Ricette. Argomentazione e discussione matematica. Un esperienza in classe IV e V elementare Ins. Franca Ferri Modena, maggio 2003

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1 Ricette Argomentazione e discussione matematica Un esperienza in classe IV e V elementare Ins. Franca Ferri Modena, maggio 2003

2 Perché le ricette? Contesto extrascolastico ricco e già fortemente matematizzato Produzione in classe di una torta: ipotesi, progettazione, esecuzione Diversi argomenti matematici: misure di peso e di capacità misure di tempo misure del calore, Numeri: significato delle operazioni di moltiplicazione e divisione

3 Perché le ricette? Adattamento delle dosi della ricetta alle esigenze della classe Determinare quale confezione è più vantaggioso acquistare dal punto di vista economico Determinare la spesa sostenuta

4 Perché le ricette? Frazioni Frazione unitaria Frazione non unitaria: avvio al ragionamento proporzionale. Frazioni equivalenti Percentuale

5 Itinerario didattico Classe terza: frazioni come parte di un tutto nomenclatura essenziale: frazione, numeratore, denominatore e linea frazionaria I ragazzi hanno lavorato essenzialmente nell individuazione di parti rappresentate in un intero: piegature, colorazioni, ritagli e costruzioni. frazioni più comunemente usate e loro ricerca nella realtà: ½ litro di latte, ¼ di litro di vino, 1/10 di secondo, ecc

6 Itinerario didattico Classi quarta e quinta: Frazione come parte Frazione come rapporto Frazione come operatore Frazione come quoziente Frazioni equivalenti

7 Un solo modello matematico FRAZIONE COME NUMERO RAZIONALE: Q+

8 Alcuni esempi dall itinerario didattico

9 STRUDEL DI MELE Ricetta per 8 persone Per la pasta: 250 g di farina 1 uovo 1 pizzico di sale 2 cucchiai di olio 1/10 di litro d acqua Per il ripieno: 2 kg di mele (Gravenstein o Boskop) 150 g di pangrattato 100 g di zucchero 50 g di uva sultanina 50 g di pinoli 100 g di burro fuso per spennellare la pasta 1 cucchiaino di cannella la scorza grattugiata di 1 limone Vorrei fare questa ricetta per 10 persone. Trasforma tutti gli ingredienti in modo adeguato e Buon appetito!!!

10 Due risposte diverse Io per prima cosa devo trovare il rapporto tra 8 e 10, ma non è 2, perché per scoprire il rapporto tra due numeri non devi fare 10 8 = 2, ma 10 : 8 = 1,25 e bisogna moltiplicare tutti gli ingredienti per 1, (Marcello) * Secondo me bisogna raddoppiare per 2, perché 8 +2 =10, quindi per arrivare a 10 manca due. Raddoppiando per me viene un po troppo allora forse è meglio fare più 2 oppure più 200 g dipende dal peso. (Elisabetta)

11 Cosa appare? La proporzionalità: Struttura moltiplicativa (Marcello) Struttura additiva (Elisabetta) Ostacolo epistemologico! Che fare?

12 Strade percorse Discussione matematica collettiva orchestrata dall insegnante Confronto individuale di testi Argomentare oralmente e per iscritto

13 Confronto di testi Lavoro individuale Testo di Andrea Io farei tutti gli ingredienti per 6 perché tra 4 e 10 c è 6 di differenza. Io ho pensato di fare in questo modo, perché così il numero viene più alto e così lo potresti fare per 10 persone, perché 10 > 4. La soluzione di Andrea è errata. Prova a spiegare il perché argomentando bene le tue motivazioni. Scrivi poi come risolveresti tu il problema.

14 La risposta di Laura La soluzione di Andrea è sbagliata, perché a moltiplicare le quantità di tutti gli ingredienti per 6 ha trovato le quantità di ingredienti per 24 persone, perché quelli dati erano già per 4 persone. (6 X 4) = 24. Il ragionamento di Andrea, che dice di aver fatto in quel modo perché così il numero viene più alto, non ha senso, perché le quantità non devono essere più alte a caso, MA IN PROPORZIONE.

15 La risposta di Laura Per risolverlo si può procedere in tre modi: Dividere tutte le quantità di ingredienti per 4, poi moltiplicare per 10 Dividere per 2 e moltiplicare per 5 (Quello che ho fatto io) Trovare il rapporto tra 10 e 4, poi moltiplicare le quantità di tutti gli ingredienti per il numero trovato

16 Stralcio di discussione Ins Analizziamo la soluzione di Alessandro. Lui scrive che tra 9 e 6 c è un rapporto di 1,5 e che, moltiplicando tutte le quantità per 1,5 si mantengono le proporzioni. Cosa significa questo? Lorenzo: - Ale per trovare 1,5 ha fatto una divisione, perché 9 : 6 = 1,5. 9 è il numero delle persone per cui bisogna fare la torta e 6 sono le persone per le quali è fatta la ricetta. Marco: - 1,5 è il numero che ci dice quante volte il 6 è contenuto nel 9. Carlo: - Tra 6 e 9 c è un rapporto di 1,5, cioè di una volta e mezzo. Il rapporto c è anche nella bicicletta. E nei costi, perché mia madre dice che bisogna vedere il rapporto qualità/prezzo e poi dopo comprare.

17 Alessandro: - Per risolvere questo problema potevi anche fare in altri modi come dividere per due e moltiplicare per tre, perché tra tre e due c è lo stesso rapporto che tra nove e sei. 3 : 2 e 9 : 6 le possiamo considerare due frazioni equivalenti: 3/2 e 9/6, cioè hanno lo stesso valore. Valgono entrambe 1,5. Pietro : Ho capito è come per trovare il valore di una frazione che fai il numeratore diviso il denominatore. Daniele: - Dividerei tutti gli ingredienti per due perché 6 diviso 2, ottieni 3 che è 1/3 di 9. Siccome le dosi che hai se le dividi per due diventano per 3 persone, dopo devi moltiplicare per 3 per ottenerle per 9 persone. Ale ha ragione 3/2 è equivalente a 9/6

18 Una verifica a fine quarta Il problema della marmellata L anno scorso la signora Pina ha fatto la marmellata di prugne. Aveva a disposizione 13 kg di prugne dalle quali è riuscita ad ottenere 5,5 kg di marmellata. Quest anno vuole ottenere 8 kg di marmellata. Di quale quantità di prugne ha bisogno circa? Spiega e motiva il tuo procedimento Filippo, un ragazzino di prima media ha risolto così il problema: Bisogna trovare la differenza tra 13 e 5,5, poi il numero trovato lo aggiungo a 8 e così trovo la quantità di prugne che la signora Pina deve comperare. 13 5,5 = 7, ,5 = 15,5 La signora Pina deve comperare 15,5 kg di prugne. L insegnante di Filippo dice che la sua soluzione è ERRATA. PERCHE? Prova a spiegare perché questa soluzione è errata argomentando bene le tue motivazioni, poi risolvi tu il problema.

19 Due protocolli Daniele Anche stavolta bisogna fare la proporzione facendo così: dividendo 8 per 5,5 e poi il risultato lo moltiplico per 13. Angela Si possono trovare i chili di prugne che servono per 1 Kg di marmellata e poi si moltiplicano per 8 per trovare quante prugne servono.

20 Daniele La soluzione di Filippo è errata, perché c è da fare la proporzione tra chili di frutta e chili di marmellata e non tutti quei paciughi che ha fatto lui tra frutta e marmellata. Angela La soluzione di Filippo è sbagliata, perché non ha senso sottrarre della marmellata da delle prugne.

21 Marcello Io sono d accordo con la sua maestra, perché non si deve cercare la differenza, ma il rapporto: 13 : 5,5 = 2, ,5 x 2,36 = 12,98 12,98 è la più vicina e si arrotonda a 13. Per ottenere 8 kg di marmellata deve fare 8 x 2,36 = 18,88 e arrotondiamo a 18,9 o ancora meglio a 19. Il peso diminuisce così tanto perché le prugne si schiacciano come la neve, che se la schiacci diminuisce di volume e anche perché il nocciolo non si mette nella marmellata e molti noccioli messi insieme pesano abbastanza.

22 Classe V

23 Ecco gli ingredienti di una ricetta per una squisita torta alla crema di ricotta. Ingredienti per 8 persone Per la pasta frolla: Per il ripieno: 200 g di farina 500 g di ricotta 120 g di burro 150 g di zucchero 70 g di zucchero 3 cucchiai di succo di limone 1 tuorlo 6 fogli di gelatina 1 presa di sale 3/8 di litro di panna scorza di limone grattugiata 3 cucchiai di vino bianco scorza di limone grattugiata Se volessi fare questa torta per la nostra classe dovrei naturalmente aumentare le dosi Prova a calcolare la quantità degli ingredienti necessaria per 30 persone (25 alunni, più 5 insegnanti, ) Cerca di fare i calcoli con senso! Al termine del tuo lavoro prova a riflettere e a rispondere alle domande sotto proposte. - Quali argomenti matematici vengono affrontati risolvendo un problema simile? - Che difficoltà hai incontrato per risolverlo tutto? - Vi è qualche parte che ti è sembrata particolarmente difficile? Perché?

24 Classe V (Aprile) Presenti 23 bambini 21 bambini hanno risolto bene il problema (qua e là errori di calcolo). 2 bambine non hanno trovato nessuna soluzione corretta.

25 Modalità di soluzione Rapporto tra i due numeri che indicano le persone (14 allievi su 23) Riduzione all unità (5 allievi su 23) Riduzione all unità, poi si trovano le quantità necessarie per 2 persone. Le quantità trovate si sommano a quelle date e così si ottengono gli ingredienti per 10 persone, poi si moltiplica per 3. (1 allievo su 23) Dividere per quattro e moltiplicare per 15 (1 allievo su 23)

26 E i 3/8? Due modalità di soluzione Trasformo 3/8 in un numero decimale 3 : 8 = 0,375 0, 375 x 3,75 = 1,39625 Arrotondo a 1,4 perché non ha senso tenere 1, litro e 4 decilitri di panna Alessandro 3/8 sono per 8 persone 6/8 sono per 16 persone 9/8 sono per 24 persone 12/8 sono per 32 persone 12/8 = 6/4 = 3/2, cioè un po meno di 1 litro e mezzo di panna Giacinto

27 Le difficoltà dichiarate C erano molte operazioni da fare Le divisioni erano complesse Ci ho messo molto a capire che era un problema che riguardava il rapporto Non sapevo iniziare e mi veniva da fare la sottrazione tra 30 e 8, ma sapevo che sbagliavo Era da tanto che non facevamo di questi problemi e non mi ricordavo più bene Non ho avuto difficoltà

28 La maggiore difficoltà Era molto difficile trovare la panna perché diceva che ce ne volevano 3/8 di litro per 8 persone, ma non sapevo fare le operazioni con le frazioni e allora ho fatto CIRCA Io non sapevo dividere 3/8 per 8 e poi moltiplicarla per 30 e allora non l ho fatta. Ce la metti ad occhio.

29 Quali argomenti matematici si affrontano in questo problema? Numeri naturali e decimali Operazioni: divisioni e moltiplicazioni Frazioni Frazioni come rapporto Trasformazione di una frazione in numero decimale Arrotondamento di un numero Misure Spiegazioni e ragionamenti Lingua italiana