La probabilità non esiste Riflessioni e percorsi sul tema Dati e previsioni

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1 La probabilità non esiste Riflessioni e percorsi sul tema Dati e previsioni Mathesis Milano, 21/1/2015 La mia tesi, paradossale e un po' provocatoria, ma genuina, è che semplicemente LA PROBABILITÀ NON ESISTE Bruno de Finetti, michele.impedovo@unibocconi.it

2 La probabilità è facile Su un tavolo ci sono 3 buste di cui 2 contengono un premio. Su un altro tavolo ci sono 10 buste di cui 5 contengono un premio. Da quale tavolo è meglio scegliere una busta?

3 Il faticoso cammino 1655 C. Huygens, De ratiociniis in ludo aleae

4 1713 Jacob Bernoulli, Ars conjectandi

5 1812 P. S. Laplace, Théorie Analitique des Probabilités

6 1933 A. Kolmogorov, Foundations of the theory of probability

7 Indicazioni nazionali I biennio* Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché l uso di strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti. Lo studente sarà in grado di ricavare semplici inferenze dai diagrammi statistici*. Egli apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l introduzione di nozioni di statistica. Assiomi?

8 Indicazioni nazionali II biennio Lo studente, in ambiti via via piu complessi, il cui studio sarà sviluppato il più possibile in collegamento con le altre discipline e in cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli studenti, apprenderà a far uso delle distribuzioni doppie condizionate e marginali, dei concetti di deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di campione. Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché gli elementi di base del calcolo combinatorio. Regressione?

9 Indicazioni nazionali quinta* Lo studente apprenderà le caratteristiche di alcune distribuzioni discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la distribuzione di Poisson*).

10 Combinatoria Che cos'è la probabilità? Un percorso didattico (condiviso?) Impostazione insiemistica (Assiomi di Kolmogorov) Numeri aleatori Distribuzioni di probabilità (Funzione di ripartizione) Probabilità condizionata Indipendenza (Teorema di Bayes) Valore atteso Varianza Funzioni di numeri aleatori Vettori aleatori Covarianza

11 1. Semantica e sintassi: significati e assiomi, numeri e insiemi 2. L'aggiornamento delle informazioni: la probabilità condizionata e l'indipendenza 3. La probabilità come certezza: i numeri aleatori e le distribuzioni di probabilità 1. Semantica e sintassi

12 Che cos'è la probabilità? Ci sono più cose in cielo e in terra, Orazio, di quante ne sogni la tua filosofia. W. Shakespeare, Amleto

13 L'approccio classico (e non definizione): la probabilità dell'equiprobabile Pierre-Simon Laplace, numero casi favorevoli probabilità = numero casi possibili? Genesi: giochi d'azzardo Contesto: simmetria dei risultati combinatoria

14 Approccio classico Qual è la probabilità che la somma di due dadi sia 7? Combinatoria

15 Critiche all'approccio classico È un circolo vizioso Qual è la probabilità: che un numero naturale sia pari? di non causare incidenti nel 2015? che CHF oggi scenda sotto la parità con? di essere vivo tra 5 anni? numero casi favorevoli probabilità = numero casi possibili che il Barcellona vinca la Champions League? che il governo vari una nuova legge elettorale?

16 L'approccio frequentista (statistico) Richard Von Mises, Si ripete l'esperimento aleatorio N volte e si osserva con quale frequenza si verifica un certo evento. probabilità = lim N frequenza N? Genesi: assicurazioni, scienze sociali, biologia, economia Contesto: osservazioni empiriche, statistica CLASSICO FREQUENTISTA

17 Approccio statistico (frequentista) Qual è la probabilità che un fumatore si ammali di patologie respiratorie? che una persona sia mancina? che mi rubino la moto entro l'anno? di andare in pensione? CLASSICO FREQUENTISTA

18 Approccio statistico Qual è la probabilità che la somma di due dadi sia 7? L'irragionevole successo della matematica dadi.xlsx monete.xlsx

19 La legge empirica del caso Media dei primi n numeri casuali compresi tra 0 e 1. L'irragionevole successo della matematica

20 L'irragionevole successo della matematica Metodo Montecarlo: approssimazione di π montecarlo.xlsx montecarlo.ggb

21 Le tavole di sopravvivenza Ho 50 anni. Mi assicuro per incassare una certa somma a 60 anni probabilità = 94% tavole sopravvivenza.xlsx

22 Critiche all'approccio frequentista probabilità = lim N f N N Chi stabilisce che l'esperimento si ripeta "nelle stesse condizioni"? Chi ha tempo di fare infiniti esperimenti? Perché mai la frequenza relativa dovrebbe convergere? Qual è la probabilità che il Barcellona vinca la Champions League? che il Galaxy S6 abbia successo? che si verifichi un attacco terrorista a Roma? che il titolo ENI oggi aumenti in Borsa?

23 La rivoluzione soggettivista Bruno de Finetti, probabilità = grado di fiducia (soggettivo) Quanto sei disposto a scommettere sul verificarsi dell'evento? Genesi: la probabilità si aggiorna con le informazioni (teorema di Bayes) Contesto: qualunque CLASSICO FREQUENTISTA SOGGETTIVISTA

24 La probabilità soggettiva La mia stima di probabilità su un evento E è p se sono indifferente tra le seguenti posizioni: SCOMMETTITORE: punto p per ricevere 1 se E si verifica 0 se E non si verifica BANCO: accetto una scommessa di importo p per impegnarmi a pagare 1 se E si verifica 0 se E non si verifica. ( ) Pr E = p considero equivalenti le due posizioni E E E E scommettitore : banco : p 1 p p p 1

25 Una rivoluzione copernicana La probabilità non è una proprietà dell'evento La probabilità è una proprietà dell'osservatore Dipende dallo stato delle informazioni Si aggiorna al variare delle informazioni Caratterizza la probabilità in senso dinamico Non è necessaria l'equiprobabilità Non è necessario ripetere l'esperimento Si adatta perfettamente alle valutazioni in campo economico e sociale Comprende gli altri due approcci e allarga la possibilità di assegnare una probabilità a qualsiasi evento: si può scommettere su tutto!

26 Ma allora... che cos'è la probabilità? Qual è la probabilità che una puntina da disegno cada con la punta in su?

27 Le monete Lancio una moneta 10 volte e esce 10 volte TESTA. Qual è la probabilità che esca TESTA anche all'11 lancio? meno del 50% 50% più del 50%

28 Eventi già accaduti Qual è la probabilità che Giuseppe Garibaldi sia nato nel mese di agosto?

29 Eventi... (im)possibili Qual è la probabilità che tu prenda 30 e lode nell'esame di Matematica Applicata?

30 Che cosa vuol dire che la probabilità di pioggia è minore del 10%, o che è 90%? Meteo

31 Aree Qual è la probabilità che un punto scelto a caso nel quadrato sia interno alla circonferenza?

32 Equazioni di 2 grado Qual è la probabilità che un'equazione di 2 grado a coefficienti interi abbia radici razionali? soluzioni razionali.xlsx

33 Scommesse Qual è la probabilità che il Barcellona vinca la prossima partita di Champions League?

34 Quote e probabilità V p + p p X 2 1 q = 8 q = 4.4 q = X 2 p =? p =? p =? 1 X 2 V X p + p p 1 2 X Quale relazione tra quote e probabilità? V p1+ px p2

35 Le scommesse non sono eque q = 8 q = 4.4 q = X 2 Quale relazione tra quote e probabilità? C C C p1 = px = p2 = C C C + + = 1 C p = 11% p = 21% p = 68% 1 X 2 pq = p q = pq = C 1 1 X X 2 2

36 Ma allora che cos'è la probabilità? La probabilità non esiste!... o meglio... La probabilità è una misura normalizzata di un insieme.

37 Assiomi di Kolmogorov ( ) Per costruire uno spazio di probabilità servono 3 oggetti: 1. Un insieme Ω 2. Un'algebra su Ω 3. Una funzione p: tale che a) POS: p(a) 0 per ogni A b) NORM: p(ω)=1 c) ADD: A B= p(a B)=p(A)+p(B)

38 Assiomi di Kolmogorov I primi teoremi 1. p(non A) = 1 p(a) 2. p( ) = 0 3. p(a B) = p(a) + p(b) p(a B) È vero il viceversa? Cioè: p(a) = 0 A =? 4. p(a B C) = p(a)+p(b)+p(c)-p(a B)- p(b C)-p(A C)+p(A B C)

39 Pr(A B) e Pr(A B) Pr(A) = 1/3 Pr(B) = 1/2 Pr(A B) =? Pr(A B) =?

40 p(a B) e p(a B) Pr(A) = 1/3 Pr(B) = 1/2 1/2 Pr(A B) 5/6 0 Pr(A B) 1/3

41 Esperimento aleatorio: Estrazione di un numero naturale Insieme dei risultati: N = {1, 2, 3, } Esempio di costruzione di uno spazio di probabilità Algebra generata dagli eventi: M 2 ={2,4,6, }, M 3 ={3,6,9, }, p(m k ) = 1/k FINE blocco 1 Probabilità che il numero non sia multiplo di 2, né di 3, né di 5?