Estensioni. Scorte. Ipotesi. Tasso di produzione finita EPQ Economic Production Quantity. EOQ - estensioni

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1 Estensioni Scorte EO - estensioni 2/3/26.3 tasso di produzione finita sconti rotture di scorta ammesse deperibilità più merci 2 Tasso di produzione finita EP Economic Production uantity Ipotesi Nel caso di produzione interna la merce può non venire consegnata a lotti, ma già resa disponibile quando è in produzione. Si deve decidere quando lanciare l ordine di produzione e per quanto fare durare la produzione in ogni periodo. tasso della domanda noto e costante: λ; tasso di produzione costante: P (P>λ); rotture di scorte non permesse; lead time nullo; costi: costo fisso per ordine: K, Esempio: industria del vetro, cambia colorazioni poche volte l anno. costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h. 3 4

2 Modello variabili decisionali: quantità prodotta (EP - dimensione del lotto): ; intervallo tra due ordini successivi: T; intervallo di produzione: T ; massima scorta H; minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. H livello scorte 5 Rappresentazione grafica λ P-λ T T tem po 5 6 Modello (cont.) vincoli: = λt = PT. che implicano H = (P-λ) T poiché il costo per periodo risulta essere ponendo si ottiene minimo in h = (- λ /P)h 2Kλ * = h' l obiettivo da minimizzare è K + c + Τ hi(t)dt = K + c + hht/2 G() = K /T + cλ + hh/2 = Kλ/ + cλ + (- λ /P)h/2 T* = 2K λh' 7 8

3 Esempio Si ha una domanda di 25 componenti l anno, ogni componente costa EUR, e il costo d ordine è di 5EUR, mentre il costo unitario di mantenimento è basato su un tasso di interesse del 25% l anno. I componenti sono prodotti internamente e la capacità produttiva è potenzialmente di 8 componenti l anno. Determinare: dimensione lotto economico; numero di lanci di produzione l anno. λ = 25 u/yr P = 8 u/yr K = 5 EUR/ordine c = EUR/u i = 25% h = ic = 2.5EUR/u yr h = (- λ /P)h = ( - 25/8) 2.5 =.72EUR/u yr * = (2*5*25/.72) /2 26 u lanci/yr = 25 / Sconti In molti casi reali l acquisto della merce è soggetta a sconto in funzione della quantità acquistata o, più in generale, i costi variabili sono una funzione non lineare delle quantità considerate. Esempi: sconti all-units: sconti che si applicano su tutto il lotto se questo supera una determinata dimensione, e.g., per ordini da a copie prezzo intero, sopra i sconto del %; sconti incrementali: sconti che si applicano sulle quantità eccedenti determinate soglie, e.g., sulle copie oltre la centesima viene applicato un sconto del 5%. Ipotesi tasso della domanda noto e costante: λ; rotture di scorte non permesse; lead time nullo; costi: costo fisso per ordine: K, costo variabile per ordine*: c(), costo di mantenimento per unità per tempo*: h=ic(). *notare dipendenza da 2

4 Modello Modello (cont.) variabili decisionali: vincoli: = λt quantità ordinata (dimensione del lotto):, intervallo tra due ordini successivi: T; poiché il costo per periodo risulta essere K + c()+ic()t/2 minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. l obiettivo da minimizzare è G() = λk / + λ c() + ic()/2 in generale G() può essere non derivabile o addirittura discontinua 3 4 Sconti all-units: costo acquisto Sconti all-units: costo medio c ( ) = α α i i < < i + c() G() 5 6

5 Sconti all-units G() è una funzione che presenta discontinuità Si calcola il valore EO per ogni costo a partire dal minore, fino a quando si giunge ad un valore di EO ammissibile*; si confrontano i costi associati ai punti di discontinuità e dell EO realizzabile; se sceglie il valore minimo. *Esercizio: perché non vale la pena valutare anche gli altri possibili valori? 7 Esempio Si ha una domanda di 25 componenti l anno, ogni componente costa: EUR se si ordinano fino a 3 componenti, 9.5EUR se si ordinano dai 3 ai 3 componenti, 8.5EUR oltre i 3 componenti, il costo d ordine è di 5EUR, mentre il costo unitario di mantenimento è basato su un tasso di interesse del 2% l anno. Determinare: dimensione lotto economico; numero di ordini l anno; 8 λ = 25 u/yr K = 5EUR/ordine i = 2% c( ) = < 3 < 3 (2) = (2*5*25/.7) /2 23 u fuori intervallo () = (2*5*25/.9) /2 47u dentro intervallo ( () = (2*5*25/2.) /2 8 u dentro intervallo) G(3) valore ottimo * 3 u, ordini/yr 8.33 G(47) (G(8) ) 9 2

6 Sconti incrementali: costo acquisto Sconti incrementali: costo acquisto Costo complessivo acquisto c( ) α = α + α ( ) costo unitario α c( ) = α + ( α α ) / < < 2 < < 2 c() 2 22 Sconti incrementali: costo medio Sconti incrementali G() è una funzione continua, con derivata che presenta discontinuità, ed è convessa a tratti. G() Si calcola il valore EO per ogni intervallo di costo*; si confrontano i costi associati agli EO realizzabili; se sceglie il valore minimo. 2 *Esercizio: perché non si considerano i punti dove la derivata è discontinua? 23 24

7 Esempio Si ha una domanda di 25 componenti l anno, ogni componente costa: EUR i primi 5 componenti, 9.5EUR i componenti dal 5-mo al 3-mo, 8.5EUR i componenti oltre il 3-mo, il costo d ordine è di 5EUR, mentre il costo unitario di mantenimento è basato su un tasso di interesse del 2% l anno. Determinare: dimensione lotto economico; numero di ordini l anno; λ = 25 u/yr K = 5EUR/ordine i = 2% c( ) = 9.5( 8.5( c ( ) = / ) + 5 ) / G () G () G 2 () = (25)(5)/ + (25)() + (.2)()/2 = (25)(5)/ + (25)(9.5+75/) + (.2)(9.5+75/)/2= = (25)(8)/ + (25)(9.5) + (.2)(75)/2 + (.2)(9.5)/2 = (25)(5)/ + (25)( /)+(.2)( /)/2= = (25)(38)/ + (25)(8.5) + (.2)(375)/2 + (.2)(8.5)/2 () = (2*5*25/2.) /2 8 u dentro intervallo () = (2*8*25/.9) /2 4588u fuori intervallo (2) = (2*38*25/.7) /2 572 u dentro intervallo G(8) G(572) valore ottimo * 572 u, ordini/yr 2.36 G() = min{g (), G (), G 2 ()} *Esercizio: perché valori così differenti dal caso all-units? NB: G(3)

8 Esercizio: sconto carload Si ha una domanda di 25 componenti l anno. Poiché ogni camion può trasportare componenti, per favorire lotti di multipli di carichi completi, il fornitore pone un prezzo per componente di: EUR i primi 9 componenti caricati su ogni camion, EUR per i componenti dal 9-mo fino al riempimento di un camion, il costo d ordine è di 5EUR, mentre il costo unitario di mantenimento è basato su un tasso di interesse del 2% l anno. Determinare: dimensione lotto economico; numero di ordini l anno. Rottura di scorta ammesse Tre casi base a) back-order con penalità proporzionali alla quantità e al tempo b) back-order con penalità proporzionali alla quantità c) lost sales con penalità proporzionali alla quantità nei primi due casi si sposta parte del magazzino sul cliente 29 3 Rottura di scorta (a) Modello tasso della domanda noto e costante: λ; lead time nullo; back-order ammesso; costi: costo fisso per ordine: K, variabili decisionali: quantità ordinata (dimensione del lotto):, intervallo tra due ordini successivi: T, intervallo di tempo sottoscorta: S; costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h, penalità per unità per tempo: p. minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. 3 32

9 Modello (cont.) vincoli: = λ T Ponendo G/ T = e G/ S = si ottiene S = T h/(p + h) poiché il costo per periodo risulta essere K + cλ T + h λ ( T-S) 2 /2 + pλ S 2 /2 l obiettivo da minimizzare è G(T,S) = K /T + cλ + hλ ( T-S) 2 /2T + pλ S 2 /2T = K /T + cλ + hλ T/2 - hλ S + λ (h+p)s 2 /2T e T* = 2K( p + h ) λhp notare che p >>h implica S =, cioè rottura di scorta non ammessa p << h implica S = T, cioè non si tengono scorte Rottura di scorta (b) Modello tasso della domanda noto e costante: λ; lead time nullo; back-order ammesso; variabili decisionali: quantità ordinata (dimensione del lotto):, costi: intervallo tra due ordini successivi: T, costo fisso per ordine: K, intervallo di tempo sottoscorta: S; costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h, penalità per unità: p. minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo

10 Modello (cont.) vincoli: = λ T poiché il costo per periodo risulta essere K + cλ T + h λ ( T-S) 2 /2 + pλ S l obiettivo da minimizzare è G(T,S) = K /T + cλ + hλ ( T-S) 2 /2T + pλ S/T = = K /T + cλ + hλ T/2 - hλ S + λ (hs 2 +2pS) /2T Da G/ S = si ottiene S = (ht - p)/h notare S > solo se penalità unitaria è minore del costo massimo di mantenimento quindi G/ T = - K / T 2 + λ p 2 / 2T 2 h G/ T >, Τ se λ p 2 > 2Kh, da cui T*, quindi S <, non conviene mai andare sottoscorta G/ T <, Τ se λ p 2 < 2Kh, da cui T*, quindi S / T, conviene non soddisfare alcuna domanda Rottura di scorta (c) Modello tasso della domanda noto e costante: λ; lead time nullo; back-order non ammesso; costi: variabili decisionali: quantità ordinata (dimensione del lotto):, intervallo tra due ordini successivi: T, costo fisso per ordine: K, intervallo di tempo sottoscorta: S; costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h, minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. penalità per quantità: p. 39 4

11 Modello (cont.) Due casi vincoli: = λ (T - S) p > c: ci si riconduce al caso precedente ponendo p = p-c; poiché il costo per periodo risulta essere K + cλ (T-S) + h λ ( T-S) 2 /2 + pλ S l obiettivo da minimizzare è p c: non è realistico, implicherebbe un guadagno per ogni unità di domanda non soddisfatta. Converrebbe non soddisfare alcuna domanda. G(T,S) = K /T + cλ + hλ ( T-S) 2 /2T + (p-c)λ S/T 4 42 Deperibilità Merci con data di scadenza Tre casi base: prodotti non utilizzabili oltre un tempo limite (data di scadenza); EO classico più vincolo su intervallo massimo tra consegne prodotti che deperiscono in modo proporzionale alla quantità a magazzino (decadimento esponenziale); prodotti che deperiscono in numero costante indipendentemente dalla quantità a magazzino (decadimento lineare)

12 Scorta variabile tasso della domanda noto e costante: λ; tasso di deperibilità noto: µ(i) rotture di scorte non permesse; lead time nullo; costi: costo fisso per ordine: K, costo variabile per ordine: c, Modello variabili decisionali: quantità ordinata (dimensione del lotto):, intervallo tra due ordini successivi: T; minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. costo di mantenimento per unità per tempo: h Osservazione Modello (cont.) Le perdite dovute al deperimento della merce possono essere considerate come una domanda aggiuntiva da soddisfare vincoli: = T λ (t)dt λ (I) = λ + µ(i) poiché il costo per periodo risulta essere Casi base: lineare: µ(i) = µ = cost. λ (I) = λ + µ esponenziale: µ(i) = m I λ (I) = λ + m I K + c + h T I(t)dt l obiettivo da minimizzare è G(T) = K /T + c T λ (t)dt /T + h T I(t)dt/T 47 48

13 caso lineare λ = λ + µ G(T) = K /T + c (λ + µ )+ h (λ + µ )T/2 si ottiene minimo in caso esponenziale λ (I) = λ + m I livello magazzino nel tempo di(t)/dt = - λ - m I(t) I(T) = T* = 2K h( λ + µ ) quindi I(t) = λ (e m(t-t) - )/m I() = λ (e mt - )/m = 49 5 Più merci G(T) = K /T + c λ (e mt - )/mt + hλ (e mt --mt)/m 2 T linearizzando Due casi: K /T + cλ (+mt/2) + hλ T/2 = = K /T + cλ + λ(h + cm) T/2 intervallo di riordino comune intervalli di riordino diversi si ottiene minimo in 2K T* = λ ( h + cm ) 5 52

14 Intervallo di riordino comune Ipotesi: per ogni merce tasso della domanda noto e costante: λ ; tasso di produzione costante: P (P >λ ); Si analizza il caso più generale di produzione in proprio, con tempi di set-up tra una lavorazione e l altra. I risultati ottenuti si riducono facilmente al caso di produzione esterna. tempi di set-up: s rotture di scorte non permesse; lead time nullo; costi: costo fisso per ordine: K, costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h Modello Modello (cont.) variabili decisionali per ogni merce: quantità ordinata (dimensione del lotto):, vincoli: sulle quantità = λ T = P T H = (P - λ ) T intervallo di produzione: T massima scorta H ; sui tempi di set up Σ (s + T ) Τ Σ (s + λ T /P ) Τ variabili decisionali globali intervallo tra due ordini successivi: T ; Τ Σ s / ( - Σ (λ /P )) = Τ min posto h = (- λ /P )h l obiettivo da minimizzare è minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. G(T) = Σ (K /T +c λ + h λ T/2) 55 56

15 ponendo G (T) = si ottiene T = 2 da cui, per i vincoli sui set-up, T* = max{t min,t } Esercizio: cosa cambia se si lancia un unico ordine comune per tutti i prodotti, i.e., se si paga un costo d ordine unico? K λ h' Intervalli di riordino differenti Si vorrebbe analizzare il caso in cui le varie merci possano avere intervalli di riordino differenti, ma esista un vincolo comune (e.g, spazi, budget): Σ w I (t) W, per ogni t In realtà si riesce affrontare facilmente solo il caso con vincolo più stringente: Σ w W tale vincolo può essere estremamente più restrittivo in per intervalli di riordino non primi fra loro Ipotesi: per ogni merce Modello tasso della domanda noto e costante: λ, risorsa utilizzata unitariamente: w, rotture di scorte non permesse; lead time nullo; costi: costo fisso per ordine: K, variabili decisionali per ogni merce*: quantità ordinata (dimensione del lotto):, intervallo tra due ordini successivi: T ; minimizzazione dei costo complessivo per unità di tempo. costo variabile per ordine: c, costo di mantenimento per unità per tempo: h. 59 *NB: in queste ipotesi si sta rinunciando alla possibilità di sfasare tra loro gli istanti di riordino. 6

16 Modello (cont.) vincoli: = λ T Σ w W Si calcolano i valori di EO per ogni singola merce, se tali valori soddisfano il vincolo comune Σ w W l obiettivo da minimizzare è il problema è risolto ponendo * =, altrimenti si deve studiare il lagrangiano G() = Σ (λ K / +c λ + h /2) L(,θ ) = G() + θ (Σ w W) 6 62 (cont.) (cont.) derivando L(,θ ) si ottengono le condizioni Nelle ipotesi L / = * = h 2K λ + 2θ * w w =c (vincolo di budget) C =Σ c * c /h = /i = cost* *= m con L/ θ = Σ w *= W m= C/Σ c il problema deve essere quindi risolto per tentativi su θ* * ipotesi plausibile se h legato solo a costi di opportunità 63 64

17 Vincolo esatto Si vuole considerare il problema con il vincolo Osservazione: equivale a Vincolo esatto Σ w I (t) W, per ogni t max t Σ w I (t) W Σ w I (t) W, per ogni t il problema diventa estremamente più complesso quando Il problema diventa estremamente più complesso, deve essere risolto per tentativi. max t Σ w I (t) < Σ w l uguaglianza invece si verifica quando esiste un istante in cui tutte le tipologie di merce giungono contemporaneamente in magazzino. Tale istante esiste sempre se intervalli di riordino primi tra loro Approccio risolutivo si determinano i T () : soluzione ammissibile determinata imponendo il vincolo Σ w W; si sfasano gli ordini in modo da massimizzare la differenza W- max t Σ w I () (t) determinando la quantità di risorsa ancora utilizzabile; si aumenta l intervallo di riordino per il prodotto per cui sia massimo il rapporto K λ /h, si ricalcola la capacità disponibile e si rinizia. La difficoltà risiede nell aumentare l intervallo di riordino senza perdere i vantaggi dello sfasamento degli ordini. Conclusioni Per affrontare un problema di scorte si deve sempre: individuare i parametri che descrivono il sistema fisico tasso domanda lead time costi unitari/sconti determinare le variabili/leve decisionali lunghezza intervallo tra ordini successivi lunghezza intervallo di produzione dimensione lotto 67 68

18 Conclusioni determinare i vincoli che legano le variabili decisionali tra loro o che ne limitano i valori bilanciamento tra quantità ordinate e domanda clienti bilanciamento tra quantità prodotte e domanda clienti dimensioni minime/massime dei lotti capacità dei magazzini/camion Conclusioni esprimere, in funzione delle variabili decisionali, il costo globale per ogni periodo come somma dei costi: fissi di riordino variabili di riordino (d acquisto) mantenimento capacità dei magazzini/camion penuria 69 7 Conclusioni Appendice matematica determinare il costo medio per unità tempo (ovvero il costo in cui si incorre mediamente per soddisfare la domanda che si nell unità di tempo) Formalmente il costo medio per unità di tempo G è espresso dalla relazione costo medio per unità tempo = = costo globale per periodo / lunghezza periodo minimizzare il costo medio per unità tempo G = lim t t t g( u )du dove g(u)du è il costo pagato nell intervallo infinitesimo du 7 72

19 Appendice matematica se il sistema osservato passa ripetutamente attraverso uno stato t.c. la sua evoluzione futura è indipendente dalla storia passata, tale stato è detto renewal state (stato di rigenerazione), gli istanti di tali passaggi sono detti renewal point. In tale situazione il calcolo di G diventa più semplice in quanto si dimostra t G = lim t t g( u )du = E{ C / T dove C i è il costo pagato tra l i-mo renewal point e il successivo e T i è l intervallo di tempo trascorso tra i due istanti i i } Appendice matematica nel caso delle scorte lo stato di rigenerazione corrisponde al magazzino vuoto. Inoltre in presenza di domanda costante sia C i che T i sono costanti e sono esprimibili uno in funzione dell altro, quindi: G = E{C i / T i } = G(T) 73 74