {(x, y, z) R 3 x : a + y b + z c } con a, b, c >. Esercizio 73. Trovare il volume della palla unitaria di R con la 3. (cioè {(x, y, z) R 3 : x + y + z }). Usando il risultato precedente, trovare il volume della palla unitaria di R con la 4.. (Facoltativo) Generalizzare il risultato precedente nel caso di una palla unitaria n-dimensionale. (Sugg.: Procedere per induzione) Esercizio 74. Si denisca: D n {(x,..., x n ) R n : x x... x n }; Calcolare:. I D xy dx dy ;. I 3 D 3 xyz dx dy dz ; 3. (Facoltativo) I n D n (x... x n ) dx... dx n. Esercizio 75. Trovare il volume della regione interna al cilindro di equazione x + y, compresa tra la supercie di equazione z x + y ed il piano x + y + z 4.

22 Esercizio 76. Sia E {(x, y) R : x, (x + y ) (x y )}.. Descrivere E in coordinate polari (ed eventualmente disegnarlo).. Calcolare l'area di E. 3. Sia k > ; trovare l'area dell'insieme E k {(kx, ky) : (x, y) E}. 4. Trovare il volume dell'insieme G {(x, y, z) R 3 : x, (x + y ) ( z )(x y ), z }. Esercizio 77. Calcolare il seguente integrale doppio: T x (y x 3 )e y+x3 dxdy dove: T {(x, y) R : x 3 y 3, x }. (Sugg.: Considerare il cambio di variabili u y x e 3 v y + x ) 3 Esercizio 78. (Teorema di Guldino) Sia D un insieme Peano Jordan misurabile e connesso, contenuto nel semipiano < x, z > e non intersecante l'asse delle z. Consideriamo il solido ottenuto ruotando D attorno all'asse delle z. Dimostrare che: x dx dz D Vol( ) π mis D dx dz (D). Dedurre che tale volume coincide con la misura dell'insieme D, moltiplicata per la lunghezza della circonferenza percorsa dal suo baricentro. Applicare questo risultato per calcolare il volume dei seguenti solidi di rotazione:. Sfera di raggio r;. Toro tridimensionale, ottenuto ruotando il cerchio di centro (a, ) e raggio r < a; 3. Cilindro di altezza h e raggio di base r; 4. Cono circolare retto di altezza h e raggio di base r; 5. Tronco di cono di altezza h, raggio della base inferiore R e della base superiore r.

23 Esercizio 79. Sia Ω il solido limitato dal cono z x + y e dalla sfera x + y + z. Calcolare: Ω (xe +z ln ( + z ) y sin z + ) dx dy dz Esercizio 8. Dopo aver disegnato la regione D delimitata dalle superci calcolare il seguente integrale: x + y y 4z x + y z D x yz dx dy dz. Esercizio 8. Calcolare qualora esista D xe xy dx dy, dove D {(x, y) R : x < y, x, y > }. (Si ricorda che f è integrabile su un dominio D non limitato, se esiste una successione crescente {D k } k di domini limitati tale che D k D k, f è integrabile su D k per ogni k e sup k D k f <. In tal caso, D f lim k D k f) Esercizio 8. Si dica per quali valori di α R e p >, la funzione z α è integrabile su F p {(x, y, z) R 3 : < z <, x + y z p }, e per tali valori calcolare F p z α dx dy dz..3 Integrazione su varietà di R n e forme dierenziali Esercizio 83. Sia Γ la curva in R data dall'intersezione delle superci 3 {y x } e {z x 3 } e limitata dai piani {x } e {x }. Vericare che Γ é un elemento di curva regolare e calcolare log z f ds con f Γ +4y+9xz.

24 Esercizio 84. (Superci di rotazione in R 3 ) Sia Γ {(u(t), v(t)) : t (a, b)} un elemento di curva regolare (eventualmente chiusa) in (, ) R e α un numero in (, π]. Si dimostri che: S {(x, y, z) R 3 : x u(t) cos θ, y u(t) sin θ, z v(t) con t (a, b) e θ (, α)} é un elemento di supercie regolare in R 3 e se ne calcoli l'area in termini di un integrale su (a, b). Esercizio 85. Sia γ la curva in R, espressa (in coordinate polari) dalla condizione: ρ a ( + cos θ) θ [, π). Calcolarne la lunghezza al variare del parametro a >. (Nota: Tale curva prende il nome di Cardioide.) Esercizio 86. Calcolare l'area della supercie di un Toro tridimensionale T, avente raggi 3 r e R (con r < R). (Nota: Tale toro può essere visto come un insieme in R generato dalla rotazione completa intorno all'asse 3 z (od intorno ad una qualsiasi altra retta) di un cerchio di raggio r che giace su un piano contenente l'asse z e tale che la distanza del centro del cerchio dall'asse sia uguale ad R > r.) Esercizio 87. Vericare il teorema della divergenza (in R ) nel seguente caso: f(x, y) ( + xy, x) ed A {(x, y) R : (x ) + y <, y > }. Esercizio 88. Sia Ωunapertoconnessodi R 3 lacuifrontiera Ωèunasupercie regolare chiusa. Sapendo che il volume di Ω è, si calcoli il usso (esterno) attraverso Ω di F (x) x (x R 3 ). Esercizio 89. Dire se le seguenti -forme dierenziali sono chiuse o esatte nel loro dominio di denizione; qualora siano esatte, trovarne una primitiva:. ω(x, y, z) x 3 dx + y dy + z dz ;. ω(x, y) x x +y dx + y x +y dy ; 3. ω(x, y, z) +y dx xy 4. ω(x, y, z) Ax+By x +y (+y ) dy ; dx + Cx+Dy x +y dy al variare di A, B, C, D R. 3

25 Esercizio 9. Calcolare l'integrale curvilineo della -forma dierenziale ω(x, y) x dx + xy dy lungo la frontiera ϕ del quadrato [, ] [, ], percorso in senso antiorario. Esercizio 9. Sia T {(x, y, z) R 3 : x + y + z }.. Calcolare T z γ dx dy dz per i γ R per cui esiste nito;. Calcolare ( T x α + y β + z γ) dx dy dz per gli α, β, γ R per cui tale integrale esiste; 3. Calcolare il usso uscente da T del campo vettoriale F (x, y, z) (x + y + z, x + y + z, x + y + z); 4. Calcolare il usso di F attraverso la porzione di T contenuta nel primo ottante. Esercizio 9. Calcolare ω direttamente e per mezzo del teorema di Stokes, + S dove: ω x dy y dx x + y + z, S è la supercie laterale del cilindro {x + y l'orientazione della normale esterna., z }, con Esercizio 93. Sia C {(x, y, z) R 3 : z 4, x + y z, x + y } :. Calcolare il volume di C;. Sia F (x, y, z) (x,, ); trovare il usso di F uscente da C; 3. Trovare il usso di F uscente da ciascuna delle singole porzioni della frontiera di C; 4. Calcolare l'area della frontiera di C. Esercizio 94. Consideriamo il dominio tridimensionale E {(x, y, z) R 3 : x + y + z, z x + y }.. Calcolare l'area di E. 4

26 . Sia F il campo vettoriale così denito: F (x, y, z) (x, y, z) ; trovare il usso uscente di F attraverso ciascuna delle due superci regolari che costituiscono E. 3. Utilizzando il punto precedente, dedurre il volume di E. Esercizio 95. Si consideri il dominio tridimensionale di R 3, denito da E {(x, y, z) R 3 : x + y + z, z } x + y.. Si calcoli l'area della supercie E;. si calcoli il usso uscente del campo vettoriale F (x, y, z) (x, y, z) attraverso E (direttamente senza utilizzare il teorema della divergenza); 3. usando il punto precedente, calcolare il volume di E. Esercizio 96. Si consideri la -forma dierenziale ω(x, y) (y3 x y) dx + (x 3 y x) dy (x + y ).. Dimostrare che ω è chiusa. Si può dedurre da ciò che ω è esatta? Perché?. Sia α > e sia γ α + B α () (cioè una circonferenza di centro l'origine e raggio α, orientata positivamente). Calcolare γ α ω. 3. ( ) Sia ora γ una qualsiasi curva chiusa e semplice in R \{}, che compia un giro intorno all'origine. Mostrare che γ ω. 4. Dedurre dai punti precedenti che ω è esatta e trovarne una primitiva. 5

27 .4 Serie di Fourier e applicazioni Esercizio 97. Determinare lo sviluppo in serie di Fourier della funzione πperiodica f(x) x π e studiarne la convergenza in [ π, π]. Dedurre il valore delle seguenti somme: (i) n x [ π, π] (n+) ; (ii) n n ; (iii) n (n+) ; (iv) 4 n n. 4 Esercizio 98. Risolvere i seguenti problemi di Dirichlet per equazioni dierenziali del secondo ordine alle derivate parziali:. u t u x < x < π, t > u(, t) u(π, t) t u(x, ) x x π ;. + u u u x y < x < π, < y < π u(x, ) x x π u(x, π) x x π u(, y) y π u(π, y) π y π. 6

28 Capitolo 3 Analisi complessa Esercizio 99. Trovare i valori di:. Im {( + i) n + ( i) n } ;. Re {( + i) n + ( i) n } ; 3. i i ; 4. ( ) i ; 5. 4 i. Esercizio. Trovare l'estremo superiore e inferiore delle seguenti funzioni, nel dominio D indicato:. sin z su D C ;. sin z su D {z C : Im z < R }; 3. z i su D {z C : Im z > }; z+i 4. e z i z+i su D {z C : Im z > }. Esercizio. Dimostrare che:. f(z) è analitica su Ω f(z) è analitica su Ω.. Una funzione analitica non costante, non può essere costante in modulo. 3. Una funzione analitica non costante, non può essere tale che Re f f. Abbiamo denito Ω {z : z Ω} 7

29 4. Una funzione analitica non costante, non può essere tale che Im f f. Esercizio. Trovare il più generale polinomio armonico della forma: P (x, y) ax 3 + bx y + cxy + dy 3. Determinare, inoltre, la funzione armonica coniugata e la corrispondente funzione analitica. Esercizio 3.. Espandere z+3 z+ in serie di potenze di z. Qual è il raggio di convergenza?. Espandere ( z) m con m > in serie di potenze di z. Esercizio 4. Trovare il raggio di convergenza delle seguenti serie di potenze. n zn n!. n n!zn 3. n n!zn! 4. n zn! 5. n nn z n Esercizio 5. Studiare la convergenza delle seguenti serie:. (z+i) n n. n (+i) ; n+ z n(n+); n 3. z n n n n+. Quanto vale la somma delle serie ()? Esercizio 6. Data la serie n a nz n con raggio di convergenza R, calcolare il raggio di convergenza delle seguenti serie: n a nz n ; n a nz n ; n a nz n. 8

30 Esercizio 7. Calcolare i seguenti integrali:. x dz dove σ è il segmento orientato da a + i; σ. x dz in due modi diversi: z R (a) mediante calcolo diretto; ( ) (b) osservando che x z+z z + R z sulla circonferenza { z R}; 3. dz z z ; 4. e z z z dz al variare di n Z; n 5. dz z z +; 6. dz z ρ z a con la condizione che a ρ; 7. sin z z z dz al variare di n Z; n 8. z zn ( z) m dz al variare di n, m Z. Esercizio 8. (*) (Stime di Cauchy e applicazioni). Sia f una funzione analitica su Ω, tale che f(z) M per ogni z R (con B R () Ω). Sia < ρ < R; trovare una stima di: sup f (n) (z). z ρ. Mostrare che le derivate successive di una funzione analitica in un punto, non possono mai soddisfare la relazione f (n) (z) n!n n, per ogni n. Esercizio 9. Dimostrare che una funzione intera con parte reale positiva, è costante. Esercizio. Trovare f analitica su { z < }, e non identicamente nulla, tale che possieda un numero innito di zeri. Sia f come sopra. Esiste g analitica in z < R (con R > ), tale che f g su { z < }? (giusticare la risposta!) 9

31 Esercizio. Sia f : C C olomorfa e doppiamente periodica, allora f è costante. (Doppiamente periodica: per ogni z C, si ha f(z+ω ) f(z+ω ) f(z), dove ω, ω C sono linearmente indipendenti su R). Esercizio. Sia f analitica sul disco unitario aperto, con f(z) < per z < ; dimostrare che se f ha in uno zero di ordine m, e f(z) λz m (con λ ), allora: f(z) < z m z <. Esercizio 3. Sia f : Ω C una funzione analitica tc f(z) < per ogni z Ω. Si dimostri che: γ f f per ogni curva chiusa γ Ω. Esercizio 4.. Mostrare che ogni trasformazione lineare fratta che mappa l'asse reale in se stesso, può essere scritta con coecienti reali.. La riessione z z è una TLF? Giusticare la risposta Esercizio 5. Trovare una TLF che mappi:. il semipiano Imz > nel cerchio unitario di centro l'origine, in modo che un punto ssato z (con Imz > ) vada nel centro;. il cerchio z in z +, in modo che e i ; 3. i cerchi z e z 4 4 in due cerchi concentrici. Qual è il rapporto tra i raggi? 4. la regione tra i cerchi z e z, nel semipiano x >. (Attenzione: in questo caso non viene proprio una TLF... andrà composta con qualche funzione elementare nota!) Esercizio 6. Sia R(z) z+ z una TLF; descrivere (completamente) l'immagine tramite R delle rette verticali x c al variare di c R. Per la cronaca: una funzione con queste caratteristiche, si chiama funzione ellittica. 3

32 Esercizio 7. (**) Sia f una funzione analitica su Imz tale che lim f(z) <. z Dimostrare che per ogni z tc Imz > si ha la seguente relazione : f(z ) Imz π + f(t) t z dt. (Sugg.: può essere utile ricordarsi la formula di Cauchy su dischi ed aver fatto l'esercizio. ). Esercizio 8.. Sia f una funzione meromorfa con polo di ordine h in z ; dimostrare che: Res z f (h )! Dh z [(z z ) h f(z)] zz.. Sia f una funzione analitica in Ω e g meromorfa con polo semplice in z Ω. Calcolare il Res z fg. Esercizio 9. Trovare i poli e i residui delle seguenti funzioni: (a) z +5z+6 (b) (Z ) (c) sin z (d) cotan z : cos z sin z (e) sin z Esercizio. Calcolare i seguenti integrali:. π dθ a+cos θ con a > ;. π dθ con a > ; a+sin θ 3. dx; x x 4 +5x cos x x +a dx con a R. Esercizio. Calcolare i seguenti integrali: 3

33 . π. π dθ a+cos θ con a > ; dθ a+sin θ con a > ; dx; x x 4 +5x +6 dx; x x+ x 4 +x +9 x (x +a ) dx 3 con a R \ {}; cos x x +a dx con a R \ {}; log x +x dx; log(+x ) x +α dx con < α <. Esercizio. Quante radici possiedono i seguenti polinomi, nei domini di anco indicati? (a) P (z) z 7 z 5 + 6z 3 z +, nel disco z < ; (b) P (z) z 4 6z + 3, nell'anello z < ; (c) P 3 (z) z 4 + z 3 +, nel quadrante {z x + iy x, y > }. Esercizio 3. Sia P (x) un polinomio con coecienti reali e con coeciente direttore. Supponiamo inoltre che P () e che P (x) non abbia radici complesse nel cerchio unitario. Dimostrare che P (). (Sugg.: Per cominciare, dimostrate che se ho un polinomio monico Q(z) z n a allora il prodotto delle sue radici (considerate con molteplicità) è uguale a ( ) n a.) Esercizio 4. Sia f n una successione di funzioni analitiche in Ω, con al più m zeri in Ω (contati con le relative molteplicità). Supponiamo che f n converga uniformemente a f sui compatti di Ω; dimostrare che o f è identicamente nulla, oppure f ha al più m zeri in Ω (contati con molteplicità). Esercizio 5. Sia f una funzione analitica in z tale che f () ; dimostrare che per ogni n, esiste g analitica in un intorno di, tale che per ogni punto in tale intorno si abbia la rappresentazione: f(z n ) f() + g(z) n. 3

34 Esercizio 6. (i) Mostrare che n ( n ). (Sugg.: Trovare un'espressione ricorsiva per a n n k (ii) Dimostrare che per z <, si ha: ( k ) ) ( + z)( + z )( + z 4 )( + z 8 )... ( + z n )... z. Sugg.: dimostrare che m ( + z n ) n Esercizio 7. Mostrare che la funzione: θ(z) m n z n. ( + h n e z )( + h n e z ) n con h <, è una funzione intera e soddisfa l'equazione funzionale θ(z + log h) h e z θ(z). Esercizio 8. (a) Applicare il teorema di Weierstrass 3 nel caso della funzione f(z) sin πz, lasciando, per ora, indeterminata la funzione g(z). 3 Ricordiamo il seguente risultato: Teorema (Weierstrass). Fissata una successione {a n} n C tale che a n, ed m N, esiste una funzione intera il cui insieme degli zeri (esluso eventualmente l'origine), coincide esattamente con {a n} n, ed avente nell'origine uno zero di ordine m se m >. Tale rappresentazione non è ovviamente unica; infatti, se f è una funzione intera con esattamente tali zeri, allora si può rappresentare nella forma: f(z) z m e ( g(z) z a n n ) e z an + dove g è una funzione intera, e gli m n sono certi interi. ( ) z ( ) z mn an mn an (3.) La rappresentazione (3.) diventa interessante quando possiamo scegliere gli m n tutti uguali tra loro (in tal caso parleremo di prodotti canonici). Una condizione suciente anché si possa fare ciò è l'esistenza di un intero non negativo k tale che: a n k+ <. n Denotiamo con h il più piccolo di tali interi; allora h è detto genere del prodotto canonico. Inoltre, se in (3.) (con l'hp che il prodotto sia canonico) g(z) è un polinomio, allora la funzione f si dice di genere nito, ed il suo genere è proprio il massimo tra il grado di g e il genere del prodotto canonico. 33

35 (b) Usare il fatto che 4 π cot πz z + n ( z n + ), n per ricavarsi la funzione g(z). (c) Dedurre dall'espressione ottenuta nei punti (a) e (b), il genere della funzione sin πz, e la rappresentazione: sin πz πz ) ( z. (d) Usare i risultati ottenuti, per calcolare il prodotto nel punto (i), dell'esercizio. Esercizio 9. Sia n un intero positivo; calcolare il seguente integrale: π n (cos θ) n dθ. n Esercizio 3. Sia f una funzione analitica su C, e supponiamo che assuma valori reali sull'asse reale e valori immaginari sull'asse immaginario. Dimostrare che f è una funzione dispari (cioè f(z) f( z) per ogni z). Esercizio 3. Sia g una funzione continua su [, π] tale che g() g(π). Rispondere nella maniera più esauriente possibile alle seguenti domande: (i) Supponiamo che esista una funzione analitica f sul disco unitario chiuso, tale che f(e iθ ) g(θ) per ogni θ [, π]. Quanto vale f nell'origine? (ii) Esiste almeno una funzione siatta? In caso aermativo, darne un'espressione esplicita. Oss: Formalmente il nostro problema si può riscrivere: f C (Ω) tale che { f z se z f(z) g(arg z) se z (iii) Quante funzioni di questo tipo possono esistere? 4 Per una dimostrazione di ciò si rimanda ad un qualsiasi testo di analisi complessa. 34

36 (iv) Supponiamo di considerare un generico dominio Ω chiuso e semplicemente connesso. Ammette ancora una soluzione il problema precedente? E' unica? (Ovviamente stiamo supponendo questa volta di conoscere il valore assunto su Ω). Non è richiesta questa volta di darne un'espressione esplicita. (v) Riettere su quale proprietà della funzione f abbiamo veramente usato... è necessario che sia analitica? A quale classe di funzioni a valori reali potete estendere tutto ciò? Vi ricorda qualche risultato noto? Esercizio 3. Sia f una funzione denita nel semipiano superiore Σ +, con f periodica di periodo (cioé f(z) f(z + ) per ogni z). (i) Dimostrare che esiste una funzione g analitica nel disco unitario privato dell'origine (che denoteremo D ), tale che: g(e πiz ) f(z) per ogni z Σ +. (ii) Qual è la serie di Laurent per g? scrivere i coecienti in forma integrale. (iii) Dimostrare che la funzione f ha un'espansione della forma dove per ogni y >. c n f c n e πinz f(x + iy)e πin(x+iy) dx Esercizio 33. Si calcolino i seguenti integrali deniti, usando il teorema dei 35

37 residui. a) b) c) d) e) f) g) h) i) π π π cos θ + cos θ dθ dθ a + b sin θ a > b > sin θ a + cos θ dθ a > x a + x dx < a < dx + x b dx b > log x x a (x + ) dx < a < log x dx a, b >, a b (x + a)(x + b) x 4 x( x) dx x + x dx. 36

38 Parte II Soluzioni degli esercizi 37

39 Capitolo Calcolo dierenziale in R n. Spazi normati, topologia standard in R n Esercizio. Osserviamo innanzitutto che la funzione denita è a valori reali non negativi (è una conseguenza immediata della positività dell'integrale secondo Riemann ). Sarà quindi suciente vericare le tre proprietà che caratterizzano una norma :. non degenerazione: L'implicazione ( ) è banale; mentre per l'implicazione ( ) si può procedere per assurdo supponendo che a [, ] t.c. f(a) >, e applicando il teorema della permanenza del segno si giunge immediatamente alla conclusione;. omogeneità: segue dalla linearità dell'integrale; 3. disug. triangolare: basta osservare che f(x) + g(x) < f(x) + g(x). Per la monotonia e la linearità dell'integrale secondo Riemann, si ha la tesi. Esercizio. Consideriamoadesempioivettori x (,,,.., )ey (,,,.., ). Esercizio 3. Siano date due curve 3 Γ {γ R n : γ γ(t), a t b } Φ {φ R n : φ φ(t), a t b } che soddisfano la condizione γ(b) φ(a). Consideriamo l'applicazione : { γ(t a) se a t a+b [C], R. [C], Denizione 6. 3 [C], Denizione 5.6 λ(t) φ(t b) 38 se a+b t b

40 Denendo la curva Λ {λ R n : λ λ(t), a t b }, si verica che Λ Γ Φ. Esercizio 4. E' conveniente utilizzare la rappresentazione in coordinate polari e osservare che in tale sistema di coordinate l'insieme considerato è un rettangolo, quindi è un insieme convesso, che è connesso per segmenti. Quindi dati comunque P (r P, θ P ), Q (r Q, θ Q ) A, basterà considerare la curva: γ : t (x (tr Q +( t)r P ) cos(tθ Q +( t)θ P ), y (tr Q +( t)r P ) sin(tθ Q +( t)θ p )). Esercizio 5. Cominciamo col mostrare che l'applicazione Lip : Lip(E, R m ) R è una norma su tale spazio. Chiaramente f Lip per ogni f Lip(E, R m ). Inoltre f Lip sup f(x) x E f(x) x E. Quindi abbiamo mostrato la positività e la non degenerazione. Mostriamo l'omogeneità. Per ogni a R si ha: af Lip af(x) af(y) sup x,y E x y x y f(x) f(y) a sup x,y E x y x y a f Lip. + sup af(x) x E + a sup f(x) x E Inne, facciamo vedere che vale la disuguaglianza triangolare. Siano f e g due funzioni in Lip(E, R m ). Osserviamo in via preliminare che (f(x) + g(x)) (f(y) + g(y)) x y + f(x) f(y) + x y g(x) g(y). x y 39

41 Quindi: f + g Lip (f(x) + g(x)) (f(y) + g(y) sup + x,y E x y x y + sup f(x) + g(x) x E sup x,y E x y f(x) f(y) x y g(x) g(y) + sup x,y E x y x y f Lip + g Lip. + sup f(x) + x E + sup g(x) x E Abbiamo appena mostrato che (Lip(E, R m ), f Lip ) è uno spazio normato. Ci manca da mostrare che è completo, cioè che ogni successione di Cauchy (rispetto alla norma sopra denita) converge ad un elemento nello spazio. Consideriamo {f k } k una successione di Cauchy, cioè per ogni ε > esiste un N N (ε) > tale che per ogni k, h > N si abbia: f k f h Lip (f k (x) f h (x)) (f k (y) f h (y)) sup + x,y E x y x y + sup x E f k (x) f h (x) ε. (.) Quindi la successione {f k } k è una successione di Cauchy in 4 (C(E, R m ),,E ) ediconseguenza(poichètalespazioècompleto)ammetteunlimite f C(E, R m ), cioè esiste un N N (ε) > tale che se k > N allora f k f,e ε. Da (.) ricaviamo che se x, y E con x y e k, h > N allora (f k (x) f h (x)) (f k (y) f h (y)) x y da cui, passando al limite per h +, otteniamo: (f k (x) f(x)) (f k (y) f(y)) x y ε ε. 4 Denoteremo con,e la norma del sup, cioè per ogni f C(E, R m ) intenderemo f,e sup f(x). x E 4

42 Poiché ciò è vero per ogni x, y E possiamo concludere che se k > N allora (f k (x) f(x)) (f k (y) f(y)) sup ε. x,y E x y x y Mettendoinsiemelestimeottenuteedenendo N N(ε) max{n (ε), N (ε)}, otteniamo che per k > N f k f Lip ε cioè f è il limite di tale successione rispetto alla norma Lip. Per concludere la dimostrazione, ci manca da mostrare che f Lip(E, R ). Infatti, ssando m k > N si ha: f Lip f f k Lip + f k Lip <. Esercizio 6. Nota: Denoteremo con x gli elementi di R, cioè le successioni a valori reali N x {x n } n. Con il pedice indicheremo un elemento di una di queste successioni, mentre useremo l'apice per indicare gli elementi di una successione in R (ad esempio N {x (k) } indica una successione i cui elementi x sono delle successioni, cioè (k) x (k) {x (k) n } n ).. Cominciamo col considerare lo spazio (l, ). Mostriamo che l'applicazione : l R x x n N x n è una norma su tale spazio. Chiaramente x per ogni x l. Inoltre x n N x n x n n N. Quindi abbiamo mostrato la positività e la non degenerazione. Mostriamo l'omogeneità. Per ogni a R si ha: ax n N a n N ax n x n a x. 4

43 Inne, facciamo vedere che vale la disuguaglianza triangolare. Siano x e y due successioni in l. Allora: x + y n N x n + y n n N( x n + y n ) n N x n + n N y n x + y. Osserviamo che il poter separare le due serie è giusticato dal fatto che queste convergono entrambe assolutamente. Dobbiamo mostrare ora che tale spazio è completo. Sia {x (k) } una successione di Cauchy in l, cioè per ogni ε > esiste un N N (ε) > tale che se k, h > N allora x (k) x (h) n N x (k) n Ma quindi per ogni n N ssato, si ha x (k) n x (h) n ε x (h) n ε. (.) di conseguenza la successione {x (k) n } k è una successione di Cauchy in R e quindi ammette un limite (per k che tende a + ) che indicheremo con x n. Possiamo quindi considerare la successione dei limiti x {x n } n. Mostriamo che x è il limite della successione {x (k) } k rispetto alla norma. Osserviamo che da (.) si ha che per ogni M > e per k, h > N M n x (k) n x (h) n ε ; passando al limite per h + otteniamo: M n x (k) n x n ε e, vista l'arbitrarietà di M, possiamo concludere che ε n x (k) n x n x (k) x 4

44 che è quanto volevamo mostrare. Per completare la dimostrazione, osserviamo che x l ; infatti, se ssiamo un k > N otteniamo: x x x (k) + x (k) <. Si procede in maniera analoga per dimostrare che (l, ) è uno spazio di Banach.. Se x l allora x < (altrimenti la serie n x n non potrebbe convergere!) e quindi x l. Abbiamo appena mostrato che l l ; d'altronde tale inclusione è stretta (cioè si tratta di un sottoinsieme proprio) come si verica facilmente prendendo la successione x {,,...,,...} ; infatti tale successione ha norma x ma x. Per mostrare che non si tratta di sottoinsieme chiuso, facciamo vedere che esiste una successione in l che converge (rispetto alla norma ) ad un elemeno che non sta in l. Deniamo x (k) {,,,..., k },,... e consideriamo la successione {x (k) } k. Questa successione ammette un limite rispetto alla norma e tale limite è dato da Infatti x {,,,..., k },.... x (k) x k +. k + Osserviamo che x (è la serie armonica!) e questo completa la nostra dimostrazione. 3. Abbiamo appena mostrato che l non è un sottospazio chiuso di (l, ), cioè rispetto alla topologia indotta da tale norma. Vogliamo determinare la chiusura di l (che indicheremo con l ) rispetto a tale topologia, cioè il più piccolo chiuso che lo contiene. Per far questo aggiungeremo a l tutti i suoi punti di accumulazione (abbiamo infatti visto nel punto precedente che esistono punti di accumulazione che sono esterni ad l ). Osserviamo che le successioni in l godono della proprietà di avere limite nullo (questa 43

45 è infatti la condizione necessaria per la convergenza della serie n x n ); questa condizione è necessaria ma non suciente per stare in l (vedere il punto precedente). Quindi quello che ci si può aspettare è che l'insieme C { x R N : lim x n n sia proprio l'insieme che stavamo cercando. Mostreremo i seguenti fatti: a. C è chiuso ; b. per ogni x C esiste una successione {x (k) } l che converge a x nella norma. Osserviamo che il punto b ci dice proprio che si tratta del più piccolo chiuso contenente l ; infatti aerma che ogni punto di C è punto di accumulazione per l, e quindi non può esistere un chiuso più piccolo che lo contenga. Diamo uno sketch della dimostrazione di questi punti. a. Per mostrare che è chiuso, facciamo vedere che C contiene tutti i suoi punti di accumulazione. Sia {x (k) } k C una successione convergente e sia x il suo limite. Per ogni ε > esisterà N N (ε) > tale che per ogni k > N. Allora: x (k) x ε x n x n x (k) n } + x (k) n x (k) x + x (k) n per n sucientemente grande (in quanto x (k) n di ε otteniamo ε lim x n x C. n ). Dall' arbitrarietà b. Per mostrare questo punto si procede esattamente come abbiamo fatto nel punto. Data una successione x C, costruiamo la successione {x (k) } così denita: x (k) {x, x,..., x k,,...}. Chiaramente {x (k) } l. Mostriamo ora che x è il limite di tale successione rispetto alla norma. Poiché x n, per ogni ε > esisterà un N N (ε) tale che x n ε per ogni n N. Quindi, prendendo k N si avrà x (k) x ε e questo conclude la dimostrazione. 44

46 Esercizio 7. Ricordiamo alcune denizioni che useremo in seguito. 5 Denizione (Compattezza). Uno spazio topologico X si dice compatto se ogni suo ricoprimento aperto (cioè costituito da insiemi aperti) possiede un sottoricoprimento nito, cioè possiede una sottofamiglia costituita da un numero nito di insiemi che è ancora un ricoprimento dello spazio. Denizione (Compattezza numerabile). Uno spazio topologico X si dice numerabilmente compatto se ogni sottoinsieme innito Z X possiede un punto di accumulazione. Denizione (Compattezza per successioni). Uno spazio topologico X si dice compatto per successioni se ogni successione di elementi di X possiede una sottosuccessione convergente ad un elemento di X. Si dimostrano le seguenti relazioni fra queste denizione: X compatto X numerabilmente compatto X compatto per successioni. Nessuna delle implicazioni precedenti è - in generale - un'equivalenza. Si può però dimostrare in generale il seguente risultato: Teorema. Sia X uno spazio metrizzabile. Le seguenti condizioni sono equivalenti: (a) X è compatto. (b) X è numerabilmente compatto. (c) X è compatto per successioni. Torniamo ora al nostro esercizio. (i) Mostriamo che l'insieme Ω non è compatto. Poiché stiamo considerando uno spazio normato (e quindi metrico) la denizione di compattezza è equivalente alla denizione di compattezza per successioni. Facciamo vedere quindi che esiste una successione in Ω che non ammette alcuna sottosuccessione convergente. Consideriamo la successione {x (n) } n così denita: x (n) (,,...,,,,...). } {{ } n Se prendiamo due generici elementi della successione x ed (n) x, con (m) n m, si osserva che la loro distanza (nella metrica indotta dalla norma) è costante, cioè ( d x (n), x (m)) x (n) x (m) e quindi non è possibile estrarre alcuna sottosuccesione convergente. 5 Cfr. E. Sernesi, Geometria, Bollati Boringhieri (994). 45

47 (ii) Anche in questo caso è più semplice mostrare la compattezza per successioni. Supponiamo di avere una successione {x (n) } n in D e facciamo vedere che è possibile estrarre una sottosuccessione convergente. Possiamo considerare la naturale immersione di D in R i : D R x (x,..., x ) ed osservare che i(d) è la palla unitaria in R, rispetto alla ; in particolare i : D i(d) è una biezione. Quindi è possibile associare alla successione {x (n) } n una sottosuccessione {y (n) } n in i(d), data da y (n) i(x ). Osserviamo che (n) i(d) è compatto in (R, ) e quindi è compatto per successioni, cioè esiste una sottosuccessione {y nk } k, convergente ad un certo y i(d), i.e: ε > N N (ε) t.c. se k N allora y (n k) y ε. Mostriamo che la sottosuccessione {x (n k) } k, data da x (n k) i (y (n k) ) è una successione convergente in (l, ), e che converge ad un limite x i (y) D. Infatti, se k N abbiamo: x (n k) x x (n k) j x j j y (n k) j j y j n y (n k) y nε. Inoltre x D per come è stata denita.. Funzioni da R n in R m : regolarità, polinomio di Taylor, estremi liberi e vincolati, etc... Esercizio 8. Per mostrare che tale funzione non è continua in O (,.., ), è suciente 6 trovare due successioni x (k), y (k) R n \ {O}, t.c. 6 [C], proposizione 5.8 i) 46

48 lim k + x (k) lim k + y (k) O, ma lim k + f(x (k) ) lim k + f(y ). Consideriamo ad esempio le successioni: (k) x (k) (,.., k,..) (cioè ha componenti x(k j δi,j k, j,.., n) y (k) (,.., k,..) (cioè ha componenti y(k j δi,j k, j,.., n) Esercizio 9.. Nel caso x (,,, ) si ha δ(ɛ) min{ ɛ 5α, x }; Nel caso x (,,., ) si ha δ(ɛ) ɛ α;. δ(ɛ) min{ ɛ 38, }; 3. δ(ɛ) min{( π 4 ) n, ɛ n }; 7 4. δ(ɛ) min{ n, n 5 e 4n ɛ }; 8 5. δ(ɛ) ɛ n ; 6. δ(ɛ) min{ ɛ n, ɛ 5α n, x }. Esercizio. E' suciente considerare δ(ɛ) (sin 3)ɛ. Esercizio. Nota: In tale contesto indica la norma euclidea, sia su R che su 4 R. Utilizzando le relazioni di equivalenza fra le varie norme si possono ottenere immediatamente i moduli di continuità associati alle altre combinazioni di norme denibili su tali spazi. Trovare il modulo di continuità in x (,,, ), equivale a trovare un δ δ(ε) > tale che se x δ, allora ( ) f(x) f() + x, sin(x x 4 ) ε. Cominciamo stimando separatamente le varie componenti di questo vettore. Prima componente: + x x + x x + x x δ. 7 Si può dimostrare che se π t π allora vale la seguente disuguaglianza: 4 4 cos t + sin t 8 Osservare che si tratta di una serie geometrica 47

49 Seconda componente: sin(x x 4 ) x x 4 x δ ; abbiamo usato che sin t t per ogni t R e che x i x per ogni i,, 3, 4. Mettendo insieme le varie stime otteniamo: f(x) f() ( ) + x, sin(x x 4 ) { } max + x, sin(x x 4 ) max { δ, δ }. Assumendo che δ possiamo semplicare tale espressione: Quindi sarà suciente prendere f(x) f() max { δ, δ } δ(ε) min δ. Esercizio. Consideriamo una funzione { } ε,. f : E R n R m tale che f(x) (f (x),..., f m (x)) e sia x E. Vogliamo mostrare che f è continua in x f i è continua in x i,..., m. Dimostriamo separatamente le due implicazioni. Osserviamo che anche in questo caso considereremo la norma euclidea su entrambi gli spazi: questa non è una scelta restrittiva in quanto le norme su spazi vettoriali di dimensione nita sono tra loro equivalenti (cioè inducono la stessa topologia) e quindi le proprietà topologiche (quali la continuità) non dipendono dalle norme scelte. ( ) Supponiamo che f sia continua in x, cioè ε > δ δ(ε) > : x x < δ f(x) f(x ) < ε. Quindi è suciente osservare che per ogni i,..., m f i (x) f i (x ) f(x) f(x ) per poter concludere la tesi. 48

50 ( ) Assumiamo che per ogni i,..., m le funzioni f i siano continue in x, cioè ε > δ i δ i (ε) > : x x < δ f i (x) f i (x ) < ε m. La tesi segue facilmente prendendo δ δ(ε) min{δ (ε),..., δ m (ε)} ; infatti con tale scelta si ha che se x x δ, allora f(x) f(x m max i(x) f i (x ) } i,...,m m ε ε. m Esercizio 3. Nota: In tale contesto indicherà la norma euclidea su R. n (i) Siano x, y B (). Consideriamo separatamente le due componenti di f(x) f(y) Prima componente: 9 ( x y x y, n sin n ) x i sin y i. i i y + x ( x )( y )) x y ( x )( y ) x y x y. ( x )( y ) Osserviamo che questa stima è ottimale. Infatti, se consideriamo (al variare di m in N) i punti x m y m 9 Utilizzeremo i seguenti fatti:. x y x y, per ogni x, y R n ;. x, per ogni x B (). ( ) m,,..., ( m ),,..., 49

51 otteniamo: x m y m + m + m + m + m m ( + m) m ( + m) m (m + )(m + ) m (m + )(m + ) m m (m + )(m + ) x m y m. Quindi la costante L m che rende sharp la disuguaglianza sopra (nel caso x m e y m ) è data da L m : e di conseguenza L. Seconda componente: n sin n x i sin y i i i m m + (m + )(m + ) n sin n n n x i sin y i x i y i i i i i n x n n n x i x y i + x y i y y i i i i i n n n x x i y i + y i x y i i i n n x y + x i y i... Utilizzeremo i seguenti fatti:. x y x y, per ogni x, y R n ;. sin t sin s t s, per ogni t, s R ; 3. x n x, per ogni x R n. i i x y x n y n x y n x y. 5