LA FORMA DELLA TERRA UNITA X. CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 1

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1 LA FORMA DELLA TERRA UNITA X CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 1

2 LA FORMA DELLA TERRA Lo scopo di una carta geografica è quello di rappresentare sul piano aree più o meno estese della superficie terrestre che, in realtà, non è affatto piana ne regolare. La carta geografica deve comunque restituire in modo realistico ed efficace quello che si vuole rappresentare. Ciò è difficoltoso in quanto la superficie della Terra ha una forma irregolare, cosi come è irregolare la distribuzione delle masse (materia) che la compongono. Per poter rappresentare la superficie fisica della Terra è necessario assumere una forma ideale tale da poter essere il più possibile rappresentativa e trattabile in modo semplice e lineare sia geometricamente che matematicamente. Immaginiamo che il nostro pianeta sia costituito da una massa omogenea e che abbia una forma sferica in rotazione attorno ad un asse passante per i poli. Consideriamo un punto sulla superficie (fig 1); questo è sottoposto alla forza newtoniana Fn, di intensità costante e diretta verso il centro della Terra, e alla forza centrifuga Fc, dovuta alla rotazione terrestre e di intensità proporzionale alla distanza del punto dall asse di RICORDIAMO CHE: forza : la forza è un vettore. Si definisce vettore un entità matematica che viene rappresentato graficamente con un segmento orientato. La lunghezza di tale segmento ne indica l intensità, la direzione è data dalla retta su cui giace ed il verso di azione del vettore è dato dalla freccia. Somma di vettori: la somma di due vettori che hanno direzioni differenti si effettua mediante la regola del parallelogramma. Il vettore somma chiamasi Risultante R e corrisponde alla diagonale del parallelogramma costruito. rotazione. La risultante di queste due forze è la forza di gravita Fg che risulta massima ai poli e minima all equatore. L insieme delle forze Fg viene chiamato campo gravitazionale terrestre. Nella realtà la superficie terrestre assume, sotto l azione del campo gravitazionale, una forma non sferica ma leggermente schiacciata ai poli dove Fg assume il valore massimo. La direzione per ogni punto della superficie terrestre della forza di gravita viene detta verticale. Se ci si sposta lungo tale verticale la forza di gravita si modifica in direzione e valore; ne consegue che la verticale non ha un andamento rettilineo ma leggermente curvato. Le superfici che in ogni punto della superficie terrestre sono perpendicolari alla verticale in quel punto sono chiamate superfici CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo -

3 equipotenziali o di livello. Poiché la superficie libera di un liquido costituisce una superficie di livello, verrebbe spontaneo prolungare idealmente la superficie delle acque marine, supposte in quiete, al disotto dei continenti per fissare così una superficie matematica della che fra le tante superfici di livello sarebbe la più adatta a rappresentarne la forma geometrica. Di fatto si sa che le acque marine non sono in equilibrio sia per movimenti irregolari dovuti a venti o ad altre cause meteorologiche, sia per le oscillazioni periodiche che vanno sotto il nome di maree, dipendenti dall'azione attrattiva principale della luna e del sole sulle masse oceaniche; ci si riferisce allora al suo livello medio. Detta superficie viene chiamata Geoide ( vedi fig. )e si definisce come Superficie equipotenziale posta al livello medio del mare, considerato privo di perturbazioni e immaginata al di sotto dei continenti in modo da mantenersi sempre perpendicolare alle verticali APPROFONDIAMO Livello medio del mare:in ogni punto dove sia possibile porre uno strumento fisso capace di fornire l' altezza del livello dell'acqua al momento dell'osservazione (idrometri e flussometri), oppure che descrive le oscillazioni altimetriche delle maree (mareografi), si è in grado di fornire il valore del livello medio del mare. Anche se è stato dimostrato che le varie misurazioni effettuate in luoghi diversi del pianeta hanno condotto a valori discordanti del livello medio del mare, va comunque detto che con l'affinarsi dei metodi di osservazione e degli strumenti impiegati, alcuni notevoli disaccordi trovati tra il Mediterraneo, il mar Baltico e l'oceano Atlantico, siano adesso quasi ridotti all'ordine di grandezza dell'errore medio delle livellazioni che danno tali dislivelli e quindi accettabili ai fini e agli scopi preposti. Mareografo: strumento che consente di misurare il livello medio del mare attraverso osservazioni statistiche protratte per lunghi periodi temporali (almeno un secolo).è costituito da un tubo verticale provvisto di un galleggiante i cui movimenti dovuti alle variazioni di livello dell acqua vengono trasmessi a un apposito registratore. In Italia il mareografo più antico, dunque quello più affidabile, è quello di Genova. Nell ambito topografico i mareografi forniscono punti di partenza per le operazioni di livellazione, in grado di fornire le quote assolute dei punti rilevati. CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 3

4 ONDULAZIONI GEOIDICHE ED ELLISSOIDE DI ROTAZIONE Le differenti densità delle masse terrestri determinano variazioni della direzione della forza di gravità, dunque anche lievi ondulazioni sulla superficie del geoide dandogli l aspetto di una figura irregolare. Se immaginassimo di tagliare il geoide con piani aventi una qualunque giacitura, verrebbero generate sezioni il cui contorno sarebbe costituito da linee chiuse con andamento irregolare, tutte diverse tra loro e non equiparabili a figure elementari come cerchi o ellissi. Nella scala della figura queste ondulazioni non sarebbero visibili; esse, pertanto, sono state enfatizzate per chiarire meglio il concetto. Tuttavia il trattamento matematico del geoide (indispensabile nelle operazioni planimetriche per creare la corrispondenza tra i punti sul terreno e le loro proiezioni) è molto complesso e non utilizzabile nel contesto operativo. Effettuare misure e calcoli sul Geoide e una operazione complessa. Si e quindi deciso a livello internazionale di adottare, ma solo per le misure di tipo planimetrico, una superficie di riferimento molto più semplice: l Ellissoide di rotazione terrestre. E la superficie generata dalla rotazione di un ellisse (detta ellisse meridiana, di semiassi a, b) attorno all asse minore (asse polare). Ondulazioni del geoide Vantaggi: - approssima bene (con appropriati valori dei parametri dimensionali) la forma della Terra - è abbastanza semplice da descrivere matematicamente. PARAMETRI DELL ELLISSOIDE L ellissoide risulta definito assegnando i valori dei due semiassi a, b oppure un semiasse e uno dei seguenti parametri adimensionali a cui si dà il nome rispettivamente di schiacciamento ed eccentricità: s = ( schiacciamento) e = ( eccentricità) CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 4

5 In Europa l ellissoide utilizzato è quello di Hayford che presenta i seguenti valori dei parametri : a = m s=1/97 Di seguito è riportata una tabella con i parametri degli ellissoidi più utilizzati. Per la determinazione dei parametri è stato possibile utilizzare metodi geometrici basati su misure a terra e, più recentemente, osservazioni e rilievi con satelliti. anno Denominazione a (m) s 1738 Bauguer Maupertuis / Delambre / Everest / Bessel / Clarke I / Fiscer / Clarke II / Harkness / Helmert / Hayford / Krassowsky / Jeffreys / Army Map Service (USA) / Australia / WGS / WGS / ED / ESERCIZIO GUIDATO Determinare il semiasse minore e l eccentricità dell ellissoide di Bessel. Sapendo che s = ricavo b con la formula inversa ed ottengo: b=a(1-s) b= (1-1 / 99.)= m e = = = CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 5

6 COORDINATE GEOGRAFICHE L Ellissoide di rotazione e una superficie che si può considerare formata da due distinte famiglie di curve: i paralleli (circonferenze) e i meridiani (semi ellissi). Tali curve si intersecano tra loro ad angolo retto. La posizione di un punto sull Ellissoide può essere determinata fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui appartiene. Per individuare il parallelo sarà sufficiente conoscere la latitudine geografica, cioè l angolo φ formato dalla normale per il punto P ( vedi figura) e il piano equatoriale. Tale angolo è positivo se il punto si trova tra l equatore e il polo nord, negativo se si trova tra equatore e polo sud. Il meridiano è invece individuato dalla longitudine geografica, cioè dall angolo λ che si forma tra il piano contenente il meridiano passante per il punto P e il piano per il meridiano assunto come origine, passante per Greenwich (Londra). La longitudine é positiva andando verso est e varia da 0 o a 180 o. Nell'approccio classico, l'altimetria viene trattata a parte. Nella geodesia satellitare, data la natura tridimensionale delle osservazioni, alla coppia (φ, λ) viene associata la quota ellissoidica h. La terna (φ, λ, h) definisce la posizione tridimensionale di un punto. CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 6

7 RAGGI PRINCIPALI DI CURVATURA DELL ELLISSOIDE Tutti i piani passanti per n tagliano la superficie dell ellissoide secondo sezioni normali. Per ogni punto P 0 sull ellissoide c è una sezione normale di curvatura minima e una sezione normale di curvatura massima. Le sezioni normali caratterizzate da questi raggi di valori estremi sono chiamate sezioni principali; esse sono tra loro ortogonali e i loro raggi ed N sono chiamati raggi principali di curvatura dell ellissoide nel punto P 0. Il raggio principale minimo si riscontra sul piano meridiano passante per P 0 (sezione meridiana), pertanto il raggio principale massimo N si verifica sulla sezione normale perpendicolare al piano meridiano. Le espressioni di questi raggi sono di seguito riportate; si noti come essi sono funzione della latitudine e dei parametri dell ellissoide di rotazione. a (1 e (1 e ) sen ) 3 N (1 e a sen ) ESERCIZIO GUIDATO 1 Calcolare i raggi di curvatura delle sezioni normali principali nel Polo Nord( all equatore ( dell' ellissoide di Hayford. e e hayford = 0, ; a hayford = m ; e = e hayford; a=a hayford ; a (1 e 3 =[ ( 1-0,00673 ) ] / = ,608 m (1 e ) sen ) CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 7

8 N (1 e a = ( ) / = m sen ) Si noti come al Polo Nord i due raggi principali coincidono ; d altronde ce lo aspettavamo! Le sezioni nomali sono due ellissi congruenti. Mentre all equatore abbiamo che sen 0 =0 quindi a ( 1- e ) = ( 1-0,00673 )= m N = a = m Notiamo che all equatore le due sezioni normali corrispondono ad una circonferenza di raggio a ed un ellisse. ESERCIZIO GUIDATO Considerando l ellissoide di Hayford, calcolare: 1) la lunghezza equatoriale ; ) La lunghezza del parallelo passante per un punto P la cui latitudine è di 45 3) La distanza tra due punti A e B posti sul parallelo (45 ) e aventi rispettivamente longitudine λ A = 0 e λ B = 40. e hayford = 0, ; a hayford = m ; b hayford = m e = e hayford; a=a hayford ; b= b hayford soluzione quesito 1: La lunghezza equatoriale è pari a: L eq = a = = m soluzione quesito : essendo r p il raggio del parallelo a 45 e calcolabile mediante la seguente espressione: r p = N cosφ = m ( vedi figura ) CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 8

9 con N (gran normale) N (1 e a = m sen ) La lunghezza relativa al parallelo passante per il punto a latitudine 45 è pari a RICORDIAMO CHE: Lunghezza di un arco di circonferenza : L(arco) = ω R Con ω in radianti L P(45 ) = r p = m soluzione quesito 3: L AB = r p Δλ con Δ= differenza di longitudini in radianti Δλ = λ B λ A = 40-0 = 40 e, trasformato in radianti Δλ rad = 40 /180 = 0 rad.6981 L AB = = ,157 m L (arco) ω R CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 9

10 APPROFONDIAMO A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non coincide con la normale N all Ellissoide. Le due direzioni formano un angolo δ detto di deviazione della verticale. Anche se l ellissoide geocentrico viene collocato in modo da approssimare al meglio la reale forma di tutto il pianeta, esso viene utilizzato nelle applicazioni di carattere globale, come nei sistemi di supporto alla navigazione (, ), o nei sistemi di posizionamento globale (GPS), mentre per l utilizzo locale l ellissoide viene traslato e ruotato in modo tale da far coincidere la verticale al geoide con la con la normale all ellissoide ; in tal caso l angolo δ =0. Di quest ultimo ellissoide ( orientato) se ne fa uso locale ed esso consente di approssimare ancor di più il Geoide nelle rappresentazioni cartografiche. Esso è caratterizzato da determinati parametri detti DATUM e viene utilizzato nelle rappresentazioni cartografiche nazionali. CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 10

11 COORDINATE GEOCENTRICHE Le coordinate geocentriche (X, Y, Z) sono le coordinate cartesiane di un punto rispetto alla terna d'assi geocentrica OXYZ definita come segue: Origine O nel baricentro della massa terrestre, asse Z coincidente con l asse di rotazione terrestre, asse X collocato nel piano contenente l asse di rotazione e un punto convenzionale (Greenwich). La terna di valori (X, Y, Z) definisce la posizione tridimensionale di un punto in modo del tutto equivalente alla terna (φ, ω, h) riferita all'ellissoide geocentrico, avente gli assi lungo le direzioni X, Y, Z. Le coordinate geocentriche individuano la posizione tridimensionale di un punto senza ambiguità; tuttavia le sue coordinate non consentono di intuire la posizione reciproca dei punti considerati, non distinguendo la posizione planimetrica da quella altimetrica (se due punti A e B presentano lo stesso valore della coordinata Z, ciò non significa che i due punti A e B sono alla stessa altezza ).Di solito, si preferisce esprimere i risultati di un rilevamento con le coordinate geografiche, il cui significato risulta più intuitivo. CARTOGRAFIA - Francesco Gaspare Caputo - 11